期中复习专题3——拓展探究与压轴突破 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

期中复习专题3——拓展探究与压轴突破 （人教版九年级上册：期中核心考点） 一、专题定位 本专题面向九年级优生培优拔高，整合一元二次方程、二次函数、反比例函数单章难点与多章节跨模块综合压轴考点。聚焦数形结合、分类讨论、几何建模、动态探究四大核心数学思想，精准对标全国人教版九上期中多问压轴大题。重点训练学生挖掘题干隐含条件、拆解复杂综合题型、处理动点与存在性问题的能力，攻克函数几何综合、跨函数联动、最值探究等高难度拉分题型。适配期中第三轮培优冲刺、压轴专项讲评、优生拔高限时训练，助力学生突破高分瓶颈。 二、核心考点梳理 章节 核心考点 一元二次方程 含参数一元二次方程多情况分类讨论；一元二次方程在几何背景下的线段长度求解；以一元二次方程为代数支撑，完成函数问题的参数分析与条件推导 二次函数 二次函数利润、面积最值多场景综合应用；二次函数图像与线段、三角形几何图形结合计算；二次函数背景下动点、等腰三角形、直角三角形存在性探究；二次函数多条件多情况分类讨论综合问题 反比例函数 反比例函数与几何图形多问面积、线段综合探究；反比例函数复杂图像性质综合应用；动点背景下反比例函数几何条件分析与求解 跨章节压轴综合 一元二次方程与二次函数参数联动综合探究；二次函数与反比例函数跨函数图像综合问题；方程、函数、几何多条件联动探究；双函数背景下线段、三角形存在性分类讨论压轴问题 三、压轴与拓展 题型1：含参数一元二次方程分类讨论综合题 1.（25-26九年级下·山东济南·自主招生）若实数a，b，c满足：，． （1）若，求m的最小值； （2）若，且a为整数，求； （3）若a，b，c均为整数，判断m能否为奇数并说明理由． 2.（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）在平面直角坐标系中，满足不等式的整数点坐标有（     ）个． A．9 B．7 C．5 D．3 3.（25-26九年级下·广东湛江·自主招生）已知a、b为实数，关于x的方程有且仅有三个不同的实数根．实数a、b满足的关系式为________． 4.（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． （1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． （2）若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 题型2：一元二次方程几何背景线段求值综合题 1.（26-27九年级上·全国·课后作业）一个直角三角形的三边长均为正整数，斜边的长比一直角边的长多1，比另一直角边的长多8，这样的直角三角形存在吗？如果存在，有多少个？ 2.（2026·山东潍坊·模拟预测）若直角三角形的两边长是方程的实根，则该直角三角形的面积是（     ） A．18 B．24或6 C．32 D．18或36 3.（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）如图，在菱形中，，，垂足分别为，，，是的边，且的长是一元二次方程的一个根，则菱形的周长为__________． 4.（26-27九年级上·山西大同·阶段检测）阅读与思考 阅读下列材料，完成相应任务． 一元二次方程的图解法 【材料】据欧几里得的《原本》记载，形如（为常数，且）的方程可以用图解法．如图1，画，使，，，以点为圆心，的长为半径在斜边上截取，则线段的长是方程的一个正根． 【证明】设，则． 根据勾股定理得，即， 整理得， 线段的长是方程的一个正根． 任务： （1）利用此图解法解方程时，可知图1中的，___________，___________． （2）小宣在利用图解法解关于的一元二次方程时，只画出了的斜边及以点为圆心，的长为半径的圆弧交于点（如图2）． ①请在图2中的虚线圆弧上作出直角顶点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②若，直接写出的值． 题型3：二次函数利润最值多问压轴解答题 1.（2026·湖北武汉·中考真题）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查  选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． 成本核算： （1）分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立： （2）设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求w关于的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）． 方案设计： （3）若制作A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 2.（2025·天津河北·一模）销售某商品，每件进价10元，原售价每件30元，每月可售出80件，若每件售价每上升1元，则每月少售出2件．有下列结论：①售价为10元时，每月总利润最高，为1800元；②售价上升5元时，每月总利润为1750元；③售价为38元和售价为42元时，每月所获总利润相同，其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3.（2025·浙江杭州·模拟预测）某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元．以同样的栽培条件，若每盆增加2株，平均单株盈利就减少0.5元，每盆植______株时能使单盆取得最大盈利；若需要单盆盈利不低于13元，则每盆需要植______株． 4.（2026·新疆·三模）某养殖户饲养了，两种肉羊，根据往年的饲养经验，他发现：饲养种肉羊获得的利润（万元）与投资金额（万元）成一次函数关系，饲养种肉羊获得的利润（万元）与投资金额（万元）成二次函数关系．已知函数，图象的交点为，，函数的图象与轴正半轴交于点，如图所示． （1）求函数，的解析式． （2）观察图象，分析单独饲养A种肉羊与单独饲养B种肉羊所获得的利润的大小关系． （3）该养殖户计划明年投资万元饲养，这两种肉羊，如何分配资金，可使得总利润最大？最大总利润是多少万元？ 题型4：二次函数面积最值综合探究题 1.（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）在如图的抛物线上，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q． （1）求直线的解析式； （2）设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段的长； （3）当m为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 2.（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（   ） A． B． C．3 D． 3.（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，抛物线与轴相交于，两点，当抛物线与轴围成的区域（阴影部分）面积最小时，a的值为___________． 4.（26-27九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A，C两点，抛物线经过A，C两点，与x轴交于另一点B，D是第二象限内抛物线上一点． （1）请直接写出点A、C的坐标及抛物线的解析式； （2）连接，，求面积的最大值； 题型5：二次函数背景下等腰三角形存在性探究题 1.（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数解析式及其对称轴． （2）设点P是直线l上的一个动点，当最小时，求P点坐标． （3）在抛物线上存在一点Q，使，求点Q的坐标． （4）在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 2.（25-26九年级上·甘肃嘉峪关·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和． （1）求抛物线的表达式． （2）在抛物线的对称轴上是否能找到一点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． （3）若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，有最大值，并求出最大值． 3.（24-25九年级上·江西新余·期中）如图，已知抛物线（）与 轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）设抛物线的对称轴与轴交于点，问在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由 4.（24-25九年级上·山东日照·阶段检测）如图，点为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、两点（点在轴上），与二次函数图象的对称轴交于点． （1）求的值及点坐标； （2）连接、，求的面积． （3）在该二次函数的对称轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型6：二次函数背景下直角三角形存在性探究题 1.（26-27九年级上·新疆·阶段检测）如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． （3）在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 2.（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴负半轴交于点，点关于抛物线对称轴的对称点是点．已知点，． （1）求点和点的坐标； （2）如果抛物线对称轴上存在点（点在第三象限），使得是直角三角形，求点的坐标； （3）将抛物线平移，平移后的抛物线与轴、轴分别交于点，当点恰好为的重心时，求平移后抛物线的表达式． 3.（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，一条抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点的坐标是，并且． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线上之间的动点，过点作垂直于轴于点，交直线于点，连接、，当的面积最大时，求出点的坐标； （3）抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 4.（2026·辽宁丹东·二模）如图1，抛物线与x轴交于点，，与轴交于点，顶点为，直线交轴于点． （1）求抛物线的表达式． （2）如图2，将沿直线平移得到． ①当点落在抛物线上时，求点的坐标． ②在移动过程中，存在点使为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 题型7：二次函数图像多情况多结论论压轴选择题 1．（26-27九年级上·甘肃·期中）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．若且，则 D．若，两点都在抛物线上，则 2．（26-27九年级上·安徽芜湖·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若；是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①④⑤ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④ 3．（26-27九年级上·全国·周测）如图，抛物线的对称轴为，与x轴分别交于点，，且．下列结论：①；②（t为实数）；③当时，y随x的增大而增大；④若方程的两个实数根分别为，，且，则，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26九年级上·新疆哈密·期中）二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（    ） A．②④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 题型8：反比例函数与几何图形面积综合压轴题 1.（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于点A，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数的解析式； （2）连结，在反比例函数图象上是否存在点，使得，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 2.（25-26九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴相交于点C，已知点B的坐标为． （1）求反比例函数的解析式及点A的坐标； （2）观察图象，不等式的解集为______； （3）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 3.（2026·广东佛山·模拟预测）如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数的图象交于点A（1，n）． （1）求反比例函数的表达式； （2）点P（m，0）在x轴上一点，点M是反比例函数图象上任意一点，过点M作MN⊥y轴，求出△MNP的面积； （3）在（2）的条件下，当点P从左往右运动时，判断△MNP的面积如何变化？并说明理由．    4.（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，点为反比例函数的图像上一点，且点的横坐标为，过点作轴、轴的平行线，分别交反比例函数的图像于、，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于，连接． （1）当时，求线段的长； （2）若； ①若，求的值； ②求的值； （3）当的值一定时，四边形的面积是否随的变化而变化？若不变，请用含的代数式表示四边形的面积；若变化，请说明理由． 题型9：反比例函数动点存在性探究解答题 1.（25-26八年级下·山西晋城·期末）综合与探究 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点，P为x轴负半轴上一动点，作直线，连接． （1）求一次函数的表达式． （2）若的面积为，求点P的坐标． （3）在（2）的条件下，若E为直线PA上一点，F为y轴上一点，是否存在点E，F，使以E，F，P，B为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 2.（25-26八年级下·山西临汾·期末）综合与探究 如图1，已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，，且点的横坐标为，点的纵坐标为． （1）求反比例函数的表达式． （2）如图2，将直线向上平移4个单位长度，与坐标轴交于点，，若是轴上的一个动点，分别连接，，求取得最小值时点的坐标． （3）如图3，以点和点为顶点作矩形，使得轴，轴，边交轴于点，是的中点，直线交轴于点，交轴于点，在第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3.（2025·山东济南·模拟预测）已知：如图，在平面直角坐标系中点，，以为顶点在第一象限内作正方形，反比例函数，分别经过、两点． （1）求点的坐标并直接写出、的值； （2）在反比例函数图象上点的右方有一点，使，求点的坐标； （3）如图，过点作轴，垂足为点，交的图象于点，点为轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使得点、、、四点构成的四边形为菱形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 4.（2026·江苏无锡·模拟预测）如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形．．反比例函数在第一象限内的图象经过点A，交BC的中点F．且    ． （1）求k值和点C的坐标； （2）过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型10：一元二次方程与二次函数参数综合探究解答题 1.（2026·湖南·模拟预测）已知二次函数． （1）若二次函数的图象经过点，求t的值； （2）当时，求y的最小值（用含t的代数式表示）； （3）若x可取全体实数，当时，y的最小值为．设二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为，求线段的长度． 2.（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与y轴交于点，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧）． （1）求该抛物线的函数关系式； （2）已知为抛物线的动点，若，直接写出n的取值范围； （3）当时，y的最大值与最小值的差为3，求t的值． 3.（2026·山东济宁·二模）已知：是方程的两个实数根，且，抛物线的图像经过点A（）、B（）． （1）求这个抛物线的解析式； （2）设（1）中抛物线与轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；（注：抛物线的顶点坐标为） （3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．    4.（26-27九年级上·天津·阶段检测）已知抛物线（，，为常数，，）与轴相交于，两点，点为抛物线与轴的交点． （1）当，时， ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②是线段上一点，是抛物线上一点，且轴，求线段的最大值，及线段的长最大时点的坐标； （2）若点，点在抛物线的对称轴上．当，且取得最小值时，直接写出的值和抛物线解析式； 题型11：二次函数与反比例函数图像交点、面积综合压轴题 1.（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． （1）求二次函数的解析式 （2）已知二次函数与反比例函数的图象交于第一象限的两点，（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标． 2.（2025·江苏扬州·一模）定义：若一个函数的图像上存在横坐标与纵坐标之差为2的点，则称该点为这个函数图像上的“亮点”．例如：点是正比例函数的图像上的“亮点”． （1）一次函数的图像上的“亮点”是______； （2）若点M是反比例函数图像的“亮点”，一次函数的图像经过点M，求b的值； （3）若二次函数的图像经过点，试说明无论a取何值，该二次函数的图像上一定存在“亮点”． 3.（2025·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于一个函数给出一个定义：当自变量（为实数）时，其对应函数的最高点记为，最低点记为，以为对角线作矩形，矩形的边与坐标轴平行，则称该矩形为函数的伴随矩形，该矩形的周长为函数的伴随函数． （1）如图，当时，求函数的伴随函数的函数值； （2）一次函数伴随函数的函数值为，求的值； （3）二次函数与轴交于点和点Q． ①当时，伴随矩形能否为正方形？若能，求出伴随函数的函数值；若不能，说明理由； ②当时，求伴随函数关于的函数表达式； ③在②的条件下，伴随函数图象上的点到直线的距离为时，请直接写出自变量的值． 4.（2025·山东德州·模拟预测） 定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”． （1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形 “梦之点”的是___________； （2）点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”的坐标是___________，直线的解析式是___________． （3）如图②，已知点，是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点，连接，，，判断的形状，并说明理由． 题型12：双函数背景下线段、三角形存在性分类讨论压轴题 1.（2025·浙江温州·一模）如图，抛物线y=ax2+bx（a＞0）与双曲线y=相交于点A，B．已知点B的坐标为（﹣2，﹣2），点A在第一象限内，且tan∠AOx=4．过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC的面积； （3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积．若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由． 2.（2026·河北沧州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于点A，与轴交于点.点在双曲线：上. （1）若有一动点从点A开始沿抛物线运动，当点与点重合后，点开始沿双曲线运动，否则，继续按原路线运动.若点. ①求抛物线的解析式，并判断点是否会在双曲线上运动； ②若点，在点的运动路线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （2）若抛物线与双曲线只有一个交点，且交点的横坐标满足，求的取值范围. 3.（2026·湖南长沙·模拟预测）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点，满足 （ ），则称此函数为关于m的“P函数”，这两点叫做一对关于m的“C点”． （1）下列函数中，其图象上至少存在一对关于1的“C点”的函数，请在相应题目后面横线上打“√”，不存在的打“×”； ① ________；    ② ________；    ③________； （2）若双曲线为关于4的“P函数”，求n的取值范围； （3）关于x的函数D： 是关于t的“P函数”，且当 时，函数D与抛物线 的图象有两个不同的交点，求n的取值范围． 4.（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，抛物线与x轴交于两点（在的左边），与y轴交于C，；双曲线经过抛物线的顶点，点的横坐标为1． （1）求抛物线和双曲线的解析式． （2）点P为抛物线上一动点，且在第一象限，连接，求当四边形取得最大值时，点P的坐标，并求出这个最大值． （3）若在此抛物线和双曲线上存在点Q，使得，请求出点Q的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习专题3——拓展探究与压轴突破 （人教版九年级上册：期中核心考点） 一、专题定位 本专题面向九年级优生培优拔高，整合一元二次方程、二次函数、反比例函数单章难点与多章节跨模块综合压轴考点。聚焦数形结合、分类讨论、几何建模、动态探究四大核心数学思想，精准对标全国人教版九上期中多问压轴大题。重点训练学生挖掘题干隐含条件、拆解复杂综合题型、处理动点与存在性问题的能力，攻克函数几何综合、跨函数联动、最值探究等高难度拉分题型。适配期中第三轮培优冲刺、压轴专项讲评、优生拔高限时训练，助力学生突破高分瓶颈。 二、核心考点梳理 章节 核心考点 一元二次方程 含参数一元二次方程多情况分类讨论；一元二次方程在几何背景下的线段长度求解；以一元二次方程为代数支撑，完成函数问题的参数分析与条件推导 二次函数 二次函数利润、面积最值多场景综合应用；二次函数图像与线段、三角形几何图形结合计算；二次函数背景下动点、等腰三角形、直角三角形存在性探究；二次函数多条件多情况分类讨论综合问题 反比例函数 反比例函数与几何图形多问面积、线段综合探究；反比例函数复杂图像性质综合应用；动点背景下反比例函数几何条件分析与求解 跨章节压轴综合 一元二次方程与二次函数参数联动综合探究；二次函数与反比例函数跨函数图像综合问题；方程、函数、几何多条件联动探究；双函数背景下线段、三角形存在性分类讨论压轴问题 三、压轴与拓展 题型1：含参数一元二次方程分类讨论综合题 1.（25-26九年级下·山东济南·自主招生）若实数a，b，c满足：，． （1）若，求m的最小值； （2）若，且a为整数，求； （3）若a，b，c均为整数，判断m能否为奇数并说明理由． 【答案】（1）；（2）或；（3）不能，理由如下： 把代入，得， 与奇偶性不同，b与奇偶性不同， 与必定同为偶数， 必定为偶数，即m必定为偶数． 【分析】（1）先求得，则，利用配方法和平方数的非负性求解即可； （2）先求得，且b，c是方程的两根，利用一元二次方程的判别式与根的关系得到，进而求得或1即可求解； （3）由已知得到，根据奇数与偶数的积是偶数，偶数与偶数的和为偶数可得结论． （1）解：，， ∴， ． ∴当时，m的最小值为； （2）解：，， ． ∴b，c是方程的两根， ，则， ，则， ， ∵a为整数， 或1， ∴无论哪种情况都有， 或； （3）略 2.（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）在平面直角坐标系中，满足不等式的整数点坐标有（     ）个． A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】C 【分析】先对原不等式配方变形，根据平方的非负性确定x，y的可能取值，再列举所有满足条件的整数点，统计个数即可． 解： 移项得 配方得 整理得 ∵ 为整数， 和 均为非负整数． 满足和不超过1的情况有： 1． ，得整数点 ； 2． ，得整数点 ； 3． ，得整数点 ； 若两个平方都大于等于1，和最小为，不满足条件． 综上，满足条件的整数点共个． 3.（25-26九年级下·广东湛江·自主招生）已知a、b为实数，关于x的方程有且仅有三个不同的实数根．实数a、b满足的关系式为________． 【答案】 【分析】将原方程分解为两个一元二次方程，原方程有三个不同实根，说明一个方程有重根、另一个方程有两个不等实根，计算判别式即可得到、的关系式． 解：利用平方差公式分解得， 因此原方程等价于两个一元二次方程，， 分别计算两个方程的判别式 ，， ∵原方程有且仅有三个不同实数根，说明两个方程中一个有两个不等实根，一个有两个相等实根， ， ∴若，则，此时只有2个实根，不符合要求， 只能，此时，符合要求， 整理得， 假设两个方程有公共根，两式相减得，矛盾，因此三个根互不相同，满足条件， 故所求关系式为． 4.（25-26八年级下·北京·期末）已知关于x的方程． （1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根． （2）若关于x的方程根均为正整数，求整数m的值． 【答案】（1）证明：当时，原方程为，解得，原方程有实数根； 当时， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根； （2）整数的值为或或 【分析】（1）分为和两种情况，结合一元一次方程的根和一元二次方程根与判别式的关系可得结论； （2）分为和两种情况，解方程得到方程的解，根据题中条件即可求得m的值． 解：（1）略 （2）解：当时，由（1）知为正整数，符合题意； 当时，解方程，得，， ∵原方程的根均为正整数，m为整数， ∴或2，对应的或均符合题意， 综上，整数的值为或或． 题型2：一元二次方程几何背景线段求值综合题 1.（26-27九年级上·全国·课后作业）一个直角三角形的三边长均为正整数，斜边的长比一直角边的长多1，比另一直角边的长多8，这样的直角三角形存在吗？如果存在，有多少个？ 【答案】存在这样的直角三角形，有1个 设斜边长为正整数 ∵该三角形为直角三角形，且斜边比一直角边长多1，比另一直角边长多8， ∴两直角边长分别为，，且， 由勾股定理得， 整理得， 解得， ∵， ∴不符合题意，舍去， 当时，两直角边长为12，5，均为正整数，满足条件 【分析】设斜边长为正整数，用含斜边的式子表示两直角边，结合勾股定理列方程，筛选符合边长为正的正整数解 解：略 2.（2026·山东潍坊·模拟预测）若直角三角形的两边长是方程的实根，则该直角三角形的面积是（     ） A．18 B．24或6 C．32 D．18或36 【答案】B 【分析】先求解一元二次方程，得到实根，确定直角三角形已知两边的长度，分情况进行讨论即可 解：∵， ∴ ∴或， ①若两边分别是方程的两根，且两边为直角边时，该直角三角形的面积是； ②若两边分别是方程的两根，且当长是8的边是斜边时，第三边是， ∴该直角三角形的面积是． 3.（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）如图，在菱形中，，，垂足分别为，，，是的边，且的长是一元二次方程的一个根，则菱形的周长为__________． 【答案】 【分析】根据已知条件，先由菱形的性质得出是等边三角形，再根据的长是一元二次方程的一个根求出，最后在中求出，即可求出菱形的周长． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， 在与中 ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵的长是一元二次方程的一个根， 又可因式分解为， ∴的两个根为，（负值舍去）， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，即 解得：， ∴， ∴菱形的周长为． 4.（26-27九年级上·山西大同·阶段检测）阅读与思考 阅读下列材料，完成相应任务． 一元二次方程的图解法 【材料】据欧几里得的《原本》记载，形如（为常数，且）的方程可以用图解法．如图1，画，使，，，以点为圆心，的长为半径在斜边上截取，则线段的长是方程的一个正根． 【证明】设，则． 根据勾股定理得，即， 整理得， 线段的长是方程的一个正根． 任务： （1）利用此图解法解方程时，可知图1中的，___________，___________． （2）小宣在利用图解法解关于的一元二次方程时，只画出了的斜边及以点为圆心，的长为半径的圆弧交于点（如图2）． ①请在图2中的虚线圆弧上作出直角顶点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） ②若，直接写出的值． 【答案】（1）；；（2）①如图，点为所求． ② 【分析】（1）根据题意确定、，以及确定、、的值，在中，根据勾股定理得的值，从而确定的值； （2）①作线段的垂直平分线，结合直径所对的圆周角是确定直角顶点的位置； ②根据题意确定、、、、的值，在中，根据勾股定理得到关于的一元二次方程，解方程，结合实际意义得到的值． （1）解：， ，，且 ∴，， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴； （2）①略 ②解：， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得， 即， 整理得, 解得：，（舍）， ∴． 题型3：二次函数利润最值多问压轴解答题 1.（2026·湖北武汉·中考真题）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查  选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． 成本核算： （1）分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立： （2）设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求w关于的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）． 方案设计： （3）若制作A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 【答案】（1）制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元；（2）；（3）制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大 【分析】（1）设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元，根据“用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等”列出分式方程并求解即可； （2）根据“当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件”求出A品的销量，再根据总销量300件求出B品的销量，从而利用利润公式求出w关于的函数解析式； （3）先利用不等式求出x的取值范围，再根据二次函数的图象和性质求解即可． （1）解：设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元， 由题意可知：， 解得：， 经检验：是原方程的根，符合题意， 故， 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； （2）解：∵当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件， ∴A品的销量为：（件）， ∴B品的销量为：（件）， ∴， 答：w关于的函数解析式为：； （3）解：∵制作A品和B品的总成本不超过元， ∴， 解得：， 又∵且，即， ∴， ∵，， ∴当时，w随着x的增大而减小， ∴当时，． 此时，，总成本等于1400元， 答：制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大． 2.（2025·天津河北·一模）销售某商品，每件进价10元，原售价每件30元，每月可售出80件，若每件售价每上升1元，则每月少售出2件．有下列结论：①售价为10元时，每月总利润最高，为1800元；②售价上升5元时，每月总利润为1750元；③售价为38元和售价为42元时，每月所获总利润相同，其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每件商品的实际售价为x元，每月获得的利润为w元，则每件商品的利润为元，销售量为件，据此列出w关于x的函数关系式，再逐一判断即可得到答案． 解：设每件商品的实际售价为x元，每月获得的利润为w元， 由题意得，， ∵， ∴当，即时，w最大，最大值为1800， ∴售价为40元时，每月总利润最高，为1800元，故①错误； 当时， ， ∴售价上升5元时，每月总利润为1750元，故②正确； 当时， ， 当时， ， ∴售价为38元和售价为42元时，每月所获总利润相同，故③正确； 故选：C． 3.（2025·浙江杭州·模拟预测）某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元．以同样的栽培条件，若每盆增加2株，平均单株盈利就减少0.5元，每盆植______株时能使单盆取得最大盈利；若需要单盆盈利不低于13元，则每盆需要植______株． 【答案】 7 7或9 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．根据已知假设每盆花苗（原来花盆中有3株）增加a（a为偶数）株，盈利为y元，则每盆花苗有株，得出平均单株盈利为元，由题意得，根据二次函数的性质即可求得． 解：设每盆花苗（假设原来花盆中有3株）增加a（a为偶数）株，盈利为y元， 则根据题意得：， ∵a为偶数，， ∴当时，取得最大值， （株）； ∵当时， 当时，， 当时，， ∴每盆植7株时能使单盆取得最大盈利；若需要单盆盈利不低于13元，则每盆需要植7或9株． 故答案为：7，7或9． 4.（2026·新疆·三模）某养殖户饲养了，两种肉羊，根据往年的饲养经验，他发现：饲养种肉羊获得的利润（万元）与投资金额（万元）成一次函数关系，饲养种肉羊获得的利润（万元）与投资金额（万元）成二次函数关系．已知函数，图象的交点为，，函数的图象与轴正半轴交于点，如图所示． （1）求函数，的解析式． （2）观察图象，分析单独饲养A种肉羊与单独饲养B种肉羊所获得的利润的大小关系． （3）该养殖户计划明年投资万元饲养，这两种肉羊，如何分配资金，可使得总利润最大？最大总利润是多少万元？ 【答案】（1）；；（2）当投资金额小于万元时，饲养种肉羊的利润较大；当投资金额等于万元时，饲养种肉羊，种肉羊的利润一样；当投资金额大于万元时，饲养种肉羊的利润较大；（3）当种肉羊的投资金额为万元，种肉羊的投资金额为万元，可使得总利润最大，最大利润为万元 【分析】（1）设函数的解析式为：；把点代入，求出即可；设函数的解析式为：；把，，，代入函数解析式，求出，即可； （2）根据函数图象，进行解答，即可； （3）设养殖户明年饲养，两种肉羊获得的总利润为万元，其中饲养种肉羊的投资金额为万元，，饲养种肉羊的投资金额为万元，可得，根据二次函数的图象和性质，求出最大值即可． （1）解：设函数的解析式为：；函数经过点， ∴， ∴， ∴； 设函数的解析式为：；函数经过点，，， ∴， 解得：， ∴． （2）解：由函数图象可知；当投资金额小于万元时，饲养种肉羊的利润较大；当投资金额等于万元时，饲养种肉羊，种肉羊的利润一样；当投资金额大于万元时，饲养种肉羊的利润较大． （3）解：设养殖户明年饲养，两种肉羊获得的总利润为万元，其中饲养种肉羊的投资金额为万元，饲养种肉羊的投资金额为万元， ∴， 整理得：， 配方可得：； ∵， ∴当时，有最大值，最大值为；此时； ∴当种肉羊的投资金额为万元，种肉羊的投资金额为万元，可使得总利润最大，最大利润为万元． 题型4：二次函数面积最值综合探究题 1.（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）在如图的抛物线上，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q． （1）求直线的解析式； （2）设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段的长； （3）当m为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）直线的解析式为；（2）；（3）当时，最大，最大面积为 【分析】（1）由图象知、，利用待定系数法求解即可； （2）设（），则，利用坐标与图形性质可得答案； （3）利用三角形的面积和二次函数的性质求解即可． （1）解：设直线的解析式为， 把代入得，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：设（），则， ∴； （3）解： ， ∵，， ∴当时，最大，最大值为． 2.（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称—最短路径问题、勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点的坐标，然后求出点到直线的距离和的长度，即可求得的面积． 解：联立得， 解得或， 点的坐标为，点的坐标为， ， 作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得， 直线的函数解析式为， 当时，， 即点的坐标为， 过点作于点D， 将代入直线中，得， ∵点的坐标为， ∴直线与轴的夹角是， ∴是等腰直角三角形， ∴， 的面积， 故选：A． 3.（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，抛物线与轴相交于，两点，当抛物线与轴围成的区域（阴影部分）面积最小时，a的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 根据题意分析出顶点纵坐标越大时，阴影部分面积越小，表示出顶点的纵坐标，然后利用二次函数的图象和性质继续分析即可． 解：根据题意得，， ∴取任何数时，抛物线与轴都有两个交点， 根据抛物线的性质的，此时抛物线开口大小固定，抛物线顶点纵坐标为负值， 当抛物线的顶点纵坐标越大时，阴影部分面积越小， ∴顶点纵坐标为， ∴顶点纵坐标可看作关于的二次函数，开口向下，顶点纵坐标为最大值， ∴此二次函数的顶点横坐标为， 故答案为：． 4.（26-27九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A，C两点，抛物线经过A，C两点，与x轴交于另一点B，D是第二象限内抛物线上一点． （1）请直接写出点A、C的坐标及抛物线的解析式； （2）连接，，求面积的最大值； 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）先求出点A，点C的坐标，再根据待定系数法求解即可； （2）过点D作轴于点N，交于点H，设，求出，再根据二次函数的性质求最值即可． （1）解：已知直线与x轴、y轴分别交于A，C两点， 当时，得：， 解得：， 当时，得， ，， 将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：过点D作轴于点N，交于点H， 由（1）得，，， 是第二象限内抛物线上一点， 设，， 直线与x轴、y轴分别交于A、C两点， ， 则 ， ， 抛物线的开口向下， 当时，有最大值，最大值为． 题型5：二次函数背景下等腰三角形存在性探究题 1.（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数解析式及其对称轴． （2）设点P是直线l上的一个动点，当最小时，求P点坐标． （3）在抛物线上存在一点Q，使，求点Q的坐标． （4）在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），对称轴为直线；（2）；（3）或；（4）存在，点M的坐标为，，， 【分析】（1）根据点A与点B的坐标将抛物线解析式设为交点式，再将点C的坐标代入抛物线解析式，求出未知参数，写出抛物线的解析式，再求对称轴即可． （2）根据抛物线解析式求出直线l的解析式，点A与点B关于直线l对称，连接交直线l于点P，此时的值最小，求出所在直线的解析式，求出直线BC与直线l的交点即可． （3）设，根据列方程求出，结合的顶点坐标为取，代入函数解析式求出x的值即可； （4）设点，分类讨论：①，②，③，分别用含m的式子表示出，再分别根据：①，②，③列方程求出m的值即可． 解：（1）设抛物线解析式为， 将点C坐标代入解析式得：， 解得， ， 抛物线对称轴为直线． （2）∵点A与点B关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当点B，P，C共线时，的值最小． 设直线解析式为， 将点B的坐标代入直线解析式可得： ， ， ，     令， ． （3）∵， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵的顶点坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴或； （4）存在，理由如下： 作垂直于直线l交直线l于点H，则， 设， 则， ， ， ①若，则， ， 解得：， ∴点M的坐标为； ②若，则， ， 解得： ， ∴点M的坐标为，； ③若，则， ，     解得：或6， 设直线解析式为， 将点A坐标代入直线解析式得：， 解得：， 直线解析式为， 令， 当时，点M在直线上，点A、C、M不能构成三角形，故舍去， ， 点M的坐标为． 综上，符合条件的点M的坐标为：，，， ． 【点拨】本题为二次函数综合题，主要考查二次函数解析式的求解、轴对称以及等腰三角形的性质，本题关键在于：①设抛物线解析式为交点式求解更为快捷；②要求两线段之和最小，一般可以结合轴对称分析；③分类讨论，将两边长相等转化为两边长的平方相等求解更为简便，需要注意的是要对所求的m值验证，进行取舍． 2.（25-26九年级上·甘肃嘉峪关·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和． （1）求抛物线的表达式． （2）在抛物线的对称轴上是否能找到一点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． （3）若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，有最大值，并求出最大值． 【答案】（1）；（2）存在；；（3）； 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，关键是要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）由点，，的坐标得，，，再根据列方程求解即可； （3）根据题意可得出点，的坐标，进而可得出，的值，代入中，可得出，即可求解． （1）解：抛物线经过点和， 将点和代入得， ， 解得， 抛物线的表达式为． （2）解：存在，理由： 由抛物线的表达式可知，其对称轴为直线， 故设点， 是以为底边的等腰三角形， ． 由点，，的坐标得，，， 则， ， 即点． （3）解：直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ． 当时，即， ，， ． 又， 当时，有最大值，最大值为． 3.（24-25九年级上·江西新余·期中）如图，已知抛物线（）与 轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）设抛物线的对称轴与轴交于点，问在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1）；（2）存在，；（3）存在，或或或 【分析】（1）将、坐标代入抛物线的解析式，用待定系数法即可求出二次函数的解析式． （2）连接交对称轴直线于点，则点即为所求，待定系数法求直线的解析式，进而令，即可求解； （3）根据题意，分以下三种情况进行讨论：①；②；③；即可利用等腰三角形的性质求解． （1）解：将点、代入， 得 解得 抛物线的解析式为， （2）解：如图所示，连接交对称轴直线于点，连接， ∵关于对称轴对称， ∴在上时，，此时的周长最小 由，当时， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得； ∴直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ∴当时， ∴ （3）解：存在，理由如下：抛物线的解析式为，其对称轴为， ， ， ， ①当时：如图， 作于点D，则， ， 此时点P的坐标为； ②当时： ，， ，， ， ， 此时点P的坐标为或； ③当时：如图， 作于点D，设，则． 在中，由勾股定理得， 即， 解得． 此时点P的坐标为． 综上所述：点P坐标为或或或． 【点拨】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合及等腰三角形的存在性问题；正确的画出对应图形，并结合每种对应情况进行分类讨论是解题的关键． 4.（24-25九年级上·山东日照·阶段检测）如图，点为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、两点（点在轴上），与二次函数图象的对称轴交于点． （1）求的值及点坐标； （2）连接、，求的面积． （3）在该二次函数的对称轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），顶点坐标为；（2）；（3）或或或 【分析】（1）将点坐标代入解析式可求的值，利用待定系数法可求抛物线解析式； （2）先求出然后根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质求解. 解：（1）∵直线过点， ∴， ∴， ∴， ∴， 二次函数解析式为 顶点坐标为； （2）由（1）知， 直线的解析式为，，二次函数对称轴为直线， ∵直线与二次函数图象的对称轴交于点， ∴设点， ∴， ∴， ∴的面积； （3）存在点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形. ∵顶点坐标为 ∴对称轴为直线 过点作于点， 在中，， ①当时，设，在中，， 即， 解之得 ， ； ②当时，根据等腰三角形三线合一得， ， ； ③当时，， ， 综上所述：点的坐标为或或或 【点拨】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键 题型6：二次函数背景下直角三角形存在性探究题 1.（26-27九年级上·新疆·阶段检测）如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． （3）在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，M的坐标是或 【分析】（1）先求出点坐标，再设交点式求解即可； （2）过点N作轴交直线于点P，设，则，表示出，再由建立起面积的二次函数关系式，再由二次函数的性质求解； （3）设，①当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则，得到是等腰直角三角形，则，即可建立方程求解；②当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴，得到是等腰直角三角形，则，即可建立方程求解． （1）解：令，则， 令，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设抛物线， 代入，得，， ∴； （2）解：如图3，过点N作轴交直线于点P， 设，则， ∴， ∵轴， ∴点C到的距离为，点B到的距离为， ∴， ∵ ∴当时，的面积最大，为． （3）解：存在． 设， ①当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则， 由，，得， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得（舍去），． ∴， ∴． ②当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵轴，即轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 综上所述，M的坐标是或． 2.（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴负半轴交于点，点关于抛物线对称轴的对称点是点．已知点，． （1）求点和点的坐标； （2）如果抛物线对称轴上存在点（点在第三象限），使得是直角三角形，求点的坐标； （3）将抛物线平移，平移后的抛物线与轴、轴分别交于点，当点恰好为的重心时，求平移后抛物线的表达式． 【答案】（1），；（2）或；（3） 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理，二次函数和几何图形综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）根据坐标和锐角三角函数比求出，利用待定系数法求出二次函数的解析式，然后求出交点坐标即可； （2）分情况进行讨论，假设，利用勾股定理表示出相关线段的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可； （3）根据重心的性质，求出，，然后利用待定系数法求出二次函数的解析式即可． （1）解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 将，代入得， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴； （2）解：抛物线对称轴为直线， ①如图所示，当时，连接， 假设， 根据勾股定理得，，， ∵， ∴， 解得， ∴； ②如图所示，当时，连接， 同上，此时， ∴， 解得，（舍去）， ∴； 综上，点的坐标为或； （3）解：如图所示，点恰好为的重心， ∵点关于抛物线对称轴的对称点是点，且对称轴为直线，， ∴， ∴线段的中点坐标为，即， 根据重心的性质得，点的横坐标为，纵坐标为， 解得，， ∴，， 假设平移后的抛物线解析式为， 将，代入解析式得， 解得 ∴平移后的抛物线解析式为． 3.（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，一条抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点的坐标是，并且． （1）求抛物线的解析式； （2）点是抛物线上之间的动点，过点作垂直于轴于点，交直线于点，连接、，当的面积最大时，求出点的坐标； （3）抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或； 【分析】（1）先求出、两点坐标，再设交点式，将点坐标代入求解即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，进而得出，根据得到关于的二次函数，再配方求最值即可； （3）分两种情况讨论：①当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴于点；②当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，根据等腰直角三角形的判定和性质，找出相等线段，再设点坐标，进而得到一元二次方程，即可求解． （1）解：点的坐标是， ， ， ，， ，， 抛物线与轴交于、两点， 设抛物线的解析式为， 与轴交于点， ， 解得：， ， 即抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 点是抛物线上之间的动点， 设， 轴，交直线于点， ， ， ， ， 当时，有最大值为8， ， 即当的面积最大时，求出点的坐标为； （3）解：存在，理由如下： ①当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设， ，， ， ， 解得：，（舍）， 当时，， ； ②当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴于点， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 轴， 是等腰直角三角形， ， 设， ，， ， ， 解得：，（舍）， 当时，， ， 综上可知，抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或； 【点拨】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，求一次函数解析式，二次函数的最值问题，等腰直角三角形的判定和性质，一元二次方程的应用等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 4.（2026·辽宁丹东·二模）如图1，抛物线与x轴交于点，，与轴交于点，顶点为，直线交轴于点． （1）求抛物线的表达式． （2）如图2，将沿直线平移得到． ①当点落在抛物线上时，求点的坐标． ②在移动过程中，存在点使为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）抛物线的表达式为；（2）①点的坐标为或；②点的坐标为或或或 【分析】（1）抛物线的表达式为：，即，解方程即可得到答案； （2）①将点的坐标代入抛物线表达式，即可求解；②根据题意，分为直角、为直角、为直角三种情况，由勾股定理分别列方程求解即可得到答案． （1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴设抛物线解析式为， 则，即， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：抛物线与x轴交于点，， 函数的对称轴为，故点； 设直线的表达式为：， 将点、的坐标代入得，解得， 直线的表达式为， 设点， ∵，则点， ①将点的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故点的坐标为或； ②点，点的坐标分别为、，则，，， 当为直角时，由勾股定理得， 解得， 故点的坐标为或； 当为直角时，由勾股定理得， 解得， 故点的坐标为； 当为直角时，由勾股定理得， 解得， 故点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及二次函数图象与性质、待定系数法确定二次函数表达式、待定系数法确定一次函数表达式、勾股定理的运用等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏，熟练掌握二次函数图象与性质及二次函数综合问题解法是解决问题的关键． 题型7：二次函数图像多情况多结论论压轴选择题 1．（26-27九年级上·甘肃·期中）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．若且，则 D．若，两点都在抛物线上，则 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口向下，与轴交于正半轴可得，，据此可得选项A错误；根据二次函数的对称轴即可得选项B错误；得出和关于对称轴直线对称，据此可得选项C正确；根据二次函数的增减性可得选项D错误． 解：由函数图象可知，抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∴，则选项A错误； ∵这个二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，则选项B错误； ∵且， ∴， ∴和关于对称轴直线对称， ∴， ∴，则选项C正确； ∵抛物线的开口向下，其对称轴为直线， ∴当时的函数值与当时的函数值相等；且当时，随的增大而减小， ∵点在抛物线上， ∴点也在抛物线上， 又∵点在抛物线上，且， ∴，则选项D错误． 2．（26-27九年级上·安徽芜湖·阶段检测）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若；是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①④⑤ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④ 【答案】A 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断符号及关系，可判断①正确；利用对称性求出抛物线与轴另一交点坐标，可判断②不正确；利用二次函数的增减性可判断③不正确；根据当时，抛物线取得最大值，可判断④正确；把代入，可判断⑤正确． 解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过，即，故②不正确； ∵，且抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值，， 当时，，且， ∴，故④正确； 把代入得，即，故⑤正确； 综上所述，正确的结论是①④⑤． 3．（26-27九年级上·全国·周测）如图，抛物线的对称轴为，与x轴分别交于点，，且．下列结论：①；②（t为实数）；③当时，y随x的增大而增大；④若方程的两个实数根分别为，，且，则，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据开口方向可得a的符号，根据与y轴的交点位置可得c的符号，再根据对称轴公式可得b的符号，据此可判断①；根据开口方向可得当时，函数有最大值，最大值为，则可得到，据此可判断②；根据对称轴和开口方向可得增减性，据此可判断③；根据顶点的纵坐标，结合离对称轴越远，函数值越小可判断④． 解：解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值，最大值为， ∴，即，故②错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故③错误； ∵方程的两个实数根分别为，， ∴当时，或， ∵抛物线开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵抛物线的顶点的纵坐标为2，且， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有①④，共2个． 4．（25-26九年级上·新疆哈密·期中）二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（    ） A．②④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置判断的符号及关系；利用时的函数值及对称轴公式进行推导验证各结论． 解：①由图象可知：抛物线开口向下，则； 对称轴在轴右侧，则，故； 抛物线与轴交点在轴上方，则． ，故此结论正确； ②当时，图象在轴下方，即， ，故此结论错误； ③由对称轴为直线可知，当时的函数值与时的函数值相等． 时， 当时，，故此结论正确； ④对称轴为直线， ． 又当时，， ， 即， ，故此结论正确； ⑤抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，取最大值， 即． ，即，故此结论错误． 综上所述，正确的结论是①③④． 题型8：反比例函数与几何图形面积综合压轴题 1.（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于点A，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． （1）求反比例函数的解析式； （2）连结，在反比例函数图象上是否存在点，使得，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，坐标为或 【分析】（1）首先将点代入一次函数中，得到点B坐标，然后将点B代入反比例函数中，求出k的值，即可得到反比例函数解析式． （2）首先求一次函数与坐标轴的交点，得到点C、D坐标，求出、的长，结合点B坐标即可求出的面积，从而根据面积倍数关系得到；以为底，高为点P纵坐标绝对值，根据面积公式即可反推出；再结合点P在反比例函数上得出点P横坐标即可． （1）解：∵是一次函数的图象与反比例函数的图象交点， ∴将代入一次函数得，即， ∴将代入反比例函数得，解得， ∴反比例函数解析式为． （2）∵一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D， ∴令，得，即点，；令，得，即点，． ∵，即B到y轴距离为1， ∴， ∴． 设点在反比例函数图象上，以为底，则高为， ∴，即或． 当时，由得，此时；当时，由得，此时． 故存在满足条件的点P，坐标为或． 2.（25-26九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴相交于点C，已知点B的坐标为． （1）求反比例函数的解析式及点A的坐标； （2）观察图象，不等式的解集为______； （3）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 【答案】（1）；；（2）或；（3）点P的坐标为或． 【分析】（1）先将点B的纵坐标代入直线中，得到点B的完整坐标；其次将点B坐标代入反比例函数中，推出k的值，得到反比例函数解析式；最后联立两个函数的方程，求出交点A的坐标． （2）首先明确不等式的几何意义，对应图象中一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，然后结合两个交点确定解集． （3）首先根据直线与x轴交点求出点C坐标，得到的长度，即两个三角形的底边均为的长；然后结合点A纵坐标计算出，从而得到；设出点P坐标，根据反推出点P纵坐标，代入反比例函数解析式，即可得到点P坐标． （1）解：将点B的坐标代入中，得 解得，即点． 将代入到中，得 解得 ∴反比例函数的解析式为． 联立， 得 解得，． 当时，代入，得 ∴点A的坐标为． （2）解:不等式表示一次函数的函数值大于反比例函数的函数值． 两个函数的交点为和，反比例函数自变量取值范围为，观察图象可得：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值， 因此不等式的解集为或． （3）解:将代入直线中，得，即点，． ∵点A纵坐标为2， ∴， ∴． 设点，则，得． 当时，代入反比例函数得，解得； 当时，点P与点B重合，为． ∴点P的坐标为或． 3.（2026·广东佛山·模拟预测）如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数的图象交于点A（1，n）． （1）求反比例函数的表达式； （2）点P（m，0）在x轴上一点，点M是反比例函数图象上任意一点，过点M作MN⊥y轴，求出△MNP的面积； （3）在（2）的条件下，当点P从左往右运动时，判断△MNP的面积如何变化？并说明理由．    【答案】（1）y＝；（2）1；（3）△MNP的面积是不变的常数1，理由： 故△MNP的面积是不变的常数1． 【分析】（1）将点A的坐标代入y＝x+1得：n＝1+1＝2，故点A（1，2），进而求解； （2）MN⊥y轴，故MN∥x轴，则△MNP的面积S＝S△OMN＝k＝1； （3）由（2）知△MNP的面积为1，为常数，即可求解． 解：（1）将点A的坐标代入y＝x+1得：n＝1+1＝2，故点A（1，2）， 设反比例函数的表达式为：y＝，将点A的坐标代入上式得：2＝，解得：k＝2， 故反比例函数表达式为：y＝； （2）∵MN⊥y轴，故MN∥x轴， 则△MNP的面积S＝S△OMN＝k＝1； （3）略 【点拨】此题主要考查一次函数、反比例函数和几何综合，熟练掌握函数图象和性质是解题关键． 4.（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，点为反比例函数的图像上一点，且点的横坐标为，过点作轴、轴的平行线，分别交反比例函数的图像于、，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于，连接． （1）当时，求线段的长； （2）若； ①若，求的值； ②求的值； （3）当的值一定时，四边形的面积是否随的变化而变化？若不变，请用含的代数式表示四边形的面积；若变化，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①，②；（3）不变， 【分析】（1）先求出点坐标，根据题意，求出点的坐标，即可得解； （2）①设则：，得到，根据，进行求解即可；②分别表示出点的坐标，求出的长，即可得出的值； （3）利用四边形的面积等于，进行求解判断即可． （1）解：∵， ∴， ∴， ∵轴，轴，点在的图象上，点在的图象上， ∴， ∴； （2）①设 ∵， ∴， ∵点在的图象上，点在的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵在的图象上， ∴ 由题意得：，，，， ∴，， ∴； （3）不变； 由（2）②知：，，， ∴，， ∴四边形的面积等于 ． 【点拨】本题考查反比例函数的综合应用．熟练掌握反比例函数上的点的特征，以及平行于坐标轴的直线上的点的特征，是解题的关键． 题型9：反比例函数动点存在性探究解答题 1.（25-26八年级下·山西晋城·期末）综合与探究 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点，P为x轴负半轴上一动点，作直线，连接． （1）求一次函数的表达式． （2）若的面积为，求点P的坐标． （3）在（2）的条件下，若E为直线PA上一点，F为y轴上一点，是否存在点E，F，使以E，F，P，B为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）一次函数解析式为；（2）；（3）（-7，-4）或． 【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数解析式可求得，进而可得，再利用待定系数法即可求得一次函数解析式； （2）如图，设直线交轴于，过点作轴于，过点作轴于，设，根据三角形的面积为，建立方程求解即可得出，得出答案； （3）利用待定系数法可得直线的解析式为，设，，当、为平行四边形对角线时，与的中点重合；当，为平行四边形对角线时，与的中点重合；分别建立方程求解即可得出答案． （1）解：把代入，得 ， ∴反比例函数解析式为， ∴， 把，代入得 解得， ∴一次函数解析式为； （2）如图，设直线交轴于，过点作轴于，过点作轴于，    设， ∵，， ∴，， 在中，令，得， 解得：， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 解得：， ∴； （3）存在； 设直线的解析式为，把，坐标分别代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，， 又，， 当、为平行四边形对角线时，与的中点重合， ∴， 解得， ∴； 当，为平行四边形对角线时，与的中点重合， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点E的坐标为或． 【点拨】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质等，解题关键是运用分类讨论思想解决问题，防止漏解． 2.（25-26八年级下·山西临汾·期末）综合与探究 如图1，已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，，且点的横坐标为，点的纵坐标为． （1）求反比例函数的表达式． （2）如图2，将直线向上平移4个单位长度，与坐标轴交于点，，若是轴上的一个动点，分别连接，，求取得最小值时点的坐标． （3）如图3，以点和点为顶点作矩形，使得轴，轴，边交轴于点，是的中点，直线交轴于点，交轴于点，在第二象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）取得最小值时点的坐标；（3）存在；或或 【分析】（1）先求出，，然后代入反比例函数解析式，得出答案即可； （2）求出直线的解析式为，得出，作点C关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，根据，得出，说明当最小时，最小，根据两点间线段最短，得出此时最小，即最小，求出直线的解析式为，再求出点P的坐标即可； （3）先求出，再求出直线的解析式为：，得出，，分三种情况：当，时，当，时，当，时，分别画出图形求出结果即可． （1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点，， ∴A与B关于原点对称， ∵点的横坐标为，点的纵坐标为 ∴点的纵坐标为3，点的横坐标为2， 即，， 把代入得：， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵将直线向上平移4个单位长度，得到直线， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴， 作点C关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，如图所示： 则点， 根据轴对称可知：， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点间线段最短， ∴此时最小，即最小， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴取得最小值时点P的坐标为． （3）解：∵以点和点为顶点作矩形，使得轴，轴， ∴， ∵边交轴于点， ∴, ∵是的中点， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴，， 当，时，过点Q作轴于点K，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当，时，过点Q作轴于点K，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当，时，过点Q作轴于点K，过点N作于点I，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上分析可知：点Q的坐标为或或． 【点拨】本题主要考查了反比例函数的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，注意进行分类讨论． 3.（2025·山东济南·模拟预测）已知：如图，在平面直角坐标系中点，，以为顶点在第一象限内作正方形，反比例函数，分别经过、两点． （1）求点的坐标并直接写出、的值； （2）在反比例函数图象上点的右方有一点，使，求点的坐标； （3）如图，过点作轴，垂足为点，交的图象于点，点为轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使得点、、、四点构成的四边形为菱形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，；（2）点或；（3）存在，或或． 【分析】（1）过点作轴于点，作轴于点，结合正方形的性质用“角角边”证明、，再由全等三角形的性质即可求出点、的坐标，求出坐标后分别代入反比例函数即可得出、的值； （2）延长交轴于点，由点、的坐标求出直线的解析式及线段的长，可得点坐标，过点作交轴于点，作交延长线为，结合题中所给的求出，再结合解直角三角形的应用、勾股定理求出，可得点坐标，从而求出直线解析式，由点是直线与反比例函数的交点，联立反比例函数解析式和直线解析式即可求出点横坐标，继而得解； （3）先求出点坐标、的长，设点、，分三种情况讨论：当为对角线时；当为对角线时，当为对角线时． （1）解：过点作轴于点，作轴于点， ， 正方形中，，， 平面直角坐标系中， ，， ， 在和中， ， ， 又，， 则，， 则点， 同理可得，， ，， 则点， 将点、的坐标分别代入两个函数表达式得：，； （2）解：延长交轴于点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：，， 令，则，则点， 过点作交轴于点，作交延长线为， 则， ， 由直线的表达式知，， ，， ， 直线的表达式为：，由（1）知反比例函数的表达式为：， 点是直线与反比例函数的交点， ， 解得：或， 即点或； （3）解：存在，理由： 当时，，即点， 设点、， 由点、的坐标得， 当为对角线时， 由中点坐标公式和得： ，解得：， 即点； 当或为对角线时， 同理可得：（无解）或， 解得：， 即点或， 综上，或或． 【点拨】本题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、求反比例函数解析式、求一次函数解析式、解直角三角形的应用、勾股定理、一次函数与反比例函数综合、反比例函数与几何综合、一元二次方程的实际应用，解题关键是分类讨论． 4.（2026·江苏无锡·模拟预测）如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形．．反比例函数在第一象限内的图象经过点A，交BC的中点F．且    ． （1）求k值和点C的坐标； （2）过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）k=12，；（2）存在，，，， 【分析】（1）先过点A作AH⊥OB，设OA=a，根据，表示 出AH和OH的值，求出S△AOH的值，根据S△AOF=9，求出平行四边形AOBC的面积，根据F为BC的中点，求出S△OBF=，根据BF=a，∠FBM=∠AOB，得出S△BMF=BM•FM，S△FOM=+a2，再根据点A，F都在的图象上，S△AOH=k，求出a，最后根据S平行四边形AOBC=OB•AH，得出OB=AC=，即可求出点C的坐标； （2）分别根据当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，得出P1，P2；当∠PAO=90°时，求出P3；当∠POA=90°时，求出P4即可． 解：（1）过点作于，设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，过点C作CN⊥x轴于点N， 由平行四边形性质可证得OH=BN， ， ， 为的中点 ， ， 点，都在的图象上 ， ，， ， ∴ON=OB+OH= （2）存在三种情况． ∵EF∥OB， ∴点P的纵坐标为：2， 设点P（x，2）， ∴，， 当∠APO=90°时，则PA2+OP2=OA2， 即+=25， 解得：x1=4，x2=-1，， ∴，； 当∠PAO=90°时，PA2+OA2=OP2， 即+25= 解得，x=， ∴， 当∠POA=90°时，OP2+OA2=PA2， 即+25=， 解得：x=-， ∴． 综上可得：点P的坐标为：，，，． 【点拨】此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是三角函数、平行四边形、反比例函数、三角形的面积等，要注意运用数形结合的思想，要注意（2）有三种情况，不要漏解． 题型10：一元二次方程与二次函数参数综合探究解答题 1.（2026·湖南·模拟预测）已知二次函数． （1）若二次函数的图象经过点，求t的值； （2）当时，求y的最小值（用含t的代数式表示）； （3）若x可取全体实数，当时，y的最小值为．设二次函数的图象与x轴的两个交点坐标分别为，求线段的长度． 【答案】（1）；（2）若，y的最小值为3；若，y的最小值为；若，y的最小值为；（3） 【分析】本题主要考查了二次函数综合．熟练掌握二次函数对称性和增减性，一元二次方程的根与系数的关系，用分类讨论的数学思想，是解答本题的关键． （1）把代入二次函数解析式，解方程即得； （2）根据图象开口向上，对称轴是直线和，分，，三种情况解答； （3）根据，结合（2）的后两种情况，运用一元二次方程根与系数的关系解答并验证即得． 解：（1）∵经过点， ∴， 解得，； （2）∵， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线的对称轴为直线， ①若， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y取得最小值，为3； ②若， ∴当时，y取得最小值，为;    ③若， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最小值，即． 综上可知，若，y的最小值为3；若，y的最小值为；若，y的最小值为． （3）由（2）知，当时，y取最小值，解得，． ， ． 由题意，可知为一元二次方程的两个根． 由韦达定理，得， ． 当时，y取得最小值，即，解得，，不合． 综上，． 2.（26-27九年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与y轴交于点，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧）． （1）求该抛物线的函数关系式； （2）已知为抛物线的动点，若，直接写出n的取值范围； （3）当时，y的最大值与最小值的差为3，求t的值． 【答案】（1）；（2）；（3）t的值为和 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）抛物线的动点M在的范围中包含顶点，则可知n的最小值，再根据抛物线的轴对称性，可求得n的最大值，即得答案； （3）分，，三种情况，分别列方程求解即可． （1）解：抛物线的顶点坐标为， ， 把代入，得， 解得， 该抛物线的函数关系式为； （2）解：抛物线的顶点坐标为， 二次函数的最小值为， ， 当时，二次函数取得最大值， ． （3）解：当时，， 由y的最大值与最小值的差为3，可得 解得，不合题意，舍去； 当时，， 若，即时， 解得 结合，可得； 若，即时， 解得 结合，可得； 当时， 解得，不合题意，舍去； 综上所述，符合条件的t的值为和． 3.（2026·山东济宁·二模）已知：是方程的两个实数根，且，抛物线的图像经过点A（）、B（）． （1）求这个抛物线的解析式； （2）设（1）中抛物线与轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；（注：抛物线的顶点坐标为） （3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．    【答案】（1）y＝﹣x2﹣4x+5；（2）C（﹣5，0），D（﹣2，9），S△BCD＝15；（3）P点的坐标为（﹣，0）或（﹣，0） 【分析】（1）通过解方程即可求出m、n的值，则A、B两点的坐标可得，再根据待定系数法求解即可； （2）根据（1）得出的抛物线的解析式即可求出C、D两点的坐标，过D作x轴的垂线交x轴于M，如图，然后根据S△BCD＝S梯形MDBO+S△DMC﹣S△BOC解答即可； （3）由于△PCH被直线BC分成的两个小三角形等高，因此面积比就等于底边的比．设PH与BC的交点为E，那么EH就是抛物线与直线BC的函数值的差，而EP就是E点的纵坐标．然后可根据直线BC的解析式设出E点的坐标，再分两种情况进行讨论：①当EH＝EP时；②当EH＝EP时．由此可得出两个不同的关于E点横坐标的方程，进一步即可求出结果． 解：（1）解方程x2﹣6x+5＝0，得x1＝5，x2＝1， 由m＜n，得m＝1，n＝5， 所以点A、B的坐标分别为A（1，0），B（0，5）． 将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c， 得，解这个方程组，得：， 所以抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣4x+5； （2）由y＝﹣x2﹣4x+5，令y＝0，得﹣x2﹣4x+5＝0， 解这个方程，得x1＝﹣5，x2＝1， 所以C点的坐标为（﹣5，0）． 由y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，则点D（﹣2，9）． 过D作x轴的垂线交x轴于M，如图，则S△DMC＝×9×（5﹣2）＝， S梯形MDBO＝×2×（9+5）＝14，S△BOC＝×5×5＝， 所以S△BCD＝S梯形MDBO+S△DMC﹣S△BOC＝14+﹣＝15；    （3）设P点的坐标为（a，0）， 因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的直线解析式为y＝x+5． 设PH与直线BC的交点坐标为E（a，a+5），如图，于是PH与抛物线y＝﹣x2﹣4x+5的交点坐标为H（a，﹣a2﹣4a+5）． 由题意，若①EH＝EP，则（﹣a2﹣4a+5）﹣（a+5）＝（a+5）， 解这个方程，得a＝﹣或a＝﹣5（舍去）， ②EH＝EP，即（﹣a2﹣4a+5）﹣（a+5）＝（a+5）， 解这个方程，得a＝﹣或a＝﹣5（舍去）， ∴P点的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）．    【点拨】此题主要考查了一元二次方程的解法、待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质、图形的面积求法、二次函数与坐标轴的交点等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合的思想是解题的关键． 4.（26-27九年级上·天津·阶段检测）已知抛物线（，，为常数，，）与轴相交于，两点，点为抛物线与轴的交点． （1）当，时， ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②是线段上一点，是抛物线上一点，且轴，求线段的最大值，及线段的长最大时点的坐标； （2）若点，点在抛物线的对称轴上．当，且取得最小值时，直接写出的值和抛物线解析式； 【答案】（1）①抛物线的解析式为，点的坐标为；②线段的最大值为，此时点的坐标为；（2），抛物线解析式为 【分析】（1）①利用待定系数法求出函数解析式，进而可求得点B坐标； ②先求出直线的解析式，进而表示出点E、F的坐标，利用坐标与图形的性质，将的长转化为二次函数求最值即可； （2）利用抛物线的两点式得到，则，则；根据抛物线的对称性得到，当B、P、C共线时取等号，的最小值为的长，进而列方程求得n值即可． （1）解：当，时，， ①将代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则，解得，， ∴点的坐标为； ②对于，当时，， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵是线段上一点，是抛物线上一点，且轴， ∴，，， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为， 此时， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴，，则； 当时，，则， ∵点A、B关于抛物线的对称轴对称， ∴，当B、P、C共线时取等号， ∴的最小值为的长， ∵，的最小值为， ∴，解得， ∴， ∴抛物线的解析式为． 题型11：二次函数与反比例函数图像交点、面积综合压轴题 1.（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． （1）求二次函数的解析式 （2）已知二次函数与反比例函数的图象交于第一象限的两点，（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数综合，两点间距离公式，等腰三角形的定义，正确理解题意求出反比例函数上的“和六点”的坐标是解题的关键． （1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式为，设反比例函数上的“和六点”为，根据“和六点”的定义建立方程求出反比例函数上的“和六点”坐标，进而利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）先求出对称轴，再设出点P坐标，根据，利用两点间距离公式建立方程求解即可． （1）解：反比例函数的图象经过点， ． 反比例函数的解析式为． 设反比例函数上的“和六点”为． ． 解得， 经检验，都是原方程的解， 反比例函数图象上的“和六点”的坐标为． 二次函数的图象经过点，． ，解得， 二次函数的解析式为． （2）解：由（1）可知，抛物线解析式为． 抛物线对称轴为直线． 点在抛物线的对称轴上， ∴可设． 联立得， 解得， 二次函数与反比例函数的图象交于，（点的横坐标小于点的横坐标）两点， ． 是以为顶点的等腰三角形， ． ， ， ． 解得． 点的坐标为． 2.（2025·江苏扬州·一模）定义：若一个函数的图像上存在横坐标与纵坐标之差为2的点，则称该点为这个函数图像上的“亮点”．例如：点是正比例函数的图像上的“亮点”． （1）一次函数的图像上的“亮点”是______； （2）若点M是反比例函数图像的“亮点”，一次函数的图像经过点M，求b的值； （3）若二次函数的图像经过点，试说明无论a取何值，该二次函数的图像上一定存在“亮点”． 【答案】（1）；（2）或；（3）解：二次函数的图像经过点， ， ， ， ， ， 无论a取何值，当时，，，此时； 当时，，，此时； 无论a取何值，一定过和， ， 该二次函数的图像上一定存在“亮点”，亮点坐标为． 【分析】本题考查了函数图像上的“亮点”，一次函数图像上点坐标的特征，反比例函数图像上点坐标的特征，二次函数图像上点坐标的特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）不妨设点在一次函数上，代入求值即可得到答案； （2）不妨设在反比例函数图像上，求得点，然后再将点代入一次函数，求得即可； （3）由二次函数的图像经过点，得到，推出，由，推导出无论a取何值，当时，，，此时；当时，，，此时；其中是该函数的亮点，得证． （1）解：不妨设点在一次函数上， ， ， ， 一次函数的图像上的“亮点”是； 故答案为：； （2）解：设在反比例函数图像上， ， ，， 反比例函数图像的“亮点”有：，， 一次函数的图像经过点M， 代入，有，； 代入，有，； 或； （3）略 3.（2025·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于一个函数给出一个定义：当自变量（为实数）时，其对应函数的最高点记为，最低点记为，以为对角线作矩形，矩形的边与坐标轴平行，则称该矩形为函数的伴随矩形，该矩形的周长为函数的伴随函数． （1）如图，当时，求函数的伴随函数的函数值； （2）一次函数伴随函数的函数值为，求的值； （3）二次函数与轴交于点和点Q． ①当时，伴随矩形能否为正方形？若能，求出伴随函数的函数值；若不能，说明理由； ②当时，求伴随函数关于的函数表达式； ③在②的条件下，伴随函数图象上的点到直线的距离为时，请直接写出自变量的值． 【答案】（1）12；（2）；（3）①不能，理由如下： 将点带入得：， 解得：， ∴二次函数解析式是， ∴对称轴是，顶点是， 当时，， ∴当自变量（为实数）时，y随着x的增大而减小， ∴当时，，当时，， 其对应函数的最高点为，最低点记为， 若伴随矩形为正方形， 则 即 解得：（舍去） ∴伴随矩形不能为正方形； ②； ③或或 【分析】（1）根据反比例函数的增减性，确定最大值点和最小值点，再根据“矩形的周长为函数的伴随函数”求出函数的伴随函数值即可； （2）根据一次函数的增减性，确定最大值点和最小值点，再根据“矩形的周长为函数的伴随函数”求出函数的伴随函数表达式，根据值为12列出方程求解即可； （3）①根据待定系数法求出二次函数解析式，根据确定二次函数的递减，确定最大值点和最小值点，若伴随矩形为正方形，则横坐标只差等于纵坐标之差，即，从而列出方程求解； ②分当时，当时， 当时，三种情况讨论，根据二次函数的图形与性质确定最大值点和最小值点，再根据“矩形的周长为函数的伴随函数”求出函数的伴随函数表达式即可； （3）根据题意得出或者15 ，分（i）当时，（ii） 当时，（iii） 当时，三种情况讨论，前两种情况函数值小于等于12，最后一种情况函数值大于等于12，从而确定前两种情况函数值只能等于才能11符合题意，最后一种情况函数值只能等于15才能符合题意，继而建立方程求解即可． （1）解：当时，函数中，y随着x的增大而减少． 取得到，，取得到，， ∴当自变量（为实数）时，其对应函数的最高点为，最低点记为， ∴该矩形的周长，即函数的伴随函数值为：； （2）∵一次函数，y随着x的值增大而增大， 即当时，，当时，， ∴当自变量（为实数）时，其对应函数的最高点为，最低点记为， ∴该矩形的周长，即函数的伴随函数值为： ， ∴； （3）①略 ②当时， 即范围包括对称轴，且m到对称轴更远． 又∵开口向上， ∴当时，，当时，， ∴此时伴随函数关于的函数表达式为： 化简得： 当时， 同理可知：当时，，当时，， ∴此时伴随函数关于的函数表达式为： 化简得：． 当时， 对于，y随着x的增大而增大， ∴当时，，当时，， ∴此时伴随函数关于的函数表达式为： 化简得：． 综上所述：； ③伴随函数图象上的点到直线的距离为， ∴或者15， （i）当时，，对称轴是直线， ∴l随着m的增大而减小，其中时，， ∴当时，， ∴只能取，令， 解得：（舍去）， （ii） 当时，，对称轴是直线， ∴l随着m的增大而增大，其中时，， ∴当时，， ∴只能取，令， 解得： （舍去），， （iii） 当时，， ∴l随着m的增大而增大，其中时，， ∴当时，， ∴只能取，令， 解得： ， 综上所述：m的值为：或或． 【点拨】本题考查反比例函数与几何综合，一次函数与几何综合，二次函数与几何综合，矩形的性质，待定系数法，二次函数的最值等知识，掌握分类讨论思想和数形结合思想是解题的关键． 4.（2025·山东德州·模拟预测） 定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”． （1）如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形 “梦之点”的是___________； （2）点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”的坐标是___________，直线的解析式是___________． （3）如图②，已知点，是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点，连接，，，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1），；（2），；（3）是直角三角形，理由如下： 点，是抛物线上的“梦之点”， 联立， 解得： 或 ， ，， ， 顶点， ， ， ， ， 是直角三角形． 【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形内部或边上即可； （2）把代入，求出，联立与可求出，进而人得到； （3）根据“梦之点”的定义求出点，的坐标，再求出顶点的坐标，最后求出，，，即可判断的形状． 解：（1）矩形的顶点坐标分别是，，，， 矩形“梦之点”满足，， 点，是矩形的“梦之点”，点不是矩形 “梦之点”， 故答案为：，； （2）点是反比例函数图象上的一个“梦之点”， 把代入得， ， “梦之点”的横坐标和纵坐标相等， “梦之点”都在直线上， 联立， 解得：或 ， ， 直线的解析式是， 故答案为：，； （3）略 【点拨】本题是函数的综合题，考查了一次函数、反比例函数、二次函数，勾股定理的逆定理，理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式，正确理解新定义是解决此题的关键． 题型12：双函数背景下线段、三角形存在性分类讨论压轴题 1.（2025·浙江温州·一模）如图，抛物线y=ax2+bx（a＞0）与双曲线y=相交于点A，B．已知点B的坐标为（﹣2，﹣2），点A在第一象限内，且tan∠AOx=4．过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC的面积； （3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积．若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由． 【答案】（1）y=．y=x2+3x；（2）15；（3）（3，18）．理由见解析． 试题分析：（1）根据已知条件可以推出A点的坐标，把A、B两点的坐标代入抛物线解析式和双曲线解析式，即可得出a、b、k的值，就可以确定双曲线和抛物线的解析式了； （2）根据A、B抛物线解析式，可以确定C点的坐标，即可求AC和AC边上的高的长度，就可以计算出△ABC的面积了； （3）根据题意画出图形，根据A、B两点坐标出去直线AB相应的一次函数结合C点的坐标，CD∥AB，得出直线CD相应的一次函数，然后结合D点也在抛物线上，解方程组，求D点坐标． 解：（1）把点B（-2，-2）的坐标，代入y=， 得：-2=， ∴k=4． 即双曲线的解析式为：y=． 设A点的坐标为（m，n）． ∵A点在双曲线上， ∴mn=4．① 又∵tan∠AOx=4， ∴=4，即n=4m．② 由①②，得：m2=1， ∴m=±1． ∵A点在第一象限， ∴m=1，n=4， ∴A点的坐标为（1，4） 把A、B点的坐标代入y=ax2+bx，得： ， 解得a=1，b=3． ∴抛物线的解析式为：y=x2+3x； （2）∵AC∥x轴， ∴点C的纵坐标y=4， 代入y=x2+3x，得方程x2+3x-4=0， 解得x1=-4，x2=1（舍去）． ∴C点的坐标为（-4，4），且AC=5， 又∵△ABC的高为6， ∴△ABC的面积=×5×6=15； （3）存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积． 过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D． ∵△ABD与△ABC同底等高， ∴△ABD的面积等于△ABC的面积， 因为直线AB相应的一次函数是：y=2x+2，且C点的坐标为（-4，4），CD∥AB， 所以直线CD相应的一次函数是：y=2x+12． 解方程组， ∴x2+3x=2x+12， 即x=3或x=-4， 当x=3时，y=18， 当x=-4时，y=4， ∴或（不合题意，舍去）， 所以点D的坐标是（3，18）． 考点：二次函数综合题． 2.（2026·河北沧州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于点A，与轴交于点.点在双曲线：上. （1）若有一动点从点A开始沿抛物线运动，当点与点重合后，点开始沿双曲线运动，否则，继续按原路线运动.若点. ①求抛物线的解析式，并判断点是否会在双曲线上运动； ②若点，在点的运动路线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （2）若抛物线与双曲线只有一个交点，且交点的横坐标满足，求的取值范围. 【答案】（1）①，点是否会在双曲线上运动； ②或，理由： 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 当点D在抛物线上时， ， 解得：或（舍去） ∴， 当点D在双曲线上时， ∵点在双曲线：上， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， 综上可得：或； （2）． 【分析】（1）①将点A代入解析式即可确定函数解析式；然后验证点P和点Q重合时，是否在抛物线上即可；②根据题意得出，，然后分两种情况：当点D在抛物线上时，当点D在双曲线上时，分别求解即可； （2）将抛物线化为顶点式得出抛物线的顶点坐标在直线上，得出双曲线的取值范围为：，作出相应图象，然后找出临界点代入，结合抛物线的平移即可得出结果． （1）解：①，将其代入解析式得： ， 解得：或（舍去）， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， 当点与点重合后，点会在双曲线上运动； ②略． （2）， ∴抛物线的顶点坐标在直线上， 当时，双曲线的取值范围为：， 抛物线与双曲线只有一个交点，而且抛物线与双曲线在，之间有一个交点， 故抛物线该交点在抛物线对称轴右侧部分，如图：    当抛物线l的对称轴右侧经过时， ， 解得：（不合题意，舍去）或； 当抛物线l的对称轴左侧经过时， ， 解得： （不合题意）或； 由得，当h变大时，相当于将l进行平移， ∵，抛物线与双曲线只有一个交点， ∴． 【点拨】题目主要考查二次函数的性质及反比例函数的性质，两个函数的交点问题及二次函数的平移，理解题意，运用正确的方法求解是解题关键． 3.（2026·湖南长沙·模拟预测）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点，满足 （ ），则称此函数为关于m的“P函数”，这两点叫做一对关于m的“C点”． （1）下列函数中，其图象上至少存在一对关于1的“C点”的函数，请在相应题目后面横线上打“√”，不存在的打“×”； ① ________；    ② ________；    ③________； （2）若双曲线为关于4的“P函数”，求n的取值范围； （3）关于x的函数D： 是关于t的“P函数”，且当 时，函数D与抛物线 的图象有两个不同的交点，求n的取值范围． 【答案】（1）①√；②×；③√；（2） 且；（3） 【分析】（1）先根据新定义计算，再进行判断即可； （2）根据题意可得 ，设至少存在一对关于4的“C点”，求出 ，再根据 ，得到 ，进而得到 ，即可解答； （3）根据函数的新定义求得 ，联立方程组可得 ，且一元二次方程有两个不相等的实数根，得，结合，且当时，，当时，，求解即可． （1）解：①由题意可得， ， ∴此时图象上存在无数个关于1的“ 点”； ②由题意可得： ， ∴ ， ∴图象上不存在一对关于1的“ 点”； ③由题意可得： ， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴ ， ， ∴此时图象上存在一对关于1的“ 点”； （2）解：∵双曲线为关于4的“P函数”， ∴ ，设至少存在一对关于4的“C点”， ∴， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 综上， 且 ； （3）解：∵ 是关于t的“ 函数”， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 联立， 整理得， ， ∵当 时，函数D的图象与抛物线的图象有两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的根， 则， 解得或， ∵， ∴， ∵当时，，解得， 当时，，解得， ∴． 4.（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，抛物线与x轴交于两点（在的左边），与y轴交于C，；双曲线经过抛物线的顶点，点的横坐标为1． （1）求抛物线和双曲线的解析式． （2）点P为抛物线上一动点，且在第一象限，连接，求当四边形取得最大值时，点P的坐标，并求出这个最大值． （3）若在此抛物线和双曲线上存在点Q，使得，请求出点Q的坐标． 【答案】（1），；（2）P点坐标，；（3）点Q的坐标为或或或 【分析】（1）求得两点坐标，由题意可得对称轴为，求出抛物线解析式，再求得顶点，即可求解； （2）连接，过点P作，交于点E，求出直线的解析式，设点P的坐标为，用表示出，利用二次函数的性质求解即可； （3）由题意可得，点Q在的垂直平分线上，求出垂直平分线解析式，分别于抛物线和双曲线联立，求解即可． （1）解：∵令得：， ∴点C的坐标为， ∴． ∵， ∴，即， ∴． ∴点A的坐标为． ∵抛物线的对称轴为， ∴点B的坐标为． 将，代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析． 将代入得：． ∴点D的坐标为． 将代入反比例函数的解析式得：， 解得：． ∴反比例函数的解析式为． （2）如图1所示：连接，过点P作，交于点E． ∵， ∴． 设直线BC的解析式为，将、代入得：，， 解得， ∴直线BC的解析式为． 设点P的坐标为，则E点的坐标． ∴， ∴． ∴， 将代入抛物线的解析式得：， ∴P点坐标，． （3）如图2所示：连接，过点O作，垂足为E． ∵， ∴点Q在的垂直平分线上． ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴点Q在上， ∵垂直平分， ∴直线OE的解析式为． 将与联立得， 解得或 ∴点Q的坐标为或， 将与联立得， 解得：或， ∴点Q的坐标为或． 综上所述，点Q的坐标为或或或． 【点拨】此题考查了二次函数与反比例函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，垂直平分线的性质等，解题的关键是熟练掌握二次函数与反比例函数的有关性质，利用数形结合思想求解问题． 学科网（北京）股份有限公司 $