专题 5.7 二次函数复习（一）概念与解析式求法讲义- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题 5.7 二次函数复习（一）概念与解析式求法【基础・综合・探究】 目录 一.复习目标 1 二.知识梳理 1 【知识点1】二次函数的定义 1 【知识点2】二次函数的一般式 2 【知识点3】二次函数的顶点式 2 【知识点4】二次函数的交点式 2 【知识点5】二次函数三种表达式的比较与选择 2 【知识点6】平移、折叠、旋转、对称中的二次函数解析式 3 三.题型精析 3 【一】基础夯实 3 【题型1】二次函数的识别 3 【题型2】二次函数的解析式（一般式） 4 【二】综合提升 4 【题型3】二次函数的解析式（顶点式） 4 【题型4】二次函数的解析式（交点式） 5 【三】探究拓展 6 【题型5】求平移中二次函数的解析式 6 【题型6】求对称（折叠）变换中二次函数的解析式 7 【四】中考链接 7 一.复习目标 1. 理解二次函数的概念，能识别一个函数是否为二次函数； 2. 掌握二次函数的三种表达式（一般式、顶点式、交点式）及其适用条件； 3. 熟练运用待定系数法，根据不同条件选择合适的表达式求二次函数解析式； 4. 能从实际问题中抽象出二次函数关系，建立函数模型。 二.知识梳理 【知识点1】二次函数的定义 一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫作二次函数。其中是自变量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项。 【要点提示】判断一个函数是否为二次函数要抓住三个特征：①含自变量的代数式是整式；②自变量的最高次数是；③二次项系数不为。三者缺一不可。当或时，函数仍为二次函数，如、等。 【知识点2】二次函数的一般式 二次函数的一般式为（）。 已知抛物线上任意三个点的坐标时，可设一般式，将三点坐标代入，得到关于、、的三元一次方程组，解方程组求出、、的值，即可确定函数解析式。 【要点提示】用一般式求解析式是最基本的方法，适用于已知三个普通点坐标的情况。当已知点中有特殊点（如顶点、与轴交点）时，选用顶点式或交点式更简便。 【知识点3】二次函数的顶点式 二次函数的顶点式为（），其中抛物线的顶点坐标为。 已知抛物线的顶点坐标（或对称轴、最值）和另一个点的坐标时，可设顶点式，将顶点坐标和另一点坐标代入，求出的值，即可确定函数解析式。 【要点提示】顶点式的最大优势是直接体现顶点坐标。当题目条件中出现“顶点”“对称轴”“最大值或最小值”等关键词时，优先选用顶点式。注意顶点式中是，当顶点横坐标为负数时，如顶点，则解析式为。 【知识点4】二次函数的交点式 二次函数的交点式为（），其中抛物线与轴的两个交点坐标为和。 已知抛物线与轴的两个交点坐标和另一个点的坐标时，可设交点式，将两交点和另一点坐标代入，求出的值，即可确定函数解析式。 【要点提示】交点式只适用于抛物线与轴有两个交点的情况（即判别式）。当已知条件中出现“与轴交于两点“”两根“”两个零点“等信息时，优先选用交点式。注意交点式中是，当交点横坐标为负数时要注意符号。 【知识点5】二次函数三种表达式的比较与选择 表达式 形式 适用条件 优点 一般式 y=ax²+bx+c 已知任意三个点 最基本，适用范围广 顶点式 y=a（x-h）²+k 已知顶点和另一个点 直接体现顶点坐标 交点式 y=a（x-x₁）（x-x₂） 已知与x轴两交点和另一个点 直接体现与x轴交点 【要点提示】三种表达式可以互相转化。一般式通过配方化为顶点式；顶点式展开化为一般式；交点式展开化为一般式。选择哪种表达式取决于已知条件：已知顶点选顶点式，已知与轴交点选交点式，已知普通三点选一般式。合理选择表达式可以大大简化计算。 【知识点6】平移、折叠、旋转、对称中的二次函数解析式 二次函数图像的变换核心为顶点变换，二次项系数 决定抛物线开口大小与方向，不同变换对 和顶点 的影响不同，解题优先将解析式化为顶点式 求解，简便高效。 1. 平移变换 抛物线平移不改变开口大小、方向， 值恒定不变，仅改变顶点坐标。遵循口诀：左加右减自变量，上加下减常数项。左右平移改变顶点横坐标 ，上下平移改变顶点纵坐标 。 2. 对称（折叠）变换 关于轴对称：顶点 变为 ，开口反向， 变为 ； 关于轴对称：顶点 变为 ，开口不变， 保持不变； 关于竖直直线 对称：求出顶点对称后的新坐标， 值不变。 3. 旋转变换 初中核心考点为抛物线绕顶点旋转 ，旋转后顶点坐标不变，开口方向完全反向， 变为 ；绕平面内其他点旋转 ，需先求原顶点关于旋转中心的对称点作为新顶点， 取相反数；非 旋转计算复杂，初中阶段不作考查。 【要点提示】平移只变顶点不变 ；对称、 旋转大概率改变开口方向，需变更 符号；所有变换题型，优先使用顶点式解题。 三.题型精析 【一】基础夯实 【题型1】二次函数的识别 【例题1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知抛物线过，，三点，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）若函数是关于x的二次函数，则a的值不可能是（     ） A． B．或0 C．1 D．4 【变式2】（2026九年级上·全国·专题练习）将二次函数 化为一般形式为___________，其中二次项系数为___________，一次项系数为___________，常数项为___________． 【变式3】（25-26九年级上·青海西宁·期中）建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 【解题归纳】判断二次函数的三个条件：①整式函数；②自变量最高次数为；③二次项系数不为。三个条件同时满足才是二次函数。 【题型2】二次函数的解析式（一般式） 【例题2】（2026九年级上·全国·专题练习）已知二次函数的图象经过点，，，求这个二次函数的解析式． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如果一个二次函数的图象经过三点，那么这个二次函数的解析式为______． 【变式2】（25-26九年级上·河南驻马店·期末）已知抛物线经过点，和，求该抛物线的解析式． 【变式3】（25-26九年级上·山东淄博·期末）已知二次函数的图象经过三点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求出该二次函数图象的顶点坐标． 【解题归纳】用一般式求二次函数解析式的步骤：①设；②将已知点坐标代入，得到方程组；③解方程组求出、、；④写出解析式。当已知点中有时，可直接求出，简化计算。 【二】综合提升 【题型3】二次函数的解析式（顶点式） 【例题3】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）当时，抛物线有最小值为，且抛物线与轴交于点．求这条抛物线的解析式． 【变式1】（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 5 2 1 2 … 则该二次函数的解析式为______． 【变式3】（25-26九年级上·湖南湘西·期中）一条抛物线的顶点为，与轴的交点是．求该抛物线的解析式及其对称轴． 【解题归纳】用顶点式求二次函数解析式的步骤：①设；②将顶点坐标代入，确定、；③将另一个已知点代入，求出；④写出解析式。顶点式的关键是利用顶点坐标直接确定、，只需求一个未知数。 【题型4】二次函数的解析式（交点式） 【例题4】（26-27九年级·上海·暑假作业）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，求抛物线的解析式． 【变式1】（2025九年级·全国·专题练习）若抛物线与轴的两个交点的坐标分别为，，其形状与抛物线相同，则该抛物线的表达式为_________________． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·山东泰安·期中）二次函数的图象经过，，三点． （1）求这个函数的解析式； （2）求函数顶点的坐标； （3）当时，直接写出y的取值范围． 【解题归纳】用交点式求二次函数解析式的步骤：①设；②将两交点坐标代入，确定、；③将另一个已知点代入，求出；④写出解析式。交点式适用于已知抛物线与轴两交点的情况，只需再知一个点即可求出。 【三】探究拓展 【题型5】求平移中二次函数的解析式 【例题5】（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）将抛物线沿着直线的方向平移，平移后的抛物线顶点横坐标为1，则平移后的抛物线表达式为________________． 【变式1】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）若将抛物线图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·河北秦皇岛·模拟预测）将抛物线C1：沿x轴对称后，向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线C2．若抛物线C1的顶点为A，点B是抛物线C2与y轴的交点，O为坐标原点，则△AOB的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（2026九年级上·全国·专题练习）将抛物线 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，求所得抛物线的解析式． 【解题归纳】抛物线平移不改变的值，仅改变顶点位置。解题步骤：①将原函数化为顶点式，提取原顶点 ；②根据平移规则（左加右减、上加下减）计算出新顶点坐标；③代入顶点式写出平移后解析式；④按需展开为一般式。所有平移题型，优先顶点变换，无需改动二次项系数。 物线与轴两交点的情况，只需再知一个点即可求出。 【题型6】求对称（折叠）变换中二次函数的解析式 【例题6】（2024·山东泰安·一模）把二次函数：的图象作关于轴的对称变换，所得图象的解析式为：，若取最小值，则此时________． 【变式1】（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于原点对称，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示）．对应的两条抛物线关于y轴对称，轴，，最低点C在x轴上，高，．则右轮廓线所在抛物线的函数解析式为__________· 【变式3】（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）二次函数y＝x2﹣bx﹣1的顶点位置随着字母b的值变化而变化，顶点运动轨迹呈某种函数图象，该种函数即为原函数的模型函数． （1）二次函数y＝x2﹣bx﹣1的顶点坐标为 __________________；（用字母b表示） （2）若某二次函数与二次函数y＝x2﹣bx﹣1的形状相同，其模型函数与二次函数y＝x2﹣bx﹣1的模型函数关于x轴对称，且经过点（1，2），则该二次函数的表达式为 __________________． 【解题归纳】对称（折叠）变换核心是顶点坐标变换+开口方向判断：①统一将原解析式化为顶点式，确定原顶点 和系数 ；②根据对称类型计算新顶点：轴对称变纵坐标、轴对称变横坐标；③轴对称需将 变号，轴对称 不变；④将新顶点、新系数代入顶点式，整理得到解析式。易错点：切勿遗漏轴对称的开口反向变换。 【四】中考链接 一、单选题 1．（25-26九年级上·河北唐山·期中）将抛物线绕原点O旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南周口·一模）已知二次函数 ，若将其图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得图象的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河南周口·模拟预测）如图，物流无人机在配送包裹时，将无人机当作一个点看，其飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，设无人机从地面原点处起飞，飞行路线为 ，已知无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，则该抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·山东东营·中考真题）在二次函数（a，b，c为常数，）中，与的部分对应值如表所示． 4 0 给出下列结论：①；②；③若，且，则；④若点均在二次函数图象上，则．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 5．（2026·黑龙江牡丹江·模拟预测）将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的解析式为______． 6．（2026·西藏林芝·二模）一条抛物线的对称轴为直线，的最大值是，且与抛物线的形状相同，则这条抛物线的解析式是________． 7．（2026·江苏宿迁·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线绕着顶点旋转后，所得抛物线的解析式为______． 8．（2026·湖北荆州·中考真题）规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______． 三、解答题 9．（2025年九年级中考数学二次函数压轴题专题练习19新定义）定义：如果二次函数（、、、是常数）与（、、、是常数）满足，，，则这两个函数互为“旋转函数”． （1）写出函数的旋转函数． （2）若函数与互为旋转函数，求的值． （3）已知函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是、、，试求证：经过点、、的二次函数与互为“旋转函数”． 10．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知二次函数图象的对称轴是． （1）求二次函数的解析式； （2）将二次函数图象绕顶点旋转180度得到新的抛物线．得到二次函数的解析式为________； （3）若二次函数的图象满足当时，二次函数有最大值1，求的值． 11．（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 12．（2026·四川广元·中考真题）定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交点为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”． 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点． （1）如图1，若点为线段的中点，二次函数的“顶点弦”为线段，且点为顶点，求该二次函数的解析式； （2）在（1）的条件下，若直线上方抛物线上有一点，使，求点的坐标； （3）点在线段上，若抛物线和抛物线的“顶点弦”分别为和，点为和的顶点，且，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.7 二次函数复习（一）概念与解析式求法【基础・综合・探究】 目录 一.复习目标 1 二.知识梳理 1 【知识点1】二次函数的定义 1 【知识点2】二次函数的一般式 2 【知识点3】二次函数的顶点式 2 【知识点4】二次函数的交点式 2 【知识点5】二次函数三种表达式的比较与选择 2 【知识点6】平移、折叠、旋转、对称中的二次函数解析式 3 三.题型精析 3 【一】基础夯实 3 【题型1】二次函数的识别 3 【题型2】二次函数的解析式（一般式） 5 【二】综合提升 7 【题型3】二次函数的解析式（顶点式） 7 【题型4】二次函数的解析式（交点式） 9 【三】探究拓展 12 【题型5】求平移中二次函数的解析式 12 【题型6】求对称（折叠）变换中二次函数的解析式 14 【四】中考链接 17 一.复习目标 1. 理解二次函数的概念，能识别一个函数是否为二次函数； 2. 掌握二次函数的三种表达式（一般式、顶点式、交点式）及其适用条件； 3. 熟练运用待定系数法，根据不同条件选择合适的表达式求二次函数解析式； 4. 能从实际问题中抽象出二次函数关系，建立函数模型。 二.知识梳理 【知识点1】二次函数的定义 一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫作二次函数。其中是自变量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项。 【要点提示】判断一个函数是否为二次函数要抓住三个特征：①含自变量的代数式是整式；②自变量的最高次数是；③二次项系数不为。三者缺一不可。当或时，函数仍为二次函数，如、等。 【知识点2】二次函数的一般式 二次函数的一般式为（）。 已知抛物线上任意三个点的坐标时，可设一般式，将三点坐标代入，得到关于、、的三元一次方程组，解方程组求出、、的值，即可确定函数解析式。 【要点提示】用一般式求解析式是最基本的方法，适用于已知三个普通点坐标的情况。当已知点中有特殊点（如顶点、与轴交点）时，选用顶点式或交点式更简便。 【知识点3】二次函数的顶点式 二次函数的顶点式为（），其中抛物线的顶点坐标为。 已知抛物线的顶点坐标（或对称轴、最值）和另一个点的坐标时，可设顶点式，将顶点坐标和另一点坐标代入，求出的值，即可确定函数解析式。 【要点提示】顶点式的最大优势是直接体现顶点坐标。当题目条件中出现“顶点”“对称轴”“最大值或最小值”等关键词时，优先选用顶点式。注意顶点式中是，当顶点横坐标为负数时，如顶点，则解析式为。 【知识点4】二次函数的交点式 二次函数的交点式为（），其中抛物线与轴的两个交点坐标为和。 已知抛物线与轴的两个交点坐标和另一个点的坐标时，可设交点式，将两交点和另一点坐标代入，求出的值，即可确定函数解析式。 【要点提示】交点式只适用于抛物线与轴有两个交点的情况（即判别式）。当已知条件中出现“与轴交于两点“”两根“”两个零点“等信息时，优先选用交点式。注意交点式中是，当交点横坐标为负数时要注意符号。 【知识点5】二次函数三种表达式的比较与选择 表达式 形式 适用条件 优点 一般式 y=ax²+bx+c 已知任意三个点 最基本，适用范围广 顶点式 y=a（x-h）²+k 已知顶点和另一个点 直接体现顶点坐标 交点式 y=a（x-x₁）（x-x₂） 已知与x轴两交点和另一个点 直接体现与x轴交点 【要点提示】三种表达式可以互相转化。一般式通过配方化为顶点式；顶点式展开化为一般式；交点式展开化为一般式。选择哪种表达式取决于已知条件：已知顶点选顶点式，已知与轴交点选交点式，已知普通三点选一般式。合理选择表达式可以大大简化计算。 【知识点6】平移、折叠、旋转、对称中的二次函数解析式 二次函数图像的变换核心为顶点变换，二次项系数 决定抛物线开口大小与方向，不同变换对 和顶点 的影响不同，解题优先将解析式化为顶点式 求解，简便高效。 1. 平移变换 抛物线平移不改变开口大小、方向， 值恒定不变，仅改变顶点坐标。遵循口诀：左加右减自变量，上加下减常数项。左右平移改变顶点横坐标 ，上下平移改变顶点纵坐标 。 2. 对称（折叠）变换 关于轴对称：顶点 变为 ，开口反向， 变为 ； 关于轴对称：顶点 变为 ，开口不变， 保持不变； 关于竖直直线 对称：求出顶点对称后的新坐标， 值不变。 3. 旋转变换 初中核心考点为抛物线绕顶点旋转 ，旋转后顶点坐标不变，开口方向完全反向， 变为 ；绕平面内其他点旋转 ，需先求原顶点关于旋转中心的对称点作为新顶点， 取相反数；非 旋转计算复杂，初中阶段不作考查。 【要点提示】平移只变顶点不变 ；对称、 旋转大概率改变开口方向，需变更 符号；所有变换题型，优先使用顶点式解题。 三.题型精析 【一】基础夯实 【题型1】二次函数的识别 【例题1】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知抛物线过，，三点，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求解即可． 解：∵抛物线过点， ∴将，代入，得， ∵抛物线过点， ∴将，代入，得，即， ∵抛物线过点， ∴将，代入，得，化简得， 联立与，两式相加得，解得， 将代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）若函数是关于x的二次函数，则a的值不可能是（     ） A． B．或0 C．1 D．4 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义知，，解得的值，在选项中逐个排除即可． 解： 函数是关于的二次函数， ． 且． 【变式2】（2026九年级上·全国·专题练习）将二次函数 化为一般形式为___________，其中二次项系数为___________，一次项系数为___________，常数项为___________． 【答案】 2 1 【分析】明确二次函数一般形式为（），所以需要先将给定的乘积形式展开．运用多项式乘多项式法则展开，再合并同类项得到一般形式．对照一般形式，直接对应找出二次项系数、一次项系数和常数项． 解：∵， ∴二次项系数为2，一次项系数为1，常数项为． 【变式3】（25-26九年级上·青海西宁·期中）建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故答案为：． 【解题归纳】判断二次函数的三个条件：①整式函数；②自变量最高次数为；③二次项系数不为。三个条件同时满足才是二次函数。 【题型2】二次函数的解析式（一般式） 【例题2】（2026九年级上·全国·专题练习）已知二次函数的图象经过点，，，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】利用待定系数法计算即可得出结果． 解：∵二次函数的图象经过点，，， ∴， 解得， ∴这个二次函数的解析式为． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如果一个二次函数的图象经过三点，那么这个二次函数的解析式为______． 【答案】 【分析】已知二次函数图象经过三个点，可设二次函数一般式，利用待定系数法代入坐标列方程组求解系数，即可得到解析式． 解：设二次函数的解析式为， 将三个点分别代入解析式， 得， ，得 解得， 将代入方程组得，， ，得 解得， 将代入得， 解得， ∴二次函数的解析式为． 【变式2】（25-26九年级上·河南驻马店·期末）已知抛物线经过点，和，求该抛物线的解析式． 【答案】 【分析】利用待定系数法求抛物线的解析式即可． 解：∵抛物线经过点，和， ∴，解得 ∴抛物线的解析式为． 【变式3】（25-26九年级上·山东淄博·期末）已知二次函数的图象经过三点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）求出该二次函数图象的顶点坐标． 【答案】（1）；（2）顶点坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． （1）把点A、B、C的坐标分别代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组即可； （2）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标． （1）解：设该二次函数的表达式为，将分别代入中， 得，， 解得，， 所以，二次函数的表达式为； （2）解：二次函数的表达式化为顶点式， 所以，二次函数的图象的顶点坐标为． 【解题归纳】用一般式求二次函数解析式的步骤：①设；②将已知点坐标代入，得到方程组；③解方程组求出、、；④写出解析式。当已知点中有时，可直接求出，简化计算。 【二】综合提升 【题型3】二次函数的解析式（顶点式） 【例题3】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）当时，抛物线有最小值为，且抛物线与轴交于点．求这条抛物线的解析式． 【答案】 【分析】由已知条件可设出顶点式，再把已知点的坐标代入，求出待定系数，进而求得解析式． 解：抛物线在时最小值为， 设抛物线的顶点式为 抛物线过点， 解得， ∴这条抛物线的解析式为，即． 【变式1】（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据顶点坐标，利用待定系数法求解． 解：由顶点坐标可设二次函数表达式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴该二次函数的表达式是． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 5 2 1 2 … 则该二次函数的解析式为______． 【答案】 【分析】由表格数据可知，和时函数值相等，可得二次函数顶点坐标为，利用待定系数法求解即可． 解：∵当和时，的值均为， ∴二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为， 设二次函数解析式为，将，代入得：， 解得， ∴二次函数解析式为，展开整理得． 【变式3】（25-26九年级上·湖南湘西·期中）一条抛物线的顶点为，与轴的交点是．求该抛物线的解析式及其对称轴． 【答案】抛物线的解析式为（或一般式），对称轴为直线． 【分析】根据顶点坐标设抛物线顶点式，代入已知点坐标求待定系数，再由顶点坐标得对称轴． 解：抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为． 抛物线与轴交于点， 将代入解析式，得，解得． 抛物线的解析式为，化为一般式为． 抛物线的顶点坐标为， 该抛物线的对称轴为直线． 【解题归纳】用顶点式求二次函数解析式的步骤：①设；②将顶点坐标代入，确定、；③将另一个已知点代入，求出；④写出解析式。顶点式的关键是利用顶点坐标直接确定、，只需求一个未知数。 【题型4】二次函数的解析式（交点式） 【例题4】（26-27九年级·上海·暑假作业）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】先利用抛物线对称轴求出点的对称点，得到抛物线与轴两个交点，设交点式解析式；将点坐标代入求出的值，再展开整理为一般式． 解：点关于直线的对称点是， 设抛物线的解析式为. 把点的坐标代入解析式，得 ， 解得. 抛物线的解析式为. 【变式1】（2025九年级·全国·专题练习）若抛物线与轴的两个交点的坐标分别为，，其形状与抛物线相同，则该抛物线的表达式为_________________． 【答案】或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，灵活运用待定系数法求二次函数解析式是解题关键． 根据抛物线形状相同则的值相同，再将交点坐标代入交点式求出表达式即可． 解：∵抛物线与轴的两个交点为，， ∴设抛物线解析式为 ． ∵其形状与抛物线相同， ∴， 即或． 当时，； 当时，． ∴该抛物线的表达式为或． 故答案为：或． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知抛物线与轴交于两点，设交点式代入第三点求解更简便． 解：∵抛物线过点，， ∴设抛物线解析式为， 将代入解析式，得， 解得， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·山东泰安·期中）二次函数的图象经过，，三点． （1）求这个函数的解析式； （2）求函数顶点的坐标； （3）当时，直接写出y的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用待定系数法，将点代入到解析式中求解即可； （2）将二次函数一般式转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （3）根据二次函数的增减性求得在内函数的最大值与最小值，得到的取值范围． （1）解：∵二次函数经过点，， ∴设二次函数解析式为， 又∵二次函数的图象经过， 将点代入中， 得，解得， ∴． （2）解：由（1）知，， ∴二次函数的顶点为． （3）解：∵二次函数的二次项系数为， ∴二次函数开口向下， 由（2）知，二次函数的对称轴为，且在内， ∴二次函数在顶点处取得最大值，最大值为， ∵二次函数开口向下 ∴二次函数上的点离对称轴越近函数值越大， ∵， ∴二次函数在处取得最小值， 将代入中，解得， ∴时，． 【解题归纳】用交点式求二次函数解析式的步骤：①设；②将两交点坐标代入，确定、；③将另一个已知点代入，求出；④写出解析式。交点式适用于已知抛物线与轴两交点的情况，只需再知一个点即可求出。 【三】探究拓展 【题型5】求平移中二次函数的解析式 【例题5】（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）将抛物线沿着直线的方向平移，平移后的抛物线顶点横坐标为1，则平移后的抛物线表达式为________________． 【答案】 【分析】平移后抛物线二次项系数不变，平移后的顶点在直线上，先求出顶点坐标，再代入顶点式得到抛物线表达式． 解：∵原抛物线的顶点在直线上，沿方向平移后，新抛物线的顶点仍在直线上． ∴将代入，得 ， 即平移后新的抛物线的顶点坐标为． ∵抛物线平移不改变开口大小和方向， 因此二次项系数仍为． 根据抛物线顶点式，可得平移后的抛物线表达式为． 【变式1】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）若将抛物线图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】向右平移2个单位，将原解析式中的x替换为，得到第一次平移后的解析式．向下平移3个单位，在第一次平移后的解析式基础上减去3，整理后和选项对比即可． 解：将抛物线向右平移2个单位，得． 再向下平移3个单位，得． 【变式2】（2023·河北秦皇岛·模拟预测）将抛物线C1：沿x轴对称后，向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线C2．若抛物线C1的顶点为A，点B是抛物线C2与y轴的交点，O为坐标原点，则△AOB的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先求得顶点的坐标，然后求得平移后的解析式，进而求得顶点的坐标，最后根据三角形面积即可求得． 解：， 顶点为， 将抛物线沿轴对称后的抛物线的顶点为， 沿轴对称后的抛物线的解析式为， 向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线， 即， 令，则， ， ， 的面积为：， 故选：C． 【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据平移的性质得出平移后的抛物线的解析式以及求得、点的坐标是解题的关键． 【变式3】（2026九年级上·全国·专题练习）将抛物线 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，求所得抛物线的解析式． 【答案】 【分析】先化为顶点式，然后根据二次函数图象平移规律：“上加下减，左加右减”，据此求解即可． 解：将，向左平移2个单位，再向下平移3个单位， 得． 【解题归纳】抛物线平移不改变的值，仅改变顶点位置。解题步骤：①将原函数化为顶点式，提取原顶点 ；②根据平移规则（左加右减、上加下减）计算出新顶点坐标；③代入顶点式写出平移后解析式；④按需展开为一般式。所有平移题型，优先顶点变换，无需改动二次项系数。 物线与轴两交点的情况，只需再知一个点即可求出。 【题型6】求对称（折叠）变换中二次函数的解析式 【例题6】（2024·山东泰安·一模）把二次函数：的图象作关于轴的对称变换，所得图象的解析式为：，若取最小值，则此时________． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数的性质． 由变换后解析式可得变换前解析式，再展开，对应b和c，进而求解． 解：变换后图象解析式为， 抛物线顶点坐标为， 原函数图象解析式为， ∴， ∴ 故答案为：2． 【变式1】（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于原点对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，根据平面直角坐标系中，二次函数关于原点对称的特点，先得出抛物线的顶点坐标，从而得出抛物线的顶点坐标，整理成一般式即可得出答案． 解：抛物线， 抛物线的顶点坐标为：， 关于原点对称的抛物线的顶点坐标为：， 抛物线， ，，， 故选：． 【变式2】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示）．对应的两条抛物线关于y轴对称，轴，，最低点C在x轴上，高，．则右轮廓线所在抛物线的函数解析式为__________· 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用：关键是确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题． 先根据、关于轴对称，得出点坐标为，再求出左边抛物线的顶点的坐标为，则右边抛物线的顶点的坐标为，设右边抛物线的解析式为，代入即可得出答案． 解：连接， ∵高，B、D关于轴对称， ∴点坐标为， ∵轴，，最低点在轴上， ∴点A、B关于点H对称，则， ∴左边抛物线的顶点的坐标为， ∴右边抛物线的顶点的坐标为， 设右边抛物线的解析式为， 把代入得，解得． 故右边抛物线的解析式为， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）二次函数y＝x2﹣bx﹣1的顶点位置随着字母b的值变化而变化，顶点运动轨迹呈某种函数图象，该种函数即为原函数的模型函数． （1）二次函数y＝x2﹣bx﹣1的顶点坐标为 __________________；（用字母b表示） （2）若某二次函数与二次函数y＝x2﹣bx﹣1的形状相同，其模型函数与二次函数y＝x2﹣bx﹣1的模型函数关于x轴对称，且经过点（1，2），则该二次函数的表达式为 __________________． 【答案】 【分析】（1）代入顶点坐标公式求解即可； （2）根据模型函数定义求出的模型函数，再根据对称性质求出关于x轴对称的函数为，可设二次函数关系式为，再代入（1，2），求出a的值即可． 解：（1）函数的顶点坐椅为，即， 故答案为； 故答案为； （2）由得， ∴二次函数的模型函数为， ∴该模型函数关于x轴对称的函数为 故可设该二次函数的表达式为， 把点（1，2）代入，得： 整理得， 解得，a=0或a=1 所以，模型函数的解析式为：或 故答案为： 【点拨】本题主要考查了求二次函数关系式，熟练掌握“模型函数”的求法是解答本题的关键． 【解题归纳】对称（折叠）变换核心是顶点坐标变换+开口方向判断：①统一将原解析式化为顶点式，确定原顶点 和系数 ；②根据对称类型计算新顶点：轴对称变纵坐标、轴对称变横坐标；③轴对称需将 变号，轴对称 不变；④将新顶点、新系数代入顶点式，整理得到解析式。易错点：切勿遗漏轴对称的开口反向变换。 【四】中考链接 一、单选题 1．（25-26九年级上·河北唐山·期中）将抛物线绕原点O旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定抛物线的顶点坐标，再利用关于原点对称可得旋转后的顶点坐标，且旋转后的开口方向相反，即可得旋转后的抛物线的解析式． 解：抛物线的顶点坐标为，开口向上， 抛物线绕原点O旋转， 旋转后抛物线的顶点坐标为，开口向下， 旋转后抛物线的解析式为． 故选：B 【点拨】本题考查了二次函数的图象与几何变换，找到旋转后的对应顶点和开口方向是解题的关键． 2．（2026·河南周口·一模）已知二次函数 ，若将其图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得图象的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将原一般式二次函数配方化为顶点式，然后根据二次函数的平移方法求解即可 解：∵ 将顶点向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度， ∴ 平移后所得图象的解析式为 3．（2026·河南周口·模拟预测）如图，物流无人机在配送包裹时，将无人机当作一个点看，其飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，设无人机从地面原点处起飞，飞行路线为 ，已知无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，则该抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，得到 ，把代入解析式，确定值即可． 解：根据题意得 ， 抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为． 4．（2026·山东东营·中考真题）在二次函数（a，b，c为常数，）中，与的部分对应值如表所示． 4 0 给出下列结论：①；②；③若，且，则；④若点均在二次函数图象上，则．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】先利用待定系数法求出二次函数的解析式，据此可判断①和②；再根据二次函数的对称性和增减性判断③和④即可． 解：将点代入得：， 解得， ∴二次函数的解析式为， ，结论①正确； ，， ∴，结论②正确； 二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴， 又∵， ∴在这个二次函数的图象上，横坐标为、的两个点关于对称轴对称， ∴， ∴，结论③正确； 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而减小， ∵点在二次函数的图象上， ∴由二次函数的对称性可知，时的函数值与时的函数值相等，即点也在这个二次函数的图象上， 又∵点在二次函数的图象上，且， ∴，结论④错误； 综上，结论正确的是①②③． 二、填空题 5．（2026·黑龙江牡丹江·模拟预测）将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可． 解：将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的解析式为． 6．（2026·西藏林芝·二模）一条抛物线的对称轴为直线，的最大值是，且与抛物线的形状相同，则这条抛物线的解析式是________． 【答案】 【分析】利用对称轴和最值确定抛物线顶点，用顶点式设出解析式，再根据两抛物线形状相同确定二次项系数的值，代入即可求解． 解：抛物线的对称轴为直线，的最大值为， 抛物线的顶点坐标为， 设这条抛物线的解析式为， 该抛物线与的形状相同，且抛物线有最大值，开口向下， ， 这条抛物线的解析式为． 7．（2026·江苏宿迁·一模）在平面直角坐标系中，将抛物线绕着顶点旋转后，所得抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】先把抛物线化为顶点式，再根据绕着顶点旋转后顶点坐标不变，开口方向发生变化即可得出结论． 解：， 抛物线的顶点坐标为， 将抛物线绕着顶点旋转后抛物线的顶点坐标不变，开口方向发生变化， 所得抛物线的解析式为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟知将抛物线绕着顶点旋转后抛物线的顶点坐标不变，开口方向发生变化是解题的关键． 8．（2026·湖北荆州·中考真题）规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______． 【答案】或 【分析】分两种情况，根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，即可求得． 解：函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点， 函数（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点， 当k=0时，函数解析为，它的“Y函数”解析式为，它们的图象与x轴只有一个交点， 当时，此函数是二次函数， 它们的图象与x轴都只有一个交点， 它们的顶点分别在x轴上， ，得， 故k+1=0，解得k=-1， 故原函数的解析式为， 故它的“Y函数”解析式为， 故答案为：或． 【点拨】本题考查了新定义，二次函数图象与x轴的交点问题，坐标与图形变换-轴对称，求一次函数及二次函数的解析式，理解题意和采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 三、解答题 9．（2025年九年级中考数学二次函数压轴题专题练习19新定义）定义：如果二次函数（、、、是常数）与（、、、是常数）满足，，，则这两个函数互为“旋转函数”． （1）写出函数的旋转函数． （2）若函数与互为旋转函数，求的值． （3）已知函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是、、，试求证：经过点、、的二次函数与互为“旋转函数”． 【答案】（1）；（2）；（3）证明：当时， ， 解得：，， ，， 当时， ， 点A，B，C关于原点的对称点分别是、、， ，，， 设经过点，，的二次函数为：，则有 ， 解得：， ， 又 ， ， 两个函数互为“旋转函数”． 【分析】本题考查了新定义，待定系数法等； （1）由旋转函数的定义即可求解； （2）由旋转函数的定义求出、的值，代入计算，即可求解； （3）分别求出点A，B，C，由关于原点的对称规律求出、、，由待定系数法求出，由，即可得证； 理解新定义，掌握待定系数法是解题的关键． （1）解：设所求旋转函数为，则有 ， 解得：， ∴所求旋转函数的解析式为：； （2）解：由题意得， ， 解得， ． （3）略 10．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）已知二次函数图象的对称轴是． （1）求二次函数的解析式； （2）将二次函数图象绕顶点旋转180度得到新的抛物线．得到二次函数的解析式为________； （3）若二次函数的图象满足当时，二次函数有最大值1，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴是可得，求出的值即可得到抛物线的解析式； （2）将原抛物线化为顶点式得出顶点为，再根据原抛物线图象绕顶点旋转180度得到新的抛物线，可得顶点不变，开口方向相反，由此即可得到答案； （3）分情况讨论：当时，即时；当时；当时； 二次函数的性质分别进行计算即可得到答案． （1）解：二次函数图象的对称轴是， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：， 原抛物线的顶点为， 将二次函数图象绕顶点旋转180度得到新的抛物线， 新抛物线的顶点为，开口方向与原抛物线开口方向相反， ， 新抛物线的解析式为：； （3）解：， 对称轴为直线， 当时，即时，二次函数在内，随的增大而增大， 当时，最大为1， ， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时，二次函数在内，随的增大而减小， 当时，最大为1， ， 解得：或（不符合题意，舍去）； 当时，当时，最大，此时最大值为2，不符合题意； 综上所述，的值为或． 【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数的解析式，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 11．（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【答案】（1）；（2）能安全通过， 理由如下：如图， 由题意得：， 将代入， 则， ∵， ∴能安全通过． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入即可求解，继而得到函数解析式； （2）先求出点坐标，然后求出点距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与比较即可． （1）解：由题意得，顶点为，即， 设抛物线的解析式为： 代入点得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）略 12．（2026·四川广元·中考真题）定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交点为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”． 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点． （1）如图1，若点为线段的中点，二次函数的“顶点弦”为线段，且点为顶点，求该二次函数的解析式； （2）在（1）的条件下，若直线上方抛物线上有一点，使，求点的坐标； （3）点在线段上，若抛物线和抛物线的“顶点弦”分别为和，点为和的顶点，且，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据题意可求得，两点的坐标，再由中点坐标公式可求得点的坐标，设二次函数解析式的顶点式，再将点的坐标代入，即可求解； （2）设直线与轴交于点，过点作轴于点，从而求得，得到为等腰直角三角形，由，，得到，，利用待定系数法求得直线的解析式为，根据题意令，即可求解； （3）设，再根据顶点式可表示出和的解析式，由在抛物线上，在抛物线上，可得①，②，与③，联立即可确定点的坐标，再过点作轴于点，最后根据平行线分线段成比例列式计算即可． （1）解：∵一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点， ∴令，即，解得， 令，； ∴，， ∵点为线段的中点， ∴，即， ∵二次函数的“顶点弦”为线段，且点为顶点， ∴设二次函数解析式为， 将点代入，得，解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：设直线与轴交于点，过点作轴于点， ， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 将点，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， ∴令，解得，（舍去）， ∴； （3）解：设， ∴，， ∵在抛物线上，在抛物线上， ∴①，②， ∵③， ∴联立①②③，得到，解得，（舍去）， ∴， 如图，过点作轴于点， ∴轴， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $