05 第五册 相似形《真题淬炼·题型通关》2026-2027学年沪科版九年级数学上册

沪科版九上期中专项复习 · 第五册 相似形 安徽各地市期中真题精选 · 8 题型讲练 + 过关检测 【教师版】 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 比例线段与比例性质 比例线段与比例性质 2026合肥五十中新校期中 5 题 黄金分割 黄金分割 2026安庆四中期中 5 题 平行线分线段成比例（A 型/X 型） 平行线分线段成比例 2026合肥50中天鹅湖期中 5 题 相似三角形的判定（条件选择与证明） 相似三角形的判定 2026清华附中合肥学校期中 5 题 相似三角形的性质（对应边角/周长比/面积比） 相似三角形的性质 2026合肥45中期中 5 题 相似三角形的判定与性质综合证明 相似三角形的判定与性质 · 相似三角形的判定 2026长丰县抽测期中 5 题 相似三角形的应用（测量高度宽度） 相似三角形的应用 · 相似三角形应用 2026合肥50中西校期中练习 5 题 位似与坐标 位似与坐标 2026合肥百校联赢B卷期中 4 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 1. 成比例线段：四条线段中，若（即），则称这四条线段成比例；基本性质，合比性质，等比性质。 2. 比例中项：若，则是的比例中项；线段的比例中项只能取正值。 3. 黄金分割：点把线段分成两部分，且（），则；一条线段上有两个黄金分割点。 4. 相似三角形与位似：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形相似，对应边的比叫相似比；位似是特殊的相似，对应点连线相交于位似中心，位似比即相似比。 ▍二、判定五法与性质对应表 判定（五法）：①平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似（预备定理）；②两角对应相等（最常用）；③两边对应成比例且夹角相等；④三边对应成比例；⑤两个直角三角形斜边和一条直角边对应成比例。 性质对应表（设相似比为）：对应角相等；对应边、对应高、对应中线、对应角平分线之比都等于；周长比等于；面积比等于。 位似坐标规律（位似中心为原点，位似比）：同侧，异侧；位似图形的面积比等于位似比的平方。 ▍三、A 字/X 字等常见相似模型（配图详解） 1. A 字型（斜截型基本图）：图形特征是，、分别在、上，小三角形“套”在大三角形的尖角里。证明：∵，∴，（两直线平行，同位角相等），∴（两角对应相等的两个三角形相似），核心结论是。识别信号：题目给出“平行”且两条平行线被同一组射线截断，或图形里出现明显的“小三角套大三角”。测量类应用题（影长求塔高、标杆求桥宽、镜面反射）大多化归为这个模型——把实物高度比写成影长比即可。易错：比例的对应顺序必须“小三角的边比大三角的边”，写成（上半段比下半段）就错位了。 2. X 字型（8 字型）：图形特征是两条直线、相交于点，且，形如字母 X（横过来就是 8 字）。证明：∵（对顶角相等），又，∴（两直线平行，内错角相等），∴（两角对应相等的两个三角形相似），核心结论是。识别信号：线段交叉＋“平行”二字，或题目里出现“四边形对边平行、对角线相交”。典型用途：已知三条线段求第四条（如、、已知求）。易错：对应点是“交叉对应”——对、对，不是对；写相似时字母顺序按对顶角的位置逐一核对。 3. 双垂直（射影）模型：图形特征是且于垂足——斜边上的高把直角三角形分成两个小直角三角形。证明：∵，∴（直角三角形两锐角互余）；又，∴，∴，∴（同角的余角相等）；同理可得，∴（两角对应相等）。由此得三条射影定理结论：（高是两射影的比例中项）、、（直角边是斜边与其射影的比例中项）。识别信号：直角三角形中出现“斜边上的高”，或题目直接给出等积式。易错：三条结论的射影对应关系不能张冠李戴，记法是“谁的平方＝斜边×它自己的射影”；应用时先确认这个大前提成立。 4. 反 A 字（共角型）：图形特征是、分别在、上，没有平行线，而是给出“斜角”。证明：∵（已知），（公共角），∴（两角对应相等的两个三角形相似），核心结论是——注意比例是“交叉”的，与 A 字型不同。识别信号：图形像一个“反扣的 A”，已知条件里没有平行、只有一个与或相等的角。常见变体是（在上），同样共角，得。易错：因为没有平行，比例对应关系与 A 字型正好不同位，凭图形直觉照抄 A 字型比例是高频错误。 5. 一线三等角（K 型）：图形特征是直线上有、、三点，——三个相等的角的顶点都落在直线上，图形呈“K”字交叉状（最常见的是，即“一线三垂直”）。证明：∵（平角），又，∴；在中，（三角形内角和定理），∴（等量代换），又，∴（两角对应相等）。识别信号：一条直线上立着两个“斜角/垂直”条件，中间再夹一个等角；坐标系里“抛物线上一点向两坐标轴作垂线”就是的变体。典型用途：已知一个三角形的三边求另一个三角形的边；或设点坐标后用两段线段的长相等列方程。易错：相似对应顺序是（字母“隔点对应”：对、对、对），不能写成。 ▍四、易错警示（附反例） 1. 面积比≠相似比：相似比为的两三角形面积比为；反例：边长 1 与 2 的等边三角形，面积比是而非。由面积比反求相似比必须先开方。 2. 对应性写错：中对、对、对；若误写为，则比例式整个错位，结果全错。写证明时先定对应点，再写比例式。 3. 比例中项的符号：数 2 与 8 的比例中项为；线段的比例中项只有 4，负值舍去。 4. 黄金分割的两段别混：较长段全长，较短段全长（即黄金比平方乘全长），不是"全长减较长段再乘黄金比"。 5. "两边成比例且夹角相等"中的角必须是两组对应边的夹角；SSA（边边角）不能判定相似，反例：固定与两边比例，可画出两个不相似的三角形（与全等中 SSA 失效同理）。 6. 位似坐标变换漏符号：以原点为位似中心、位似比为时，同侧与异侧差一个负号；题目未指明方向时两种情形都要考虑（或按"不超出网格"等限制取舍）。 　题型一 比例线段与比例性质 方法要领　连比设 表示各量代入；合比、等比性质化简。 【例】（2026合肥五十中新校期中 15）已知是的三边长，且，求： (1)的值； (2)若的周长为91，求各边的长． 【答案】(1) 【分析】本题考查比例的性质、比例的应用等知识，设（），从而用表示出是解题的关键． （1）设参后代入化简即可得解； （2）根据的周长为91，即，从而将（1）中的设法代入求出即可得解． 【详解】（1）解：设（）， ∴，，， 代入，得； （2）由题意知，， 则， 解得， ∴，，． 【练1】（2026滁州天长期中 4）若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴， 故选：C． 【练2】（2026六安部分学校期中 3）若，则的值是（　　） A． B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质；通过设定比例常数，表示、、，然后代入表达式直接计算． 【详解】解：∵，设， ∴，，． ∴． 故选：D． 【练3】（2026合肥百校联赢B卷期中 11）已知，且，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，由，利用等比性质得到，再取倒数即可求解，熟练运用等比性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴由等比性质，得， ∵， ∴， 故答案为：． 【练4】（2026滁州天长期中 2）下列各组线段中，是成比例线段的是（　　） A．cm，cm，cm，cm B．cm，cm，cm，cm C．cm，cm，cm，cm D．cm，cm，cm，cm 【答案】B 【分析】本题考查成比例线段的识别，先将每组四条线段按从小到大的顺序排列，若首末两项的积等于中间两项的积，则这四条线段成比例，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴不成比例，不符合题意； B、∵，∴成比例，符合题意； C、∵，∴不成比例，不符合题意； D、∵，∴不成比例，不符合题意． 故选：B． 　题型二 黄金分割 方法要领　较长段 ×全长；双分割点用 建方程。 【例】（2026安庆四中期中 12）如图，已知点，都是线段的黄金分割点，如果，那么的长度是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，不妨设点靠近，点靠近，则由黄金分割比例得到，，再由，列出方程求解即可． 【详解】解：∵点，都是线段的黄金分割点， ∴不妨设点靠近，点靠近， ∴，， ∵，， ∴， 解得， 故答案为：． 【练1】（2026合肥50中天鹅湖期中 5）如图，在中，，．利用圆规在上截取，在上截取，点就是的黄金分割点．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理、尺规作图与黄金分割，根据勾股定理求出，再由作图得、，求出，进而可求的长． 【详解】解：∵， ∴， 根据勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【练2】（2026宣城六中期中 6）如图，线段的长度为1，线段的长度为，线段上的点满足关系式，线段上的点满足关系式，线段上的点满足关系式，则线段的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了黄金分割比的定义，由题意得出为线段的黄金分割点，为线段的黄金分割点，为线段的黄金分割点，再由黄金分割比的比值为即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得，（负值舍去）， 即为线段的黄金分割点，且； 同理：由知，为线段的黄金分割点， ∴， 由知，为线段的黄金分割点， ∴， 故选：D． 【练3】（2026合肥45中期中 12）大自然是美的设计师，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为cm，那么的长度为______cm（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割，由为的黄金分割点且，得，先求出，再由即可求解，掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：∵为的黄金分割点（），cm， ∴， ∴cm， ∴cm， 故答案为：． 【练4】（2026合肥五十中新校期中 12）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高度为m，那么它的下部应设计的高度为______m． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割的应用，设下部应设计的高度为m，则上部为m，由题意得，解方程并舍去负值即可，理解黄金分割中“上部与下部的比等于下部与全体的比”是解题的关键． 【详解】解：设它的下部应设计的高度为m，则雕像的上部为m， 由题意得，， 整理，得， 解得，（负值舍去）， ∴它的下部应设计的高度为m， 故答案为：． 　题型三 平行线分线段成比例（A 型/X 型） 方法要领　见平行写比例：A 字型 ；逆向可证平行。 【例】（2026合肥50中天鹅湖期中 16）如图，，，． 【答案】(1)； 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例： （1）根据平行线分线段成比例即可求解； （2）根据（1）中的结论，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； 故答案为：；． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【练1】（2026合肥中科大附中期中 7）如图，在中，是的中点，交线段、于、两点，若，则的值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，延长交的延长线于点是解答本题的关键．先证明，可得，则，根据点是的中点，得，，再证明，即可求． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【练2】（2026安庆期中 21）如图，在中，点在边上，点、点在边上，且，． 【答案】(1)见详解 【分析】本题考查了平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、平行线的判定，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行线分线段成比例得到，即可得到，进而得到，即可证明，得到，即可求证； （2）先求出，然后由平行线分线段成比例定理得，代入数值即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵（公共角）， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【练3】（2026合肥38中期中 6）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点、分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理，取格点、，由网格的性质可知，根据平行线分线段成比例定理推出、分别是、的中点，得是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，取格点、， 由网格的性质可知，， ∴，， ∴、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 【练4】（2026宣城六中期中 21）如图，在中，为的中点，点在上，过点分别作交于点，交于点． 【答案】(1) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的判定和性质． （1）过点作交于点，由为中点及，根据平行线分线段成比例定理即可求得； （2）延长至点，使，连接、，易得四边形是平行四边形，则、，再由平行线分线段成比例定理可得． 【详解】（1）解：如图，过点作交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，延长至点，使，连接、， ∵，， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，（平行线分线段成比例）， ∴． 　题型四 相似三角形的判定（条件选择与证明） 方法要领　公共角/对顶角打底；两角、两边成比例且夹角相等可判相似；SSA 不能判定。 【例】（2026清华附中合肥学校期中 19）如图，在中，为上一点，为上一点，如果，． 【答案】(1)见详解 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据，可得，即有，结合，可得； （2）根据，可得，即，问题随之得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【练1】（2026合肥市期中 8）如图，在中，点在线段上，请添加一条件使，则下列条件中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查添加条件证明三角形相似，根据相似三角形的判定方法：两组对应角对应相等，或两组对应边对应成比例且夹角相等，进行判断即可． 【详解】解：在和中，（公共角）， 要使，只需，或，或（即）即可； 当时， ∵， ∴，能使； 而由得，只能判定，不能判定． 综上：只有选项A不能证明， 故选：A． 【练2】（2026合肥五十中新校期中 3）如图，在和中，，，，，当（　　）时，． A．1 B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查三角形相似的判定，熟练掌握"两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似"是解题关键． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∵，，， ∴， ∴， 故选：C． 【练3】（2026安庆期中 8）如图，，下列添加的条件不能使的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定方法，把每个选项逐一分析即可得出． 【详解】解：A．∵，∴，∵，∴，即，∴，故该选项不合题意； B．∵，∴，∵，∴，∴，∴，故该选项不合题意； C．∵，∴，∵，∴，∴，∴，理由同A选项可得，故该选项不符合题意； D．∵，中的不是两组对应边的夹角，不能证明两三角形相似，故该选项符合题意； 故选：D． 【练4】（2026合肥45中菱湖月考 12）在中，，，点在边上，且，点在上，当______时，以，，为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解此题的关键，注意分类讨论．由于（公共角），要使以、、为顶点的三角形与相似，需满足或，代入即可求出． 【详解】解：∵（公共角）， ∴要使以、、为顶点的三角形与相似，则需满足或， ∵，，， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 　题型五 相似三角形的性质（对应边角/周长比/面积比） 方法要领　一切比值先归一到相似比 ：周长比＝、面积比＝、对应高/中线/角平分线比＝。 【例】（2026合肥45中期中 19）如图，在中，的平分线为，交于点． 【答案】(1)见详解 【分析】本题重点考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的面积比等于相似比的平方．熟练掌握相似三角形的判定与性质以及常用结论是解题的关键． （1）根据可以得到，同时根据角平分线的性质和平行线的性质得到，进而得到，即完成求证； （2）先令，根据三角形相似以及，可以推导得到，，再利用同高三角形面积比等于底之比得，利用得到，最后作比得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设， 由已知条件可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵是的角平分线， ∴和在和边上的高相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【练1】（2026长丰县抽测期中 5）若，且相似比为，则对应边上的高的比等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟知"相似三角形对应边上的高之比等于相似比"是解答本题的关键． 【详解】解：∵，且相似比为， ∴和对应边上的高的比为． 故选：A． 【练2】（2026合肥45中菱湖月考 8）如图，与交于点，且．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用平行线得到相似三角形，并根据相似三角形的性质求解．先根据平行线证明与相似，再由已知条件得出相似比，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， ∴与的相似比为， 根据相似三角形面积比等于相似比的平方， ∴． 故选：C． 【练3】（2026合肥市期中 3）如图，，，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，先由求出，再由即可求解，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【练4】（2026六安汇文中学月考 7）如图，是的中线，点在上，延长交于点，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线、构造相似三角形是解题的关键．过点作交于点，先由中线的定义得，证得，再证得，即可求出． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵是的中线， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 　题型六 相似三角形的判定与性质综合证明 方法要领　等角代换（余角、等边对角）找两条件；证相似后比例式转乘积式。 【例】（2026长丰县抽测期中 20）如图，在中，，，垂足为点． 【答案】(1)见详解 【分析】（1）根据同角的余角相等易证，结合公共角得，从而得，即； （2）先求，由（1）的结论求出，再由勾股定理即可求出的长． 本题考查三角形相似的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质进行推理证明是解答本题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴． 由（1）知， 在中，由勾股定理，可得． 【练1】（2026合肥50中西校期中练习 19）如图，在中，和是的高，连接． 【答案】(1)(2)均见详解 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质： （1）利用有两对角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）由（1）可得，再证明，所以，进而可证． 【详解】（1）证明：∵在中，和是的高， ∴． 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 【练2】（2026合肥市期中 20）如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且． 【答案】(1)见详解 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，根据题意得到，根据相似三角形的判定定理证明； （2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可． 本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，． ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【练3】（2026安庆四中期中 21）如图，和均是等腰直角三角形，，点在线段上，、相交于点，连接、，作，垂足为点，交于点． 【答案】(1)(2)均见详解 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质． （1）由等腰直角三角形两底角均为，结合三角形内角和推出，进而得，再由同角的余角关系推出，即可证相似； （2）过点作交的延长线于点，借助得，再证得，代入即可得证． 【详解】（1）证明：∵和均是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵（对顶角相等）， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点作，交的延长线于点， ∴，， ∴，， ∴， 由（1）知， ∵， ∴（等腰三角形三线合一）， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【练4】（2026六安部分学校期中 22）如图，在中，点在边上，，点在延长线上，将沿折叠到的位置，点的对应点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． 【答案】(1)见详解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据相似三角形的性质与全等三角形的性质找边之间的关系． （1）由折叠的性质得，由平行四边形的性质可得，根据对顶角相等可得，等量代换可得，又，根据有两个角对应相等的三角形相似可证结论成立； （2）由可证，利用AAS可证，根据全等三角形的性质可证，又可证，得，根据相似三角形的性质列比例式，解方程即可求出． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵（对顶角相等）， ∴， ∵（对顶角相等）， ∴； （2）解：由折叠知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵（对顶角相等）， 在和中，，，， ∴（AAS）， ∴， ∴， ∵（对顶角相等），， 在和中，，，， ∴（AAS）， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 解得． 　题型七 相似三角形的应用（测量高度宽度） 方法要领　镜面反射/标杆/透镜统一化为相似三角形，单位统一后列比例式。 【例】（2026合肥50中西校期中练习 21）【学科融合】在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度m，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度m，灯泡到木板的水平距离m，木板到墙的水平距离为m．图中在同一条直线上． 【答案】(1)m 【分析】本题考查相似三角形的应用，理解题意，利用光的反射定律得到相等的角，再利用相似三角形的性质求解是解答的关键． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，， ∴， ∴， ∵m，m，m， ∴， 解得m，经检验，符合题意； （2）解：由题意，，， ∴， ∴，即， ∴m． 【练1】（2026六安部分学校期中 8）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆的高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．现测得小菲的眼睛离地面高度为米，同时量得小菲与镜子的水平距离为米，镜子与旗杆的水平距离为米，则旗杆高度为（　　） A．（米） B．（米） C．（米） D．（米） 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质．根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直证得，最后根据相似三角形的性质，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， 由图可知，，， ∴， ∵根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵小菲的眼睛离地面高度为米，小菲与镜子的水平距离为米，镜子与旗杆的水平距离为米， ∴， ∴（米）， 故选：A． 【练2】（2026合肥百校联赢B卷期中 20）安徽某古镇有一座清代石拱桥，因修缮需要，需测量桥面正中央的宽度（记为线段）．修缮工人采用如下方法：在桥下方的河岸边放置激光测距仪，选取一点，从点向发射激光束，测得m，此时拿出一把尺子cm，将尺子水平放置，与桥面平行，cm，而且从点分别向、发射激光束时，点、分别在激光束、上．请根据以上信息，计算该古桥桥面的宽度． 【答案】m 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，由尺子与桥面平行得，证明，运用相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵cmm，m，cmm， ∴， ∴m． 【练3】（2026合肥50中西校期中练习 18）如图，在中，是高，矩形的顶点、分别在、上，在边上．若cm，cm，求矩形的面积最大时的长度． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、二次函数的最值，设，，根据“相似三角形对应高的比等于相似比”求出，再表示出矩形的面积，利用二次函数求最值即可，用含的式子表示是解题的关键． 【详解】解：如图，设交于点， 设cm，cm， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵在中，是高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴cm，， ∵cm， ∴cm， ∵， ∴， ∴（相似三角形对应高的比等于相似比）， ∴， ∴， ∴矩形的面积， ∵， ∴当时，矩形的面积最大，为cm，此时cm， 即矩形的面积最大时，cm． 【练4】（2026安庆期中 9）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的像．已知蜡烛的高为cm，蜡烛离凸透镜的水平距离为cm，该凸透镜的焦距为cm，，则像的高为（　　） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．先证得出，从而得，再证，根据相似三角形对应边成比例得出，即可求出的长． 【详解】解：由题意得，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴cm， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴cm， 故选：C． 　题型八 位似与坐标 方法要领　原点为位似中心：同侧 、异侧 ；面积比＝，割补法求面积。 【例】（2026合肥百校联赢B卷期中 17）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点）． 【答案】(1)见详解 【分析】本题考查了画位似图形、求位似图形对应点的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）将点的横纵坐标乘以即可得到点的坐标，描点、顺次连接即可； （2）将点的横纵坐标都乘以即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：由图读出各顶点的格点坐标，以原点为位似中心、相似比且位似后的图形落在第一象限，故各点横纵坐标均乘以，得、、的坐标， 在图中描出，顺次连接，即为所求； （2）解：在内有一点，则内与点对应的点的坐标为， 故答案为：． 【练1】（2026合肥中科大附中期中 17）如图，在网格图中，已知和点． 【答案】(1)见详解 【分析】本题考查了位似图形的性质和位似比、画位似图形，掌握理解位似图形的性质和位似比是解题关键． （1）延长到使，则点为的对应点，同样方法作出的对应点，依次连接即可； （2）利用（1）所画图形可读出各顶点坐标． 【详解】（1）解：延长到使，则点为的对应点，同样方法作出的对应点，依次连接，即为所求作； （2）解：由图可得：，，． 【练2】（2026清华附中合肥学校期中 17）如图，在平面直角坐标系中，点为原点，，，． 【答案】(1)见详解 【分析】（1）根据位似图形的性质找到点的对应点（横纵坐标均乘以），再顺次连接即可； （2）利用割补法计算即可求解； 本题考查了作位似图形、三角形的面积，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：以原点为位似中心、相似比为2 且在异侧，各点横纵坐标均乘以，得，，， 在图中描出各点并顺次连接，即为所求； （2）解：的面积． 【练3】（2026长丰县抽测期中 16）已知：如图，三个顶点的坐标分别为，，，正方形网格中，每个小正方形的边长是个单位长度． 【答案】(1)(2)均见详解 【分析】本题考查了平移变换与位似变换作图，正确得出对应点的位置是解题的关键． （1）直接利用平移的性质得出对应点位置，描点、顺次连接即可； （2）直接利用位似图形的性质，以为位似中心，将各顶点与位似中心的距离扩大为原来的倍，描点、顺次连接即可． 【详解】（1）解：，，向上平移个单位长度，横坐标不变、纵坐标加，得，，， 在网格中描出、、，顺次连接，即为所求； （2）解：以为位似中心、位似比为，各对应点与位似中心的距离扩大为原来的倍，在射线、上截取（或在其反向延长线上截取，画出一组即可），得，，与位似中心重合， 在网格中描出各点并顺次连接，即为所求． 　专题过关检测（限时20分钟 · 满分62分） 一、选择题（每小题4分） 1．（4分）（2026合肥38中期中 4）已知线段是线段、的比例中项，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例中项的定义"如果作为比例内项的是两条相同的线段，即（），那么线段是线段和的比例中项"进行解答即可得． 本题主要考查比例中项的定义，熟练掌握比例中项的定义是解题的关键． 【详解】解：∵线段是线段、的比例中项， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．（4分）（2026六安汇文中学月考 5）已知点是线段的黄金分割点，且，若线段cm，则的长为（　　） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割的含义：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，比值叫做黄金比，根据概念列式即可求解． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且， ∴， 而cm， ∴cm． 故选：A． 3．（4分）（2026合肥45中期中 7）如图，下列条件中不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记相关判定定理即可求解．两个三角形已有一对公共角，再找一对角相等或夹公共角的两边成比例即可． 【详解】解：∵与中，（公共角）， A．，∴能判定，不符合题意； B．中，对应边的夹角是，对应边的夹角是，都不是已知的公共角，∴不能判定，符合题意； C．，∴，夹角为公共角，∴能判定，不符合题意； D．，∴能判定，不符合题意． 故选：B． 4．（4分）（2026宣城六中期中 3）如图是某花架及其侧面示意图，已知，cm，，则的长为（　　） A．48cm B．60cm C．96cm D．120cm 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握定理，根据定理列出比例式：由，列出，求出的长即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵cm， ∴cm， ∴cm， 故选：C． 二、填空题（每小题5分） 5．（5分）（2026滁州天长期中 12）如图，在中，，，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据，得到，根据，得到，进而得到，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 6．（5分）（2026安庆四中期中 13）在如图的正方形格点纸中，每个小的四边形都是边长为1的正方形，、、、都是格点，与相交于点，则______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，构造平行线转化线段比是解题的关键：由，得出，可求出，则，再证明，然后利用相似比可得到的值． 【详解】解：如图，取格点、，连接，则， ∴， 由图可知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（5分）（2026合肥38中期中 11）已知，且，那么______． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，设（），则，，，再根据建立关于的方程，解方程求出的值，进而求出的值即可得到答案． 【详解】解：设（）， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 8．（5分）（2026蚌埠G5联考期中模拟 13）如图，在中，，，，点在边上运动，连接，为的中点，点在线段上，连接、，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】先通过线段比例和公共角证明三角形相似，得出垂直关系，从而确定点的轨迹为以为直径的圆弧；再利用中位线定理求出的长度；最后根据三角形三边关系求出的最小值． 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理以及三角形三边关系，熟练掌握相似三角形的判定和三角形三边关系是解题的关键． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， 在中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵（公共角）， ∴， ∴，即， ∴点在以为直径的圆弧上运动，且． ∵是中点，是中点， ∴是的中位线， ∴． 根据三角形三边关系， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（8分+8分+10分） 9．（8分）（2026合肥45中菱湖月考 21）飞虹塔是山西具有代表性的古建筑之一．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程如下：把长为3米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米；将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米（以上数据均为近似值）．根据以上信息，求飞虹塔的大致高度． 【答案】飞虹塔的大致高度是45米 【分析】本题考查相似三角形的应用，由标杆、塔均垂直于地面得、，判定，，得出比例式，结合两次测量中标杆等长列方程，进而代入数据求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴，， ∵（同一根标杆）， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴米， ∴， ∴米， ∴飞虹塔的大致高度是45米． 10．（8分）（2026蚌埠G5联考期中模拟 16）如图，每一个小方格正方形的边长均为一个单位长度，的顶点的坐标分别为，，． 【答案】(1)(2)均见详解 【分析】本题考查了作图——位似变换、作图——轴对称变换、利用网格求三角形面积，熟练掌握位似变换和轴对称变换的性质是解此题的关键． （1）利用轴对称变换的性质分别作出的对应点，再顺次连接即可； （2）利用位似变换的性质分别作出的对应点，再顺次连接即可； （3）由位似图形的性质可得，再利用割补法计算出的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：点关于轴对称的对应点分别为，，， 在网格中描出各点并顺次连接，即为所求； （2）解：以原点为位似中心、位似比，将各顶点的横、纵坐标都乘以2（或都乘以）得到对应点坐标，选择不超出方格区域的一组描点并顺次连接，即为所求； （3）解：∵以点为位似中心，位似比为，将放大得到， ∴与的相似比为， ∴， ∵， ∴． 11．（10分）（2026六安汇文中学月考 22）如图，已知正方形中，平分且交边于点，将绕点顺时针旋转到的位置，并延长交于点． 【答案】(1)(2)均见详解 【分析】（1）由旋转性质推出，结合角平分线定义得到，再根据相似三角形判定定理即可证明； （2）利用三角形内角和定理推出，进而证明（ASA），结合全等三角形性质即可证明； （3）利用相似三角形性质推出，求得，进而得，再结合旋转性质求解． 本题主要考查旋转的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握各判定定理和性质定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：由旋转可知：， ∴． ∵平分， ∴， ∴，即， ∵（公共角）， ∴． （2）证明：∵（由（1）知，且点在直线上，点在上），（对顶角相等）， 而，， ∴， ∴， ∵，， ∴（ASA）， ∴； （3）解：∵由（1）可知：， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， 由旋转可知：， ∴． 期中专项复习 · 九年级教师版　 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪科版九上期中专项复习 · 第五册 相似形 安徽各地市期中真题精选 · 8 题型讲练 + 过关检测 【学生版】 班级：______________ 姓名：______________ 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 比例线段与比例性质 比例线段与比例性质 2026合肥五十中新校期中 5 题 黄金分割 黄金分割 2026安庆四中期中 5 题 平行线分线段成比例（A 型/X 型） 平行线分线段成比例 2026合肥50中天鹅湖期中 5 题 相似三角形的判定（条件选择与证明） 相似三角形的判定 2026清华附中合肥学校期中 5 题 相似三角形的性质（对应边角/周长比/面积比） 相似三角形的性质 2026合肥45中期中 5 题 相似三角形的判定与性质综合证明 相似三角形的判定与性质 · 相似三角形的判定 2026长丰县抽测期中 5 题 相似三角形的应用（测量高度宽度） 相似三角形的应用 · 相似三角形应用 2026合肥50中西校期中练习 5 题 位似与坐标 位似与坐标 2026合肥百校联赢B卷期中 4 题 　知识清单 ▍一、概念梳理 1. 成比例线段：四条线段中，若（即），则称这四条线段成比例；基本性质，合比性质，等比性质。 2. 比例中项：若，则是的比例中项；线段的比例中项只能取正值。 3. 黄金分割：点把线段分成两部分，且（），则；一条线段上有两个黄金分割点。 4. 相似三角形与位似：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形相似，对应边的比叫相似比；位似是特殊的相似，对应点连线相交于位似中心，位似比即相似比。 ▍二、判定五法与性质对应表 判定（五法）：①平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似（预备定理）；②两角对应相等（最常用）；③两边对应成比例且夹角相等；④三边对应成比例；⑤两个直角三角形斜边和一条直角边对应成比例。 性质对应表（设相似比为）：对应角相等；对应边、对应高、对应中线、对应角平分线之比都等于；周长比等于；面积比等于。 位似坐标规律（位似中心为原点，位似比）：同侧，异侧；位似图形的面积比等于位似比的平方。 ▍三、A 字/X 字等常见相似模型（配图详解） 1. A 字型（斜截型基本图）：图形特征是，、分别在、上，小三角形“套”在大三角形的尖角里。证明：∵，∴，（两直线平行，同位角相等），∴（两角对应相等的两个三角形相似），核心结论是。识别信号：题目给出“平行”且两条平行线被同一组射线截断，或图形里出现明显的“小三角套大三角”。测量类应用题（影长求塔高、标杆求桥宽、镜面反射）大多化归为这个模型——把实物高度比写成影长比即可。易错：比例的对应顺序必须“小三角的边比大三角的边”，写成（上半段比下半段）就错位了。 2. X 字型（8 字型）：图形特征是两条直线、相交于点，且，形如字母 X（横过来就是 8 字）。证明：∵（对顶角相等），又，∴（两直线平行，内错角相等），∴（两角对应相等的两个三角形相似），核心结论是。识别信号：线段交叉＋“平行”二字，或题目里出现“四边形对边平行、对角线相交”。典型用途：已知三条线段求第四条（如、、已知求）。易错：对应点是“交叉对应”——对、对，不是对；写相似时字母顺序按对顶角的位置逐一核对。 3. 双垂直（射影）模型：图形特征是且于垂足——斜边上的高把直角三角形分成两个小直角三角形。证明：∵，∴（直角三角形两锐角互余）；又，∴，∴，∴（同角的余角相等）；同理可得，∴（两角对应相等）。由此得三条射影定理结论：（高是两射影的比例中项）、、（直角边是斜边与其射影的比例中项）。识别信号：直角三角形中出现“斜边上的高”，或题目直接给出等积式。易错：三条结论的射影对应关系不能张冠李戴，记法是“谁的平方＝斜边×它自己的射影”；应用时先确认这个大前提成立。 4. 反 A 字（共角型）：图形特征是、分别在、上，没有平行线，而是给出“斜角”。证明：∵（已知），（公共角），∴（两角对应相等的两个三角形相似），核心结论是——注意比例是“交叉”的，与 A 字型不同。识别信号：图形像一个“反扣的 A”，已知条件里没有平行、只有一个与或相等的角。常见变体是（在上），同样共角，得。易错：因为没有平行，比例对应关系与 A 字型正好不同位，凭图形直觉照抄 A 字型比例是高频错误。 5. 一线三等角（K 型）：图形特征是直线上有、、三点，——三个相等的角的顶点都落在直线上，图形呈“K”字交叉状（最常见的是，即“一线三垂直”）。证明：∵（平角），又，∴；在中，（三角形内角和定理），∴（等量代换），又，∴（两角对应相等）。识别信号：一条直线上立着两个“斜角/垂直”条件，中间再夹一个等角；坐标系里“抛物线上一点向两坐标轴作垂线”就是的变体。典型用途：已知一个三角形的三边求另一个三角形的边；或设点坐标后用两段线段的长相等列方程。易错：相似对应顺序是（字母“隔点对应”：对、对、对），不能写成。 ▍四、易错警示（附反例） 1. 面积比≠相似比：相似比为的两三角形面积比为；反例：边长 1 与 2 的等边三角形，面积比是而非。由面积比反求相似比必须先开方。 2. 对应性写错：中对、对、对；若误写为，则比例式整个错位，结果全错。写证明时先定对应点，再写比例式。 3. 比例中项的符号：数 2 与 8 的比例中项为；线段的比例中项只有 4，负值舍去。 4. 黄金分割的两段别混：较长段全长，较短段全长（即黄金比平方乘全长），不是"全长减较长段再乘黄金比"。 5. "两边成比例且夹角相等"中的角必须是两组对应边的夹角；SSA（边边角）不能判定相似，反例：固定与两边比例，可画出两个不相似的三角形（与全等中 SSA 失效同理）。 6. 位似坐标变换漏符号：以原点为位似中心、位似比为时，同侧与异侧差一个负号；题目未指明方向时两种情形都要考虑（或按"不超出网格"等限制取舍）。 　题型一 比例线段与比例性质 方法要领　连比设 表示各量代入；合比、等比性质化简。 【例】（2026合肥五十中新校期中 15）已知是的三边长，且，求： (1)的值； (2)若的周长为91，求各边的长． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026滁州天长期中 4）若，则的值为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026六安部分学校期中 3）若，则的值是（　　） A． B．3 C．6 D．9 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026合肥百校联赢B卷期中 11）已知，且，则的值为______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026滁州天长期中 2）下列各组线段中，是成比例线段的是（　　） A．cm，cm，cm，cm B．cm，cm，cm，cm C．cm，cm，cm，cm D．cm，cm，cm，cm ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　题型二 黄金分割 方法要领　较长段 ×全长；双分割点用 建方程。 【例】（2026安庆四中期中 12）如图，已知点，都是线段的黄金分割点，如果，那么的长度是______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026合肥50中天鹅湖期中 5）如图，在中，，．利用圆规在上截取，在上截取，点就是的黄金分割点．若，则的长为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026宣城六中期中 6）如图，线段的长度为1，线段的长度为，线段上的点满足关系式，线段上的点满足关系式，线段上的点满足关系式，则线段的长度是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026合肥45中期中 12）大自然是美的设计师，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为cm，那么的长度为______cm（结果保留根号）． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026合肥五十中新校期中 12）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高度为m，那么它的下部应设计的高度为______m． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　题型三 平行线分线段成比例（A 型/X 型） 方法要领　见平行写比例：A 字型 ；逆向可证平行。 【例】（2026合肥50中天鹅湖期中 16）如图，，，． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026合肥中科大附中期中 7）如图，在中，是的中点，交线段、于、两点，若，则的值是（　　） A． B．2 C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026安庆期中 21）如图，在中，点在边上，点、点在边上，且，． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026合肥38中期中 6）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点、分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（　　） A． B．1 C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026宣城六中期中 21）如图，在中，为的中点，点在上，过点分别作交于点，交于点． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　题型四 相似三角形的判定（条件选择与证明） 方法要领　公共角/对顶角打底；两角、两边成比例且夹角相等可判相似；SSA 不能判定。 【例】（2026清华附中合肥学校期中 19）如图，在中，为上一点，为上一点，如果，． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026合肥市期中 8）如图，在中，点在线段上，请添加一条件使，则下列条件中不正确的是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026合肥五十中新校期中 3）如图，在和中，，，，，当（　　）时，． A．1 B．2 C． D．4 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026安庆期中 8）如图，，下列添加的条件不能使的是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026合肥45中菱湖月考 12）在中，，，点在边上，且，点在上，当______时，以，，为顶点的三角形与相似． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　题型五 相似三角形的性质（对应边角/周长比/面积比） 方法要领　一切比值先归一到相似比 ：周长比＝、面积比＝、对应高/中线/角平分线比＝。 【例】（2026合肥45中期中 19）如图，在中，的平分线为，交于点． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026长丰县抽测期中 5）若，且相似比为，则对应边上的高的比等于（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026合肥45中菱湖月考 8）如图，与交于点，且．若，则的值为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026合肥市期中 3）如图，，，若，则的长为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026六安汇文中学月考 7）如图，是的中线，点在上，延长交于点，若，则的值为（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　题型六 相似三角形的判定与性质综合证明 方法要领　等角代换（余角、等边对角）找两条件；证相似后比例式转乘积式。 【例】（2026长丰县抽测期中 20）如图，在中，，，垂足为点． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 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4）已知线段是线段、的比例中项，若，则（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2．（4分）（2026六安汇文中学月考 5）已知点是线段的黄金分割点，且，若线段cm，则的长为（　　） A．cm B．cm C．cm D．cm ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3．（4分）（2026合肥45中期中 7）如图，下列条件中不能判定的是（　　） A． B． C． D． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4．（4分）（2026宣城六中期中 3）如图是某花架及其侧面示意图，已知，cm，，则的长为（　　） A．48cm B．60cm C．96cm D．120cm ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 二、填空题（每小题5分） 5．（5分）（2026滁州天长期中 12）如图，在中，，，，则的值为______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 6．（5分）（2026安庆四中期中 13）在如图的正方形格点纸中，每个小的四边形都是边长为1的正方形，、、、都是格点，与相交于点，则______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 7．（5分）（2026合肥38中期中 11）已知，且，那么______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 8．（5分）（2026蚌埠G5联考期中模拟 13）如图，在中，，，，点在边上运动，连接，为的中点，点在线段上，连接、，且，则的最小值为______． ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、解答题（8分+8分+10分） 9．（8分）（2026合肥45中菱湖月考 21）飞虹塔是山西具有代表性的古建筑之一．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程如下：把长为3米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米；将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米（以上数据均为近似值）．根据以上信息，求飞虹塔的大致高度． 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