专题 3.16 图形的相似：A字模型与8字模型【基础・综合・探究】- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦初中数学图形相似的核心知识点，系统梳理A字模型（含正A字型、斜A字型）与8字模型（含正8字型、斜8字型）的特征、条件及结论，构建从基础模型识别到综合图形拆解再到拓展探究的学习支架，帮助学生逐步掌握相似三角形应用。 该资料以分层设计为特色，基础题型强化模型直接识别与计算，综合题型结合折叠、平行四边形等多考点培养图形拆解能力，探究题型融入小孔成像、物理电阻等跨学科情境，通过实例推导规律，发展学生数学眼光（抽象模型）、数学思维（逻辑推理）与数学语言（模型表达）。课中辅助教师实施分层教学，课后助力学生通过例题变式练习查漏补缺。

专题 3.16 图形的相似：A字模型与8字模型【基础・综合・探究】 目录 一.知识储备与解读 1 【知识点一】A字模型（A型相似） 1 【知识点二】8字模型（X型相似） 1 二.题型精析【基础】 2 【题型1】A字、8字模型直接识别与基础计算 2 三.题型精析【综合】 3 【题型2】复杂图形拆解模型，多考点综合应用 3 四.题型精析【探究】 4 【题型3】模型拓展探究、新情境与规律推导 4 一.知识储备与解读 【知识点一】A字模型（A型相似） （1）正A字型（平行型） 特征：三角形内线段平行于底边，拥有公共顶角，图形规整无交叉。 条件：在△ABC中，DE∥BC，D、E分别在AB、AC边上。 结论：△ADE∽△ABC，比例关系：。 （2）斜A字型（无平行、反A型） 特征：存在公共顶角，线段不平行，依靠等角证相似，属于高频易错模型。 条件：△ABC中，∠A为公共角，∠AED=∠B。 结论：△ADE∽△ACB，对应边交叉对应，不可套用正A字型比例。 【知识点二】8字模型（X型相似） （1）正8字型（平行型） 特征：两线段交叉形成对顶角，两组对边互相平行，呈8字交叉形态。 条件：AB∥CD，线段AC、BD相交于点E。 结论：△AEB∽△CED，比例关系：。 （2）斜8字型（无平行、反8型） 特征：线段交叉产生对顶角，无平行条件，依靠两组等角证相似。 条件：AC、BD交于点E，∠AEB=∠CED（对顶角相等），且∠A=∠C或∠B=∠D。 结论：△AEB∽△CED，可用于比例代换、推导线段乘积等式。 二.题型精析【基础】 【题型1】A字、8字模型直接识别与基础计算 解题总思路：题目直接给出平行或等角条件，图形为完整标准A字、8字模型。解题时先快速判定模型类型，利用AA定理证明三角形相似，严格按照顶点对应关系列出比例式，代入已知线段长度，通过列方程求解未知线段。 【例题1】（2025·天津红桥·一模）如图，线段，相交于点E，若，，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【变式1】（上册第四章追梦综合演练卷）如图是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为，桌面距离地面．若灯泡距离地面，则地面上阴影部分的面积为多少？ 【变式2】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在中，是上一点，是上一点，且． （1）求证：∽；（2）若求的长． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接DE．有以下四个条件： ；；； （1）请你从中任选一个条件，使得，并说明理由． （2）在（）的前提下，若点为中点，，求线段的长． 三.题型精析【综合】 【题型2】复杂图形拆解模型，多考点综合应用 解题思路：题目结合折叠、平行四边形、三角形重心、中点等考点，图形复杂无标准基础模型。解题核心为剥离多余线条，拆解出A字、8字基础相似模型；题目多含两组及以上相似三角形，利用中间比完成比例代换；结合折叠、平行四边形、重心分中线2:1等几何性质解题；无现成模型时，作辅助平行线构造A、8模型，常设未知数建立比例方程，求解线段长度与比值。 【例题2】（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图，经过的顶点A，，，交于D，交于E，连结． （1）求证：； （2）如果 ，求的长． 【变式1】（25-26九年级上·江苏扬州·开学考试）完成以下问题 （1）如图①，中，，，点D、E分别在、上，且，则与的关系为 ； （2）如图②，在平行四边形中，对角线、交于点O，M为中点，连接交于点N，且，求的长． 【变式2】（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，将等边三角形折叠，使点落在边上的点处，（不与、重合）折痕为． （1）求证：； （2）若，，求与的相似比． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点是上一点，作交于点，点是上的一点，连接，交于点． （1）求证：； （2）若点为的重心，求与的比． 四.题型精析【探究】 【题型3】模型拓展探究、新情境与规律推导 解题思路：该题型以材料阅读、新情境应用、变式拓展、规律探究为主，遵循“特殊情形推导一般规律”的核心逻辑，常结合小孔成像、物理电阻、几何动态变化等跨学科、新背景情境。解题时先精读题干材料，理解A、8模型的拓展变式结论，将陌生新情境转化为熟悉的基础A字、8字（斜A、斜8）相似模型；通过多组相似三角形推导比例式，进行等量代换、公式变形、加减运算，推导通用几何恒等规律；部分题型无现成模型，需自主添加辅助线构造相似模型，最终完成结论猜想、几何证明、角度与线段计算，重点注意变式模型的顶点对应关系，避免比例列式错误。 【例题3】（25-26九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是小智同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应任务． “A”字相似模型的拓展探究与应用相似三角形是几何学习的核心内容之一，在学习过程中，通过对各类经典模型进行系统归纳、能够帮助我们快速识别图形特征，灵活应用相似三角形的相关知识解决问题．“A”字形是其中最基本的模型． 【基本模型积累】 如图1，在中，， ．（依据1） ．（依据2） 【基本模型拓展】 在图1的基础上，连接，过点A作的平行线，交的延长线于点F，如图2，通过探究发现，线段之间的关系满足 证明：， ∴… … ． 将式子两边同时除以，得．即． 【拓展模型应用】 据《墨经》记载，在两千多年前，墨子及其学生进行了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理、如图3是小孔成像原理示意图，物体，光屏竖直放置在桌面上，物体经小孔O在光屏上形成倒立的实像（点与点Q重合）．若已知物体的高度和小孔O到桌面的距离，可求出实像的高度． 任务： （1）材料中的“依据1”是指________，“依据2”是指________． （2）补全【基本模型拓展】的证明过程． （3）在图3中，若已知物体的高度为，小孔O到桌面的距离为，则实像的高度为________． 【变式1】（21-22九年级·上海黄浦·自主招生）如图所示，在中，边上依次有B、D、E、C，边上依次有A、G、F、C，满足，，交于点J，交于点I，交于点K，交于点H，且，求． 【变式2】（24-25九年级上·福建漳州·期中）请阅读下列材料，完成相应的任务： 有这样一个题目：设有两只电阻，分别为和，问并联后的电阻值是多少？ 我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下：如图①，在直线上任取两点，分别过点作直线的垂线，并在这两条垂线上分别截取，且点位于直线的同侧，连接，交于点，过点作直线，则线段的长度就是并联后的电阻值． 证明：，， 又，①，（依据 ② ）． 同理可得：，， ，即． 任务： （1）依据上述证明过程，补全①②的内容： ①：______；②：______； （2）如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知千欧，千欧，请在图③中（1个单位长度代表1千欧）画出表示该电路图中总阻值的线段长； （3）受以上作图法的启发，小明提出了已知和，求的一种作图方法，如图④，作，使，过点作的垂线，并在垂线上截取，使点与点在直线的同一侧，作射线，交的延长线于点，则即为．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． 【变式3】（25-26八年级下·吉林长春·期末）【知识背景】华师版（2013版）九上第23章《图形的相似》习题23.3第1（2）题： 如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ （1）请解答上述习题． 【问题探究】 （2）同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． （3）【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.16 图形的相似：A字模型与8字模型【基础・综合・探究】 目录 一.知识储备与解读 1 【知识点一】A字模型（A型相似） 1 【知识点二】8字模型（X型相似） 1 二.题型精析【基础】 2 【题型1】A字、8字模型直接识别与基础计算 2 三.题型精析【综合】 6 【题型2】复杂图形拆解模型，多考点综合应用 6 四.题型精析【探究】 10 【题型3】模型拓展探究、新情境与规律推导 10 一.知识储备与解读 【知识点一】A字模型（A型相似） （1）正A字型（平行型） 特征：三角形内线段平行于底边，拥有公共顶角，图形规整无交叉。 条件：在△ABC中，DE∥BC，D、E分别在AB、AC边上。 结论：△ADE∽△ABC，比例关系：。 （2）斜A字型（无平行、反A型） 特征：存在公共顶角，线段不平行，依靠等角证相似，属于高频易错模型。 条件：△ABC中，∠A为公共角，∠AED=∠B。 结论：△ADE∽△ACB，对应边交叉对应，不可套用正A字型比例。 【知识点二】8字模型（X型相似） （1）正8字型（平行型） 特征：两线段交叉形成对顶角，两组对边互相平行，呈8字交叉形态。 条件：AB∥CD，线段AC、BD相交于点E。 结论：△AEB∽△CED，比例关系：。 （2）斜8字型（无平行、反8型） 特征：线段交叉产生对顶角，无平行条件，依靠两组等角证相似。 条件：AC、BD交于点E，∠AEB=∠CED（对顶角相等），且∠A=∠C或∠B=∠D。 结论：△AEB∽△CED，可用于比例代换、推导线段乘积等式。 二.题型精析【基础】 【题型1】A字、8字模型直接识别与基础计算 解题总思路：题目直接给出平行或等角条件，图形为完整标准A字、8字模型。解题时先快速判定模型类型，利用AA定理证明三角形相似，严格按照顶点对应关系列出比例式，代入已知线段长度，通过列方程求解未知线段。 【例题1】（2025·天津红桥·一模）如图，线段，相交于点E，若，，，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：，， ， ， ； （2） 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练利用相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）判断，即可解答； （2）利用相似三角形的性质，即可解答． 解：（1）略 （2）解：根据（1）中， 可得， ， ， 可得． 【变式1】（上册第四章追梦综合演练卷）如图是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为，桌面距离地面．若灯泡距离地面，则地面上阴影部分的面积为多少？ 【答案】 【分析】要想求出地上阴影部分的面积，只需求出底面圆的直径，首先画出该立体图形主视图，不难发现线段即为底面圆的直径，根据题目已知数据可以得到，，．由“”字型相似容易得到，通过相似三角形对应线段成比例可以求出，最后代入圆的面积公式即可求出阴影部分面积． 解：如图，依题意知，，，， 由得，即， 故． 【变式2】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，在中，是上一点，是上一点，且． （1）求证：∽； （2）若求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴； （2） 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）利用相似三角形的对应边成比例列式求解即可． 解：（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接DE．有以下四个条件： ；；； （1）请你从中任选一个条件，使得，并说明理由． （2）在（）的前提下，若点为中点，，求线段的长． 【答案】（1）选：， 理由：∵，， ∴； 选：， 理由：∵，， ∴， ∵， ∴； 选： 理由：∵， ∴， ∵， ∴； 选：：， 因为夹角不一定相等， 所以与不一定相似； （2）的长为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． （）根据相似三角形的判定定理逐项分析即可得证； （）由题意可得，由相似三角形的性质可得，再代入计算即可得解． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长为． 三.题型精析【综合】 【题型2】复杂图形拆解模型，多考点综合应用 解题思路：题目结合折叠、平行四边形、三角形重心、中点等考点，图形复杂无标准基础模型。解题核心为剥离多余线条，拆解出A字、8字基础相似模型；题目多含两组及以上相似三角形，利用中间比完成比例代换；结合折叠、平行四边形、重心分中线2:1等几何性质解题；无现成模型时，作辅助平行线构造A、8模型，常设未知数建立比例方程，求解线段长度与比值。 【例题2】（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图，经过的顶点A，，，交于D，交于E，连结． （1）求证：； （2）如果 ，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∴， 同理：． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， （2） 【分析】（1）先利用平行线的性质以及相似三角形的判定及性质证明，从而有，进而利用相似三角形的判定即可得证； （2）由（1）的结论，结合相似三角形的性质得到，可求得及，即可得解． 本题主要考查平行线的性质、相似三角形的性质和判定以及比例线段的性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 解：（1）略 （2）解：∵，，． ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·江苏扬州·开学考试）完成以下问题 （1）如图①，中，，，点D、E分别在、上，且，则与的关系为 ； （2）如图②，在平行四边形中，对角线、交于点O，M为中点，连接交于点N，且，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用三角形相似的判断推导即可； （2）证明，设，则，列出比例式进行求解即可． （1）解：， ， ， ； （2）解：M为中点， ， 四边形是平行四边形， ，，，， ， ， ， ， 设，则， ， ，， ，解得， ． 【变式2】（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，将等边三角形折叠，使点落在边上的点处，（不与、重合）折痕为． （1）求证：； （2）若，，求与的相似比． 【答案】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 由折叠得， ∴， ， ∴， ∴． （2） 【分析】（1）因为是等边三角形，所以三个内角均为；又因为折叠前后对应角相等，所以，利用平角定义和三角形内角和定理，推导，结合，用两角分别相等的两个三角形相似的判定定理证明相似． （2）首先由和的长度计算出的长度，即等边三角形的边长；根据折叠的性质得到，由，，得，得的周长为16，的周长11．进而得出相似比． 解：（1）略 （2）解：∵，， ∴， 由折叠得，， ∴，， ∴， ， ∴的周长为16，的周长为11． ∵， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点是上一点，作交于点，点是上的一点，连接，交于点． （1）求证：； （2）若点为的重心，求与的比． 【答案】（1）证明：， ，， ，， ，， ，， ． （2） 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形重心的性质，平行线的性质，掌握重心的性质是解题关键． （1）利用平行线得到两组相似三角形，通过中间比建立比例关系，从而证明； （2）由重心性质得到线段比，再结合平行线得到的相似三角形，推出． 解：（1）略 （2）解：点为的重心， ， ， ， ， ， ， ． 答：． 四.题型精析【探究】 【题型3】模型拓展探究、新情境与规律推导 解题思路：该题型以材料阅读、新情境应用、变式拓展、规律探究为主，遵循“特殊情形推导一般规律”的核心逻辑，常结合小孔成像、物理电阻、几何动态变化等跨学科、新背景情境。解题时先精读题干材料，理解A、8模型的拓展变式结论，将陌生新情境转化为熟悉的基础A字、8字（斜A、斜8）相似模型；通过多组相似三角形推导比例式，进行等量代换、公式变形、加减运算，推导通用几何恒等规律；部分题型无现成模型，需自主添加辅助线构造相似模型，最终完成结论猜想、几何证明、角度与线段计算，重点注意变式模型的顶点对应关系，避免比例列式错误。 【例题3】（25-26九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是小智同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应任务． “A”字相似模型的拓展探究与应用相似三角形是几何学习的核心内容之一，在学习过程中，通过对各类经典模型进行系统归纳、能够帮助我们快速识别图形特征，灵活应用相似三角形的相关知识解决问题．“A”字形是其中最基本的模型． 【基本模型积累】 如图1，在中，， ．（依据1） ．（依据2） 【基本模型拓展】 在图1的基础上，连接，过点A作的平行线，交的延长线于点F，如图2，通过探究发现，线段之间的关系满足 证明：， ∴… … ． 将式子两边同时除以，得．即． 【拓展模型应用】 据《墨经》记载，在两千多年前，墨子及其学生进行了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理、如图3是小孔成像原理示意图，物体，光屏竖直放置在桌面上，物体经小孔O在光屏上形成倒立的实像（点与点Q重合）．若已知物体的高度和小孔O到桌面的距离，可求出实像的高度． 任务： （1）材料中的“依据1”是指________，“依据2”是指________． （2）补全【基本模型拓展】的证明过程． （3）在图3中，若已知物体的高度为，小孔O到桌面的距离为，则实像的高度为________． 【答案】（1）依据1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 依据2：相似三角形的对应边成比例；（2）解： ①， ， ②， ∴， （3）10 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质回答； （2）可得，得，可得，得，得，即得； （3）先证明，得；再证明，得．得，得，将代入解得． （1）解：材料中的“依据1”是指平行于三角形一边的直线与三角形的其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； “依据2”是相似三角形的对应边成比例． 故答案为：平行于三角形一边的直线与三角形的其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．相似三角形的对应边成比例． （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴①； ∵， ∴， ∴②． ①+②，得， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：10． 【点拨】本题考查了相似三角形的应用．利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系． 【变式1】（21-22九年级·上海黄浦·自主招生）如图所示，在中，边上依次有B、D、E、C，边上依次有A、G、F、C，满足，，交于点J，交于点I，交于点K，交于点H，且，求． 【答案】 【分析】作平行线和，根据平行线分线段成比例定理列比例式得：，，从而得：，，由同高三角形面积的比等于对应底边的比，可以得出，，作差可得． 解：过G作，交于P，于Q，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：，即， ∴， 同理可得：， ∴， 过F作，交于M，于N， 同理得：， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【变式2】（24-25九年级上·福建漳州·期中）请阅读下列材料，完成相应的任务： 有这样一个题目：设有两只电阻，分别为和，问并联后的电阻值是多少？ 我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下：如图①，在直线上任取两点，分别过点作直线的垂线，并在这两条垂线上分别截取，且点位于直线的同侧，连接，交于点，过点作直线，则线段的长度就是并联后的电阻值． 证明：，， 又，①，（依据 ② ）． 同理可得：，， ，即． 任务： （1）依据上述证明过程，补全①②的内容： ①：______；②：______； （2）如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知千欧，千欧，请在图③中（1个单位长度代表1千欧）画出表示该电路图中总阻值的线段长； （3）受以上作图法的启发，小明提出了已知和，求的一种作图方法，如图④，作，使，过点作的垂线，并在垂线上截取，使点与点在直线的同一侧，作射线，交的延长线于点，则即为．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． 【答案】（1），相似三角形的对应边成比例；（2）如图，线段表示R的长． （3）小明的方法正确． 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知， ∴， ∴， ∵． ∴， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正确理解已知证明过程是解题关键． （1）根据相似三角形的判定和性质分析即可； （2）根据已知证明过程和图形作图即可； （3）证明，得到，再结合，得出，即可证明． （1）解：证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴（相似三角形的对应边成比例）． 同理可得：， ∴， ∴， ∴， 即：． 故答案为：，相似三角形的对应边成比例； （2）解：在上取点M，使，在上取点N，使，连接，交于点E，过点E作于点F，则线段为所求线段． （3）略 【变式3】（25-26八年级下·吉林长春·期末）【知识背景】华师版（2013版）九上第23章《图形的相似》习题23.3第1（2）题： 如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ （1）请解答上述习题． 【问题探究】 （2）同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． （3）【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 【答案】（1）与相似，理由如下： ∵，， ∴； （2）①∵， ∴，，即， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴； （3）90； 【分析】（1）利用两角对应相等即可证明； （2）①利用两边对应成比例且夹角相等证明，推出； ②利用三角形内角和定理即可得到； （3）证明，推出，，利用（2）的结论即可得到；再利用等腰三角形的性质求解即可． 解：（1）证明：略 （2）证明：略 （3）解：∵在和中，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在四边形中，， 由（2）得， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $