1.4.1.1空间中点、直线和平面的向量表示同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学人教A版选择性必修第一册“空间中点、直线和平面的向量表示”同步练，以“基础巩固-概念辨析-综合应用”分层设计，通过梯度题型实现从单一向量运算到空间几何综合问题的知识进阶，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|空间向量表示、法向量/方向向量计算|单选1-4直接考查法向量识别，填空12-14强化坐标运算，夯实概念理解| |中档|线面关系向量判断、概念辨析|多选9结合正四面体情境辨析法向量，解答题15-17训练向量语言表达，提升推理能力| |提升|几何证明与体积计算综合|解答题18-19融合线面垂直证明与空间角计算，体现数学建模思想，适配新授课能力拓展需求|

1.4.1.1 空间中点、直线和平面的向量表示 同步练 2026-2027学年上学期高中数学人教A版选择性必修第一册 一、单选题 1．如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 2．平面及其法向量，直线、及其方向向量、，下面推理错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 4．已知正方体的棱长为1，以A为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 5．已知为空间中两条直线，为平面，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 6．已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 7．若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．在空间直角坐标系中，直线过点且以为方向向量，为直线上的任意一点，则点的坐标满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图，在正四面体中，为中点，为中点，则下面是平面的法向量的为（    ）    A． B． C． D． 10．下列结论错误的是（    ） A．任意一个向量均可以作为直线的方向向量 B．若是平面的法向量，则也是平面的法向量 C．设点，则平面的一个法向量为 D．若向量，则与的夹角为钝角 11．已知点，，则（   ） A．为 B．线段的中点坐标为 C．点B到x轴的距离为5 D．直线的一个方向向量为 三、填空题 12．在空间直角坐标系中，平面的一个法向量为__________． 13．已知平面ABC，且，，，则平面ABC的一个法向量为______． 14．在直线l上，则直线l的一个方向向量为_________. 四、解答题 15．设空间中两条直线，的方向向量分别为，，两个平面，的法向量分别为，.回答下列问题： (1)如何用，表示？ (2)如何用，表示？ 16．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑中，平面，，．若建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的一个法向量． 17．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求直线PC的一个方向向量． 18．在四棱锥中，，，，，，，分别为线段和的中点. (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的正弦值； 19．如图，已知在四棱锥中，，，，． (1)证明：平面； (2)证明：； (3)若直线与平面所成角为，点在平面内的正投影是点，求四棱锥的体积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《1.4.1.1� 空间中点、直线和平面的向量表示� �同步练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B A B B A C ABD ABD 题号 11 答案 ABC 1．B 【分析】求出平面内的两个不共线向量的坐标，然后根据法向量的定义验证． 【详解】由题意，，，是中点，则， 因此， 对于A选项，，不是法向量，A错； 对于B选项，，是法向量，B正确； 对于C选项，，不是法向量，C错； 对于D选项，，不是法向量，D错； 故选：B． 2．D 【分析】结合线面垂直、平行的性质与方向向量、法向量的关系逐一分析选项. 【详解】选项A：，又，故，则A选项正确； 选项B：，又，故，则B选项正确； 选项C：，又，故，则C选项正确； 选项D：、时，直线与可能为平行、相交或异面关系，因此它们的方向向量与不一定平行，故D选项错误. 故选：D 3．B 【分析】写出点和向量的坐标，然后建立方程组求解法向量的坐标. 【详解】由题意，,. 设平面的法向量为. 则，令，则. 平面的一个法向量 4．A 【分析】建立空间直角坐标系，求出点坐标，然后方程组求出平面的一个法向量. 【详解】建立坐标系并确定点坐标，如图 以为原点，为单位正交基底，正方体棱长为1，则各点坐标为：，，， ， 设平面的法向量为，则 且， 即 化简得，， 令，则，，即法向量为. 故选：A. 5．B 【分析】由线面垂直的判定定理，及充分必要性的定义判断. 【详解】由线面垂直的判定定理可得，直线要垂直于平面内相交的两条直线才能得到， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 6．B 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线，列式计算得解. 【详解】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B 7．A 【分析】根据给定条件，利用方向向量的定义判断得解. 【详解】由，得， 所以直线的一个方向向量的坐标为. 故选：A 8．C 【分析】求出向量，再利用空间向量共线的充要条件列式判断即得. 【详解】依题意，，，则， 所以点的坐标满足的关系式是. 故选：C. 9．ABD 【分析】根据正四面体的性质得到，，即可得到平面，从而得解. 【详解】因为在正四面体中，为中点， 所以，， 又，平面，所以平面， 所以，，均是平面的法向量， 显然与不平行，所以不是平面的法向量. 故选：ABD 10．ABD 【分析】对A和B，利用直线方向向量和平面法向量的定义，即可求解；对C，利用法向量的求法，求出平面的一个法向量，即可求解；对D，结合选项条件，取，即可求解. 【详解】对于A，由直线方向向量的定义知，不能作为直线的方向向量，所以选项A结论错误， 对于B，若，则，此时不是平面的法向量，所以选项B结论错误， 对于C，因为，则， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 所以平面的一个法向量为，故选项C结论正确， 对于D，若，则有， 但与的夹角不为钝角，所以选项D结论错误， 故选：ABD. 11．ABC 【分析】根据向量模的坐标表示即可判断A；根据中点坐标公式即可判断B；根据空间点到坐标轴距离公式即可判断C，根据向量共线的坐标表示即可判断D。 【详解】对A，由题意得，则，故A正确； 对B，线段的中点坐标为，即，故B正确； 对C，点B到x轴的距离为，故C正确； 对D，因为，且，则与向量不共线，故D错误. 故选：ABC. 12．（答案不唯一） 【分析】利用平面法向量的定义求解即可. 【详解】因为在空间直角坐标系中，平面一般式为(不同时为)， 其一个法向量为， 因为平面方程为，所以其一个法向量为， 与平行的非零向量都是该平面的法向量. 故答案为：（答案不唯一） 13．（答案不唯一） 【分析】根据平面法向量的性质，用待定系数法即可求得平面的一个法向量. 【详解】，， 设平面ABC的法向量为， 则，即， 令，得，， 故平面ABC的一个法向量为． 故答案为：（答案不唯一）． 14． 【分析】求出向量的坐标即可. 【详解】由在直线l上，得直线l的一个方向向量为. 故答案为： 15．(1) (2)‖ 【分析】（1）根据直线方向向量的定义结合直线垂直的定义求解即可； （2）根据平面法向量的定义结合平面平行的定义求解即可. 【详解】（1）因为两条直线，的方向向量分别为，， 所以当时，； （2）因为两个平面，的法向量分别为，， 所以当‖时，. 16． 根据题意，设， 法一：，，，则，， 设平面的法向量为，则有， 令，得，则为平面的一个法向量．（答案不唯一） AI法二：过点作于点，则为的中点， 平面，平面， ， ， ，又，平面， 平面，平面， ，又，且，平面， 平面，易得，，， ，故， 平面的一个法向量为（答案不唯一） 【分析】设，法一：根据已知标注出相关点坐标，进而得，，求出平面的法向量；法二：过点作于点，则为的中点，再由线面垂直的判定及性质定理得平面，写出的坐标，即可得. 【详解】略 17． 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，根据方向向量的定义可得． 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系A－xyz，则，， 所以即为直线PC的一个方向向量. 18．(1)连接，因为为中点，所以， 又，，所以且，所以四边形为平行四边形， 又，，所以四边形为正方形，所以，， 又因为，，所以，所以， 又因为，分别为线段和的中点，所以，所以， 又，平面，所以平面. (2) 【分析】(1)通过线面垂直判断方法求解. (2)建立空间直角坐标系后通过求解法向量来求面面角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）因为，，所以，所以，由(1)知， 又，平面，所以平面，又，，所以， 所以，，两两垂直，以为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，则， 由（1）知平面，所以平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为， 所以， 所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 19．(1)因为， 平面 ， 平面 ， 所以平面 . (2) 取中点，连接，设， 因为， 所以四边形是正方形，所以. 连接，因为为的中点，所以， 因为平面 ，所以 平面 ， 又 平面 ，所以 . (3) 【分析】（1）根据，由线面平行的判断定理证明； （2）取中点，连接，设，可得，，由线面垂直的判定定理和性质可证； （3）方法一：过作，可证点与重合，即 平面，以点为原点，为轴，为 轴，为轴建立空间直角坐标系，根据 平面 ，设，根据，可得，进而得解； 方法二：以点为原点，为轴，为 轴，建立空间直角坐标系 ，其他同方法三；同方法一可证 平面，取中点，连接 ，可证点在平面 内的正投影必在直线上，过点作，垂足为，则点到平面 的距离 ，利用等体积法求点到平面的距离，从而得解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）方法一： 由（2）可知 平面 ， 平面，所以平面平面 . 过作，垂足为，又因为平面平面平面 ， 所以平面， 所以在底面的射影在直线上， 所以直线与平面所成角是，所以， 因为正方形中，所以， 又因为，所以， 所以，所以． 所以点与重合，即 平面. 以点为原点，为轴，为 轴，为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为点在平面 内的正投影是，所以 平面 ． 设， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以点到平面距离为， 方法二： 以点为原点，为轴，为 轴，建立空间直角坐标系 ， 则， 因为点在平面 内的正投影是，所以 平面 ． 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以点到平面距离为， 方法三：由（2）可知 平面 ， 平面， 所以平面平面 . 过作，垂足为，因为平面平面，且平面 ， 所以平面， 所以在底面的射影在直线上， 所以直线与平面所成角是，所以， 因为正方形中，所以， 又因为，所以， 所以，所以． 所以点与重合，即 平面. 取中点，连接 ， 由题意知，则；同理题意知， 又，所以 平面， 因为 平面 ，所以平面平面． 注意到平面 平面， 故点在平面 内的正投影必在直线上， 过点作，垂足为，则点到平面 的距离 ， 因为，所以， 即，所以. ，设点到平面的距离， 因为，所以， 即，解得. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $