第25章 一元二次方程 （期中复习讲义）2026-2027学年人教版数学 九年级上册

第25章 一元二次方程 1. 定义与一般形式 定义：只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程。 一般形式： 注解：是一元二次方程的前提；可为0。分别对应二次项、一次项、常数项。 2. 方程的根 能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根。 常用结论：若是方程的根，则，可直接代入求值。 3. 四种解法 （1）直接开平方法 适用：，无一次项结构；无实数根。 （2）因式分解法 适用：方程整理为右边为0，左边可分解； 口诀：一提、二套、三十字。 原理：或。 （3）配方法 步骤：化二次项系数为1→移项→两边加“一次项系数一半的平方”→开方求解。 用途：求代数式最值、推导公式。 （4）公式法（万能通用） 判别式： 求根公式： 4. 根的判别式 · ：两个不相等的实数根 · ：两个相等的实数根 · ：无实数根 注意：含参方程有两个实数根，必须同时满足 且 。 5. 根与系数的关系（韦达定理） 适用前提：一元二次方程 ，且方程有实数根 核心公式：若方程两根为 ，则 常用变形（考试直接用） · · · 核心用途：不解方程，求两根和、两根积、代数式的值；已知一根求另一根；根据根的关系求参数取值。 6. 实际应用 常见模型：增长率问题、面积问题、销售利润问题、传播裂变问题。 解题关键：设未知数、列方程、验根（舍去不符合实际的根）。 1.忽略二次项系数不为0：含参方程判定一元二次方程，必须保证，只看必错。 2.判别式使用前提模糊：只针对一元二次方程，一次方程不能用。 3.漏根问题：因式分解、直接开方时只写一个根，忘记正负双根、零根。 4.配方常错：二次项系数未化为1就配方；移项忘变号；只左边加平方、右边不加。 5.公式代入出错：为负数时，代入公式符号混淆；根号、分母漏写。 6.应用题不验根：解出负数根、超范围根未舍去，导致大题扣分。 7.概念混淆：未知数次数为2但含分式、根式，不是整式方程，不属于一元二次方程。 8.韦达定理忽略前提：使用根与系数关系必须满足且，无实数根时公式不成立。 9.两根和符号出错：牢记 ，极易遗漏负号。 1.优先简法原则：能因式分解不配方，能配方不用公式，节省解题时间。 2.代根速算技巧：已知根求代数式值，优先整体代入，不解方程，简化计算。 3.含参题型技巧：有两个实数根且；有实数根需分类：一次方程/二次方程两种情况。 4.整体换元法：复杂重复结构（如）设整体为，降次简化方程。 5.增长率固定公式：，初始量，增长率，次数，最终量。 6.快速验根技巧：应用题解完先判断正负、取值范围，不符合题意直接舍去。 7.韦达定理整体求值法：遇到含两根的代数式，优先拆解为 、 整体代入，无需解出方程根。 8.含参韦达题型技巧：参数求值后，必须回代检验 ，舍去使方程无实根的参数值。 题型一 由一元二次方程的定义求参数 【例1】（26-27九年级上·重庆·开学考试）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（     ） A．3 B． C．3或 D．0 【答案】A 【分析】一元二次方程，二次项系数不为0，未知数的最高次数是2． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 由得， 即或， 由得， ∴． 【变式1-1】（25-26九年级上·湖南张家界·期末）关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程．根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且 ， 由得， ， 又， ， ． 故选：B． 【变式1-2】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列条件求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴需满足， 由解得或又由得， ∴． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且． 解得． 故答案为：． 题型二 由一元二次方程的解求参数 【例2】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如果是一元二次方程的一个根，那么常数k的值是（     ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】将代入原方程，求解关于的一元一次方程. 【详解】解：把代入，得， 整理得，解得. 【变式2-1】（26-27九年级上·北京·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值是___________． 【答案】4 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个根， ，即． 代数式． 代入，得． 【变式2-2】（26-27九年级上·重庆·开学考试）若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义得到的值，将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程的一个实数根， 将代入方程得， ， 可得：， 把代入， 可得：原式． 【变式2-3】（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）已知是方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到，则可变形为，通分得到原式，然后把代入计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 题型三 直接开平方法——解一元二次方程 【例3】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）下列各数中，是一元二次方程的一个根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过直接开平方求出一元二次方程的根，再根据一元二次方程的根匹配选项即可. 【详解】解：， 移项得：， 两边直接开平方得：， 一元二次方程的一个根的是． 【变式3-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据非负数的性质，建立不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程可以用直接开平方法求解，， ∴， 解得． 【变式3-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ，， ，； （2）解：， ， ， ， ，， ，． 【变式3-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 即，； （2）解：， ， 或， 解得，． 题型四 配方法——解一元二次方程 【例4】（26-27九年级上·甘肃酒泉·阶段检测）用配方法解方程配方后可得（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：方程， 移项得， 配方得，即． 【变式4-1】（26-27九年级上·湖北·期中）把方程化为的形式，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过配方法将二次方程化为，从而确定和的值，然后求出的值即可． 【详解】解：∵， 配方得，即， ∴， ∵方程化为的形式， ∴，， ∴． 【变式4-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， ， ∴， ∴，． 【变式4-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)原方程无实数根 【详解】（1）解：， 移项得：， 方程两边同除以3得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：； （2）解：， 移项得：， 方程两边同除以6得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：； （3）解：， 移项得：， 方程两边同除以3得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：； （4）解：， 变为一般形式得：， 移项得：， 配方得：， 即， ∵， ∴原方程无解． 题型五 配方法的应用 【例5】（26-27九年级上·全国·课后作业）设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】作差后配方，利用平方的非负性判断差的符号，比较M与N的大小． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式5-1】（26-27九年级上·江苏南京·单元测试）若a，b，c为的三边长，且满足，则的形状是________三角形． 【答案】等边 【分析】将已知等式利用配方法进行变形，再利用非负数的性质求出，即可判断出的形状． 【详解】解：原式两边都乘2，得． 整理，得， 即． ，，， ，，， ． 故是等边三角形． 【变式5-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）我们知道：，所以． 解答下列问题： (1)填空： 设，则． 所以，A______B；（填“”“”或“”） (2)已知，请判断的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)2；1； (2)．理由如下： ， ． ， 即， ． 【分析】（1）根据差值比较法比较两式大小即可； （2）求出，据此得出结论即可； 【详解】（1）解：设， 则． 所以，； （2）略 【变式5-3】（26-27九年级上·江苏南京·单元测试）阅读与思考：配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，还能用来解决求最值问题．例如：求代数式的最小值，过程如下： 原式 ． ，， ， 的最小值是． 根据材料中的方法，解答下列问题． (1)的最大值为   ； (2)求的最小值． 【答案】(1)3 (2)12 【分析】（1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答； （2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】（1）解： ∵ ∴ ∴的最大值为3 ∴的最大值为3； （2）解： ， ∵，， ∴． ∴的最小值是12． 题型六 根的判别式判断一元二次方程根的情况 【例6】（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】利用根的判别式判断一元二次方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 【变式6-1】（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）一元二次方程的根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】先求一元二次方程的判别式，由判别式与0的大小关系来判断方程根的情况即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 方程没有实数根． 【变式6-2】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程的实数根的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．0或1个 D．1或2个 【答案】B 【分析】先由一次函数图象不经过第二象限得出a的取值范围，结合一元二次方程二次项系数不为0的条件确定，再通过根的判别式判断实根个数． 【详解】解：∵直线不经过第二象限， ． ∵方程是一元二次方程， ． ． ． ∴该方程有2个不相等的实数根． 【变式6-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）利用判别式判断下列方程的根的情况： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)无实数根 (2)有两个相等的实数根 (3)有两个不相等的实数根 (4)无实数根 【分析】对于不是一元二次方程一般形式的方程，先移项、去括号整理为（）的形式，确定对应系数．代入一元二次方程判别式公式计算判别式的值。根据判别式的符号判断根的情况：如果，那么方程有两个不相等的实数根；如果，那么方程有两个相等的实数根；如果，那么方程没有实数根． （1）， 方程没有实数根． （2），方程有两个相等的实数根． （3）先整理为一般形式：，，方程有两个不相等的实数根． （4），因为，所以， ．所以方程没有实数根． 【详解】（1）解：这里 ，，， 代入判别式： ， ∴方程没有实数根． （2）解：这里 ，，， 代入判别式： ， ∴方程有两个相等的实数根． （3）解：先整理为一般形式：， 此时 ，，， 代入判别式： ， ∴方程有两个不相等的实数根． （4）解：这里，，， 代入判别式： ， ∵ ， ，且， ∴， 即， ∴ ． ∴方程没有实数根． 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 【例7】（25-26九年级上·陕西商洛·期末）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式求解，一元二次方程二次项系数不为0，方程有实数根时根的判别式大于等于0，据此计算k的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 【变式7-1】（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的判别式建立关于的不等式，求解后验证选项即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴选项：，满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意． 【变式7-2】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为0，即，根据根的判别式可得，据此求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，且有两个实数根， ∴，即． 解得且． 【变式7-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为____________． 【答案】 【分析】已知一元二次方程有两个相等的实数根，利用根的判别式等于0建立关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式． 这里，，， 将系数代入得， 整理得． 解得． 题型八 公式法——解一元二次方程 【例8】（25-26九年级上·贵州黔南·期末）某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，一元二次方程的求根公式为，据此根据题意确定的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 【变式8-1】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）用公式法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：即， ∴， ， ∴，. （2）解：， ∴， ， ∴，． 【变式8-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ∴, ∴， ∴， 解得：； （2）解： ， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【变式8-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)该方程无实数根 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴，； （3）解：， ， ∵， ∴， ∴， ∴，； （4）解：， ∵， ∴， ∴该方程无实数根． 题型九 因式分解法——解一元二次方程 【例9】（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把先移项，再因式分解后，解出即可得答案． 【详解】解： 移项得：， 因式分解得：， ∴或， ∴，． 【变式9-1】（26-27九年级上·全国·单元复习）方程的根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后提取公因式，用因式分解法求解． 【详解】解：移项，得， 提取公因式，得， 或， 解得． 【变式9-2】（26-27九年级上·甘肃酒泉·阶段检测）已知三角形两边长分别是和，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先求出一元二次方程的根，再结合第三边需满足三角形三边关系，对根进行筛选后计算周长即可． 【详解】解：， ， 则或， 解得，； 当第三边长为时，三边长为， 由，可知不符合构成三角形的三边关系， 不能构成三角形，即此种情况不存在； 当第三边长为时，三边长为，符合构成三角形的三边关系， 此时三角形周长为． 【变式9-3】（26-27九年级上·湖南长沙·开学考试）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， 或， 解得，． （2）解：， ， ， 或， 解得， ． 题型十 换元法——解一元二次方程 【例10】（25-26九年级上·广东汕头·期末）已知方程的解是或，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程解的意义以及换元法． 通过变量替换，将新方程转化为已知方程的形式求解. 【详解】解：设，则方程化为， 的解为或， ∴或， 解得或， 故选：C． 【变式10-1】（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A． B． C． D．，方程无实数解 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键． 通过变量替换，令，将新方程转化为原方程形式，利用已知解求解关于的方程． 【详解】令，则方程化为, ∵方程的解为，， ∴或， ∴或， 解得或 ∴新方程的解为， 故选：A． 【变式10-2】（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）已知实数满足，则的值为（   ） A．或1 B．或6 C．6 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． 将看做一个整体，代入求解，再根据判断即可． 【详解】， 设， ∵实数满足， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴的值为． 故选：D． 【变式10-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设 那么原方程可化为， 解得， 当时，，，； 当时，，，， 故原方程的解为． 上述解题过程中，将原方程中某个多项式视为整体，并用另一个未知数替换这个整体，从而把高次方程化为低次方程，实现降次的目的，这种解方程的方法称为“换元法”． 解答问题：请用换元法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，将原方程化为一元二次方程，解得的值，再代回即可解答； （2）设，将原方程化为一元二次方程，解得的值，再代回即可解答． 【详解】（1）解：设， 原方程可化为， ， ，， 当时，， 经检验，是原方程的根； 当时，， 经检验，是原方程的根； 故原方程的解为． （2）解：设， 原方程可化为 ，， ， ， 舍去， 当时，，， 故原方程解为． 题型十一 一元二次方程根与系数的关系 【例11】（26-27九年级上·江苏南京·单元测试）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程的解的意义求得，利用根与系数的关系求得，最后将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：∵它的两根分别为，， ∴，， ∴ ． 【变式11-1】（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）已知方程的两根为，，则__________，__________． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系先求出两根之和与两根之积，再通过完全平方公式变形计算得到所求结果． 【详解】解：方程为，对应得，，， ∴， ， ∵， ∴代入计算得． 【变式11-2】（26-27九年级上·福建福州·开学考试）已知，是关于的一元二次方程的两根，且，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到和的表达式，代入已知等式求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴， 解得． 【变式11-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知方程的两个根为，，求下列式子的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出与的值，再将所求代数式变形为含，的形式，代入数值计算即可． 【详解】（1）解：∵方程的两个根为，， ∴， 由根与系数的关系得：， ∴； （2）解：结合（1），可得． 题型十二 传播问题（一元二次方程的应用） 【例12】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患流感，若每轮传染中，平均一人传染人，根据题意，可列方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列出方程即可． 【详解】解：∵初始有人患流感，每轮平均人传染人， ∴第一轮传染后总患病人数为， ∵第二轮中每名患者传染人， ∴第二轮新增患病人数为，两轮后总患病人数为， ∵两轮后共有人患流感， ∴可列方程． 【变式12-1】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出相同数目的小分支，若主干、枝干、小分支的总数是43，则每个枝干长出的小分支的个数为（     ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】B 【分析】设每个枝干长出的小分支个数为，根据题意，列出方程进行求解即可. 【详解】解：设每个枝干长出的小分支个数为， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）； 故每个枝干长出的小分支的个数为6个. 【变式12-2】（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这项实验，若设每人每次能教会名同学，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以每节课后会做总人数为下一节课的传播基数，累加各阶段人数列方程． 【详解】解：∵初始会做人数为1，每人每节课教会名同学． ∴第一节课后总会做人数为． ∴第二节课新增会做人数为． ∵总会做人数为49． ∴可列方程． 【变式12-3】（25-26九年级上·北京·阶段检测）有5个人患了流感，经过两轮传染后共有245个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染多少人？ 【答案】 【分析】根据题意列一元二次方程解答即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人，初始有5个人患流感，第一轮传染后，总患病人数为，第二轮传染后，总患病人数为， 根据题意列方程得：， 解得，（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染6人． 题型十三 增长率问题（一元二次方程的应用） 【例13】（26-27九年级上·北京·期中）某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3000万元，预计2024年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据增长率问题的公式列式即可．增长率问题的公式：，其中a是增长前的量，b是增长后的量，x是增长率，n是增长的次数． 【详解】解：教育经费的年平均增长率为x， 根据题意，得：． 【变式13-1】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定第一个月到第三个月的增长次数为，结合月平均增长率列方程． 【详解】解：∵第一个月新建个充电桩，月平均增长率为， ∴第二个月新建充电桩个数为， ∴第三个月新建充电桩个数为， ∵第三个月新建个充电桩， ∴可列方程为． 【变式13-2】（26-27九年级上·河南开封·阶段检测）“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．假设月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的2倍．设第一个月的销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用公式（其中a指原销售量，b指连续两次增速后的销售量，x为每次的平均增长率），列方程求解即可． 【详解】解：第一个月销售量为，月增长率为. 第二个月销售量为. 第三个月销售量为， ∵第三个月销售量是第一个月的倍， ∴． 【变式13-3】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）福清市虎溪公园是福州市首个3.0版的城市公园，自2024年10月1日开放后，深受市民的喜爱．已知该公园今年三月份共接待游客25万人次，五月份共接待游客64万人次，设每月的平均增长率为x，则可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】明确三月到五月共2次月增长，以三月游客量为基数，结合五月游客量列方程． 【详解】解：三月份接待游客25万人次，每月平均增长率为，则四月份接待游客万人次，五月份接待游客万人次． ∵五月份接待游客64万人次， ∴可列方程． 题型十四 与图形有关问题（一元二次方程的应用） 【例14】（26-27九年级上·河南·阶段检测）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位通过平移可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 【变式14-1】（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）如图，某建筑工程队在一堵墙边上用23米长的铁栏围成一个面积为84平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是13米，铁栅栏只围三边，且在边上要造一个1米宽的门，在边上要造一个2米宽的运输通道．求所围成长方形的两条邻边的长． 【答案】垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米． 【分析】设垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米，则，再结合长方形仓库的面积列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米， 边需要铁栏米，边需要铁栏米，边需要铁栏米， 铁栏总长为米， ， ， 长方形仓库面积为84平方米， ，即， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 即垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米． 【变式14-2】（26-27九年级上·河北唐山·开学考试）我们在八年级学过多边形的对角线． (1)若一个多边形有条对角线，求它的边数； (2)是否存在一个多边形，它有条对角线？若存在，求出它的边数；若不存在，说明理由． 【答案】(1)该多边形的边数为 (2)不存在这样的多边形， 理由：设多边形的边数为，由多边形对角线总数公式得， 整理得， 解得， 多边形的边数为正整数，而均不是正整数， 不存在有条对角线的多边形． 【分析】（1）设多边形的边数为，根据多边形对角线总数公式列方程即可求解； （2）设多边形的边数为，由多边形对角线总数公式列方程求出，结合多边形的边数为正整数，即可判断． 【详解】（1）解：设多边形的边数为， 根据题意可得， 解得，， 多边形的边数为正整数， ， 答：它的边数是8； （2）略 【变式14-3】（26-27九年级上·河北唐山·开学考试）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)能否使围成的矩形面积为？如果能，求出三边的长；如果不能，说明理由． 【答案】(1)三边长分别为，， (2)不能，理由如下： 假设能围成，设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为， 依题意得：， 化简得， ∵， ∴该方程没有实数根． 故假设不成立，即不能围成面积为的长方形围栏． 【分析】（1）设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为，然后利用面积公式列出方程即可； （2）假设能围成，设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为，根据“围栏的面积围栏长宽”即可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，从而得出假设不成立，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为， 根据题意得：， 解得：，， 当时，（不符合题意，舍去）， 当时，（符合题意）， ∴三边长分别为，，； （2）略 题型十五 数字问题（一元二次方程的应用） 【例15】（26-27九年级上·全国·课后作业）根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（     ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，最后加上4，运算结果是这个数的2倍？ A．1 B．4 C． D．1或4 【答案】D 【分析】设出这个数，再由题目的已知条件建立等式列方程求解即可． 【详解】解：设这个数为， 则，移项可得， 因式分解可得，解得，． 故有这样的数，为1或4． 【变式15-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）（1）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是_______； （2）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，则这三个数分别是___________． 【答案】 98 8，9，10或 【分析】（1）设个位数字为x，则得十位数字为，根据个位数字与十位数字的乘积等于72，列出一元二次方程，求解即可； （2）设三个连续整数里中间的整数为x，则可表示出两边的整数，列出方程即可求解． 【详解】解：（1）设个位数字为x，则得十位数字为， 由题意得， 整理得， 解得（舍去）， 则十位数字为，所求的两位数为98； （2）设三个连续整数里中间的整数为x，则较小的整数为，较大的整数为， 由题意得， 整理得， 解得， 所以三个连续整数分别为8，9，10或． 【变式15-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）一个两位数，十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换后得到的两位数的平方，所得数值比原来的两位数大138，则原来的两位数为_______． 【答案】31 【分析】设原来两位数的个位数字为，根据数位表示法表示出原两位数和交换后的新两位数，根据题意给出的等量关系列一元二次方程，结合数字的性质舍去不合理的解即可得到结果． 【详解】解：设原来两位数的个位数字为，则十位数字为， 原来的两位数为，交换个位和十位后的新两位数为， 根据题意可得， 解得（舍去），， ， 十位数字为， 原来的两位数为． 【变式15-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）两个数的和是26，积是168，求这两个数． 【答案】和 【分析】假设其中一个数，表示出另一个数，根据两数之积列出方程求解． 【详解】解：假设其中一个数为，则另一个数为，根据题意得， ， 解得， 当时，； 当时，； ∴这两个数分别是和． 题型十六 营销问题（一元二次方程的应用） 【例16】（2026九年级上·全国·专题练习）某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个．售价每上涨元，月销售量就减少个．要实现每月元的销售利润，且售价不能低于元，则台灯的定价应为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元或元 【答案】C 【分析】根据“总利润 =单件利润 销售量”建立方程，求解后根据题目限制条件对根进行取舍． 【详解】解：由题意，设台灯的定价应为元（）． 销售单价上涨了元． 因为售价每上涨元，月销售量就减少个， 所以月销售量减少了个， 月销售量为：， 要实现每月元的销售利润， 可得， 整理方程得，， 因式分解得：， 解得：， ． ，不符合题意，舍去． 因此，台灯的定价应为元． 【变式16-1】（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）新世纪百货某款童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价2元，那么平均每天就可多售出5件．要想平均每天销售这种童装的盈利为1400元，则每件童装应降价________元． 【答案】12或20 【分析】设每件童装降价元，分别表示出降价后每件的盈利和每天的总销售量，根据总盈利等于每件盈利乘以销售量列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设每件童装应降价元， ∵ 降价后每件盈利为元，每降价元多售出件， 因此降价元后每天多售出件，总销售量为件， 根据总盈利为元，列方程得：， 解得，，两个解均符合实际意义， 因此每件童装应降价12元或20元． 【变式16-2】（26-27九年级上·山东济南·开学考试）我国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批进价为100元/盒的茶叶，当销售价为120元/盒时，每天可售出20盒．经市场调查发现，若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒．现该茶商计划降价销售，请回答下列问题： (1)当销售价为110元/盒时，每天的销售量为__________盒，每天盈利__________元； (2)当每盒茶叶降价多少元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元？ 【答案】(1)， (2)当每盒茶叶降价或元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元 【分析】（1）根据“若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒”，列式计算即可得出结果； （2）设每盒茶叶降价元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒， ∴当销售价为110元/盒时，每天的销售量为盒，每天盈利元； （2）解：设每盒茶叶降价元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元， 由题意得， 整理得， 解得，， ∴当每盒茶叶降价或元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元． 【变式16-3】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱．已知某电影院，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元，用525元购买《奥德赛》电影票数量与用450元购买《牛来》电影票数量一样多． (1)求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． (2)该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额要达到1820元，单价应降低多少元？ 【答案】(1)《牛来》电影票单价为30元，《奥德赛》电影票单价为35元 (2)单价应降低4元 【分析】（1）设《牛来》电影票的单价为元，则《奥德赛》电影票的单价为元，根据题意列出分式方程，即可求解； （2）设单价应降低元，根据题意列出一元二次方程，解方程得的值，再根据销售单价不得低于20元，确定的值，即可求解． 【详解】（1）解：设《牛来》电影票的单价为元，则《奥德赛》电影票的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是方程的解， ∴（元）． 答：《牛来》电影票单价为30元，《奥德赛》电影票单价为35元． （2）解：设单价应降低元， 由题意得，， 解得，， ∵销售单价不得低于20元， ∴， 解得， ∴， ∴． 答：单价应降低4元． 题型十七 动态几何问题（一元二次方程的应用） 【例17】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当的面积等于时，运动时间为（  ） A． B． 或 C． D． 或 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设运动时间为，用含的代数式表示、，由三角形的面积公式列方程，求解即可． 【详解】解：设运动时间为， ，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动， ，，， ， 当时，， ， ， ，， 经检验，都符合的范围， 故选：． 【变式17-1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 【答案】或 【分析】先根据动点速度设运动时间为，得出、，依据点、所在线段位置划分为、、三种情况，每种情况结合图形形状选用对应割补法列出四边形面积方程求解，求出解后验证数值是否落在对应取值范围内，舍去取值范围内不符的解，即可得出所有符合条件的时间． 【详解】解：设运动时间为，由题意得，， 当点在线段上时，； 当点在线段上时，； 故分三种情况讨论： ①当时，如图， ， ∵， ∴， 解得 或（不合题意，舍去）； ②当时，如图， ， ∵， ∴， 解得； ③当时，如图， ， ∵， ∴， 解得（，不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 综上所述， 或秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 【变式17-2】（26-27九年级上·河南开封·阶段检测）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：_______，________（用含t的代数式表示）． (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据点Q速度为和点P速度为即可求解，再由点Q到点C停止，可确定时间t范围为； （2）矩形中，在中，由勾股定理得，代入对应线段表达式与，得到一元二次方程，求解即可； （3）分别在、、中用勾股定理表示、、，分、、三类列方程求解，结合舍去不合理解，即可得解． 【详解】（1）解：∵点Q的速度为，运动时间为， ∴， ∵点P的速度为， ∴， 又∵， ∴， ∵点Q运动到点C时两点同时停止， ∴ 解得， 又∵， ∴t的取值范围为； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，， 将，，代入其中， 得 解得（舍去），， ∴当时，的长度等于； （3）解：连接，如图： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵在中，，， ∴ ， ∵在中，，， ∴ ， ∵在中， ， ①当时，则， 解得（舍去）或； ②当时，则， 解得（舍去）或（舍去）， ∴此情况无符合条件的t； ③当时，则， 解得（舍去）或； 综上所述，符合条件的t的值为或． 【变式17-3】（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是等腰三角形？ (2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）易得，得到为等腰三角形时，为等边三角形，进而得到，列出方程进行求解即可； （2）易得的面积是面积的，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴当是等腰三角形时，为等边三角形， ∴， 由题意，， ∴， ∴，解得； （2）解：存在； 作，则， ∴， ∴， 作，则， ∴， ∴， ∴当四边形的面积是面积的时，则的面积是面积的， ∴， 解得或； 综上：或． 题型十八 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【例18】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）某校组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了15场比赛，则这次参加比赛的球队个数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】利用单循环赛制总场数与球队个数的等量关系，设未知数列方程求解． 【详解】解：设参加比赛的球队个数为个．由题意得 ， 整理得 ， 解得，（不符合题意，舍去）． 【变式18-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）某班2026年元旦晚会上，某合唱小组每两位同学间互赠贺卡，共赠贺卡30张，该合唱小组人数为（     ） A．5 B．6 C．29 D．30 【答案】B 【分析】根据互赠贺卡的总张数与人数的等量关系列方程求解． 【详解】解：设该合唱小组人数为人，根据题意，得 ． 整理得， 解得或（舍去）， ∴该合唱小组人数为6． 【变式18-2】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）某数学小组共有若干人，元旦时每个人各送一张自己制作的贺卡给组内其他人，全组一共送了72张贺卡，则这个数学小组共有__________人． 【答案】 【分析】设小组人数为，每个人给除自身外的成员送贺卡，总贺卡数等于人数乘以每人送出的贺卡数，列一元二次方程求解后舍去不合题意的负解即可． 【详解】解：设这个数学小组共有人， ∵每个人需要给组内除自己以外的人送贺卡， ∴总贺卡数可表示为， 据此列方程，得 ， 整理，得 ， 解得，． ∵人数不能为负数， ∴舍去， 即这个数学小组共有人． 【变式18-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）按要求完成下列各题： (1)南宁市某中学要在初中组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛? (2)南宁市某中学要在高中篮球比赛中，规定所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛． 【答案】(1)应该邀请支球队参加比赛 (2)有支球队参加比赛 【分析】（1）设应该邀请支球队参加比赛，根据题意的数量关系列出一元二次方程即可； （2）根据题意的数量关系列出一元二次方程即可． 【详解】（1）解：设应该邀请支球队参加比赛， ∵赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛， ∴ 整理得，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：应该邀请支球队参加比赛． （2）解：设有支球队参加比赛， ∵所有球队直接进行双循环赛，总共进行场比赛， ∴， 整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， 答：有支球队参加比赛． 题型十九 其他问题（一元二次方程的应用） 【例19】（25-26九年级上·河北张家口·期末）元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，用x分别表示出剩下锦的长度和每尺锦的价格，再根据“总售价长度单价”列方程即可． 【详解】解：∵设这匹锦的长为尺，且这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七， ∴每尺锦的价格为文； ∵先卖掉三尺， ∴剩下的锦长度为尺； ∵剩下的锦总售价为文，总售价长度单价， ∴列方程得． 【变式19-1】（25-26九年级上·河北保定·期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 根据题意，每株椽的价钱为文，少拿一株后剩余株，运费为文，运费等于一株椽的价钱，由此列出方程． 【详解】解：∵每株椽的价钱为文，少拿一株后，运费为文，且运费等于一株椽的价钱， ∴， 两边乘以得：， 即选项B正确． 故选：B． 【变式19-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 【答案】存在，这样的三角形有1个 【分析】设最小边长为（为正整数），则另外两边长分别为，，利用勾股定理，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合为正整数，即可得出结论． 【详解】解：设直角三角形的三边长为三个连续正整数，其中最小边长为（为正整数），则另外两边长分别为，， ∵ 直角三角形的斜边为最长边， ∴ 斜边长为， 由勾股定理得， 整理得， 因式分解得， 解得或， ∵ 为正整数， ∴ ，对应三边长为3，4，5， ∴ 满足条件的直角三角形仅有1个． 【变式19-3】（26-27九年级上·全国·单元复习）定义：平面直角坐标系中，点、若满足，其中为常数，且，则称点与点互为“阶点”，例如点与点互为“阶点”． (1)若抛物线的顶点与点互为“阶点”，求的值； (2)对于动点（），若抛物线上只存在一个点与点互为“阶点”，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把抛物线转化成顶点式，得到顶点坐标，根据“阶点”定义，代入两点坐标得到方程，解一元一次方程即可求出． （2）设与点互为“阶点”的这一点为，根据“阶点”定义，整理得到关于的一元二次方程，根据“只存在一个点”等价于方程只有个实数解，即判别式，解关于的一元二次方程，得到的值． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为，                 由题意，得：， 解得：； （2）解：设与点互为“阶点”的这一点为， 根据“阶点”的定义可得：， 整理得：，                                 ∵只存在一个点与点互为“阶点”， ∴， 解得或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25章 一元二次方程 1. 定义与一般形式 定义：只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程。 一般形式： 注解：是一元二次方程的前提；可为0。分别对应二次项、一次项、常数项。 2. 方程的根 能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根。 常用结论：若是方程的根，则，可直接代入求值。 3. 四种解法 （1）直接开平方法 适用：，无一次项结构；无实数根。 （2）因式分解法 适用：方程整理为右边为0，左边可分解； 口诀：一提、二套、三十字。 原理：或。 （3）配方法 步骤：化二次项系数为1→移项→两边加“一次项系数一半的平方”→开方求解。 用途：求代数式最值、推导公式。 （4）公式法（万能通用） 判别式： 求根公式： 4. 根的判别式 · ：两个不相等的实数根 · ：两个相等的实数根 · ：无实数根 注意：含参方程有两个实数根，必须同时满足 且 。 5. 根与系数的关系（韦达定理） 适用前提：一元二次方程 ，且方程有实数根 核心公式：若方程两根为 ，则 常用变形（考试直接用） · · · 核心用途：不解方程，求两根和、两根积、代数式的值；已知一根求另一根；根据根的关系求参数取值。 6. 实际应用 常见模型：增长率问题、面积问题、销售利润问题、传播裂变问题。 解题关键：设未知数、列方程、验根（舍去不符合实际的根）。 1.忽略二次项系数不为0：含参方程判定一元二次方程，必须保证，只看必错。 2.判别式使用前提模糊：只针对一元二次方程，一次方程不能用。 3.漏根问题：因式分解、直接开方时只写一个根，忘记正负双根、零根。 4.配方常错：二次项系数未化为1就配方；移项忘变号；只左边加平方、右边不加。 5.公式代入出错：为负数时，代入公式符号混淆；根号、分母漏写。 6.应用题不验根：解出负数根、超范围根未舍去，导致大题扣分。 7.概念混淆：未知数次数为2但含分式、根式，不是整式方程，不属于一元二次方程。 8.韦达定理忽略前提：使用根与系数关系必须满足且，无实数根时公式不成立。 9.两根和符号出错：牢记 ，极易遗漏负号。 1.优先简法原则：能因式分解不配方，能配方不用公式，节省解题时间。 2.代根速算技巧：已知根求代数式值，优先整体代入，不解方程，简化计算。 3.含参题型技巧：有两个实数根且；有实数根需分类：一次方程/二次方程两种情况。 4.整体换元法：复杂重复结构（如）设整体为，降次简化方程。 5.增长率固定公式：，初始量，增长率，次数，最终量。 6.快速验根技巧：应用题解完先判断正负、取值范围，不符合题意直接舍去。 7.韦达定理整体求值法：遇到含两根的代数式，优先拆解为 、 整体代入，无需解出方程根。 8.含参韦达题型技巧：参数求值后，必须回代检验 ，舍去使方程无实根的参数值。 题型一 由一元二次方程的定义求参数 【例1】（26-27九年级上·重庆·开学考试）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（     ） A．3 B． C．3或 D．0 【变式1-1】（25-26九年级上·湖南张家界·期末）关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 题型二 由一元二次方程的解求参数 【例2】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如果是一元二次方程的一个根，那么常数k的值是（     ） A．2 B． C．3 D． 【变式2-1】（26-27九年级上·北京·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值是___________． 【变式2-2】（26-27九年级上·重庆·开学考试）若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值是______． 【变式2-3】（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）已知是方程的一个根，求的值． 题型三 直接开平方法——解一元二次方程 【例3】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）下列各数中，是一元二次方程的一个根的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)． 【变式3-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)． 题型四 配方法——解一元二次方程 【例4】（26-27九年级上·甘肃酒泉·阶段检测）用配方法解方程配方后可得（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（26-27九年级上·湖北·期中）把方程化为的形式，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解一元二次方程： (1)； (2)． 【变式4-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型五 配方法的应用 【例5】（26-27九年级上·全国·课后作业）设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【变式5-1】（26-27九年级上·江苏南京·单元测试）若a，b，c为的三边长，且满足，则的形状是________三角形． 【变式5-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）我们知道：，所以． 解答下列问题： (1)填空： 设，则． 所以，A______B；（填“”“”或“”） (2)已知，请判断的大小关系，并说明理由． 【变式5-3】（26-27九年级上·江苏南京·单元测试）阅读与思考：配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，还能用来解决求最值问题．例如：求代数式的最小值，过程如下： 原式 ． ，， ， 的最小值是． 根据材料中的方法，解答下列问题． (1)的最大值为   ； (2)求的最小值． 题型六 根的判别式判断一元二次方程根的情况 【例6】（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式6-1】（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）一元二次方程的根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式6-2】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）在平面直角坐标系中，若直线不经过第二象限，则关于的一元二次方程的实数根的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．0或1个 D．1或2个 【变式6-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）利用判别式判断下列方程的根的情况： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 【例7】（25-26九年级上·陕西商洛·期末）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【变式7-1】（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（     ）． A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【变式7-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为____________． 题型八 公式法——解一元二次方程 【例8】（25-26九年级上·贵州黔南·期末）某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）用公式法解下列方程： (1) (2) 【变式8-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程． (1)； (2)． 【变式8-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型九 因式分解法——解一元二次方程 【例9】（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）方程的解是（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】（26-27九年级上·全国·单元复习）方程的根是（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】（26-27九年级上·甘肃酒泉·阶段检测）已知三角形两边长分别是和，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C．或 D．或 【变式9-3】（26-27九年级上·湖南长沙·开学考试）解方程： (1)； (2)． 题型十 换元法——解一元二次方程 【例10】（25-26九年级上·广东汕头·期末）已知方程的解是或，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A． B． C． D．，方程无实数解 【变式10-2】（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）已知实数满足，则的值为（   ） A．或1 B．或6 C．6 D．1 【变式10-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设 那么原方程可化为， 解得， 当时，，，； 当时，，，， 故原方程的解为． 上述解题过程中，将原方程中某个多项式视为整体，并用另一个未知数替换这个整体，从而把高次方程化为低次方程，实现降次的目的，这种解方程的方法称为“换元法”． 解答问题：请用换元法解下列方程： (1)； (2)． 题型十一 一元二次方程根与系数的关系 【例11】（26-27九年级上·江苏南京·单元测试）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）已知方程的两根为，，则__________，__________． 【变式11-2】（26-27九年级上·福建福州·开学考试）已知，是关于的一元二次方程的两根，且，则的值为__________． 【变式11-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知方程的两个根为，，求下列式子的值： (1)； (2) 题型十二 传播问题（一元二次方程的应用） 【例12】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患流感，若每轮传染中，平均一人传染人，根据题意，可列方程是（     ） A． B． C． D． 【变式12-1】（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出相同数目的小分支，若主干、枝干、小分支的总数是43，则每个枝干长出的小分支的个数为（     ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【变式12-2】（26-27九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这项实验，若设每人每次能教会名同学，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式12-3】（25-26九年级上·北京·阶段检测）有5个人患了流感，经过两轮传染后共有245个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染多少人？ 题型十三 增长率问题（一元二次方程的应用） 【例13】（26-27九年级上·北京·期中）某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3000万元，预计2024年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是(     ) A． B． C． D． 【变式13-1】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，列出方程为（     ） A． B． C． D． 【变式13-2】（26-27九年级上·河南开封·阶段检测）“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．假设月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的2倍．设第一个月的销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式13-3】（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）福清市虎溪公园是福州市首个3.0版的城市公园，自2024年10月1日开放后，深受市民的喜爱．已知该公园今年三月份共接待游客25万人次，五月份共接待游客64万人次，设每月的平均增长率为x，则可列方程（     ） A． B． C． D． 题型十四 与图形有关问题（一元二次方程的应用） 【例14】（26-27九年级上·河南·阶段检测）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式14-1】（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）如图，某建筑工程队在一堵墙边上用23米长的铁栏围成一个面积为84平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是13米，铁栅栏只围三边，且在边上要造一个1米宽的门，在边上要造一个2米宽的运输通道．求所围成长方形的两条邻边的长． 【变式14-2】（26-27九年级上·河北唐山·开学考试）我们在八年级学过多边形的对角线． (1)若一个多边形有条对角线，求它的边数； (2)是否存在一个多边形，它有条对角线？若存在，求出它的边数；若不存在，说明理由． 【变式14-3】（26-27九年级上·河北唐山·开学考试）如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． (1)矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ (2)能否使围成的矩形面积为？如果能，求出三边的长；如果不能，说明理由． 题型十五 数字问题（一元二次方程的应用） 【例15】（26-27九年级上·全国·课后作业）根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（     ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，最后加上4，运算结果是这个数的2倍？ A．1 B．4 C． D．1或4 【变式15-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）（1）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是_______； （2）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，则这三个数分别是___________． 【变式15-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）一个两位数，十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换后得到的两位数的平方，所得数值比原来的两位数大138，则原来的两位数为_______． 【变式15-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）两个数的和是26，积是168，求这两个数． 题型十六 营销问题（一元二次方程的应用） 【例16】（2026九年级上·全国·专题练习）某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个．售价每上涨元，月销售量就减少个．要实现每月元的销售利润，且售价不能低于元，则台灯的定价应为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元或元 【变式16-1】（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）新世纪百货某款童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价2元，那么平均每天就可多售出5件．要想平均每天销售这种童装的盈利为1400元，则每件童装应降价________元． 【变式16-2】（26-27九年级上·山东济南·开学考试）我国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批进价为100元/盒的茶叶，当销售价为120元/盒时，每天可售出20盒．经市场调查发现，若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒．现该茶商计划降价销售，请回答下列问题： (1)当销售价为110元/盒时，每天的销售量为__________盒，每天盈利__________元； (2)当每盒茶叶降价多少元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元？ 【变式16-3】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）暑期档电影《牛来》和《奥德赛》深受大家喜爱．已知某电影院，1张《奥德赛》电影票比1张《牛来》电影票贵5元，用525元购买《奥德赛》电影票数量与用450元购买《牛来》电影票数量一样多． (1)求《牛来》和《奥德赛》电影票的单价． (2)该电影院按（1）中价格售票，平均每日可以售卖《牛来》电影票50张．据调查发现票价每降价1元销售量会增加5张，但是销售单价不得低于20元．若《牛来》的日销售额要达到1820元，单价应降低多少元？ 题型十七 动态几何问题（一元二次方程的应用） 【例17】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开始沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当的面积等于时，运动时间为（  ） A． B． 或 C． D． 或 【变式17-1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 【变式17-2】（26-27九年级上·河南开封·阶段检测）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：_______，________（用含t的代数式表示）． (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【变式17-3】（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，是边长为的等边三角形，动点，同时从，两点出发，分别沿、匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是等腰三角形？ (2)是否存在，使四边形的面积是面积的？若存在，求出的值；若不存在．请说明理由． 题型十八 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【例18】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）某校组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了15场比赛，则这次参加比赛的球队个数为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式18-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）某班2026年元旦晚会上，某合唱小组每两位同学间互赠贺卡，共赠贺卡30张，该合唱小组人数为（     ） A．5 B．6 C．29 D．30 【变式18-2】（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）某数学小组共有若干人，元旦时每个人各送一张自己制作的贺卡给组内其他人，全组一共送了72张贺卡，则这个数学小组共有__________人． 【变式18-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）按要求完成下列各题： (1)南宁市某中学要在初中组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛? (2)南宁市某中学要在高中篮球比赛中，规定所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛． 题型十九 其他问题（一元二次方程的应用） 【例19】（25-26九年级上·河北张家口·期末）元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式19-1】（25-26九年级上·河北保定·期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式19-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 【变式19-3】（26-27九年级上·全国·单元复习）定义：平面直角坐标系中，点、若满足，其中为常数，且，则称点与点互为“阶点”，例如点与点互为“阶点”． (1)若抛物线的顶点与点互为“阶点”，求的值； (2)对于动点（），若抛物线上只存在一个点与点互为“阶点”，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $