第12讲 二次函数与方程、不等式综合 讲义 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第12讲 二次函数与方程、不等式综合 知识点1二次函数与x轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系） 抛物线与x轴交点的个数是由一元二次方程中的决定。 若，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不等的实根，这两个与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个实根。 若，抛物线与x轴有一个交点，方程有两个相等的实根，此时一元二次方程的根就是抛物线顶点的横坐标。 若，抛物线图象与x轴没有交点，方程无实根，抛物线在x轴上方，，抛物线在x轴下方。 【典例】 1.下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（　　） A. 没有交点 B. 只有一个交点，且它位于y轴右侧 C. 有两个交点，且它们均位于y轴左侧 D. 有两个交点，且它们均位于y轴右侧 2.二次函数y=﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是______ 3.已知二次函数y=ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下： 则一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解x满足条件（　　） A. 1.2＜x＜1.3 B. 1.3＜x＜1.4 C. 1.4＜x＜1.5 D. 1.5＜x＜1.6 4.若方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣3和1，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（　　） A. x=﹣3 B. x=﹣2 C. x=﹣1 D. x=1 【方法总结】 解这类题的方法是：求二次函数与x轴交点问题，可以转化成对应的一元二次方程根的问题。当一元二次程的，二次函数与x轴有两个交点，时，二次函数与x轴有一个交点，时，二次函数与x轴没有交点。 【随堂练习】 1．（荆门）抛物线与坐标轴的交点个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（邵阳三模）已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为　　 A． B． C．2020 D．2021 3．（温州三模）抛物线与坐标轴交点的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 4．（重庆模拟）对于二次函数，下列说法不正确的是　　 A．开口向下 B．当时，随的增大而减小 C．当时，有最大值2 D．当时， 5．（江都区二模）已知二次函数为常数）的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是　　 A．， B．， C．， D．， 6．（卧龙区一模）关于二次函数的图象与性质，下列结论错误的是　　 A．当时，函数有最大值 B．当时，随的增大而增大 C．抛物线可由经过平移得到 D．该函数的图象与轴有两个交点 7．（增城区一模）关于抛物线，下列说法错误的是　　 A．开口向上 B．与轴只有一个交点 C．对称轴是直线 D．当时，随的增大而增大 8．（镇海区一模）若二次函数的图象经过点，则方程的解为　　 A．， B．， C．， D．， 9．（上城区一模）已知二次函数的图象过点，，，与轴的一个交点为，，且．则下列结论： ①若点是函数图象上一点，则； ②若点，是函数图象上一点，则； ③．其中正确的是　　 A．① B．①② C．①③ D．②③ 10．（江岸区校级模拟）二次函数的图象如图，对称轴为．若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有解，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 11．（赤峰一模）若二次函数与轴无交点，则一次函数的图象不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．（禹州市一模）对于二次函数，下列结果中正确的是　　 A．抛物线有最小值是 B．时随的增大而减小 C．抛物线的对称轴是直线 D．图象与轴没有交点 13．（坪山区期末）对于抛物线，下列说法中错误的是　　 A．抛物线开口向下 B．抛物线与轴没有交点 C．顶点坐标是 D．对称轴是直线 14．（西湖区期末）一元二次方程有一个根为，则二次函数的图象必过点　　 A． B． C． D． 二．填空题（共1小题） 15．（银川校级三模）如图是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，抛物线与轴的交点为、，则、两点的距离是　　　． 知识点2二次函数与一次函数的综合 求二次函数与一次函数的交点时，直接把二次函数与一次函数联立，求出的x值就是他们交点的横坐标，根据横坐标求出函数的纵坐标。 【典例】 1.已知二次函数y=x2﹣4x+3和一次函数y=x+1，则它们交点的个数是_______ 2.若b＜0，则一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（　　） A. B. C. D. 3.已知关于x的二元一次函数y=x2﹣（2m﹣1）x+m2+3m+4． （1）探究m取不同值时，该二次函数的图象与x轴的交点的个数； （2）设该二次函数的图象与x轴的交点分别为A（x1，0），B（x2，0），且x12+x22=5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的函数表达式． 4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣m+2的顶点为D．线段AB的两个端点分别为A（﹣3，m），B（1，m）． （1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）； （2）若该抛物线经过点B（1，m），求m的值； （3）若线段AB与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围． 【方法总结】 解二次函数图象与一次函数综合这类题的方法是：用矛盾法判定。当这些系数没有矛盾时，此选项正确，当这些系数有矛盾时，此选项错误。应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 【随堂练习】 1．（吉安二模）如图，一条抛物线与x轴相交于A （x1，0）、B（x2，0）两点（点B在点A的右侧），其顶点P在线段MN上移动．M、N的坐标分别为（﹣1，2）、（1，2）．x1的最小值为﹣3，则x2的最大值为（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．5 知识点3二次函数与不等式的综合 1.二次函数与一元二次不等式之间的关系 若，的解集为； 的解集为。 若，的解集为； 的无解。 若，的解集为x可取任意实数。 的无解。 2.二次函数与一次函数不等关系 此类问题首先要先找到交点，如果交点为2 个，那么把这个图象分为了3份，数形结合，自变量相同，谁高谁大。 【典例】 1.如图，一次函数y1=mx+n（m≠0）与二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于两点A（﹣1，5）、B（9，3），请你根据图象写出使y1≥y2成立的x的取值范围______ 2.若不等式ax2+7x﹣1＞2x+5对﹣1≤a≤1恒成立，则x的取值范围是______ 3.在同一坐标系下，抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x的解集是_______ 4.如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）． （1）求m的值和抛物线的解析式； （2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案） 【方法总结】 解这类题的方法是：先利用二次函数的对称性，得出图象与x轴的交点， 牢记:函数值大的函数在函数值小函数的上方！ 【随堂练习】 1．（鄠邑区校级三模）二次函数，，为常数，且中与的部分对应值如下表，下列结论，正确的个数有　　 0 1 3 3 5 3 ①； ②当时，的值随值的增大而减小； ③4是方程的一个根； ④当时， A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（零陵区一模）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中，正确的个数有　　 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（深圳三模）已知二次函数的图象如图，对称轴，分析下列六个结论： ①； ②若，则； ③ ④ ⑤为实数） ⑥为实数） 其中正确的结论有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（海港区校级自主招生）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集为　　 A．或 B． C． D．无法确定 5．（金牛区模拟）已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线一定过原点②方程的解为或，③；④当时，；⑤当时，随增大而增大，其中结论正确的个数　　 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（普宁市模拟）如图，抛物线的顶点和该抛物线与轴的交点在一次函数的图象上，它的对称轴是，有下列四个结论：①，②，③当时，，④，其中正确结论的个数是　　 A．4 B．3 C．2 D．1 7．（福田区一模）如图，抛物线和直线都经过点，抛物线的对称轴为，那么下列说法正确的是　　 A． B． C． D．是的解 8．（微山县一模）如图所示，已知二次函数的图象与交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于3，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D．双曲线的两分支分别位于第一、第三象限 9．（包河区期末）抛物线和直线的图象如图所示，那么不等式的解集是　　 A． B． C． D． 10．（禹州市一模）如图，直线与抛物线分别交于，两点，那么当时，的取值范围是　　 A． B． C．或 D． 11．（遵义期末）抛物线与直线的图象如图所示，下列判断：①，②，③，④，⑤当或时，．其中正确的个数有　　 A．2个 B．3 个 C．4 个 D．5个 综合运用：二次函数与方程、不等式的综合 1.已知二次函数y=﹣x2+2x+3与x轴的交点为A、B（A在 B的左边），与y轴交点为C，顶点为D． （1）在图中给出的平面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象（要求所画图象与坐标轴交点A、B、与y轴交点为C，顶点为D的位置准确）． （2）若M（m﹣1，y1），N（m，y2）是函数y=﹣x2+2x+3图象上的两点，且m＜1，请比较y1，y2的大小关系．（直接写结果） （3）关于x的一元二次方程﹣x2+2x+3=n﹣1有实数根，写出实数n的范围． （4）你能利用函数图象求不等式﹣x2+2x+3＞x﹣3的解集吗？写出你的结果． 2.已知二次函数y1=x2﹣2x﹣3及一次函数y2=x+m． （1）求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标； （2）将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你在图中画出这个新图象，并求出新图象与直线y2=x+m有三个不同公共点时m的值； （3）当0≤x≤2时，函数y=y1+y2+（m﹣2）x+3的图象与x轴有两个不同公共点，求m的取值范围． 3.小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”整理了以下几种方法，请你将有关内容补充完整： 例题：求一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个解． （1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）． （2）解法二：利用二次函数图象与两坐标轴的交点求解． 如图，把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y=　 的图象与x轴交点的横坐标即x1，x2就是方程的解． （3）解法三：利用两个函数图象的交点求解①把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y=　　　　　　的图象与一个一次函数y=　　的图象交点的横坐标②画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解． 4.利用图象解一元二次方程x2﹣2x﹣1=0时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=2x+1，两图象交点的横坐标就是该方程的解． （1）请再给出一种利用图象求方程x2﹣2x﹣1=0的解的方法； （2）已知函数y=x3的图象（如图），求方程x3﹣x﹣2=0的解．（结果保留2个有效数字） 参考答案与解析 知识点1　【典例】　第1题 【答案】D. 【解析】解：当y=0时，ax2﹣2ax+1=0， ∵a＞1 ∴△=（﹣2a）2﹣4a=4a（a﹣1）＞0， ax2﹣2ax+1=0有两个根，函数与有两个交点， x=＞0， 故选：D． 知识点1　【典例】　第2题 【答案】﹣5＜t≤4 【解析】解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x2+mx与直线y=t的交点的横坐标， 当x=1时，y=3， 当x=5时，y=﹣5， 由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解， 直线y=t在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4， ∴﹣5＜t≤4． 知识点1　【典例】　第3题 【答案】C. 【解析】解：由表可以看出，当x取1.4与1.5之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根． ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为1.4＜x＜1.5． 故选：C． 知识点1　【典例】　第4题 【答案】C. 【解析】解：∵方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣3和1， ∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点分别为（﹣3，0），（1，0）． ∵此两点关于对称轴对称， ∴对称轴是直线x==﹣1． 故选：C． 知识点1　【随堂练习】　第1题 【解答】解：当时，，则抛物线与轴的交点坐标为， 当时，，解得，抛物线与轴的交点坐标为， 所以抛物线与坐标轴有2个交点． 故选：． 知识点1　【随堂练习】　第2题 【解答】解：把代入得， 所以， 所以． 故选：． 知识点1　【随堂练习】　第3题 【解答】解：当时，，解得，则抛物线与轴的交点坐标为， 当时，，则抛物线与轴的交点坐标为， 所以抛物线与坐标轴交点的个数是1． 故选：． 知识点1　【随堂练习】　第4题 【解答】解：， 抛物线开口向下，顶点坐标为， 当时，随的增大而减小，当时，有最大值4； 当时，，解得，， 抛物线与轴的交点坐标为，， 当时，． 故选：． 知识点1　【随堂练习】　第5题 【解答】解：将点代入， 解得， ， 的两个根为，； 故选：． 知识点1　【随堂练习】　第6题 【解答】解：．当时，函数有最大值为，故此选项正确，不符合题意； ．当时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，故此选项正确，不符合题意； ．抛物线可由经过平移得到，故此选项正确，不符合题意； ．该函数的图象与轴无交点，故此选项错误，符合题意； 故选：． 知识点1　【随堂练习】　第7题 【解答】解：、，抛物线开口向上，所以选项的说法正确； 、当时，，此方程没有实数解，所以抛物线与轴没有交点，所以选项的说法错误； 、抛物线的对称轴为直线，所以选项的说法正确； 、抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，则当时，随的增大而增大，所以选项的说法正确． 故选：． 知识点1　【随堂练习】　第8题 【解答】解：抛物线的对称轴为直线， 而抛物线与轴的一个交点坐标为， 所以抛物线与轴的另一个交点坐标为， 所以方程的解为，． 故选：． 知识点1　【随堂练习】　第9题 【解答】解：抛物线经过点，，，，， 抛物线开口向下， 当时，，则①正确； 若点，是函数图象上一点，则的符合不能确定，，所以②错误； ，；，， 即，， ， 即，则③正确． 故选：． 知识点1　【随堂练习】　第10题 【解答】解：抛物线的对称轴为直线，解得， 抛物线解析式为，顶点坐标为， 当时，，当时，， 一元二次方程为实数）在的范围内有解， 直线与二次函数在范围内有交点， ， 故选：． 知识点1　【随堂练习】　第11题 【解答】解：二次函数与轴无交点， △，解得， ，， 一次函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 故选：． 知识点1　【随堂练习】　第12题 【解答】解：， 抛物线的对称轴为直线，二次函数有最小值；所以选项正确，选项错误； 当时，随的增大而减小，所以选项错误； 方程有两个不相等的实数解， 抛物线与轴有两个交点，所以选项错误． 故选：． 知识点1　【随堂练习】　第13题 【解答】解：抛物线的开口向下，顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线， 因为方程有两个不相等的实数解，所以抛物线与轴有两个交点． 故选：． 知识点1　【随堂练习】　第14题 【解答】解：把代入方程得，则， 当时，， 所以二次函数的图象必过点． 故选：． 知识点1　二．填空题（共1小题）　第15题 【解答】解：抛物线与轴的一个交点的坐标为， 而抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点的坐标为， 、两点的距离． 故答案为2． 知识点2　【典例】　第1题 【答案】2个 【解析】解：由题意得：x2﹣4x+3=x+1， 整理得：x2﹣5x+2=0 ∵△=25﹣8＞0 ∴x2﹣5x+2=0有两个不相等的实数根， ∴二次函数y=x2﹣4x+3和一次函数y=x+1有两个交点， 知识点2　【典例】　第2题 【答案】B. 【解析】解：∵b＜0， ∴一次函数y=ax+b图象与y轴的负半轴相交， 故排除A、C选项， B、D选项中，一次函数图象经过第一三象限， ∴a＞0， 二次函数开口向上， 故D选项不符合题意， ∵a＞0，b＜0时， 对称轴x=﹣＞0，B选项符合题意． 故选：B． 知识点2　【典例】　第3题 【解析】解答：（1）令y=0得，x2﹣（2m﹣1）x+m2+3m+4=0， ∴△=（2m﹣1）2﹣4（m2+3m+4）=﹣16m﹣15． ①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即﹣16m﹣15＞0， 解得，m＜﹣， 此时，y的图象与x轴有两个交点． ②当△=0时，方程有两个相等的实数根，即﹣16m﹣15=0， 解得，m=﹣， 此时，y的图象与x轴有一个交点． ③当△＜0时，方程没有的实数根，即﹣16m﹣15＜0， 解得，m＞﹣， 此时，y的图象与x轴没有一个交点． ∴m＜﹣，图象与x轴有两个交点；m=﹣，图象与x轴只有一个交点；m＞﹣，图象与x轴没有交点； （2）由根与系数的关系得： x1+x2=2m﹣1，x1×x2=m2+3m+4． ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2m﹣1）2﹣2（m2+3m+4）=2m2﹣10m﹣7． ∵x12+x22=5， ∴2m2﹣10m﹣7=5． 解得m1=6，m2=﹣1． ∵m＜﹣， ∴m=﹣1． ∴y=x2+3x+2． 令x=0，得y=2． ∴二次函数y的图象与x轴的交点C坐标为（0，2）． 又y=x2+3x+2=（x+32）2﹣14， ∴顶点M的坐标为（﹣32，﹣14）． 设过C（0，2）与M（﹣32，﹣14）的直线解析式为y=kx+b， 则， 解得， 所以直线CM的解析式为y=x+2． 知识点2　【典例】　第4题 【解析】解：（1）∵y=x2﹣2mx+m2﹣m+2=（x﹣m）2﹣m+2， ∴D（m，﹣m+2）； （2）∵抛物线经过点B（1，m）， ∴m=1﹣2m+m2﹣m+2， 解得：m=3或m=1； （3）根据题意：∵A（﹣3，m），B（1，m）， ∴线段AB：y=m（﹣3≤x≤1）， 与y=x2﹣2mx+m2﹣m+2联立得： x2﹣2mx+m2﹣2m+2=0， 令y=x2﹣2mx+m2﹣2m+2， 若抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣m+2与线段AB只有1个公共点， 即函数y在﹣3≤x≤1范围内只有一个零点， 当x=﹣3时，y=m2﹣4m+11＜0， ∵△＞0， ∴此种情况不存在， 当x=1时，y=m2+4m+3≤0， 解得1≤m≤3． 知识点2　【随堂练习】　第1题 【解答】解：抛物线顶点平移到点M时，由已知x1的最小值为﹣3 则设此时抛物线解析式为：y=a（x+1）2+2 把（﹣3，0）代入得 a=﹣ 则当抛物线顶点平移到N时，解析式为y=﹣（x﹣1）2+2． 当y=0时，解得抛物线与x轴交点坐标为（3，0）或（﹣1，0） 则x2的最大值为3 故选：C． 知识点3　【典例】　第1题 【答案】﹣1≤x≤9 【解析】解：由两个函数的图象知：当y1≥y2时，﹣1≤x≤9． 知识点3　【典例】　第2题 【答案】2＜x＜3 【解析】解：由ax2+7x﹣1＞2x+5得，ax2+5x﹣6＞0， ∵当x=0时，﹣6＞0不成立， ∴x≠0， ∴关于a的一次函数y=x2•a+5x﹣6， 当a=﹣1时，y=﹣x2+5x﹣6=﹣（x﹣2）（x﹣3）， 当a=1时，y=x2+5x﹣6=（x﹣1）（x+6）， ∵不等式对﹣1≤a≤1恒成立， ∴， 解得2＜x＜3． 知识点3　【典例】　第3题 【答案】0＜x＜2 【解析】解：由图可知，抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x的交点坐标为（0，0），（2，4）， 所以，不等式﹣x2+4x＞2x的解集是0＜x＜2． 知识点3　【典例】　第4题 【解析】主要考查了用待定系数法求函数解析式和二次函数的图象的性质．要具备读图的能力． 解：（1）把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得： 0=1+m 0＝1+b+c 2＝9+3b+c， ∴m=-1，b=-3，c=2， 所以y=x-1，y=x2-3x+2； （2）x2-3x+2＞x-1，解得：x＜1或x＞3． 知识点3　【随堂练习】　第1题 【解答】解：当时，，则； 当时，；当时，， 则有， ， ； ①； ②函数的对称轴为，当时，的值随值的增大而减小； ③可化为， 或； ④时， 或， 当时，； 故选：． 知识点3　【随堂练习】　第2题 【解答】解：①图象与轴有两个交点，△，错误 ②图象开口向上，， 对称轴在轴右侧，按照左同右异判断，与符号相反， 图象与轴交于负半轴， ，正确 ③将代入解析式可得，由图象可知，在抛物线对应的点在轴上方，，错误 ④抛物线顶点纵坐标为，所以有最小值，正确 综上可知，②④正确 故选：． 知识点3　【随堂练习】　第3题 【解答】解：抛物线的对称轴为直线， ， 时，，即， ，即，所以①错误； 抛物线与轴的一个交点在和之间， ，，所以②错误； 时，，即；时，，即， ， ，所以③正确； 时，，即， ，所以④正确； 抛物线的对称轴为直线， 而， ，所以⑤错误； 时，有最大值， ， 而， ，所以⑥错误． 故选：． 知识点3　【随堂练习】　第4题 【解答】解：由图象可知二次函数的对称轴是， 与轴一个交点坐标， 由函数的对称性可得，与轴另一个交点是， 的解集为或， 故选：． 知识点3　【随堂练习】　第5题 【解答】解：①抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一交点坐标为，结论①正确； ②抛物线与轴的交点坐标为：，， 方程的解为或，正确； ③当和时，值相同，且均为正， ，结论③错误； ④当时，，结论④正确； ⑤观察函数图象可知：当时，随增大而减小，结论⑤错误． 综上所述，正确的结论有：①②④． 故选：． 知识点3　【随堂练习】　第6题 【解答】解：①由图可知，， ， 与轴交点， ， ， 故①正确； ②由图象可知，当时，， ， 故②不正确； ③， ， 当时，， ， ③正确； ④， ， 当时，与相交， ， ； ④正确； 故选：． 知识点3　【随堂练习】　第7题 【解答】解：由图象可知，， ，故错误； 由图象得知抛物线与轴有两个不同的交点， △，故错误； 过点， ， 过点， ， ，故错误； 对称轴为， ， ， ， 当时，， 由图象可知，， ，即； 故正确； 故选：． 知识点3　【随堂练习】　第8题 【解答】解：抛物线与轴的交点在轴上方， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ，所以正确，不符合题意； 直线与抛物线交于、两点，点在轴下方且横坐标小于3， 时，一次函数值比二次函数值大， 即， 而， ，解得， 所以正确，不符合题意； 时，二次函数有最大值， ， ， 所以正确，不符合题意； 故选：．抛物线与轴的一个交点在点左侧， 而抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在点右侧， 当时，， ， 双曲线的两分支分别位于第二、第四象限 所以错误，符合题意， 故选：． 知识点3　【随堂练习】　第9题 【解答】解：由图可知，抛物线和直线的交点坐标为，， 所以，不等式的解集是． 故选：． 知识点3　【随堂练习】　第10题 【解答】解：根据图象可知： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故选：． 知识点3　【随堂练习】　第11题 【解答】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴上方， ， ，所以①正确； 抛物线与轴的一个交点在， 抛物线与轴的另一个交点在， 即时，， ，所以②正确； ，所以③错误； 把代入得，则， ，所以④错误； 当或时，．所以⑤正确． 故选：． 综合运用：二次函数与方程、不等式的综合　第1题 【解析】解：（1）对于y=﹣x2+2x+3， 当y=0时，﹣x2+2x+3=0， 解得：x=﹣1，或x=3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）； 当x=0时，y=3， ∴C（0，3）； ∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴D（1，4）， 该二次函数的大致图象如图1所示： （2）∵抛物线y=﹣x2+2x+3的对称轴为x=1，m﹣1＜m＜1， 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ∴y1＜y2； （3）把一元二次方程﹣x2+2x+3=n﹣1化成一般形式得x2﹣2x+n﹣4=0， ∵一元二次方程﹣x2+2x+3=n﹣1有实数根， ∴△=4﹣4（n﹣4）≥0， 解得：n≤5； （4）能，不等式﹣x2+2x+3＞x﹣3的解集为﹣2＜x＜3，理由如下： 一次函数y=x﹣3的图象如图2所示： 当﹣x2+2x+3=x﹣3时， 解得：x=﹣2或x=3， 根据图象得：不等式﹣x2+2x+3＞x﹣3的解集为﹣2＜x＜3． 综合运用：二次函数与方程、不等式的综合　第2题 【解析】解：（1）∵y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4 则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4） ∵y1=x2﹣2x﹣3的图象与x轴相交， ∴x2﹣2x﹣3=0， ∴（x﹣3）（x+1）=0， ∴x=﹣1，或x=3， ∴抛物线与x轴相交于A（﹣1，0）、B（3，0）， （2）翻折后所得新图象如图所示， 平移直线y2=x+m知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同公共点，如图所示， ①当直线位于l1时，此时l1过点A（﹣1，0）， ∴0=﹣1+m，即m=1； ②当直线位于l2时， 此时l2与函数y=﹣x2+2x+3（﹣1≤x≤3）的图象有一个公共点， ∴方程x+m=﹣x2+2x+3， 即x2﹣x﹣3+m=0有一个根， 故△=1﹣4（m﹣3）=0， 即m=； （3）∵y=y1+y2+（m﹣2）x+3 =x2+（m﹣3）x+m， ∵当0≤x≤2时，函数y=x2+（m﹣3）x+m的图象与x轴有两个不同的交点， ∴m应同时满足下列三个方面的条件： 方程x2+（m﹣3）x+m=0的判别式△=（m﹣3）2﹣4m=（m﹣1）（m﹣9）＞0， 抛物线y=x2+（m﹣3）x+m的对称轴满足0＜＜2， 当x=0时，函数值y=m≥0， 当x=2时，函数值y=3m﹣2≥0， 即， 解得； ∴当时，函数图象y=y1+y2+（m﹣2）x+3（0≤x≤2）与x轴有两个不同交点． 综合运用：二次函数与方程、不等式的综合　第3题 【解析】解：（1）由原方程，得： =0，即=； 解得x1=，x2=． （2）设二次函数方程为y=ax2+bx+c（a，b，c均为实数，且a≠0）． 由图象得知，该函数过点（0，﹣1），所以该点满足方程y=ax2+bx+c， ∴把（0，﹣1）代入方程y=ax2+bx+c，得c=﹣1，① 二次函数方程为y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是方程x2﹣x﹣1=0的解； ∴x1•x2==﹣1，即c=﹣a；② x1+x2==1；③ 由①②③，得： ； ∴二次函数方程为y=x2﹣x﹣1． （3） 综合运用：二次函数与方程、不等式的综合　第4题 【解析】解：（1）方法：在直角坐标系中画出抛物线y=x2﹣1和直线y=2x，其交点的横坐标就是方程的解． （2）在图中画出直线y=x+2与函数y=x3的图象交于点B，得点B的横坐标x≈1.5， ∴方程的近似解为x≈1.5． 学科网（北京）股份有限公司 $