专题 5.13 二次函数复习（七）二次函数与图形的相似【基础・综合・探究】- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题 5.13 二次函数复习（七）二次函数与图形的相似 【基础・综合・探究】 目录 一.复习目标 1 二.知识储备 2 【知识点1】相似三角形核心知识回顾 2 【知识点2】平行与垂直的坐标判定（位置关系核心） 2 三.题型精析 3 【一】基础夯实 3 题型1：坐标系下简单相似计算 3 【二】综合提升 9 题型2：抛物线上构造相似求线段长度 9 题型3：坐标轴上动点相似三角形存在性 16 【三】探究拓展 24 题型4：抛物线上动点相似三角形存在性（中考高频压轴） 24 题型5：双动点与相似、面积综合 36 【四】中考链接 54 一.复习目标 1. 巩固相似三角形三大判定定理及核心性质，熟练掌握坐标系中相似三角形的识别与基础运算。 2. 掌握平面直角坐标系中线段长度求解、直线平行与垂直的坐标判定方法，能够借助位置关系推导等角、直角，为二次函数背景下的相似证明提供依据。 3. 熟练解决二次函数静态、动态背景下的三角形相似问题，掌握相似存在性题型的完整分类讨论思路，做到不重不漏。 4. 强化数形结合思想，能够将几何相似条件转化为代数方程求解，并结合图像范围筛选有效解、舍去增根，规范压轴题答题步骤。 二.知识储备 【知识点1】相似三角形核心知识回顾 1. 核心判定定理（坐标系解题优先级） ① AA（两角分别相等）：坐标系最常用判定方法，依托公共角、对顶角、平行线同位角/内错角快速证相似，运算量最小； ② SAS（两边对应成比例且夹角相等）：适用于可快速求出线段比例、夹角固定的题型； ③ SSS（三边对应成比例）：多用于规则图形，坐标系中运算繁琐，极少优先使用。 2. 核心性质 ① 对应角相等，对应边成比例，比值为相似比； ② 对应高、中线、角平分线的比值等于相似比； ③ 周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方（高频考点）。 3. 二次函数背景通用解题思路 第一步：分析定三角形形状（直角、等腰等），求解定点坐标、三边长度； 第二步：设动点坐标，抛物线上动点统一设为； 第三步：根据题干是否标注相似符号，确定是否需要全顶点分类讨论； 第四步：利用等角、边成比例列方程，求解动点参数； 第五步：结合图像范围、题干限制条件筛选有效解，舍去增根。 【知识点2】平行与垂直的坐标判定（位置关系核心） 核心作用：通过坐标法判断直线位置关系，快速推导等角、直角，构造相似条件，规避复杂几何辅助线。 设平面内两点 ，直线斜率 ；设两直线解析式 、。 1. 直线平行判定 ① 斜率存在： 且截距不等，两直线平行； ② 特殊情况：两直线均为竖直直线（常数，斜率不存在），两直线平行； ③ 核心结论：两直线平行 → 同位角、内错角相等，可直接构造相似所需等角。 2. 直线垂直判定 ① 斜率存在：，两直线互相垂直； ② 特殊情况：一条水平直线（）、一条竖直直线（斜率不存在），两直线垂直； ③ 核心结论：两直线垂直 → 构造直角三角形，优先使用直角对应关系分类讨论相似。 【要点提示】 1. 斜率仅作为解题分析工具，中考答题需用几何语言（平行性质、垂直定义）规范书写，不可直接使用斜率公式作答； 2. 相似题型高频易错点：无固定顶点顺序的相似未分类、求解出的动点超出图像取值范围未检验。 三.题型精析 【一】基础夯实 题型1：坐标系下简单相似计算 考查核心：结合抛物线与坐标轴交点，依托静态三角形，利用相似判定与性质求解线段长度、点坐标，夯实坐标系相似基础。 【例题1】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，已知，． （1）求该二次函数的表达式； （2）连接，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴，垂足为，连接，若与相似，请求出满足条件的点坐标；若没有满足条件的点，说明理由． 【答案】（1）该二次函数的表达式为；（2）满足条件的点坐标为． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的性质，一元二次方程法解法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）设，由题意得：，，，再利用相似三角形的性质得出比例式，解关于的方程即可得出结论． （1）解：， ， ，， ． ，， 二次函数的图象经过点，，， ， 解得：， 该二次函数的表达式为； （2）解：设， 轴，为第一象限内抛物线上一点， ，，， ， 与相似， 或， 或． 解得：，或，． ， ． 与相似，满足条件的点坐标为． 【变式1】（25-26九年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于两点，已知点横坐标为，，当时，的取值范围是（    ）    A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】过点作轴，轴，则，证明，求出点的横坐标即可． 解：过点作轴，轴，则，   ， ， ， 点横坐标为，即， ， ，即的取值范围是：或， 故选：B． 【点拨】本题主要考查了二次函数与一次函数的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握各知识点是解决本题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）已知二次函数的图象的顶点为C，与y轴交于点A，过点A作轴，与该二次函数图象的另一个交点为B，连接，则a的值为______． 【答案】 【分析】作轴于点，通过可得，用含代数式表示，进而求解．本题考查二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握相似三角形的性质． 解：， 抛物线开口向下，顶点坐标为，抛物线对称轴为直线， 作轴于点，则， 轴，抛物线对称轴为直线， ， 轴，， ， ， 把代入得， 点坐标为，即， ， ， ． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，二次函数，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线与x轴交于点D，与拋物线交于点E （1）若，求二次函数的表达式； （2）设点P为抛物线上位于x轴下方的动点，直线，分别与直线交于点M，N，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）先求出点A，B的坐标， 再根据证明得到，求出点C的坐标，然后将点C代入，可得答案； （2）先表示点E和点P，再表示出直线的解析式，进而表示，同理可得直线的解析式，可得，再计算即可得证． 解：（1）当时，， 解得，， ∴，， ∴，． ∵， ∴． ∵，， ∴，，， ∴， ∴∽， ∴， ∴， ∴点． 将代入，得， 解得， ∴二次根式的解析式， 即； （2）当时，， ∴， ∴， 设， 直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， ∴直线的解析式为． 当时，， ∴， ∴， 同理可得直线的解析式为． 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了求二次函数关系式，相似三角形的性质和判定，求一次函数关系式二次函数的图象与性质等，理解用坐标差表示线段长是解题的关键． 【解题归纳】基础题型优先寻找直角、公共角等天然等角；严格区分有序相似（标注，顶点固定）和无序相似（文字描述，需全面分类），避免漏解、错解。 【二】综合提升 题型2：抛物线上构造相似求线段长度 【例题2】（2026·江苏扬州·一模）我们把一次函数（为常数，）与二次函数（为常数，）称为一对“相伴函数”，比如：函数与就是一对“相伴函数”．如图，一次函数的图像与二次函数的图像相交于A，两点． （1）随着a的变化，他们的图像各自是一组直线与一组抛物线，一次函数的图像总过点 （写坐标）；不等式的解集为 ； （2）若△OAB是直角三角形，求a的值． 【答案】（1），；（2）或 【分析】（1）将一次函数整理即可确定其总经过的点，将不等式整理，然后利用一元二次方程的解得出两个函数交点的横坐标，结合图象即可得出结果； （2）根据题意确定，，然后分三种情况分析：当时，当时，当时，利用相似三角形的判定和性质求解即可． （1）解：， 当时，， ∴一次函数的图像总过点； ∵， ∴整理为：， 当时， 解得：， 由函数图象得：不等式的解集为； 故答案为：，； （2）由题意得， 解之得，， ∴，， 如图，过点A作轴，垂足为M，过点B作轴，垂足为N， 当时， ∵轴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 当，如图，过点A作轴，垂足为M，过点B作轴，垂足为N，同理可求， 当时，如上图，在锐角的内部，所以这种情况不可能； 综上可得：或． 【点拨】题目主要考查二次函数与一次函数综合问题，包括一次函数的基本性质，利用图象求不等式的解集，相似三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 【变式1】（2026·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，顶点为点C，对称轴为直线，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．当时，y随x的增大而增大 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．根据抛物线的位置判断即可；利用对称轴公式，可得，可得结论；应该是时，随的增大而增大；设抛物线的解析式为，可得，，过点作轴于点，设对称轴交轴于点．利用相似三角形的性质，构建方程求出即可． 解：A．抛物线开口向上， ， 对称轴是直线， ， 抛物线交轴的负半轴， ， ，故本选项不符合题意， B．，， ，故本选项不符合题意， C．观察图象可知，当时，随的增大而减小，本选项不符合题意， D．抛物线经过，， 可以假设抛物线的解析式为， ，， 过点作轴于点，设对称轴交轴于点． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故正确，符合题意； 故选：D 【变式2】（25-26九年级下·江苏连云港·阶段检测）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，，若平分，则的值是___________． 【答案】/ 【分析】主要考查了抛物线与轴的交点，角平分线的定义，等腰三角形的性质，勾股定理，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 过点A作的平行线交y轴于点D，利用平行线分线段成比例定理得，再结合“平行线+角平分线得等腰三角形”，最后对运用勾股建立方程即可． 解：如图，过点A作的平行线交y轴于点D， 由知，，， ，， 令，， ， ， 过点作， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， （舍或． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级下·湖南岳阳·期中）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C． （1）求二次函数的解析式； （2）如图2，过点C作轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上第三象限内的一个动点，连结、，若，求点P的坐标； （3）如图3，若点P是二次函数图象上位于下方的一个动点，连接交于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可； （2）过点作轴，交的延长线于点，待定系数法求出直线的解析式，设点，则点，根据二次函数的对称性求出，根据题意求出，列出方程式，解方程求出的值，即可求出点的坐标； （3）作于，交于，根据，，表示出的长，根据相似三角形判定和性质即可求出的值，结合二次函数的最值即可求解． （1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点、， ∴ 解得 ∴； （2）解：如图，过点作轴，交的延长线于点， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则点， ∵二次函数的图象与轴交于点、， ∴对称轴为， ∴， 即， 则，， ∵， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴， ∴； （3）解：如图： 作于，交于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为． 【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，二次函数的对称性，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 题型3：坐标轴上动点相似三角形存在性 【例题3】（2026·陕西西安·二模）二次函数的图象与轴交于，两点，点为y轴负半轴上一点，且． （1）求二次函数表达式： （2）点是线段（包含，）上的动点，过点作轴的垂线，交二次函数图象于点，交直线于点，若以点，，为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）二次函数表达式为；（2）存在，． 【分析】（）利用待定系数法求解析式即可； （）由，求出直线解析式为，过作轴的垂线，交二次函数于点，交直线于点，令，则，，由，得，故，因而有，即，求出的值即可； 本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形和求一次函数解析式，灵活运用知识点是解题的关键． （1）解：∵过点，， ∴，解得：， ∴二次函数表达式为； （2）存在，理由， ∵， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 如图，过作轴的垂线，交二次函数于点，交直线于点， ∵， ∴， 令，则，， 由题意可知，不可能垂直，即， ∴当时，， ∴， ∴， ∴，即， 解得或， 经检验时方程的解， ∴． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为、，抛物线与抛物线关于x轴对称． （1）求抛物线的函数表达式； （2）抛物线与y轴交于点M，其对称轴与x轴交于点N，点P为对称轴上一动点，点Q为抛物线对称轴右侧一点，且在x轴上方，轴，当与相似时，求点Q的横坐标 【答案】（1）；（2）点Q的横坐标是5或 【分析】（1）根据对称性得到抛物线交y轴于点，与 x轴的交点为、，待定系数法进行求解即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. （1）解：∵抛物线与x轴的交点为、， ∴当时，， ∴抛物线交y轴于点， ∵抛物线与抛物线关于x轴对称， ∴抛物线交y轴于点，与 x轴的交点为、，     设抛物线，将代入得， 解得：，           ∴抛物线；     （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴是， ∴点，，则，， ∵轴， ∴ 设，则，， 情况①：当时， ∴， 解得（舍），，           情况②：当时，， ∴ 解得（舍），； ∴综上所述，点Q的横坐标是5或. 【变式2】（2025·陕西·模拟预测）已知在平面直角坐标系中二次函数与轴交于点，，与轴交于点，且． （1）试求抛物线解析式及点，的坐标； （2）连接，若在轴上有一动点，在轴右侧，轴上方的抛物线上有一动点，连接，，试问是否存在符合题意的点，，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合题意的点坐标，以及对应的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为，，；（2）所有符合题意的点坐标为，对应的点坐标为或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与相似三角形，掌握知识点的应用是解题的关键． （）当时，，解得，，则，，当时，，通过，求出的值即可； （）分当时，则时，当时，则时两种情况分析即可． （1）解：当时，， 解得：，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∴，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，当时，则时，， ∴轴， 设， ∴， ∴，， 由（）得，， ∴，解得：， 经检验是原方程的解， ∴，； 如图，当时，则时，，过作轴于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 同理可得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可得：所有符合题意的点坐标为，对应的点坐标为或． 【变式3】（24-25九年级上·广西崇左·阶段检测）如图， 已知抛物线 与轴交于、两点，与轴交于点，是坐标原点，已知点 的坐标是， （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程． （1）根据题意求出点的坐标，再结合，可求出点A的坐标，再根据待定系数法求得函数解析式； （2）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得出关于y的方程，解方程即可得答案． （1）解：抛物线与轴交于点，又当时，， 点的坐标为， ， ， ， 即点的坐标为， 又点， ， 解得， 抛物线的函数表达式是； （2）如图， 设点的坐标为， ∵，， ∴为的锐角三角形，所以也是锐角三角形，， 点在点的上方， ， ， ，，， ①如果，则， ，即点， ②如果则， ， 即点， 综上所述：符合条件的点D的坐标为或． 【三】探究拓展 题型4：抛物线上动点相似三角形存在性（中考高频压轴） 【例题4】（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，在轴上取一点，使得，求的最大值及此时点坐标； （3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，过点作直线垂直于交轴于点，交新抛物线于点，请直接写出点的横坐标． 【答案】（1）；（2）最大值为：，；（3）． 【分析】本题主要考查了待定系数法解二次函数和一次函数解析式、二次函数与一次函数综合应用、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是综合运用相关知识，并运用数形结合的思想分析问题． （）由待定系数法即可求解； （）由，得到，即可求解； （）由平移的性质得到新抛物线的表达式，由直线且过点，求出直线的表达式，进而求解． （1）解：设抛物线的表达式为：， 则， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 设直线的表达式为， ∴，解得 ∴直线的表达式为， 设点，则， 则， ∵， ， ∴， ∵， ∴有最大值， 当时，的最大值为：，此时点； （3）解：如图， 由， 将原抛物线沿射线方向平移个单位长度相当于将抛物线向右平移个单位向下平移个单位， 则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 设直线的解析式为，将点，代入得 ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式与抛物线，， ∴， 解得：， 即点的横坐标为． 【变式1】（24-25九年级下·江苏南通·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方． （1）求抛物线的表达式． （2）如图，过点作轴，交直线于点，连接、，当面积最大时，求点的坐标． （3）如图，连接、、，与交于点，过点作交于点．记、、的面积分别为，，．设，求在（）的条件下的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，数形结合和准确计算是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先求出，则有直线的解析式为，设点，则，，所以，故，然后通过二次函数的性质即可求解； （）证明，则，所以，，则，作交轴于，作轴交于，然后求出直线的解析式为，当时，，则有，证明，所以，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解． （1）解：在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，将点，点的坐标代入得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：抛物线与轴交于点， 当时，得：， ∴， 设直线的解析式为，将点，点的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 由点是抛物线上一动点，且在直线的上方， 设点， ∵轴， ∴轴， ∴，， ∴， ∴ ， 当时，面积最大 ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 作交轴于，作轴交于， ∵直线的解析式为，， ∴直线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴，， ∵，轴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 当时，． 【变式2】（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交点，连接．若点是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接交于点，当时，求点的坐标； （3）设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，设． ①直接写出关于的函数解析式； ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）点的坐标为或；（3）①；② 【分析】（1）运用待定系数法把代入，解二元一次方程组即可求解； （2）运用待定系数法求直线的解析式，如图所示，过点作轴交于点，得到，证明，得到，根据题意则有，由此解一元二次方程得到的值，代入点坐标即可求解； （3）①根据题意，得到二次函数对称轴直线，点关于对称轴的对称点，由此分类讨论，结合图形分析可得出关于的函数解析式；②根据图示即①中的计算结果进行判定即可求解． （1）解：抛物线与轴交于点，与轴交点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵， ∴设直线的解析式为：， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为， ∴， 如图所示，过点作轴交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，，即， 当时，，即， 综上所述，当时，点的坐标为或； （3）解：①二次函数的图像如图所示，设顶点坐标为，点关于对称轴对称的点为， ∴对称轴直线为，即 由题意可得，，抛物线在点与点之间的部分包含点和点， ∴， 令时，， 解得，， ∴点关于对称轴对称的点的坐标为， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，； ②根据题意，当时，，不符合题意，舍去； 当，； 当时，（不符合题意，舍去），； ∴当时，的取值范围为． 【点拨】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，相似三角形的判定和性质，动点与函数图象的性质等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，相似三角形的判定和性质，数形结合思想是解题的关键． 【变式3】（25-26九年级下·海南海口·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，D为顶点，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点M，与交于点E． （1）求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标； （2）设点P的横坐标为t（）， ① 当t为何值时，线段的长最大； ② 连接，证明：为直角三角形； （3）是否存在点P，使得以点P、M、B为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线所对应的函数关系式，顶点为；（2）①当时，线段的长最大值为， ②证明：∵，， 则，，， ∵， ∴为直角三角形； （3）或 【分析】（1）设抛物线解析式为，将点代入求得函数解析式，再化为顶点式即可； （2）① 利用待定系数法求得直线的函数关系式为．设，则．那么，，结合二次函数得性质即可求得答案；② 根据点的坐标利用两点之间的公式和勾股定理逆定理即可判定； （3）由（2）知是直角三角形，且，，．分两种情况（Ⅰ） ，则；（Ⅱ） ，则，分别求解即可． （1）解：设抛物线解析式为， ∵抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线所对应的函数关系式， 经配方，得，则抛物线的顶点为． （2）解：① 抛物线与x轴交点坐标为． 设直线的函数关系式为， 则，解得， 直线的函数关系式为． 设，则． ∴， ∵，且， ∴ 当时，线段的长最大值为． ② 略 （3）解：存在． 由（2）知是直角三角形，且，，． （Ⅰ） 如图3.2，若，则， 即， 整理，得，解得，（舍去）． ∴． （Ⅱ） 如图3.3，若， 则， 即， 整理，得，解得，（舍去）． ∴ ． 故符合条件的点P的坐标为或． 【点拨】本题主要考查二次函数的性质、勾股定理的逆定理、待定系数法求一次函数、两点之间距离公式和相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和相似三角形的性质． 题型5：双动点与相似、面积综合 考查核心：聚焦中考压轴难点，结合抛物线上、直线上双动点，融合相似判定、三角形面积、参数方程等考点，考查综合解题能力。 【例题5】（25-26九年级下·山东济南·开学考试）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D是抛物线的顶点，连接，点F是上方抛物线上一动点，过点F作于点E，过点F作轴于点H，点N是x轴上一动点．连接，当取得最大值时，求出点F的坐标及的最小值； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新拋物线的顶点，延长线交抛物线于点Q，点K为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标． 【答案】（1）；（2）点F的坐标为；的最小值为；（3）点K的横坐标是或 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）过点作轴分别交x轴、于点、，对称轴交x轴于点，设，易求直线的解析式，从而得的坐标，利用“”得，进而可得，则，根据二次函数的性质值，即可求出点F的坐标；根据题意可知是“胡不归模型”，则构造，，且，当点、、在同一条直线上时，的值最小，利用勾股定理，计算，的值，即可求出最小值； （3）利用待定系数法求新抛物线和直线的解析式，得，根据题意可得，直线与直线的交点在射线上或在射线上两种情况，利用等腰三角形的性质和两点间的距离公式，求出交点、的坐标，从而求出直线的解析式，进而列方程，求解即可． （1）解：抛物线与y轴交于点C， 当时，，则， ， ，， ，， ，， 抛物线与x轴交于A、B两点， ，解得， ； （2）如图，过点作轴分别交x轴、于点、，对称轴交x轴于点， ， 顶点，则，， 在中，， 设，则，，， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 当时，， ，则，， 轴，轴， 轴， ， 又， ， ，轴， ， ， ，即， 则， ， ， 当时，取得最大值， 当时，， 当取得最大值时，点F的坐标为， 如图，作，过点作，使得， 在中，， ， ，即当点、、在同一条直线上时，的值最小， ， ，轴， ，则， 在中，，即， 则，即， 解得， ， ， ，， ， ， 则的最小值为； （3）点K的横坐标是或； 由平移可知，平移后解析式的二次项系数不变， 新抛物线的顶点， 新抛物线的解析式为：，即， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 则，解得，， 当时，， ， ， 由图可得，直线与直线的交点在射线上或在射线上， 情况一：如图，当交点在射线上时，连接， 直线与直线所夹锐角为的两倍， 则， ， ，即是等腰三角形， ， 设， ，， ，， ， ， 左右平方，得， 解得，则， ， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 则，解得，， 点的横坐标是4， 点K的横坐标是； 情况二：如图，当交点在射线上时，连接， 直线与直线所夹锐角为的两倍， 则， ， ，即是等腰三角形， ， 设， ，， ，， ，左右平方，得， 解得（舍去）或， 当，， ， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 则，解得，， 点的横坐标是4， 点K的横坐标是， 综上：点K的横坐标是或． 【点拨】本题是二次函数综合，熟练掌握待定系数法，二次函数的图象与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，两点间的距离公式，解一元二次方程等知识是解题的关键，难点“胡不归模型”和两点间的距离公式． 【变式1】（2026·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且． （1）求该抛物线的表达式； （2）点是直线上方该抛物线上的一动点，连接交于点，点是直线上一动点，连接．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，是的中点，是抛物线对称轴上纵坐标为1的点，是抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）；（2）当取得最大值时，点的坐标为及的最小值为4；（3）符合条件的点N的坐标为或 【分析】（1）根据点A的坐标和，可求得点C的坐标，再根据待定系数法解答即可； （2）过点P作交直线于点F，先求得点B的坐标，从而得到，设，则，表示出，利用，可推出关于m的二次函数关系式，根据二次函数的性质可求得其最大值和此时点P的坐标；然后过点B作，垂足为M，过点E作于点M，过点C作于点N，过点P作于点H，利用得到，结合，即可求解； （3）连接、、，利用等腰三角形三线合一可推出，从而求得，进而可知该抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到，得到的表达式；然后分两种情况讨论：①当在x轴的上方时，设抛物线的对称轴交x轴于点K，交于点F，连接，通过证明和，得到；接着过点M作于点H，则为等腰三角形，设，，利用，求得点F的坐标，进而求得直线的表达式，与的表达式联立，即可求得点N的坐标；②当在x轴的下方时，同①可求． （1）解：∵，， ∴， ∴， 把，代入，得 ， 解得， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：如图，过点P作交直线于点F， 令，则， 解得或4， ∴， ∴， ∴， ∵点P是直线上方该抛物线的一动点， ∴设，直线的表达式为， 代入，得， 解得， ∴直线的表达式为， ∵， ∴点F的纵坐标为， 则，此时， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴此时； 如图，过点B作，垂足为M，过点E作于点M，过点C作于点N，过点P作于点H， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴当点P、E、M在同一直线上时，取得最小值，最小值为， ∵，，轴，， ∴， ∴的最小值为4； （3）解：符合条件的点N的坐标为或； 如图，连接、、， ∵，， ∴，， ∴， 又∵点G是的中点，即， ∴， ∴，， ∴， ∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， ∴该抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到， ∵， ∴，对称轴为直线； ①如图，当在x轴的上方时，设抛物线的对称轴交x轴于点K，交于点F，连接， ∵是抛物线对称轴上纵坐标为1的点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点M作于点H，则为等腰三角形， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴ ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴； ②如图，当在x轴的下方时， 同①可求得，直线的表达式为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴； 综上，符合条件的点N的坐标为或； 【变式2】（2026·宁夏银川·一模）如图，抛物线与轴交于原点和点，抛物线的顶点为点． （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）是等边三角形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由； （3）若动点从点出发，以每秒2个长度单位的速度沿折线的路径运动．动点从点出发，以每秒1个长度单位的速度，沿线段运动，当、其中一个点停止运动时另一个点也停止运动，设它们运动的时间为，连接，分割，若分割出的三角形与相似，求的所有取值． 【答案】（1），；（2）是等边三角形，见解析；（3）的值为或 【分析】（1）将点，代入，即可求解； （2）由两点间距离公式分别求出，，的长即可； （3）分两种情况：当时，点在上，由，可得，即可求出；当时，点在上，由，得，即可求出． （1）解：将点，代入， ， ， ， ， ； （2）解：是等边三角形，理由如下： ，， ，，， ， 是等边三角形； （3）解：①当时，点在上运动， ， 分割得到的与相似， 又是等边三角形， 也是等边三角形， ， ， ， 解得， ②当时，点在上运动， 运动的总路程为，其中长为4， ， ， 分割得到的与相似， 又是等边三角形， 也是等边三角形， ， ， ， 解得， 综上所述，满足条件的的值为或． 【点拨】本题考查了二次函数的解析式求法、等边三角形的判定、两点间距离公式的应用、动点问题的分类讨论以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确判断在折线上的运动位置，分类讨论在上和在上两种情况，利用相似三角形和等边三角形的性质建立方程求解． 【变式3】（2026·广东佛山·三模）综合应用 如图1，顶点为P的抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点B，连接、． （1）求b、c的值及的度数； （2）如图2，动点M从点O出发，沿着方向以1个单位/秒的速度向A匀速运动，同时动点N从点A出发，沿着方向以个单位/秒的速度向B匀速运动，设运动时间为t秒，轴交于E，轴交抛物线于F，连接、． ①当时，求点F的坐标； ②直接写出在运动过程中，使得与相似的t的值． 【答案】（1），，；（2）①；② 【分析】（1）利用待定系数法求解b、c值即可；先求得点P、B的坐标，利用两点坐标距离公式和勾股定理的逆定理判断出即可； （2）①如图2，延长交x轴于G，先根据等腰直角三角形的判定与性质推导出，，进而得到，再证明四边形是平行四边形得到，然后解方程求解即可； ②如图3，连接，，过N作轴于G，根据题意分两种情况：和，利用相似三角形的判定与性质分别求解即可． （1）解：∵抛物线与x轴交于点和点， ∴，解得； 则，∴， 当时，，则， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：①如图2，延长交x轴于G， 由题意，，，， ∴是等腰直角三角形，则， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ∴， ∵当时，， ∴，则， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，则，即， 解得，， 当时，，此时M与A重合，不合题意，舍去， ∴； ②如图3，连接，，过N作轴于G， 由①知，，则， ∵,， ∴要使与相似，分两种情况： 当时， ∵， ∴，又， ∴， ∴，即， ∴（不合题意，舍去）； 当时，则，又， ∴是等腰直角三角形，∴，, ∴，则， 此时， ∵，， ∴， ∴，又， ∴， 综上，当时，与相似． 【点拨】本题考查二次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 【解题归纳】 1. 分步拆解题型：先求解定点坐标、函数解析式、线段长度、三角形面积等基础量，再开展几何存在性探究，循序渐进解题； 2. 严格完成分类讨论，无固定顶点顺序的相似问题，需穷尽所有对应情况，做到不重不漏； 3. 方程求解后必须结合图像范围、题干限制条件筛选结果，舍去不符合题意的增根，规范答题步骤。 【四】中考链接 1．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为． （1）求点的坐标及的值． （2）直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值． （3）二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 【答案】（1）点的坐标为，的值分别为；（2）①证明：如图， 设直线的解析式为，将，分别代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 设点E的坐标为 ∵， ∴， 将代入得， 将代入，得， ∴， ， ∴ ②或 （3） 【分析】本题考查二次函数的图像综合问题，二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数，平行线的性质，相似三角形，正确作出辅助线是解题的关键． （1）先求出，，再分别代入，列出二元一次方程组，即可解答． （2）①设直线的解析式为，将，分别代入，得直线的解析式为，设点E的坐标为，求出，设，，则，，即可解答． ②当时，，当时，，再分类讨论，即可解答． （3）易得，当时，取得最小值为，解出；当时，函数的最大值为，解得；当时，，解得，或（舍去），，即可解答． （1）解：当时，， 解得， ∴， 将代入，得， ∴， 将，分别代入，得 ， 解得． 答：点的坐标为，的值分别为． （2）①略 ②如图 当时，， ∴， ∴， 即，解得． 当时，， ∴， ∴， 即，解得， ∴或． （3）∵次函数与二次函数组成新函数， ∴， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大．且当时，取得最小值． ∵当时，函数的最小值为，最大值为， ∴当时，取得最小值为，即， 解得． ∵时，函数的最大值为， ∴当时，函数的最大值为，即， 解得； 当时，， 解得，或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 解得，． 2．（2026·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方． （1）求抛物线的表达式． （2）如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标． （3）如图2，连接，与交于点，过点作交于点．记、、的面积分别为．当取得最大值时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）令时，，求出，进一步求出直线的解析式为，设，则，表示出，，利用，可得，可得； （3）由得到，进而得到，作交y轴于N，作轴交于Q，求出直线的解析式为，进而得到，求出，再证明，设，则，得到，得到，即可得到此时，点P的坐标为，点Q的坐标为，求出，，证明，得到，由即可求出答案． （1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为．； （2）解：∵当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵轴于点D， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，（此时，重合，不合题意舍去）， ∴， ∴； （3）解：∵， ， ∴， ， 作交y轴于N，作轴交于Q， 直线的解析式为，， 直线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ∴,， ，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ， 设，则， ∴， ， ∴当时，有最大值， 此时，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点拨】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、相似三角形的判定和性质、二次函数的图象和性质、解直角三角形等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.13 二次函数复习（七）二次函数与图形的相似 【基础・综合・探究】 目录 一.复习目标 1 二.知识储备 2 【知识点1】相似三角形核心知识回顾 2 【知识点2】平行与垂直的坐标判定（位置关系核心） 2 三.题型精析 3 【一】基础夯实 3 题型1：坐标系下简单相似计算 3 【二】综合提升 5 题型2：抛物线上构造相似求线段长度 5 题型3：坐标轴上动点相似三角形存在性 6 【三】探究拓展 7 题型4：抛物线上动点相似三角形存在性（中考高频压轴） 8 题型5：双动点与相似、面积综合 9 【四】中考链接 12 一.复习目标 1. 巩固相似三角形三大判定定理及核心性质，熟练掌握坐标系中相似三角形的识别与基础运算。 2. 掌握平面直角坐标系中线段长度求解、直线平行与垂直的坐标判定方法，能够借助位置关系推导等角、直角，为二次函数背景下的相似证明提供依据。 3. 熟练解决二次函数静态、动态背景下的三角形相似问题，掌握相似存在性题型的完整分类讨论思路，做到不重不漏。 4. 强化数形结合思想，能够将几何相似条件转化为代数方程求解，并结合图像范围筛选有效解、舍去增根，规范压轴题答题步骤。 二.知识储备 【知识点1】相似三角形核心知识回顾 1. 核心判定定理（坐标系解题优先级） ① AA（两角分别相等）：坐标系最常用判定方法，依托公共角、对顶角、平行线同位角/内错角快速证相似，运算量最小； ② SAS（两边对应成比例且夹角相等）：适用于可快速求出线段比例、夹角固定的题型； ③ SSS（三边对应成比例）：多用于规则图形，坐标系中运算繁琐，极少优先使用。 2. 核心性质 ① 对应角相等，对应边成比例，比值为相似比； ② 对应高、中线、角平分线的比值等于相似比； ③ 周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方（高频考点）。 3. 二次函数背景通用解题思路 第一步：分析定三角形形状（直角、等腰等），求解定点坐标、三边长度； 第二步：设动点坐标，抛物线上动点统一设为； 第三步：根据题干是否标注相似符号，确定是否需要全顶点分类讨论； 第四步：利用等角、边成比例列方程，求解动点参数； 第五步：结合图像范围、题干限制条件筛选有效解，舍去增根。 【知识点2】平行与垂直的坐标判定（位置关系核心） 核心作用：通过坐标法判断直线位置关系，快速推导等角、直角，构造相似条件，规避复杂几何辅助线。 设平面内两点 ，直线斜率 ；设两直线解析式 、。 1. 直线平行判定 ① 斜率存在： 且截距不等，两直线平行； ② 特殊情况：两直线均为竖直直线（常数，斜率不存在），两直线平行； ③ 核心结论：两直线平行 → 同位角、内错角相等，可直接构造相似所需等角。 2. 直线垂直判定 ① 斜率存在：，两直线互相垂直； ② 特殊情况：一条水平直线（）、一条竖直直线（斜率不存在），两直线垂直； ③ 核心结论：两直线垂直 → 构造直角三角形，优先使用直角对应关系分类讨论相似。 【要点提示】 1. 斜率仅作为解题分析工具，中考答题需用几何语言（平行性质、垂直定义）规范书写，不可直接使用斜率公式作答； 2. 相似题型高频易错点：无固定顶点顺序的相似未分类、求解出的动点超出图像取值范围未检验。 三.题型精析 【一】基础夯实 题型1：坐标系下简单相似计算 考查核心：结合抛物线与坐标轴交点，依托静态三角形，利用相似判定与性质求解线段长度、点坐标，夯实坐标系相似基础。 【例题1】（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，已知，． （1）求该二次函数的表达式； （2）连接，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴，垂足为，连接，若与相似，请求出满足条件的点坐标；若没有满足条件的点，说明理由． 【变式1】（25-26九年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于两点，已知点横坐标为，，当时，的取值范围是（    ）    A． B．或 C．或 D． 【变式2】（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）已知二次函数的图象的顶点为C，与y轴交于点A，过点A作轴，与该二次函数图象的另一个交点为B，连接，则a的值为______． 【变式3】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，二次函数，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线与x轴交于点D，与拋物线交于点E （1）若，求二次函数的表达式； （2）设点P为抛物线上位于x轴下方的动点，直线，分别与直线交于点M，N，求证：． 【解题归纳】基础题型优先寻找直角、公共角等天然等角；严格区分有序相似（标注，顶点固定）和无序相似（文字描述，需全面分类），避免漏解、错解。 【二】综合提升 题型2：抛物线上构造相似求线段长度 【例题2】（2026·江苏扬州·一模）我们把一次函数（为常数，）与二次函数（为常数，）称为一对“相伴函数”，比如：函数与就是一对“相伴函数”．如图，一次函数的图像与二次函数的图像相交于A，两点． （1）随着a的变化，他们的图像各自是一组直线与一组抛物线，一次函数的图像总过点 （写坐标）；不等式的解集为 ； （2）若△OAB是直角三角形，求a的值． 【变式1】（2026·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，顶点为点C，对称轴为直线，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．当时，y随x的增大而增大 D．若，则 【变式2】（25-26九年级下·江苏连云港·阶段检测）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，，若平分，则的值是___________． 【变式3】（24-25九年级下·湖南岳阳·期中）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C． （1）求二次函数的解析式； （2）如图2，过点C作轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上第三象限内的一个动点，连结、，若，求点P的坐标； （3）如图3，若点P是二次函数图象上位于下方的一个动点，连接交于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值． 题型3：坐标轴上动点相似三角形存在性 【例题3】（2026·陕西西安·二模）二次函数的图象与轴交于，两点，点为y轴负半轴上一点，且． （1）求二次函数表达式： （2）点是线段（包含，）上的动点，过点作轴的垂线，交二次函数图象于点，交直线于点，若以点，，为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为、，抛物线与抛物线关于x轴对称． （1）求抛物线的函数表达式； （2）抛物线与y轴交于点M，其对称轴与x轴交于点N，点P为对称轴上一动点，点Q为抛物线对称轴右侧一点，且在x轴上方，轴，当与相似时，求点Q的横坐标 【变式2】（2025·陕西·模拟预测）已知在平面直角坐标系中二次函数与轴交于点，，与轴交于点，且． （1）试求抛物线解析式及点，的坐标； （2）连接，若在轴上有一动点，在轴右侧，轴上方的抛物线上有一动点，连接，，试问是否存在符合题意的点，，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合题意的点坐标，以及对应的点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】（24-25九年级上·广西崇左·阶段检测）如图， 已知抛物线 与轴交于、两点，与轴交于点，是坐标原点，已知点 的坐标是， （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点的坐标． 【三】探究拓展 题型4：抛物线上动点相似三角形存在性（中考高频压轴） 【例题4】（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，在轴上取一点，使得，求的最大值及此时点坐标； （3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，过点作直线垂直于交轴于点，交新抛物线于点，请直接写出点的横坐标． 【变式1】（24-25九年级下·江苏南通·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方． （1）求抛物线的表达式． （2）如图，过点作轴，交直线于点，连接、，当面积最大时，求点的坐标． （3）如图，连接、、，与交于点，过点作交于点．记、、的面积分别为，，．设，求在（）的条件下的值． 【变式2】（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交点，连接．若点是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接交于点，当时，求点的坐标； （3）设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，设． ①直接写出关于的函数解析式； ②当时，直接写出的取值范围． 【变式3】（25-26九年级下·海南海口·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，D为顶点，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点M，与交于点E． （1）求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标； （2）设点P的横坐标为t（）， ① 当t为何值时，线段的长最大； ② 连接，证明：为直角三角形； （3）是否存在点P，使得以点P、M、B为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型5：双动点与相似、面积综合 考查核心：聚焦中考压轴难点，结合抛物线上、直线上双动点，融合相似判定、三角形面积、参数方程等考点，考查综合解题能力。 【例题5】（25-26九年级下·山东济南·开学考试）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D是抛物线的顶点，连接，点F是上方抛物线上一动点，过点F作于点E，过点F作轴于点H，点N是x轴上一动点．连接，当取得最大值时，求出点F的坐标及的最小值； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新拋物线的顶点，延长线交抛物线于点Q，点K为抛物线上一动点，当直线与直线所夹锐角为的两倍时，请直接写出所有符合条件的点K的横坐标． 【变式1】（2026·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且． （1）求该抛物线的表达式； （2）点是直线上方该抛物线上的一动点，连接交于点，点是直线上一动点，连接．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，是的中点，是抛物线对称轴上纵坐标为1的点，是抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【变式2】（2026·宁夏银川·一模）如图，抛物线与轴交于原点和点，抛物线的顶点为点． （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）是等边三角形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由； （3）若动点从点出发，以每秒2个长度单位的速度沿折线的路径运动．动点从点出发，以每秒1个长度单位的速度，沿线段运动，当、其中一个点停止运动时另一个点也停止运动，设它们运动的时间为，连接，分割，若分割出的三角形与相似，求的所有取值． 【变式3】（2026·广东佛山·三模）综合应用 如图1，顶点为P的抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点B，连接、． （1）求b、c的值及的度数； （2）如图2，动点M从点O出发，沿着方向以1个单位/秒的速度向A匀速运动，同时动点N从点A出发，沿着方向以个单位/秒的速度向B匀速运动，设运动时间为t秒，轴交于E，轴交抛物线于F，连接、． ①当时，求点F的坐标； ②直接写出在运动过程中，使得与相似的t的值． 【解题归纳】 1. 分步拆解题型：先求解定点坐标、函数解析式、线段长度、三角形面积等基础量，再开展几何存在性探究，循序渐进解题； 2. 严格完成分类讨论，无固定顶点顺序的相似问题，需穷尽所有对应情况，做到不重不漏； 3. 方程求解后必须结合图像范围、题干限制条件筛选结果，舍去不符合题意的增根，规范答题步骤。 【四】中考链接 1．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为． （1）求点的坐标及的值． （2）直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值． （3）二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 2．（2026·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方． （1）求抛物线的表达式． （2）如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标． （3）如图2，连接，与交于点，过点作交于点．记、、的面积分别为．当取得最大值时，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $