1.3空间向量及其运算的坐标表示同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.3空间向量及其运算的坐标表示 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.（2024-2025·湖南邵阳高二上期末）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（） A. B. C. D. 2.已知i，j，k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量，且＝－i＋j－k，则点B的坐标是(　　) A.(－1,1，－1) B.(－i，j，－k) C.(1，－1，－1) D.不确定 3.已知＝(2，3，1)，＝(4，5，3)，那么向量＝(　　) A.(－2，－2，－2) B.(2，2，2) C.(6，8，4) D.(8，15，3) 4.设x，y∈R，向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(2，－4，2)，且a⊥b，b∥c，则|a＋b|等于(　　) A.2   B.   C.3   D.4 5.已知向量，，若，则（） A. B. C. D. 6.若向量，且与的夹角的余弦值为，则（    ） A.2 B. C.或 D.2或 7.（2025-2026·湖南邵阳高二上期中）已知，，三点不共线，是平面外任意一点，若，则，，，四点共面的充要条件是（） A. B. C. D. 8.（2025-2026·北京海淀高二上月考）在空间直角坐标系中，，则平面的一个法向量为（） A. B. C. D. 二、多项选择题（共3小题） 9.下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（ ） A. 点与点关于z轴对称 B. 点与点关于y轴对称 C. 点与点关于平面对称 D. 空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分 10.在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，则以下结论正确的有(　　) A.＋＋＋＝0 B.＋－－＝0 C.－＋－＝0 D.·＝· 11.（2025-2026·湖南长沙高二下期末）已知向量，则下列运算结果正确的是（） A. B. C. D.与同方向的单位向量是 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·湖南娄底高二上期末）点关于平面对称的点的坐标是                   . 13.（2025-2026·湖南衡阳高二上期中）在长方体中，为与的交点，设，，，则向量                  （用，，表示）. 14.（2025-2026·甘肃庆阳高二下期末）已知在空间直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点与点关于轴对称，则                   . 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·湖南永州高二上期中）已知向量，. (1)求； (2)求； (3)若，求的值. 16.（2025-2026·湖南长沙高二下期末）如图，在直三棱柱中，，，，依次为，的中点． (1)求证：； (2)求与平面所成角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3空间向量及其运算的坐标表示 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.（2024-2025·湖南邵阳高二上期末）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】点关于平面对称, 意味着该点的对称点在保持坐标和坐标不变的前提下,坐标取相反数, 由此可得对称点的坐标为. 根据对称性原则，选项A符合该条件，因此答案为A. 2.已知i，j，k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量，且＝－i＋j－k，则点B的坐标是(　　) A.(－1,1，－1) B.(－i，j，－k) C.(1，－1，－1) D.不确定 【答案】D 【解析】由＝－i＋j－k只能确定向量＝(－1，1，－1)． 而向量的起点A的坐标未知， 故终点B的坐标不确定． 3.已知＝(2，3，1)，＝(4，5，3)，那么向量＝(　　) A.(－2，－2，－2) B.(2，2，2) C.(6，8，4) D.(8，15，3) 【答案】B 【解析】向量＝－＝(4，5，3)－(2，3，1)＝(2，2，2)，故选B. 4.设x，y∈R，向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(2，－4，2)，且a⊥b，b∥c，则|a＋b|等于(　　) A.2   B.   C.3   D.4 【答案】C 【解析】 ∵b∥c， ∴2y＝－4×1，∴y＝－2， ∴b＝(1，－2，1)， ∵a⊥b， ∴a·b＝(x，1，1)·(1，－2，1)＝x＋1×(－2)＋1＝0， ∴x＝1， ∴a＝(1，1，1)， ∴a＋b＝(2，－1，2)， ∴|a＋b|＝＝3. 5.已知向量，，若，则（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，根据向量平行的性质，存在实数，使得. 即. 由此可得方程组，解得，， 所以. 故选：D. 6.若向量，且与的夹角的余弦值为，则（    ） A.2 B. C.或 D.2或 【答案】C 【解析】由题意，向量， 得 ，解得或， 故选：C. 7.（2025-2026·湖南邵阳高二上期中）已知，，三点不共线，是平面外任意一点，若，则，，，四点共面的充要条件是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】若，，，四点共面，且为平面外一点， 则向量关系式中系数满足. 所以. 故答案为：B. 8.（2025-2026·北京海淀高二上月考）在空间直角坐标系中，，则平面的一个法向量为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由已知得，， 设平面的一个法向量为. 由法向量性质得，取，得，， 故，选项A符合，其余选项向量均不与共线. 故选：A. 二、多项选择题（共3小题） 9.下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（ ） A. 点与点关于z轴对称 B. 点与点关于y轴对称 C. 点与点关于平面对称 D. 空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分 【答案】BD 【解析】对于，点与点关于x轴对称，故错误； 对于，点与关于y轴对称，故正确； 对于，点与不关于平面对称，故错误； 对于，空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，故正确． 故选：. 10.在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，则以下结论正确的有(　　) A.＋＋＋＝0 B.＋－－＝0 C.－＋－＝0 D.·＝· 【答案】CD 【解析】如图，连接AC和BD交于O，连接SO，由题可知OA，OB，OS两两垂直，则以O为坐标原点，分别以OA，OB，OS所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， ∵底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2， ∴OA＝OB＝OC＝OD＝，SO＝＝， 则A，B，C，D，S， ∴＝，＝， ＝，＝， ∴＋＋＋＝(0，0，－2)，故A错误； ＋－－＝(，，0)，故B错误； －＋－＝(0，0，0)＝0，故C正确； ·＝×0＋0×＋×＝， ·＝×0＋0×＋×＝， 即·＝·，故D正确． 11.（2025-2026·湖南长沙高二下期末）已知向量，则下列运算结果正确的是（） A. B. C. D.与同方向的单位向量是 【答案】ABC 【解析】由，得， 故A正确，得， 故B正确. 由向量模长公式得， 故C正确. 与同方向的单位向量为， 由此可得D错误. 故选：ABC. 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·湖南娄底高二上期末）点关于平面对称的点的坐标是                   . 【答案】 【解析】因为点关于平面对称, 所以坐标取相反数,、坐标不变, 故对称点坐标为. 13.（2025-2026·湖南衡阳高二上期中）在长方体中，为与的交点，设，，，则向量                  （用，，表示）. 【答案】 【解析】在长方体中，. 因为是中点，. 又，，所以. 则. 而，故. 答案为. 14.（2025-2026·甘肃庆阳高二下期末）已知在空间直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点与点关于轴对称，则                   . 【答案】 【解析】点与点关于轴对称，得点的坐标为. 已知点坐标为， 由空间两点间距离公式得. 四、解答题（共2小题） 15.（2025-2026·湖南永州高二上期中）已知向量，. (1)求； (2)求； (3)若，求的值. 【答案】解：(1). (2)，则. . (3)由，得. 展开得. ， 结合（1）中，有， 解得. 16.（2025-2026·湖南长沙高二下期末）如图，在直三棱柱中，，，，依次为，的中点． (1)求证：； (2)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：连接，直三棱柱中平面，由平面得，又，，，平面，故平面. 结合平面得，又，故四边形为正方形，因此. 因为，，平面，故平面，结合平面，得. (2)解：直三棱柱中，故两两垂直，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，得，，，，. 计算得，，，设平面的一个法向量为，则，令得. 设与平面所成角为，则，即与平面所成角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $