1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 课时同步练【提升题】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【提升题】——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.已知两个向量，，且，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 2.（2024-2025·湖南长沙高二下期末）如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则（） A. B. C. D. 3.（2025-2026·贵州铜仁高二上期末）已知，分别是平面，的法向量，且，则（） A. B. C. D. 4.如图所示，在空间直角坐标系中BC＝2，原点O是BC的中点，点D在平面Oyz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则的坐标为(　　) A.   B. C.   D. 5.（2024-2025·湖南衡阳高二上期中）如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（） A.平面 B.平面平面 C.平面 D.平面内存在与平行的直线 6.设a，b分别是两条直线a，b上的方向向量，α，β是两个平面，且a⊥α，b⊥β，则“α⊥β”是“a⊥b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　) A.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β B.若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β C.若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n∥β D.若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β 8.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　) A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 二、多选题（共3小题） 9.已知两个平面垂直，下列命题错误的有（ ） A.一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 B.一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面的无数条直线 C.一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 D.过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 10.在正方体ABCD -A1B1C1D1中，M∈AD1，N∈BD，且满足＝，＝，则下列说法正确的是(　　) A.AD1⊥MN B.MN∥A1C C.MN∥平面DCC1D1 D.MN为AD1与BD的公垂线 11.（2025-2026·湖南长沙高二上期中）关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A.若构成空间的一个基底，则必共面 B.若空间向量满足，则与的夹角为钝角 C.点关于平面对称的点的坐标是 D.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的充要条件 三、填空题（共3小题） 12.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中点，则OP与BD1的位置关系是                  ；设＝λ，若平面D1BQ∥平面PAO，则λ＝                  . 13.设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n＝(2，2，4)，若a＝(1，1，2)，则直线l与平面α的位置关系为                  ；若a＝(－1，－1，1)，则直线l与平面α的位置关系为                  . 14.如图，已知点E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E，C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有                  条． 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·湖南岳阳高二上期中）如图，已知平面，为矩形，，分别为的中点，求证： (1)平面； (2)平面平面. 16.（2024-2025·甘肃天水高二下期中）已知空间中三点，，． (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求向量在向量上的投影向量． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【提升题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.已知两个向量，，且，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 【答案】B 【解析】因为， 所以， 所以，所以选择B. 2.（2024-2025·湖南长沙高二下期末）如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若平面，则（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】法1：以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 设正方体棱长为. . . 设平面的法向量为. . 令，则，即， 由，且，可得， 又因为，则， 由平面，可得， 解得. 法2：取中点，连接，易证， 所以平面即为平面， 易知当为的中点时，，平面，平面， 从而平面，所以. 3.（2025-2026·贵州铜仁高二上期末）已知，分别是平面，的法向量，且，则（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为,所以,即存在实数使得, 由得 ，解得， 所以, 故选项 C 成立. 4.如图所示，在空间直角坐标系中BC＝2，原点O是BC的中点，点D在平面Oyz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则的坐标为(　　) A.   B. C.   D. 【答案】B 【解析】如图所示， 过D作DE⊥BC，垂足为E. 在Rt△BCD中，由∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得BD＝1，CD＝.所以DE＝CD·sin 30°＝×＝，OE＝OB－BD·cos 60°＝1－＝. 所以D点坐标为， 即的坐标为. 5.（2024-2025·湖南衡阳高二上期中）如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（） A.平面 B.平面平面 C.平面 D.平面内存在与平行的直线 【答案】C 【解析】设正方体棱长为，以为原点，、、为轴建系， 得，，则. 选项A、B设平面的法向量为， 则，令， 则， 同理解得平面的法向量， ，故A不正确； ，故B不正确； 选项C：，，， ， 所以，，又， 故平面，C对. 选项D：平面法向量，，无平行直线，D错. 答案：C. 6.设a，b分别是两条直线a，b上的方向向量，α，β是两个平面，且a⊥α，b⊥β，则“α⊥β”是“a⊥b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】a⊥α，b⊥β，则a是平面α的一个法向量，b是平面β的一个法向量， 则由a⊥b得α⊥β，必要性满足，反之若α⊥β，则法向量a⊥b，充分性满足，应是充要条件． 7.已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　) A.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β B.若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β C.若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n∥β D.若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β 【答案】A 【解析】对于A，由m∥α，m∥n，得到： 若n∥α，过n的平面γ∩α＝l，则n∥l， 又n⊥β，则l⊥β，l⊂α，则α⊥β， 若n⊂α，又n⊥β，则α⊥β.综上，α⊥β，故A正确； 对于B，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α与β相交或平行，故B错误； 对于C，若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n与β相交、平行或n⊂β，故C错误； 对于D，若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n与β相交或n⊂β，故D错误． 8.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　) A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 【答案】B 【解析】如图，以C1为坐标原点，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． 因为A1M＝AN＝a，所以M，N， 所以＝. 又C1(0,0,0)，D1(0，a，0)，所以＝(0，a，0)． 所以·＝0. 所以⊥，即MN⊥C1D1. 因为C1D1是平面BB1C1C的一个法向量，且MN⊄平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C. 二、多选题（共3小题） 9.已知两个平面垂直，下列命题错误的有（ ） A.一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 B.一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面的无数条直线 C.一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 D.过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 【答案】ACD 【解析】一个平面内只有垂直交线的直线和另一平面垂直，才和另一个平面内的任意一条直线垂直，所以A, C错误； 过一个平面内任意一点作交线的垂线，该垂线在平面内时，则此垂线必垂直于另一个平面， 若点在交线上时，作交线的垂线，则垂线不一定在平面内，此垂线不一定垂直于另一个平面，所以D错误； 因为另一个平面内有无数条平行直线垂直于该平面，都与该直线垂直，所以B正确. 10.在正方体ABCD -A1B1C1D1中，M∈AD1，N∈BD，且满足＝，＝，则下列说法正确的是(　　) A.AD1⊥MN B.MN∥A1C C.MN∥平面DCC1D1 D.MN为AD1与BD的公垂线 【答案】ABD 【解析】设正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系． 则A(1,0,0)，D1(0,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，A1(1,0,1)， 由＝，得M， 由＝，得N， 所以＝，＝(－1,0,1)， 则·＝－×(－1)＋×0＋×1＝0，所以AD1⊥MN，故选项A正确； 又＝(－1,1，－1)，则＝3，所以∥， 又MN，A1C不在同一直线上，所以MN∥A1C，故选项B正确； 平面DCC1D1的一个法向量为n＝(1,0,0)，而·n＝－×1≠0，所以MN与平面DCC1D1不平行，故选项C不正确； 由＝(1,1,0)，有·＝－×1＋×1＋×0＝0，所以MN⊥BD，又AD1⊥MN，且MN与BD，A1D均相交，所以MN为AD1与BD的公垂线，故选项D正确．故选A、B、D． 11.（2025-2026·湖南长沙高二上期中）关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A.若构成空间的一个基底，则必共面 B.若空间向量满足，则与的夹角为钝角 C.点关于平面对称的点的坐标是 D.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的充要条件 【答案】AC 【解析】由构成空间基底, 得不共面； 由, 得线性相关, 故必共面,A正确. 由,得, 故与的夹角不一定为钝角,B错误. 由点关于平面对称的坐标特征（横坐标、竖坐标不变,纵坐标取相反数）, 得点的对称点坐标为,C正确. 由, 得或； 由, 得, 故“”是“”的必要不充分条件,D错误. 答案为AC. 三、填空题（共3小题） 12.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中点，则OP与BD1的位置关系是                  ；设＝λ，若平面D1BQ∥平面PAO，则λ＝                  . 【答案】平行　 【解析】如图所示，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz， 设正方体的棱长为1，则O，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，P，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)． 则＝，＝(－1，－1，1)， ∴＝，∥， ∴OP∥BD1. 设Q(0，1，z)，则＝(－1，0，z)． 由于OP∥BD1， 故要使平面D1BQ∥平面PAO， 只需∥，又＝，故z＝， 则Q，由＝，＝(0，0，1)及＝λ，得λ＝. 13.设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n＝(2，2，4)，若a＝(1，1，2)，则直线l与平面α的位置关系为                  ；若a＝(－1，－1，1)，则直线l与平面α的位置关系为                  . 【答案】l⊥α　l∥α或l⊂α 【解析】当a＝(1，1，2)时，a＝n，则l⊥α； 当a＝(－1，－1，1)时，a·n＝(－1，－1，1)·(2，2，4)＝0，则l∥α或l⊂α. 14.如图，已知点E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E，C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有                  条． 【答案】1 【解析】假设存在满足条件的直线MN，以C为坐标原点，分别以CD，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设正方体的棱长为2，则D1(2,0,2)，E(1,2,0)， 设M(x，y，z)， ＝m(0≤m≤1)， 所以(x－2，y，z－2)＝m(－1,2，－2)， 则x＝2－m，y＝2m，z＝2－2m， 所以M(2－m，2m，2－2m)， 同理，若设＝n(0≤n≤1)， 可得N(2n，2n，2－n)，则＝(m＋2n－2,2n－2m，2m－n)， 又因为MN⊥平面ABCD， ＝(2,0,0)，＝(0,2,0)， 所以·＝0，·＝0， 即解得 即存在满足条件的直线MN，有且只有一条． 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·湖南岳阳高二上期中）如图，已知平面，为矩形，，分别为的中点，求证： (1)平面； (2)平面平面. 【答案】证明：(1)取中点，连接、. 因是中点，故且. 又是矩形，是中点，所以且. 则且，四边形是平行四边形. 所以，又平面，平面，故平面. (2)因平面，平面，则. 又，，所以平面，平面，故. 由，是中点，得，又，所以平面. 因为，所以平面，又平面，故平面平面. 16.（2024-2025·甘肃天水高二下期中）已知空间中三点，，． (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求向量在向量上的投影向量． 【答案】(1) 解：由得. 由与平行得, 故. 由得, 即, 故, 因此或. (2) 解：由得. 由得, . 由投影向量定义得, 故. 学科网（北京）股份有限公司 $