第28章 旋转16种题型（期中复习讲义）2026-2027学年人教版数学 九年级上册

第28章 旋转 1. 旋转的定义 在平面内，将一个图形绕着一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形变换叫做旋转。 三要素：旋转中心、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角。 2. 旋转的基本性质 · 旋转前后的图形全等，对应边、对应角全部相等。 · 对应点到旋转中心的距离相等。 · 对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角。 · 旋转中心是唯一不动的点，图形位置改变、形状大小不变。 3. 中心对称与中心对称图形 （1）中心对称（两个图形） 把一个图形绕某一点旋转 ，如果能够与另一个图形重合，则这两个图形关于这个点中心对称。该点为对称中心。 性质：对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分。 （2）中心对称图形（一个图形） 一个图形绕自身中心旋转 后能与自身重合，即为中心对称图形。 常见中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆。 易错区分：等腰三角形、等腰梯形是轴对称，不是中心对称图形。 4. 坐标旋转规律（平面直角坐标系高频） 点 绕原点旋转： · 顺时针旋转 ： · 逆时针旋转 ： · 旋转 （中心对称）： 5. 旋转作图步骤 定中心→定方向角度→找关键点对应点→顺次连线→标注结果。 1.混淆中心对称（两个图形）与中心对称图形（一个图形）概念。 2.误将轴对称图形直接判定为中心对称图形（如等腰三角形）。 3.找错旋转角：相邻对应点与中心夹角才是旋转角，乱找夹角。 4.坐标旋转公式记反、正负号出错，尤其顺时针/逆时针 。 5.认为旋转改变图形大小形状，忽略旋转全等性质。 6.多图形旋转题中，漏找隐藏相等线段、相等角，导致解题卡壳。 1.旋转全等秒杀法：遇旋转题优先用“旋转前后全等”，直接得边、角相等，快速证全等。 2.旋转角统一技巧：同一旋转过程中，所有对应点的旋转角全部相等，可批量导角。 3.坐标旋转速记：180°直接变号；90°旋转口诀“横纵互换、符号看方向”。 4.几何模型思维：常见等边、等腰直角三角形旋转，构造手拉手全等模型，是期中大题核心。 5.对称判定技巧：旋转180°重合为中心对称；折叠重合为轴对称，快速区分题型。 6.最值解题思路：旋转动点最值问题，利用“定点定长轨迹圆”求解线段最值。 题型一 找旋转中心、旋转角、对应点 【例1】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，将绕着点O顺时针旋转得到，则旋转角度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的定义，掌握相关定义是解题关键． 根据“对应点与旋转中心的连线的夹角是旋转角”，可知是旋转角，于是得到问题的答案． 【详解】解：将绕着点O顺时针旋转得到，则旋转角度是或． 故选：D． 【变式1-1】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在的方格纸中，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心最可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在． 此题可根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心． 【详解】解：如图，连接N和两个三角形的对应点；发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N就是所求的旋转中心； 故选：B． 【变式1-2】（25-26九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的横、纵坐标都是整数．若将以某点为旋转中心，顺时针旋转得到，其中A，B，C分别与D，E，F对应，则旋转中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的性质是解题关键．分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就是旋转中心，根据其在平面直角坐标系中的位置即可得旋转中心的坐标． 【详解】解：如图，与的垂直平分线相交于点，则点即为旋转中心． 故选：C． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，旋转后与重合，且为等边三角形，那么： (1)旋转中心是 点； (2)旋转方向是 ； (3)旋转角是 ； (4)的对应线段是 ，的对应线段是 ，的对应角是 ； (5)连接，判断的形状是 ． 【答案】(1) (2)顺时针 (3)或 (4)，， (5)等边三角形 【分析】本题考查的是旋转的性质、旋转的定义，①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等． （1）旋转后与重合，两个三角形有公共点，则旋转中心是点； （2）判断是顺时针还是逆时针即可； （3）旋转后的图形任意对应点与旋转中心连线形成的角均为旋转角； （4）旋转到时，与完全重合，与完全重合； （5）有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 【详解】（1）解：旋转后与重合，两个三角形有公共点，则旋转中心是点． 故答案为：． （2）旋转方向是顺时针． 故答案为：顺时针． （3）旋转后的图形任意对应点与旋转中心连线形成的角均为旋转角， 则旋转角是或． 故答案为：或． （4）旋转到时，与完全重合，与完全重合，与完全重合， 的对应线段是，的对应线段是，的对应角是． 故答案为：，，． （5）是等边三角形．理由如下： 连接，如图， 为等边三角形， ． ， ． ， 是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 题型二 根据旋转的性质求解 【例2】（26-27九年级上·湖南·期中）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质得到，，根据三角形内角和求出，可知，即可求出． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2-1】（26-27九年级上·云南·期中）如图．将纸片绕点C顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与交于点，由旋转可得，由垂直可得，再利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：设与交于点，如图， ∵将纸片绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是一个等边三角形，D为边的中点，把绕点A顺时针旋转得到，求，，的度数． 【答案】，， 【分析】根据等边三角形的三线合一定理可知是的中线、边上的高、的角平分线，根据三角形的高、角平分线的性质、旋转的性质即可求出角的度数． 【详解】解：是一个等边三角形， ，， 点为边的中点， ，平分， ，， 由旋转可知， ， ， 又， 是等边三角形， ， ． 【变式2-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，使点B的对应点E落在上，与交于点G． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：由题意，得，， ， ， 平分； (2) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，利用等边对等角求得，即可得到； （2）根据旋转的性质可得，，利用三角形内角和定理求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，得，， ，， ， ， ， ． 题型三 画旋转图形 【例3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，分别画出绕点O逆时针旋转和后得到的图形． 【答案】解：如图，是绕点逆时针旋转后的三角形， 如图，是绕点逆时针旋转后的三角形， 【分析】分别确定绕点逆时针旋转后的对应点 再顺次连接，即可得到答案；分别确定绕点逆时针旋转后的对应点， 再顺次连接即可得到答案． 【详解】略 【变式3-1】（26-27九年级上·山东滨州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． (1)将向轴负半轴方向平移个单位得到，画出图形并直接写出点的坐标； (2)以原点为旋转中心，将顺时针旋转后得到，画出图形并直接写出点的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求： 点的坐标为； (2)如图，即为所求： 点的坐标为． 【分析】（1）根据网格结构找出点、、平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）找出点、、绕原点顺时针旋转的对称点的位置，然后顺次连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3-2】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在中，点的坐标是，点的坐标是． (1)画出将向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后的； (2)画出将绕点逆时针旋转后的； (3)在平面内有一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标； 【答案】(1)如图所示，即为所求； (2)如图所示，即为所求； (3)点的坐标为，或 【分析】（1）按照坐标平移规律作出点平移后的对应点，然后顺次连接即可得到． （2）结合网格的直角特性，分别将点绕点逆时针旋转，得到点、，再顺次连接点、、，即可得到． （3）分别以为对角线、以为对角线、以及以为对角线，作平行四边形，进而根据平行四边形的性质得到点的坐标． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：如图，当以为对角线时，作，过点作于点，过点作于点， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ，， 点的坐标为； 如图，当以为对角线时，作， 四边形是平行四边形， ，， ，， 点的坐标为； 如图，当以为对角线时，作， 四边形是平行四边形， ，， ，， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为，或． 【变式3-3】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将向左平移5个单位长度得到，点、、的对应点分别为、、，请在图中画出； (2)将绕原点顺时针旋转得到，点、、的对应点分别为、、，请在图中画出，并写出点的坐标． 【答案】(1)如图所示： (2)如图所示： 点的坐标为 【详解】（1）略 （2）略 题型四 旋转中的规律问题 【例4】（第二十八章 旋转 追梦第二十八章章末复习 旋转）如图，平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形且，把绕点顺时针旋转得到，把绕点顺时针旋转得到，以此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点，点，是等腰直角三角形且，求出点的坐标为，利用旋转求出的坐标规律，再计算的坐标即可． 【详解】解：∵点，点，是等腰直角三角形且， ∴点的坐标为，根据题意旋转可得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，， 以此类推，点的横坐标为，当为奇数时，点的纵坐标为，当为偶数时，点的纵坐标为2， ∴点的横坐标为， ∵是偶数， ∴纵坐标为， ∴点的坐标为 ． 【变式4-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，矩形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2028次旋转结束时，点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意过点C作轴于点E，连接，根据已知条件求出点C的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点C的坐标，发现规律，进而求出第2028次旋转结束时，点C的坐标． 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转， 则第1次旋转结束时，点C的坐标为； 则第2次旋转结束时，点C的坐标为； 则第3次旋转结束时，点C的坐标为； 则第4次旋转结束时，点C的坐标为； … 发现规律：旋转4次一个循环， ， 则第2028次旋转结束时，点C的坐标为． 【变式4-2】（25-26八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与轴正半轴重合，将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，…，按照此规律，先将三角形绕点逆时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解． 【详解】作轴，轴，垂足分别为， 由题意得，， ， ，， ，， ，， 如图，与关于原点对称，，，，，，，……， 观察可知，点到点为一个变换周期，，即点的坐标为． 【变式4-3】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且…，依此规律，得到等腰直角三角形．则点的坐标_________． 【答案】 【分析】．根据题意得出 点坐标变化规律，进而得出点 的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，依此规律， 每4次循环一周，即，即，即，即， ， 点与同在一个象限内， 点． 题型五 线段问题（旋转综合） 【例5】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，平面直角坐标系中，已知，，，线段上有一点，连，且绕点逆时针旋转得，则的最小值和最大值（   ） A．9，18 B．9，10 C．3， D．3， 【答案】C 【分析】过点作轴的垂线，根据全等三角形的判定与性质，得出点在直线上，据此求出的最大值及最小值即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为， 由旋转可知，， 所以， 所以． 在和中， ， 所以， 所以， 所以点在直线上． 当与直线垂直时，取得最小值， 因为点坐标为， 所以的最小值为． 当点在点处时， 点坐标为， 则； 当点在点处时， 点坐标为， 则， 因为， 所以的最大值为， 显然只有C选项符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转，全等三角形的性质和判定，勾股定理，实数的大小比较等知识点，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 【变式5-1】（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到（点、的对应点分别是点、)，取的中点，连接，则线段的最大值为____________． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及线段最值问题，解题关键是确定点的运动轨迹，利用“点圆位置关系”求最值． 【详解】解：如图，连接． 在中，，，， 由勾股定理得． 绕点顺时针旋转得到， ， ，． 是的中点， ． 由题意，点在以为圆心、为半径的圆上运动， 根据线段的最值性质，(当且仅当、、三点共线且在延长线上时取等号)， 的最大值为． 故答案为：． 【变式5-2】（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于，首先证明，推出点的在射线上运动，推出当时，的值最小，然后证明当时，四边形是矩形，结合等腰三角形的性质，分别求得和即可解答． 【详解】解：如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于． 四边形是矩形， ，， ， ， ，， ， ， 点的在射线上运动， 当时，的值最小， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，等腰三角形的性质等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式5-3】（25-26九年级上·天津·阶段检测）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点的对应点分别为． (1)如图①，当点恰好落在上时，点坐标为___________，点的坐标___________； (2)如图②，当点落在线段上时，交于点，求点的坐标； (3)若点为线段的中点，连接，取的中点，连接，写出的取值范围（直接写出结果）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，根据勾股定理求出，由旋转可得，，，证明得到，求出，，可得点坐标，证明得到，求出，，可得点的坐标； （2）由旋转可得，，，证明得到，求出，即可求解； （3）由题意可得，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图①，过点作轴于点，过点作轴于点， 点，点，四边形是矩形， ，，， ， 由旋转可得，，， ，， ， ，即， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ，， ， ， 故答案为：，； （2）由旋转可得，，，， ， ， ， ， ， ，即， ， ； （3）由题意可得，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动，点在以为圆心，半径为的圆上运动， ，， ， ，， ． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形，解答此题的关键是熟练掌握旋转的性质，相似三角形的判定与性质． 题型六 面积问题（旋转综合） 【例6】（25-26九年级上·重庆綦江·期末）如图，点是正方形的边上一动点(点不与点，重合)，连接，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连接，，若，则面积的最大值为(　　)    A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形判定与性质及二次函数求最值．先过点作，先通过证明与全等，得到对应边相等，再用和表示的面积，最后通过二次函数求面积的最大值． 【详解】解：如图，过点作，则．    设()． ∵四边形是正方形， ∴，． ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，． ∴． 又， ∴． 在和中：， ∴． ∴， ∴， ∴的面积， ∵是关于的二次函数，图象开口向下，， ∴当时，面积取得最大值：， 故选：A． 【变式6-1】（25-26九年级上·甘肃定西·期末）如图，将四边形绕顶点A顺时针旋转至四边形的位置，若，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、扇形面积公式；熟练掌握旋转的性质，得出阴影部分的面积等于扇形的面积是解题的关键． 【详解】解：由旋转的性质得：，四边形四边形， ∴图中阴影部分的面积四边形的面积扇形的面积四边形的面积扇形的面积； ∵，； ∴； 故答案为：． 【变式6-2】（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在正方形中，O为对角线的中点．正方形在绕点O旋转的过程中，边与交于点E（不与点A，B重合），边与交于点F．若，则四边形的面积为______． 【答案】/6.25/ 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质及等腰三角形三线合一的性质．连接，利用正方形的性质及已知条件得出，，再由得出，从而证明，进而得出，求出面积． 【详解】解：如图，连接， 在正方形中，，， ∴， 又∵O为对角线中点， ∴，， ∴， ∴， 又∵四边形为正方形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】（26-27九年级上·天津·期中）在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点顺时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，．记旋转角为． (1)如图①，若，则的长是__________，点的坐标是__________； (2)如图②，若，求点的坐标； (3)记为的中点，为的面积，求的最小值和最大值（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2) (3)最小值，最大值 【分析】（1）勾股定理求出的长，旋转结合勾股定理求出的长，作轴，证明，求出的长，求出点的坐标即可； （2）过作轴于，易得为含30度角的直角三角形，求出的长，进而求出点的坐标即可； （3）根据旋转的性质，推出当点在上时，的面积最小，当点在线段的延长线上时，的面积最大，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 作轴，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图② ，过作轴于，则． 由旋转的性质可得：，， 在中，由， ∴． ． 由勾股定理， ． 点的坐标为； （3）∵旋转， ∴， 由（1）可知， ∵为的中点， ∴， 作，则：， ∴的面积随着的变化而变化， 如图所示，当点在上时，此时，重合，最小，的面积最小， 最小面积， 当点在的延长线上时，此时重合，最大，的面积最大， 最大面积． 题型七 其他问题（旋转综合） 【例7】（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点． (1)则______； (2)若，，求和的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（）先根据旋转的性质可得，再根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，由此即可得； （）先根据旋转的性质可得，利用勾股定理可得的长，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵将绕点逆时针旋转得到，且， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， （2）解：∵将绕点逆时针旋转得到，且， ∴， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴在中，． 【变式7-1】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，菱形纸片中，，将菱形沿剪开，不动，绕点逆时针旋转度（）得到，其中点与点对应． (1)如图1，当时，、的延长线交于点． ①用表示的度数； ②如图2，当时，求证：四边形是菱形； (2)如图3，连接、，当______时，． 【答案】(1)①； ②证明：由①可得，， ∵， ∴， ， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）①根据菱形的性质得出，进而利用四边形的内角和等于解答即可； ②把代入，进而利用菱形的判定进行证明即可； （2）根据旋转的性质得出，，，，进而利用平行四边形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）①解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵不动，绕点逆时针旋转度（）得到，其中点与点对应， ∴ ， ，， ∴， ∵在四边形中，， ∴ ； ②略； （2）解：∵不动，绕点逆时针旋转度（）得到，其中点与点对应， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴． 【变式7-2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）探究以下问题： 【探索求知】 (1)如图1，在四边形中，连接，，以为边在左侧作等边，连接． ①判断能否由旋转得到，并说明理由； ②求的长； 【实践运用】 (2)如图2，步道将等腰广场分为三部分，用于规划不同的功能区，经测量，，，，，求的长． 【答案】(1)①能由旋转得到， 理由：是等边三角形，， ，， ， 在和中， ， ， 点为和的共同顶点， 可以由旋转得到； ②； (2) 【分析】（1）①先证明，再证明，可得结论；②绕点按顺时针方向旋转得到，证明，再结合勾股定理可得答案； （2）将绕点逆时针旋转得，作于，连接， 进而可得，，，， ，证明，得，再结合勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：①略 ②绕点按顺时针方向旋转得到， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， 将绕点逆时针旋转得，作于，连接， ， ，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 于， ， ， ， ， ， ， 中，， 中，， ． 题型八 坐标系中的旋转 【例8】（25-26九年级上·山西忻州·阶段检测）在平面直角坐标系中，点的坐标为，将点绕着原点逆时针旋转得到点，连接、、得，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点坐标与图形、旋转的性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键．过点作轴于点，先求出，，，再根据旋转的性质可得点落在轴正半轴上，，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： 过点作轴于点， ∵点的坐标为， ∴， ∴，， ∵将点绕着原点逆时针旋转得到点， ∴点落在轴正半轴上，， ∴的面积为． 故选：D． 【变式8-1】（26-27九年级上·浙江绍兴·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点，点，将绕点B逆时针旋转得到，则点A的对应点的坐标为_________________． 【答案】 【分析】通过作垂线构造全等三角形，利用旋转的性质得到等边等角，证明三角形全等，根据全等得到对应线段长度，结合位置计算得到的坐标． 【详解】解：设点的对应点为，过点作轴于点，过点作轴于点． ∵，， ∴，得，． ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵在轴下方， ∴的横坐标为， 纵坐标为， ∴的坐标为． 【变式8-2】（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，将绕点逆时针旋转后得到，点，的对应点分别为点，，画出，并写出点的坐标． 【答案】如图， 点的坐标为 【分析】本题考查了坐标系中的旋转，求绕某点（非原点）旋转度的点的坐标，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．先画出图形，再写出点的坐标即可. 【详解】解：∵的三个顶点坐标分别为，，，将绕点逆时针旋转后得到， 点，的对应点分别为点，， ∴点的坐标为． 【变式8-3】（25-26九年级上·陕西商洛·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，求点的坐标．（提示：过点作轴的垂线，利用全等求解） 【答案】 【分析】本题考查三角形全等的性质和判定，图形与坐标，旋转的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．过点 作轴于点 C，可证明，则，则题目可求． 【详解】解：如图，过点 作轴于点 C， ∵， ， ， ∴， ， 又∵， ∴， ， ， ． 题型九 成中心对称 【例9】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义． 把一个图形绕着某个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，由此即可判断． 【详解】解：A、两个三角形成中心对称，符合题意； B、两个三角形不成中心对称，不符合题意； C、两个三角形不成中心对称，不符合题意； D、两个三角形不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 【变式9-1】（26-27九年级上·云南·期中）如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A．点与点是对称点 B． C． D． 【答案】C 【分析】由中心对称的性质直接求解即可． 【详解】解：与关于点成中心对称， 点与点是对称点，，，， 选项中四个结论中错误． 【变式9-2】（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为； (1)若与关于原点成中心对称，写出顶点的坐标：_____，_____，_____； (2)画出绕原点逆时针旋转得到的． 【答案】(1)，， (2) 即为所求： 【分析】本题考查了中心对称的性质，画旋转图形． （1）根据关于原点成中心对称的点的横纵坐标互为相反数求解即可； （2）分别作出点绕原点逆时针旋转得到的点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：∵的三个顶点坐标分别为，且与关于原点成中心对称， ∴ 故答案为：，，； （2）略 【变式9-3】（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）如图，的三个顶点与点O均在正方形网格的格点上． (1)作，使得与关于点O成中心对称； (2)已知网格中小正方形的边长均为1，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别作出点关于点的对称点，再顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：即为所求； （2）解：的面积． 题型十 画已知图形关于某点对称的图形 【例10】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，选择点O为对称中心，作出与关于点O对称的． 【答案】如图，即为所求． 【分析】连接，延长至点，使，得到点关于点的对称点，连接，延长至点，使，得到点关于点的对称点，连接，延长至点，使，得到点关于点的对称点，依次连接，，，得到的就是关于点对称的三角形． 【详解】略 【变式10-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）分别作出与下列图形关于点O对称的图形： 【答案】解：根据题意，作图如下： 【分析】根据连接，延长，等距的原则作图即可． 【详解】略 【变式10-2】（26-27九年级上·北京·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出与关于原点对称的； (2)画出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． 【答案】(1)解： 如图所示； (2) 如图所示，点坐标为． 【分析】（1）关于原点对称的两点横纵坐标分别互为相反数，分别求出点，，的坐标依次描点连线即可； （2）根据网格结构找出点、、分别绕点旋转后的对应点，，的位置，顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出的坐标． 【详解】（1）坐标关于原点对称 ，，，在坐标系中依次找到，连接，，； （2）略． 【变式10-3】（26-27九年级上·四川成都·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，． (1)作出以点为对称中心的图形； (2)平移，若点对应点的坐标为，画出平移后对应的； (3)过点作直线平分四边形的面积，并求出四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）根据对称作图即可； （2）由题可知先向左平移2个单位，再向下平移6个单位，再根据平移作图即可； （3）连接、交于点，再连接即为所求直线，然后由平行四边形的面积公式计算面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：平移得到，即先向左平移2个单位，再向下平移6个单位， 则，，如图即为所求； （3）解：连接、交于点，再连接即为所求直线， 如图：略； 设直线分别交于， 四边形是平行四边形， ，，， ，又， ， ，又， ， 直线即为所求直线； 四边形的面积为． 题型十一 两个图形的对称中心 【例11】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，和关于点P成中心对称，则点P的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查中心对称，掌握相关知识是解决问题的关键．根据中心对称的性质，旋转中心是各组对应点连线的交点，据此解答即可． 【详解】解：根据中心对称的性质，旋转中心是各组对应点连线的交点，如图，． 故答案为：． 【变式11-1】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，小正方形的边长均为个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)若和关于点中心对称，则点的坐标为______； (2)作关于点的中心对称图形． 【答案】(1)； (2) 如图，为所求作． 【分析】本题考查中心对称图形的对称中心、画中心对称图形等，解答本题的关键是熟练掌握中心对称的性质． （1）根据对应点连线的交点即为对称中心，根据坐标系即可求出坐标； （2）分别找到各点的对应点，顺次连接即为所求图形． 【详解】（1）解：如图，分别连接两点和两点，相交于点， 由图可知，点的坐标为； （2）略 【变式11-2】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将绕原点O顺时针旋转得到，请画出旋转后的，并直接写出顶点，，的坐标； (2)若与关于点Q对称，请在图中标出对称中心Q，并写出点Q的坐标． 【答案】(1) 如图， 即为所求，，，的坐标为； (2) 解：如图，点Q即为对称中心， 【分析】本题考查了坐标平面内图形的变换：中心对称，旋转，熟练掌握旋转性质，中心对称性质，是解题的关键． （1）作出点A，B，C绕原点O顺时针旋转得到的对应点，，，写出顶点，，的坐标即可； （2）连接，交点Q即为对称中心，由，，写出中点坐标，即为点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵的顶点坐标分别为，，， ∴将绕原点O顺时针旋转得到； 顺次首尾连接得到； （2）解：连接，交于点Q，点Q即为对称中心， 由图看出， ∵， ∴，， ∴． 【变式11-3】（25-26九年级上·湖北孝感·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的边长为1，的三个顶点分别是，，． (1)把向左平移5个单位后得到对应的，请画出平移后的； (2)把绕原点O旋转后得到对应的，请画出旋转后的； (3)观察图形可知，与关于点(____,____)中心对称． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2)如图，即为所求； (3) 【分析】本题主要考查了平移变换、旋转变换、中心对称图形，一次函数等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）分别作出点向左平移5个单位后的点，再顺次连接即可； （2）分别作出点绕原点O旋转后得到的点，再顺次连接即可； （3）连接，交点即为对称中心，再求出直线和直线的表达式，然后求出交点即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接，交点即为对称中心， 可得，，， 设直线， 则， 解得， ∴直线； 同理可求直线， ∴， 解得， ∴与关于点中心对称， 故答案为：． 题型十二 利用中心对称的性质求解 【例12】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，勾股定理的运用，掌握中心对称图形的特点，勾股定理是关键，根据中心对称图形的特点得到，，，则，由勾股定理即可求解． 【详解】解：和关于点成中心对称， ，，． ． ， ． 故选：C ． 【变式12-1】（25-26九年级上·青海果洛·期末）如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查关于某点对称的图形之间的关系，解题关键是熟练掌握关于某点对称的图形性质．利用中心对称的对应点到对称中心的距离相等，证得在的垂直平分线上，求出． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴（中心对称的对应点到对称中心的距离相等） 又 ∵， ∴ D在的垂直平分线上， ， 故选：C． 【变式12-2】（第二十八章 旋转 高效同步练习28.2.2 中心对称图形）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据中心对称图形的性质得出，，，根据含角的直角三角形的性质求出，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵图形是一个中心对称图形，为对称中心，，，， ∴，，， ∴， ∴． 【变式12-3】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，边长为8的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图象均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和为________． 【答案】32 【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为64，由此可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵正方形的对称中心是坐标原点，轴，轴， ∴正方形的面积， 根据题意：观察图形可得，图中以B、D为顶点的小阴影部分，绕点O顺时针旋转，正好和以A、C为顶点的小空白部分重合， ∴阴影的面积是图中正方形面积的一半， ∴阴影部分的面积． 题型十三 中心对称图形的识别 【例13】（26-27九年级上·北京·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与自身重合，由此问题可求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形但是中心对称图形，故不符合题意； B、是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意； C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意． 【变式13-1】（26-27九年级上·天津·期中）下列图案中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：选项A．不是中心对称图形，故A不符合题意； 选项B．不是中心对称图形，故B不符合题意； 选项C．不是中心对称图形，故C不符合题意； 选项D．是中心对称图形，故D符合题意． 【变式13-2】（26-27九年级上·天津·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、图形既是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项符合题意； C、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 【变式13-3】（26-27九年级上·天津·期中）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C选项图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D选项图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意． 题型十四 关于原点对称的点的坐标 【例14】（26-27九年级上·湖北·期中）如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质和关于原点对称的点的坐标特点，即可求解． 【详解】解：∵平行四边形的对角线交点在原点， ∴， 即A、C两点关于原点对称， ∵， ∴． 【变式14-1】（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点的坐标为， 点关于原点的对称点的坐标为． 【变式14-2】（25-26九年级上·北京东城·期中）在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为点关于原点对称的点的坐标为，所以将已知点的横、纵坐标分别取相反数，即可得到对应对称点的坐标． 【详解】解：∵所求点与点关于原点对称， ∴所求点的坐标为． 【变式14-3】（第二十八章 旋转 追梦第二十八章章末复习 旋转）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 点关于原点对称， 其对称点的横坐标为，纵坐标为， 即对称点坐标为． 题型十五 已知两点关于原点对称求参数 【例15】（25-26九年级上·四川广元·阶段检测）点关于原点的对称点是，则的值为( ) A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】若两点关于原点对称，则它们的横、纵坐标分别互为相反数．利用该特征，结合已知的两个对称点坐标，建立关于的关系式，进而求解的值． 【详解】解：又∵点关于原点的对称点是， ∴，． 故选：A． 【变式15-1】（25-26九年级上·陕西商洛·期末）若点关于原点对称的点是，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据关于原点对称点的横纵坐标都互为相反数，求出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点关于原点对称的点是， ∴，， ∴． 【变式15-2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知点关于原点的对称点的坐标是，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数，先求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标分别互为相反数，点关于原点的对称点的坐标为， ∴，， ∴． 【变式15-3】（25-26九年级上·广东韶关·阶段检测）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则_________． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征及有理数的乘方运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特征求出和的值，进而求解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数， ∴，， 则， ∴． 题型十六 按图形的变换要求画出另一个图形 【例16】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为、、． (1)画出关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕点逆时针旋转后的；并写出的坐标． 【答案】(1) 如图，即为所求： (2) 如图，即为所求： 【分析】本题考查作图旋转变换，中心对称，解题的关键是作出对应点的位置． （1）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，，然后顺次连接即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，，然后顺次连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式16-1】（25-26九年级上·重庆潼南·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求，点． (2) 如图，即为所求，点． 【分析】本题主要考查了坐标与图形—旋转变换以及中心对称变换． （1）利用网格特点和关于原点对称的特点，画出点、、的对应点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质，画出点、、的对应点即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式16-2】（24-25九年级上·河南漯河·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)画出关于原点对称的（点的对应点分别为，，）； (2)画出绕点按顺时针方向旋转得到的（点的对应点分别为，），写出点的坐标为______． 【答案】(1)=如图所示，即为所求作图形； (2)如图所示，即为所求作图形， 点的坐标为 【分析】本题主要考查中心对称，旋转作图，理解其定义，掌握中心对称图形的作图方法，旋转作图的方法是解题的关键． （1）根据中心对称作图的方法，确定中心点，由对应点到中心点距离相等，由此作图即可； （2）确定旋转点，旋转角度，由旋转的性质作图即可． 【详解】（1）略 （2）解：点的坐标为， 学科网（北京）股份有限公司 $ 第28章 旋转 1. 旋转的定义 在平面内，将一个图形绕着一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形变换叫做旋转。 三要素：旋转中心、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角。 2. 旋转的基本性质 · 旋转前后的图形全等，对应边、对应角全部相等。 · 对应点到旋转中心的距离相等。 · 对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角。 · 旋转中心是唯一不动的点，图形位置改变、形状大小不变。 3. 中心对称与中心对称图形 （1）中心对称（两个图形） 把一个图形绕某一点旋转 ，如果能够与另一个图形重合，则这两个图形关于这个点中心对称。该点为对称中心。 性质：对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分。 （2）中心对称图形（一个图形） 一个图形绕自身中心旋转 后能与自身重合，即为中心对称图形。 常见中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆。 易错区分：等腰三角形、等腰梯形是轴对称，不是中心对称图形。 4. 坐标旋转规律（平面直角坐标系高频） 点 绕原点旋转： · 顺时针旋转 ： · 逆时针旋转 ： · 旋转 （中心对称）： 5. 旋转作图步骤 定中心→定方向角度→找关键点对应点→顺次连线→标注结果。 1.混淆中心对称（两个图形）与中心对称图形（一个图形）概念。 2.误将轴对称图形直接判定为中心对称图形（如等腰三角形）。 3.找错旋转角：相邻对应点与中心夹角才是旋转角，乱找夹角。 4.坐标旋转公式记反、正负号出错，尤其顺时针/逆时针 。 5.认为旋转改变图形大小形状，忽略旋转全等性质。 6.多图形旋转题中，漏找隐藏相等线段、相等角，导致解题卡壳。 1.旋转全等秒杀法：遇旋转题优先用“旋转前后全等”，直接得边、角相等，快速证全等。 2.旋转角统一技巧：同一旋转过程中，所有对应点的旋转角全部相等，可批量导角。 3.坐标旋转速记：180°直接变号；90°旋转口诀“横纵互换、符号看方向”。 4.几何模型思维：常见等边、等腰直角三角形旋转，构造手拉手全等模型，是期中大题核心。 5.对称判定技巧：旋转180°重合为中心对称；折叠重合为轴对称，快速区分题型。 6.最值解题思路：旋转动点最值问题，利用“定点定长轨迹圆”求解线段最值。 题型一 找旋转中心、旋转角、对应点 【例1】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，将绕着点O顺时针旋转得到，则旋转角度是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，在的方格纸中，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心最可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1-2】（25-26九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的横、纵坐标都是整数．若将以某点为旋转中心，顺时针旋转得到，其中A，B，C分别与D，E，F对应，则旋转中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，旋转后与重合，且为等边三角形，那么： (1)旋转中心是 点； (2)旋转方向是 ； (3)旋转角是 ； (4)的对应线段是 ，的对应线段是 ，的对应角是 ； (5)连接，判断的形状是 ． 题型二 根据旋转的性质求解 【例2】（26-27九年级上·湖南·期中）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（26-27九年级上·云南·期中）如图．将纸片绕点C顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是一个等边三角形，D为边的中点，把绕点A顺时针旋转得到，求，，的度数． 【变式2-3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，使点B的对应点E落在上，与交于点G． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 题型三 画旋转图形 【例3】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，分别画出绕点O逆时针旋转和后得到的图形． 【变式3-1】（26-27九年级上·山东滨州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． (1)将向轴负半轴方向平移个单位得到，画出图形并直接写出点的坐标； (2)以原点为旋转中心，将顺时针旋转后得到，画出图形并直接写出点的坐标． 【变式3-2】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）如图，在中，点的坐标是，点的坐标是． (1)画出将向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后的； (2)画出将绕点逆时针旋转后的； (3)在平面内有一点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标； 【变式3-3】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将向左平移5个单位长度得到，点、、的对应点分别为、、，请在图中画出； (2)将绕原点顺时针旋转得到，点、、的对应点分别为、、，请在图中画出，并写出点的坐标． 题型四 旋转中的规律问题 【例4】（第二十八章 旋转 追梦第二十八章章末复习 旋转）如图，平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形且，把绕点顺时针旋转得到，把绕点顺时针旋转得到，以此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，矩形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2028次旋转结束时，点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与轴正半轴重合，将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，再将绕点逆时针旋转，得到，再作关于原点的中心对称图形，得到，…，按照此规律，先将三角形绕点逆时针旋转，再作关于原点的中心对称图形，则点的坐标是（     ）． A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且…，依此规律，得到等腰直角三角形．则点的坐标_________． 题型五 线段问题（旋转综合） 【例5】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，平面直角坐标系中，已知，，，线段上有一点，连，且绕点逆时针旋转得，则的最小值和最大值（   ） A．9，18 B．9，10 C．3， D．3， 【变式5-1】（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，，，将绕点B顺时针旋转得到（点、的对应点分别是点、)，取的中点，连接，则线段的最大值为____________． 【变式5-2】（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为__________． 【变式5-3】（25-26九年级上·天津·阶段检测）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点的对应点分别为． (1)如图①，当点恰好落在上时，点坐标为___________，点的坐标___________； (2)如图②，当点落在线段上时，交于点，求点的坐标； (3)若点为线段的中点，连接，取的中点，连接，写出的取值范围（直接写出结果）． 题型六 面积问题（旋转综合） 【例6】（25-26九年级上·重庆綦江·期末）如图，点是正方形的边上一动点(点不与点，重合)，连接，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连接，，若，则面积的最大值为(　　)    A． B． C．3 D． 【变式6-1】（25-26九年级上·甘肃定西·期末）如图，将四边形绕顶点A顺时针旋转至四边形的位置，若，则图中阴影部分的面积为__________． 【变式6-2】（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，在正方形中，O为对角线的中点．正方形在绕点O旋转的过程中，边与交于点E（不与点A，B重合），边与交于点F．若，则四边形的面积为______． 【变式6-3】（26-27九年级上·天津·期中）在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点顺时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，．记旋转角为． (1)如图①，若，则的长是__________，点的坐标是__________； (2)如图②，若，求点的坐标； (3)记为的中点，为的面积，求的最小值和最大值（直接写出结果即可）． 题型七 其他问题（旋转综合） 【例7】（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点． (1)则______； (2)若，，求和的长． 【变式7-1】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，菱形纸片中，，将菱形沿剪开，不动，绕点逆时针旋转度（）得到，其中点与点对应． (1)如图1，当时，、的延长线交于点． ①用表示的度数； ②如图2，当时，求证：四边形是菱形； (2)如图3，连接、，当______时，． 【变式7-2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）探究以下问题： 【探索求知】 (1)如图1，在四边形中，连接，，以为边在左侧作等边，连接． ①判断能否由旋转得到，并说明理由； ②求的长； 【实践运用】 (2)如图2，步道将等腰广场分为三部分，用于规划不同的功能区，经测量，，，，，求的长． 题型八 坐标系中的旋转 【例8】（25-26九年级上·山西忻州·阶段检测）在平面直角坐标系中，点的坐标为，将点绕着原点逆时针旋转得到点，连接、、得，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（26-27九年级上·浙江绍兴·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点，点，将绕点B逆时针旋转得到，则点A的对应点的坐标为_________________． 【变式8-2】（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，将绕点逆时针旋转后得到，点，的对应点分别为点，，画出，并写出点的坐标． 【变式8-3】（25-26九年级上·陕西商洛·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，求点的坐标．（提示：过点作轴的垂线，利用全等求解） 题型九 成中心对称 【例9】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（26-27九年级上·云南·期中）如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ） A．点与点是对称点 B． C． D． 【变式9-2】（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为； (1)若与关于原点成中心对称，写出顶点的坐标：_____，_____，_____； (2)画出绕原点逆时针旋转得到的． 【变式9-3】（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）如图，的三个顶点与点O均在正方形网格的格点上． (1)作，使得与关于点O成中心对称； (2)已知网格中小正方形的边长均为1，求的面积． 题型十 画已知图形关于某点对称的图形 【例10】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，选择点O为对称中心，作出与关于点O对称的． 【变式10-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）分别作出与下列图形关于点O对称的图形： 【变式10-2】（26-27九年级上·北京·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出与关于原点对称的； (2)画出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． 【变式10-3】（26-27九年级上·四川成都·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，． (1)作出以点为对称中心的图形； (2)平移，若点对应点的坐标为，画出平移后对应的； (3)过点作直线平分四边形的面积，并求出四边形的面积． 题型十一 两个图形的对称中心 【例11】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，和关于点P成中心对称，则点P的坐标是________． 【变式11-1】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，小正方形的边长均为个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)若和关于点中心对称，则点的坐标为______； (2)作关于点的中心对称图形． 【变式11-2】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将绕原点O顺时针旋转得到，请画出旋转后的，并直接写出顶点，，的坐标； (2)若与关于点Q对称，请在图中标出对称中心Q，并写出点Q的坐标． 【变式11-3】（25-26九年级上·湖北孝感·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的边长为1，的三个顶点分别是，，． (1)把向左平移5个单位后得到对应的，请画出平移后的； (2)把绕原点O旋转后得到对应的，请画出旋转后的； (3)观察图形可知，与关于点(____,____)中心对称． 题型十二 利用中心对称的性质求解 【例12】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（25-26九年级上·青海果洛·期末）如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【变式12-2】（第二十八章 旋转 高效同步练习28.2.2 中心对称图形）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为________． 【变式12-3】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，边长为8的正方形的对称中心是坐标原点O，轴，轴，反比例函数与的图象均与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积之和为________． 题型十三 中心对称图形的识别 【例13】（26-27九年级上·北京·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式13-1】（26-27九年级上·天津·期中）下列图案中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式13-2】（26-27九年级上·天津·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式13-3】（26-27九年级上·天津·期中）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 题型十四 关于原点对称的点的坐标 【例14】（26-27九年级上·湖北·期中）如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式14-1】（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式14-2】（25-26九年级上·北京东城·期中）在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点是（     ） A． B． C． D． 【变式14-3】（第二十八章 旋转 追梦第二十八章章末复习 旋转）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 题型十五 已知两点关于原点对称求参数 【例15】（25-26九年级上·四川广元·阶段检测）点关于原点的对称点是，则的值为( ) A． B．2 C． D．3 【变式15-1】（25-26九年级上·陕西商洛·期末）若点关于原点对称的点是，则的值为_____． 【变式15-2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知点关于原点的对称点的坐标是，则的值为___________． 【变式15-3】（25-26九年级上·广东韶关·阶段检测）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则_________． 题型十六 按图形的变换要求画出另一个图形 【例16】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为、、． (1)画出关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕点逆时针旋转后的；并写出的坐标． 【变式16-1】（25-26九年级上·重庆潼南·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 【变式16-2】（24-25九年级上·河南漯河·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)画出关于原点对称的（点的对应点分别为，，）； (2)画出绕点按顺时针方向旋转得到的（点的对应点分别为，），写出点的坐标为______． 学科网（北京）股份有限公司 $