1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系课时作业-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系课时作业 一、单选题 1．在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 2．若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．或 D．以上说法都不对 3．若空间中三条不同直线的方向向量分别为,已知，且，则直线与直线必定（ ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面 4．已知平面，的法向量分别是，，则平面与的位置关系是（    ） A．相交但不垂直 B． C． D．与重合 5．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在底面上（含边界）移动，且满足，则线段长度的最大值等于（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 6．已知平面，的一个法向量分别为，，直线的一个方向向量为，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．在正方体中，为底面的中心，则（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 三、填空题 8．在空间直角坐标系中，若直线与平面平行，则的一个方向向量的坐标可能为________. 9．已知平面，两条不重合的直线，，，给出三个论断：①；②；③.以其中两个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个正确的命题______________. 四、解答题 10．如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是棱AB，AD，B′C′，C′D′的中点．求证：四边形EFF′E′为平行四边形． 11．在空间直角坐标系中，点，，. (1)求平面的一个法向量的坐标； (2)若是平面的一个法向量，且平面垂直平面，求； (3)若是直线的一个方向向量，且平面，求. 12．如图，在长方体中，.    (1)求证：平面平面.（使用向量方法） (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 参考答案 1．B 【分析】写出点和向量的坐标，然后建立方程组求解法向量的坐标. 【详解】由题意，,. 设平面的法向量为. 则，令，则. 平面的一个法向量 2．C 【分析】分别根据直线在平面内和在平面外两种情况判断可得. 【详解】因为直线的方向向量与平面的法向量垂直，若平面，则符合题意； 若平面，则存在直线，且直线，所以. 故选：C 3．C 【分析】根据空间向量的垂直与共线的定义即可判断. 【详解】依题意，都不是零向量， 由可得，又，则可得，即. 故选：C 4．C 【分析】直接用法向量的垂直关系来判断两个平面的垂直可得. 【详解】因为平面，的法向量分别是，， 所以， 所以，因此. 5．A 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，由已知条件得出，可得出，求出的取值范围，利用二次函数的基本性质可求出的最大值，即为所求. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、，设点， ，， 因为，所以，所以， 由可得， ， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且，，故线段长度的最大值为. 故选：A. 6．ABD 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明逐项分析计算判断. 【详解】对于A，由，得，则，即，A正确； 对于B，由，得，则，，即，解得，因此，B正确； 对于C，由，得，则，C错误； 对于D，由，得，则，，即，，解得，D正确. 故选：ABD 7．ABC 【分析】建立空间直角坐标系，写出所需的点坐标，选项A，利用平行即可得出；选项B，求出平面的法向量，利用法向量与向量数量积为0即可判断；选项C，利用即可验证；选项D，利用即可说明. 【详解】设正方体的棱长为1，以为坐标原点，分别以所在直线 为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，， 选项A，因为， 所以，所以， 由平面，平面， 所以平面，故A正确； 选项B，， 设平面的一个法向量为， 由 由，令，则， 所以平面的一个法向量为， 由， 所以，直线不在平面内， 故平面，故B正确； 选项C，由， 因为， 所以， 又因为，所以平面，故C正确； 选项D：由， 则，所以与不垂直， 所以与平面不垂直，故D错误， 故选：ABC. 8．（答案不唯一，满足，不全为0，的都可以） 【分析】根据方向向量的定义进行解答即可. 【详解】因为直线与平面平行，所以的一个方向向量的坐标为0，不全为0， 所以的一个方向向量的坐标可能为. 故答案为：. 9．①②③或①③② 【分析】设，的方向向量为，平面的法向量为，通过向量法确定位置关系即可. 【详解】，的方向向量为，平面的法向量为， ①②③ 因为，所以， 又，所以，即， 又，所以， 又因为所以； ①③② 因为，所以，即 因为，所以， 所以，即； ②③① 若，， 则，或相交，或，不成立 故答案为：①②③或①③② 10．证明见解析 【分析】连接，，利用对边平行且相等得到四边形为平行四边形，进一步可证. 【详解】证明：连接，，因为分别为的中点，所以且， 同理且，在正方体中，四边形为平行四边形， 所以且，所以，且， 故四边形为平行四边形． 11．(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】（1）根据平面法向量的求解方式求解即可； （2）由题可知，即可求解； （3）根据题意，即，再列式求解即可． 【详解】（1）设面的一个法向量， ， 则，不妨取，则， 所以平面的一个法向量的坐标为； （2）由（1）知平面的一个法向量为， 是平面的一个法向量，且平面垂直平面， 则，即， 解得； （3）由（1）知平面的一个法向量为， 是直线的一个方向向量，且平面， ，即， ，解得． 12．(1) 证明：由题可以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 则. 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，即，所以平面平面. (2)存在，为线段的中点 【分析】（1）以为原点建系，求出两个平面的法向量，证明其平行即可； （2）设，利用平面的法向量与垂直即可求出. 【详解】（1）略 （2）设线段上存在点，使得平面， 设， 由（1）得，平面的一个法向量为， 所以， 令，解得， 所以当为线段的中点时，平面. 学科网（北京）股份有限公司 $