03 第三册 二次函数的应用 讲义 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

沪科版九上期中专项复习 · 第三册 二次函数的应用 安徽各地市期中真题精选 · 6 题型讲练 + 过关检测 【学生版】 班级：______________ 姓名：______________ 题 型 目 录 题型 考点 例题来源 题数 销售利润问题（涨价/降价建二次函数求最值） 二次函数最值应用 2026合肥五十中新校期中 5 题 面积最值问题（矩形/围栏建模） 二次函数最值应用 2026合肥百校联赢B卷期中 5 题 抛物线形实际应用（拱桥/隧道/投篮） 抛物线实际应用 2026合肥38中期中 4 题 运动抛物线（球类/喷泉） 抛物线实际应用 2026安庆期中 5 题 二次函数与方案决策 二次函数最值应用 · 抛物线实际应用 2026滁州天长期中 4 题 函数图象信息应用（读图建模） 抛物线实际应用 · 二次函数最值应用 2026宣城六中期中 5 题 　知识清单 ▍一、建模流程（设—列—解—验） 二次函数实际应用的四步：设——审题设元，明确谁是自变量（涨价 元、边长 m、时间 s），谁是函数（利润 、面积 、高度 ）；列——找等量关系建函数式：销售类用 ，围栏类用"周长守恒"表示另一边再 另一边，抛物线类先建坐标系再用顶点式或交点式；解——配方成顶点式 ，或用对称轴 与增减性求最值；验——检验自变量取值范围（实际约束＋题目限定），检验最值点是否在范围内，检验解是否符合实际（边长为正、销量非负）。 ▍二、法则与公式 1. 利润公式：总利润＝（售价－进价）×销量。涨价模型 ，降价模型 （每涨/降 1 元销量变 ）。 2. 增长率模型：两次变化后 。 3. 面积模型：一面靠墙、共用 条垂直边时，平行边＝篱笆总长＋门宽之和－；含"山"字形隔断按 计。 4. 抛物线建系三式：顶点在原点用 ；顶点 已知用顶点式；已知顶点＋一点先设顶点式再代入。 5. 抛物线对称性：等高的两点横坐标关于 对称，可由两时刻等高直接定最高点时刻；水面升降、平移抛物线（形状不变）都用对称性或上下左右平移处理。 ▍三、分类讨论与自变量取值范围的检验 范围有三处来源：①实际问题（售价使销量非负：；边长为正）；②题目限定（"售价不超过 51 元""墙长 12m"→平行边 墙长；"含树围入"→列不等式组）；③整数要求（售价为整数取最近顶点的整数）。求最值必先比对：顶点在范围内→直接取 ；顶点在范围外→按增减性取端点。利润"不低于某值"（如 ）时，令 该值解方程得两根，由开口方向得两根之间的范围，再与题目限制取交集；方案决策（让利顾客取低价、减库存取多降、成本最小取端点）在这一交集上按目标取舍。 ▍四、易错警示（附反例） 1. 最值不在顶点：车棚 ，范围 ，顶点 取不到，应在 取 ，误答 432 即错。 2. 漏验范围丢解或留错解：靠墙矩形 得 或 6，但 时平行边 12m 超过墙长 8m，须舍去。 3. 忘记补门宽/出口：篱笆 34m、两扇 1m 门，平行边 ，漏"+2"则全题皆错；围栏"不包括门"时同理。 4. 建系后坐标符号错：拱桥水面下降记为 而非 4；顶点在原点下方时 、图象开口向上（碗形）时 。 5. 平移方向弄反："向左平移 4 米"新解析式为 ，判断能否进球、能否浇灌绿化带时，须比较球门处（墙面处）的函数值与实际高度，且先舍去不在实际范围内的根（如 ）。 　题型一 销售利润问题（涨价/降价建二次函数求最值） 方法要领　利润＝(售价−进价)×销量，配方后按自变量范围（或整数限制）定最值。 【例】（2026合肥五十中新校期中 21）综合与实践：根据素材回答问题。 背景：某公司销售一种商品，进价为 20 元/件。经过市场调查发现，该商品的日销售量 （件）与当天的销售单价 （元/件）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如表： 销售单价（元/件） 30 35 40 日销售量（件） 500 450 400 任务1：求 与 的关系式； 任务2：求该商品每天获得的利润 （元）的最大值； 任务3：若因批发商调整进货价格，该商品的进价变为 元，该公司每天的销量与当天的销售单价的关系不变。该公司为了不亏本，至少需按 30 元/件销售，而物价部门规定，销售单价不超过 51 元/件。在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随 的增大而增大，则 的最小值为 ________。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 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套餐的价格提高多少元时，两种套餐每天卖出的利润之和最大？最大是多少元？ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026六安部分学校期中 17）国庆期间，全国各影院上映多部爱国影片。某影院每天运营成本为 400 元，该影院每天售出的电影票数量 （单位：张）与售价 （单位：元/张）之间满足一次函数关系 ，且 是整数。若该影院每天的利润为 （单位：元），利润＝票房收入－运营成本。 (1) 求 与 之间的函数关系式； (2) 该影院将电影票售价 定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026亳州蒙城9月月考 20）某农场经过前期调研得知，他们培育的一种新品种蔬菜有 30 天的上市时间，蔬菜的出场产量 （kg）随上市时间 （天）的函数关系满足 ，销售价格 （元/kg）随上市时间 （天）的函数关系满足 。 (1) 求蔬菜上市第 3 天时的出场产量及销售价格； (2) 若每天出场的蔬菜都能按当天的销售价格 （元/kg）销售完，那么蔬菜上市第几天的销售额最高？最高是多少元？（销售额＝销售价格×销售量） ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　题型二 面积最值问题（矩形/围栏建模） 方法要领　周长守恒表边长，×另一边，端点值与墙长约束定范围。 【例】（2026合肥百校联赢B卷期中 21）在安徽黄山的一家茶叶合作社，计划用篱笆围成一个矩形茶叶加工区。加工区一面靠墙（墙的最大可用长度为 18m，此面不需要篱笆），在加工区中间有一道篱笆垂直于墙（用于分隔揉捻和干燥区域，厚度忽略不计），在平行于墙的边 上开有两扇宽为 1m 的门（门不用篱笆材料）。现有篱笆材料总长为 34m。设垂直于墙的边 的长为 m（如图所示）。 (1) 求平行于墙的边 的长 关于 的函数表达式及自变量 的取值范围； (2) 求加工区面积 关于 的函数表达式，并求 的最大值及此时 的值。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026合肥中科大附中期中 18）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留 1 米宽的门。已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为 27 米。 (1) 假设垂直于墙的一道墙长为 （m），饲养室面积为 （m²），求 关于 的函数关系式； (2) 能建成的饲养室面积最大为多少平方米？ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026长丰县抽测期中 19）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用 20m 长的栅栏围成一个矩形花园 （栅栏只围 、 两边），设 m，花园的面积为 m²。 (1) 当 为何值时，花园面积 有最大值？最大值为多少？ (2) 若在墙角 处有一棵树，与墙 、 的距离分别是 12m 和 6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），当花园面积 最大时， 的长为多少？ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2027合肥五十中9月月考 17）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为 60m），其他的边用总长 70m 的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个 1m 的出口，不锈钢栅栏形状如"山"字形（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙 8 米处，规划有机动车停车位）。 (1) 设自行车车棚面积为 m²，车棚宽度 为 m，求 与 之间的函数关系式，并直接写出自变量 的取值范围； (2) 若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026合肥四十五中9月月考 19）如图是窗子的形状，它是由上下连成一体的两个矩形构成，已知窗框的用料是 6m，要使窗子能透过最多的光线，问窗子的边长各是多少？ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　题型三 抛物线形实际应用（拱桥/隧道/投篮） 方法要领　建系定顶点/交点，代坐标求解析式，再令 等于定值解方程。 【例】（2026合肥38中期中 21）如图1是我们生活中常见的一只碗，图2是从正面看到的碗的形状示意图，碗壁近似呈抛物线形，该抛物线关于碗口 的垂直平分线对称，且碗底 与碗口 平行，、 均在抛物线上，，。已知 cm， cm， cm，以 所在直线为 轴，过点 且垂直于 的直线为 轴建立平面直角坐标系，碗壁抛物线满足关系式 （、 为常数）。 (1) 求点 的坐标； (2) 若碗中装入一定量的水，水面 ，且 与 之间的距离为 cm，求水面的宽度 。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026合肥45中期中 18）图①是一座拱桥的示意图，相邻两支柱间的距离为 10 米（即 米），拱桥顶点 到桥面的距离 米。将其置于如图②所示的平面直角坐标系中，抛物线的表达式为 。 (1) 求 的值； (2) 求支柱 的高。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026合肥百校联考9月月考 21）陕西窑洞是中国北方黄土高原上特有的传统民居形式，窑洞的截面通常呈现抛物线型。某市开发了一些以窑洞为主题的景点，向外界展示窑洞的魅力。如图所示是某窑洞截面示意图，其跨度 为 16 米，最高点 与地面 的距离为 6 米。在门上正中间悬挂了一个牌匾 ，保洁师傅站在一个高 为 3 米、宽 为 5 米的脚手架上清理牌匾，其中四边形 为矩形，顶点 恰好在抛物线上，建立如图所示的平面直角坐标系， 在 轴上（牌匾的宽度忽略不计）。 (1) 求抛物线的函数表达式； (2) 若该脚手架可左右移动，则在该洞门下，脚手架最多可向右移动多少米？（结果保留根号） ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026合肥50中西校期中练习 12）如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度 是 8 米，跨度 是 16 米。在线段 上距离 处 6 米的地方，桥的高度是 ________ 米。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　题型四 运动抛物线（球类/喷泉） 方法要领　平移保形状；令 或定高解方程，判断能否达到目标高度。 【例】（2026安庆期中 22）项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头。 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化。如图1，一辆洒水车正沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水。数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带。围绕这个问题，该小组开展了"合理设置智慧洒水车喷头"为主题的项目式学习。 任务一：测量建模。利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口 离地面竖直高度 为 1.2 米，上边缘抛物线最高点 离喷水口的水平距离为 2 米，高出喷水口 0.4 米。 (1) 请你求出上边缘抛物线的函数解析式。 任务二：推理分析。小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的。 (2) 请你结合模型探究下边缘抛物线与 轴交点 的坐标。 任务三：实践探究。把绿化带横截面抽象为矩形 ，其水平宽度 米，竖直高度 米，洒水车到绿化带的距离 为 米。 (3) 当调整与绿化带距离为 米时，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否浇灌到整个绿化带？请说明理由。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练1】（2026合肥168中期中 21）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线。我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合。 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面 60cm，起跳点与落地点的距离为 160cm。 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为 ，对称轴为直线 ，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为 ，落地点为 。以 为原点， 所在直线为 轴，过点 与 所在水平地面垂直的直线为 轴，建立平面直角坐标系。 (1) 请直接写出顶点 的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变。 (2) 如图1，若仿青蛙机器人从点 正上方的点 处起跳，落地点为 ，点 的坐标为 ，点 在 轴的正半轴上，求起跳点 与落地点 的水平距离 的长； (3) 实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于 3cm，才能安全通过。如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形 ，其中 ，cm，cm，cm。仿青蛙机器人从距离 左侧 80cm 处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物。若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2026清华附中合肥学校期中 20）在校园足球社团课上同学们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形。小罗同学从球门正前方 8m 的 处射门，当球飞行的水平距离为 6m 时，球达到最高点 ，此时球离地面 3m，球门高 为 2.44m。 (1) 请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； (2) 小罗此次射门能否射入球门内？请通过计算说明理由。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026安庆四中期中 22）如图①是古代的一种重力投石机，其投出去的石弹运动轨迹是抛物线的一部分。若石弹在离地面 5m 处发射，则石弹在离发射点水平距离 50m 处达到最大高度 25m。如图②，点 为发射点，以水平地面 为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系。若将石弹投向远处的高为 20m 的防御墙 （ 与 之间的距离超过 50m）。 (1) 求石弹运行的函数关系式； (2) 若石弹正好能打中防御墙 ，设投石机离防御墙的水平距离 为 m，求 的取值范围。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练4】（2026合肥嘉陵江路中学9月月考 22）任意球是足球比赛的主要得分手段之一。在某次足球比赛中，小明站在点 处罚出任意球，如图，把球看作点，其运行的高度 （m）与运行的水平距离 （m）满足关系式 。小明罚任意球时，防守队员站在小明正前方 9m 处组成人墙，防守队员的身高为 2.1m；对手球门与小明的水平距离为 18m，已知足球球门的高是 2.43m（假定小明罚出的任意球恰好能射正对方的球门）。 (1) 当 时，求 与 的关系式； (2) 当 时，足球能否越过人墙？足球会不会踢飞？请说明理由； (3) 若小明罚出的任意球一定能直接射进对手球门得分，直接写 的取值范围。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 　题型五 二次函数与方案决策 方法要领　解方程得临界两根→开口方向定取值区间→按目标（利润最大/成本最低）取端点。 【例】（2026滁州天长期中 21）某超市销售一种成本为每千克 20 元的商品，已知这种商品的月销售量 （千克）与销售单价 （元/千克）之间的函数关系式为 。 (1) 当这种商品的销售单价 定为多少时，每月可获得最大利润？ (2) 如果这种商品的销售单价 不超过 32 元/千克，超市想要每月通过销售这种商品获得的利润不低于 2000 元，那么该超市对这种商品的月投资总成本最少是多少元？（月投资总成本＝商品每千克的成本×月销售量） ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 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m； ②飞机停下前最后 10 s 内滑行的距离是 450 m； ③飞机着陆后滑行了 600 m 才停下来。 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练2】（2027合肥五十中9月月考 13）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器。将发石车置于山坡底部 处，以点 为原点，水平方向为 轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系。将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线 的一部分，则发射石块在空中飞行的最大高度为 ________ 米。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 【练3】（2026合肥五十中天鹅湖期中 21）【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识"阻力对物体运动的影响"。 实验过程：如图，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点 处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间 （单位：s）、运动速度 （单位：cm/s）、滑行距离 （单位：cm）的数据。 任务一：数据收集。记录的数据如下： 运动时间 （s） 0 2 4 6 8 10 ... 运动速度 （cm/s） 10 9 8 7 6 5 ... 滑行距离 （cm） 0 19 36 51 64 75 ... 任务二：数据分析。观察分析发现，小球运动速度 （单位：cm/s）与小球运动时间 （单位：s）满足关系式 ，小球滑行距离 （单位：cm）与运动时间 （单位：s）满足关系式 。 (1) 求 、、、 的值； 任务三：问题解决。 (2) 当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离； (3) 当小球到达木板点 的同时，在点 的前方 cm 处有一辆电动小车，以 cm/s 的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求 的取值范围。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 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面积的最大值是（　　） A． B．2 C． D．4 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 二、填空题（每小题5分） 5．（5分）（2026合肥三十八中9月月考 11）近年来我国新能源汽车发展迅速。据中国汽车乘联会统计，2024 年我国新能源汽车销售量约为 1150 万辆。假设我国新能源汽车每年销售增长率 保持不变，预计 2026 年我国新能源汽车销售量约为 万辆，则 关于 的函数表达式为 ________（不用写自变量的取值范围）。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 6．（5分）（2026合肥百校联考9月月考 13）"嫦娥"揽月、"祝融"探火、"羲和"逐日、"北斗"指路、"天和"遨游星辰。新中国成立 75 年来，中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展。某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型。已知该模型每件成本为 20 元，按每件 24 元出售，每日可售出 40 件。经市场调查发现，这种模型每件涨价 1 元，日销售量会减少 2 件。每件模型应涨价 ________ 元，才能使每日利润最大。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 7．（5分）（2026合肥38中期中 13）苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有"东方威尼斯"之称。如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面 2m 时，水面宽 4m。若水面下降 2m，则水面宽度增加 ________ m。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 8．（5分）（2026合肥四十五中9月月考 13）如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为 2 米时，水面宽度为 4 米。则当水面的宽度为 米时，水位上升 ________ 米。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、解答题（8分+8分+10分） 9．（8分）（2027亳州蒙城9月月考 16）某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮。已知球出手时离地面高 m，当球出手后水平距离为 4m 时到达最大高度 4m。设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系。 (1) 求出抛物线的解析式； (2) 若队员与篮圈中心的水平距离为 7m，篮圈距地面 3m，问此球能否准确投中？ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 10．（8分）（2026亳州名校联盟9月月考 19）一座桥如图，桥下水面宽度 是 20 米，高 是 4 米。把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系（桥顶 在 轴上，水面所在直线为 轴）。 (1) 求抛物线的解析式； (2) 要使高为 3 米的船通过，则其宽度须不超过多少米？ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 11．（10分）（2027六安汇文中学9月月考 20）为贯彻实施劳动课程，某校计划建造一个矩形种植场地。为充分利用现有资源，该矩形种植场地一面靠墙（墙的长度为 8m），另外三面用栅栏围成。已知栅栏的总长度为 18m，设矩形场地中垂直于墙的一边长为 m（如图）。 (1) 若矩形种植场地的总面积为 36m²，求此时 的值； (2) 当 为多少时，矩形种植场地的面积最大？最大面积为多少？ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 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▍三、分类讨论与自变量取值范围的检验 范围有三处来源：①实际问题（售价使销量非负：；边长为正）；②题目限定（"售价不超过 51 元""墙长 12m"→平行边 墙长；"含树围入"→列不等式组）；③整数要求（售价为整数取最近顶点的整数）。求最值必先比对：顶点在范围内→直接取 ；顶点在范围外→按增减性取端点。利润"不低于某值"（如 ）时，令 该值解方程得两根，由开口方向得两根之间的范围，再与题目限制取交集；方案决策（让利顾客取低价、减库存取多降、成本最小取端点）在这一交集上按目标取舍。 ▍四、易错警示（附反例） 1. 最值不在顶点：车棚 ，范围 ，顶点 取不到，应在 取 ，误答 432 即错。 2. 漏验范围丢解或留错解：靠墙矩形 得 或 6，但 时平行边 12m 超过墙长 8m，须舍去。 3. 忘记补门宽/出口：篱笆 34m、两扇 1m 门，平行边 ，漏"+2"则全题皆错；围栏"不包括门"时同理。 4. 建系后坐标符号错：拱桥水面下降记为 而非 4；顶点在原点下方时 、图象开口向上（碗形）时 。 5. 平移方向弄反："向左平移 4 米"新解析式为 ，判断能否进球、能否浇灌绿化带时，须比较球门处（墙面处）的函数值与实际高度，且先舍去不在实际范围内的根（如 ）。 　题型一 销售利润问题（涨价/降价建二次函数求最值） 方法要领　利润＝(售价−进价)×销量，配方后按自变量范围（或整数限制）定最值。 【例】（2026合肥五十中新校期中 21）综合与实践：根据素材回答问题。 背景：某公司销售一种商品，进价为 20 元/件。经过市场调查发现，该商品的日销售量 （件）与当天的销售单价 （元/件）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如表： 销售单价（元/件） 30 35 40 日销售量（件） 500 450 400 任务1：求 与 的关系式； 任务2：求该商品每天获得的利润 （元）的最大值； 任务3：若因批发商调整进货价格，该商品的进价变为 元，该公司每天的销量与当天的销售单价的关系不变。该公司为了不亏本，至少需按 30 元/件销售，而物价部门规定，销售单价不超过 51 元/件。在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随 的增大而增大，则 的最小值为 ________。 【答案】任务1：；任务2：9000 元；任务3：22 【分析】本题考查一次函数解析式的求解与二次函数的应用。任务1利用待定系数法求解析式；任务2根据"利润＝每件利润×销售量"列出函数解析式，配方后利用二次函数的性质求最值；任务3写出进价为 时的利润解析式，求出对称轴，由"利润随 的增大而增大"知对称轴须在区间右端点 的右侧（或重合），列不等式求出 的最小值。 【详解】任务1：设 与 的关系式为 ，将 和 代入， 得 ，解得 ， ∴（经检验 也满足）。 任务2：由题意得 ， ∵，∴当 时， 有最大值，最大值为 9000， ∴该商品每天获得的利润的最大值为 9000 元。 任务3：由题意得 ， ∵，抛物线开口向下，对称轴为直线 。 ∵在 上利润随 的增大而增大， ∴，解得 ， ∴ 的最小值为 22。 【练1】（2026合肥市期中 21）超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶 10 元。在销售过程中发现，每天销售量 （瓶）与每瓶售价 （元）之间满足一次函数关系（其中 ，且 为整数），当每瓶洗手液的售价是 12 元时，每天销售量为 90 瓶；当每瓶洗手液的售价是 14 元时，每天销售量为 80 瓶。 (1) 求 与 之间的函数关系式； (2) 设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为 元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1) ，且 为整数；(2) 售价定为 15 元时利润最大，最大利润是 375 元 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式及二次函数的应用。(1) 利用待定系数法求解；(2) 根据"总利润＝每瓶利润×销售量"列出 关于 的二次函数，配方成顶点式后，由自变量取值范围与对称轴的位置确定最大值。 【详解】(1) 解：设 与 之间的函数关系式为 ，根据题意，得 ，解得 ， ∴，且 为整数。 (2) 解：根据题意，得 ， ∵，抛物线开口向下， 有最大值，且当 时， 随 的增大而增大， ∵，且 为整数， ∴当 时， 有最大值，。 答：当每瓶洗手液的售价定为 15 元时，每天销售利润最大，最大利润是 375 元。 【练2】（2026合肥中科大附中期中 21）秋冬季节来临，某饮品店推出由热奶茶、烤红薯、糖炒栗子和暖手姜茶搭配而成的 A、B 两种套餐。其中 A 套餐每份利润 28 元，每天可以卖出 120 套；B 套餐每份利润 20 元，每天可以卖出 160 套。若 A 套餐售价每提高 1 元，则每天少卖出 3 套；B 套餐售价每提高 1 元，则每天少卖出 4 套（注：两种套餐成本不变）。 (1) 若每份套餐的价格提高 元（ 为整数），每天销售 A、B 两种套餐的利润分别为 元和 元，请求出 、 与 之间的函数关系式（不要求写自变量取值范围）； (2) 为保证套餐性价比，两种套餐提高的价格之和为 9 元，那么 A 套餐的价格提高多少元时，两种套餐每天卖出的利润之和最大？最大是多少元？ 【答案】(1) ，；(2) A 套餐提价 2 元时利润之和最大，最大是 6984 元 【分析】本题考查二次函数的实际应用。(1) 先求出提价后的单套利润和销量，再根据"总利润＝单套利润×销量"列出式子；(2) 设 A 套餐提高 元，则 B 套餐提高 元，把两套套餐的利润相加得 关于 的二次函数，配方求最值。 【详解】(1) 解：由题意可知，A 套餐提价后的单套利润为 元，销量为 套， ∴； B 套餐提价后的单套利润为 元，销量为 套， ∴。 (2) 解：设 A 套餐提高 元，则 B 套餐提高 元，两种套餐每天卖出的利润之和为 元， 则 ； ， ∴， ∵，∴当 时，利润最大为 6984 元。 答：A 套餐的价格提高 2 元时，两种套餐每天卖出的利润之和最大，最大是 6984 元。 【练3】（2026六安部分学校期中 17）国庆期间，全国各影院上映多部爱国影片。某影院每天运营成本为 400 元，该影院每天售出的电影票数量 （单位：张）与售价 （单位：元/张）之间满足一次函数关系 ，且 是整数。若该影院每天的利润为 （单位：元），利润＝票房收入－运营成本。 (1) 求 与 之间的函数关系式； (2) 该影院将电影票售价 定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) ；(2) 定价为 40 元时每天获利最大，最大利润为 2800 元 【分析】本题考查求二次函数关系式及二次函数的最值。(1) 根据"利润＝票房收入－运营成本"可得答案；(2) 将二次函数关系式配方得出顶点式，结合自变量取值范围，根据二次函数图象的性质讨论最大值。 【详解】(1) 解：根据题意，得 。 (2) 解：， ∵，抛物线开口向下，函数有最大值， ∵顶点横坐标 在取值范围 内， ∴当 时，（元）。 答：当定价为 40 元时，每天获利最大，最大利润为 2800 元。 【练4】（2026亳州蒙城9月月考 20）某农场经过前期调研得知，他们培育的一种新品种蔬菜有 30 天的上市时间，蔬菜的出场产量 （kg）随上市时间 （天）的函数关系满足 ，销售价格 （元/kg）随上市时间 （天）的函数关系满足 。 (1) 求蔬菜上市第 3 天时的出场产量及销售价格； (2) 若每天出场的蔬菜都能按当天的销售价格 （元/kg）销售完，那么蔬菜上市第几天的销售额最高？最高是多少元？（销售额＝销售价格×销售量） 【答案】(1) 上市第 3 天时的出场产量是 174 kg，销售价格是 元/kg；(2) 蔬菜上市第 11 天的销售额最高，最高是 1764 元 【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意是关键。(1) 把 分别代入 与 计算即可；(2) 设每天的销售额为 元，则 ，化简为顶点式后利用二次函数的性质求最值。 【详解】(1) 解：令 ，则 ，， ∴ 蔬菜上市第 3 天时的出场产量是 174 kg，销售价格是 元/kg。 (2) 解：设每天的销售额为 元，则 ， ∵，∴ 当 时， 取得最大值 1764， 即蔬菜上市第 11 天的销售额最高，最高是 1764 元。 　题型二 面积最值问题（矩形/围栏建模） 方法要领　周长守恒表边长，×另一边，端点值与墙长约束定范围。 【例】（2026合肥百校联赢B卷期中 21）在安徽黄山的一家茶叶合作社，计划用篱笆围成一个矩形茶叶加工区。加工区一面靠墙（墙的最大可用长度为 18m，此面不需要篱笆），在加工区中间有一道篱笆垂直于墙（用于分隔揉捻和干燥区域，厚度忽略不计），在平行于墙的边 上开有两扇宽为 1m 的门（门不用篱笆材料）。现有篱笆材料总长为 34m。设垂直于墙的边 的长为 m（如图所示）。 (1) 求平行于墙的边 的长 关于 的函数表达式及自变量 的取值范围； (2) 求加工区面积 关于 的函数表达式，并求 的最大值及此时 的值。 【答案】(1) ；(2) ，当 时， 的最大值为 108 【分析】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用和一元一次不等式组的应用。(1) 根据 篱笆总长－3 段垂直于墙的篱笆＋两扇 1m 宽的门，求出 关于 的函数表达式，再由墙的最大可用长度 18m 列不等式求取值范围；(2) 由 求出函数表达式，化为顶点式，结合取值范围求最大值。 【详解】(1) 解：由题意得 。 ∵墙的最大可用长度为 18m，且 ， ∴，解得 ， 即 。 (2) 解：， ∵，抛物线开口向下，且 在范围 内， ∴当 时， 取得最大值，最大值为 108（m²）。 【练1】（2026合肥中科大附中期中 18）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留 1 米宽的门。已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为 27 米。 (1) 假设垂直于墙的一道墙长为 （m），饲养室面积为 （m²），求 关于 的函数关系式； (2) 能建成的饲养室面积最大为多少平方米？ 【答案】(1) ；(2) 最大为 75 平方米 【分析】本题考查二次函数的应用，要先吃透题意，确定变量、建立函数模型，并注意在自变量取值范围内求最大值。(1) 三面垂直于墙的墙共 米，平行于墙的一面长为 米（把 3 个 1 米门补回），由矩形面积公式列出函数；(2) 配方后由二次函数性质求最值，并检验此时边长符合题意。 【详解】(1) 解：由题意得，平行于墙的一边长为 米， ∴。 (2) 解：， ∵，∴当 时， 取得最大值 75， 此时平行于墙的一边长为 米，符合题意。 答：能建成的饲养室面积最大为 75 平方米。 【练2】（2026长丰县抽测期中 19）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用 20m 长的栅栏围成一个矩形花园 （栅栏只围 、 两边），设 m，花园的面积为 m²。 (1) 当 为何值时，花园面积 有最大值？最大值为多少？ (2) 若在墙角 处有一棵树，与墙 、 的距离分别是 12m 和 6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），当花园面积 最大时， 的长为多少？ 【答案】(1) 当 时，花园面积最大，为 100 平方米；(2) 的长为 8 米 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意、列出函数关系式是解题关键。(1) 利用矩形面积公式列出关系式，化为顶点式即可求解；(2) 由树的位置限制列出不等式组求出 的取值范围，再利用二次函数的增减性在范围内求最大值。 【详解】(1) 解：由题意，得 ， ∴， ∵，∴当 时，花园面积最大，为 100 平方米。 (2) 解：由题意，得 ，解得 。 ∵，当 时， 随 的增大而增大， ∴当 时， 有最大值，此时花园面积最大。 答：当花园面积 最大时， 的长为 8 米。 【练3】（2027合肥五十中9月月考 17）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为 60m），其他的边用总长 70m 的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个 1m 的出口，不锈钢栅栏形状如"山"字形（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙 8 米处，规划有机动车停车位）。 (1) 设自行车车棚面积为 m²，车棚宽度 为 m，求 与 之间的函数关系式，并直接写出自变量 的取值范围； (2) 若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明。 【答案】(1) ，；(2) 车棚面积最大可达到 384 m² 【分析】本题考查二次函数的实际应用。(1) "山"字形栅栏含 3 段长为 的纵向边和 1 条长为 的横向边（补回 2 个 1m 出口），由矩形面积表示出 ，结合墙长 60m 与停车位距墙 8m 列不等式组求范围；(2) 顶点横坐标 不在范围内，由增减性在 上求最大值。 【详解】(1) 解：由题意知，车棚平行于墙的边长为 m，即 m， ∴。 由 ，解得 ， 故 。 (2) 解：， ∵，对称轴为直线 ，而 ，对称轴右侧 随 的增大而减小， ∴当 时， 有最大值为 ， ∴自行车车棚面积最大可达到 384 m²。 【练4】（2026合肥四十五中9月月考 19）如图是窗子的形状，它是由上下连成一体的两个矩形构成，已知窗框的用料是 6m，要使窗子能透过最多的光线，问窗子的边长各是多少？ 【答案】窗户的长为 m，宽为 1 m 【分析】本题考查二次函数的应用，光线最多就是窗子面积最大时，据此求面积表达式，运用函数性质求解。可设宽为 m，则长为 m，表示出面积 ，配方后由二次函数性质求最大值及对应边长。 【详解】解：设窗户的宽为 m，则长为 m， 窗户的面积 ， ∵，∴ 当 时， 有最大值为 ， 此时窗户的长为 （m），宽为 1 m， 即窗户的长为 m，宽为 1 m。 　题型三 抛物线形实际应用（拱桥/隧道/投篮） 方法要领　建系定顶点/交点，代坐标求解析式，再令 等于定值解方程。 【例】（2026合肥38中期中 21）如图1是我们生活中常见的一只碗，图2是从正面看到的碗的形状示意图，碗壁近似呈抛物线形，该抛物线关于碗口 的垂直平分线对称，且碗底 与碗口 平行，、 均在抛物线上，，。已知 cm， cm， cm，以 所在直线为 轴，过点 且垂直于 的直线为 轴建立平面直角坐标系，碗壁抛物线满足关系式 （、 为常数）。 (1) 求点 的坐标； (2) 若碗中装入一定量的水，水面 ，且 与 之间的距离为 cm，求水面的宽度 。 【答案】(1) ；(2) 水面的宽度 为 10 cm 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确理解题意、求出函数关系式是解题的关键。(1) 由对称性得对称轴为直线 ，用对称轴公式求出 ，再求出 的坐标，用待定系数法求出 ，进而求点 坐标；(2) 求出点 、 的纵坐标，令抛物线取该纵坐标解方程，两根之差即为水面宽度。 【详解】(1) 解：∵，抛物线关于碗口的垂直平分线对称， ∴抛物线的对称轴为直线 ， ∴，解得 。 ∵ cm， cm，，， ∴ cm，∴。 将点 代入 ，得 ， ∴抛物线解析式为 。 当 时，， ∴点 的坐标为 。 (2) 解：∵ 与 之间的距离为 cm， ∴点 与点 的纵坐标为 。 令 ，得 ， 即 ，解得 ，， ∴（cm），即水面的宽度 为 10 cm。 【练1】（2026合肥45中期中 18）图①是一座拱桥的示意图，相邻两支柱间的距离为 10 米（即 米），拱桥顶点 到桥面的距离 米。将其置于如图②所示的平面直角坐标系中，抛物线的表达式为 。 (1) 求 的值； (2) 求支柱 的高。 【答案】(1) ；(2) 支柱 的高为 米 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是确定特定点的坐标。(1) 由已知得 点坐标，代入解析式即可求出 ；(2) 由 得 点横坐标，代入解析式求其纵坐标，再用桥面的纵坐标减去拱上 处的纵坐标即得 的高。 【详解】(1) 解：由题意得 ，即 。 ∵点 在抛物线上，∴，即 。 (2) 解：由(1)可知 。 ∵，∴点 的横坐标是 。 当 时，。 当 时，，即 ；∵，∴，即点 的纵坐标是 8。 ∴（米）， 即支柱 的高为 米。 【练2】（2026合肥百校联考9月月考 21）陕西窑洞是中国北方黄土高原上特有的传统民居形式，窑洞的截面通常呈现抛物线型。某市开发了一些以窑洞为主题的景点，向外界展示窑洞的魅力。如图所示是某窑洞截面示意图，其跨度 为 16 米，最高点 与地面 的距离为 6 米。在门上正中间悬挂了一个牌匾 ，保洁师傅站在一个高 为 3 米、宽 为 5 米的脚手架上清理牌匾，其中四边形 为矩形，顶点 恰好在抛物线上，建立如图所示的平面直角坐标系， 在 轴上（牌匾的宽度忽略不计）。 (1) 求抛物线的函数表达式； (2) 若该脚手架可左右移动，则在该洞门下，脚手架最多可向右移动多少米？（结果保留根号） 【答案】(1) ；(2) 脚手架最多可向右移动 米 【分析】本题考查二次函数的应用。(1) 设顶点式 ，将 代入求 ；(2) 脚手架高 3 米，即顶边 所在高度 ，求出该高度处抛物线两交点的横坐标，其宽度减去脚手架的宽 5 米即为可移动的最大距离。 【详解】(1) 解：设抛物线的函数表达式为 。 ∵抛物线经过点 ，∴，解得 ， ∴抛物线的函数表达式为 。 (2) 解：当 时，， 解得 ，， 则两交点间的宽度为 （米）， 脚手架宽 5 米，故最多可向右移动 （米）。 答：脚手架最多可向右移动 米。 【练3】（2026合肥50中西校期中练习 12）如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度 是 8 米，跨度 是 16 米。在线段 上距离 处 6 米的地方，桥的高度是 ________ 米。 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，建立合适的平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，再将相应横坐标代入求值。 【详解】解：以 为原点、 所在直线为 轴建立平面直角坐标系（如图）， 　题型四 运动抛物线（球类/喷泉） 方法要领　平移保形状；令 或定高解方程，判断能否达到目标高度。 【例】（2026安庆期中 22）项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头。 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化。如图1，一辆洒水车正沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水。数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带。围绕这个问题，该小组开展了"合理设置智慧洒水车喷头"为主题的项目式学习。 任务一：测量建模。利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口 离地面竖直高度 为 1.2 米，上边缘抛物线最高点 离喷水口的水平距离为 2 米，高出喷水口 0.4 米。 (1) 请你求出上边缘抛物线的函数解析式。 任务二：推理分析。小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的。 (2) 请你结合模型探究下边缘抛物线与 轴交点 的坐标。 任务三：实践探究。把绿化带横截面抽象为矩形 ，其水平宽度 米，竖直高度 米，洒水车到绿化带的距离 为 米。 (3) 当调整与绿化带距离为 米时，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否浇灌到整个绿化带？请说明理由。 【答案】(1) ；(2) ；(3) 能浇灌到整个绿化带，理由见详解 【分析】本题考查二次函数的实际应用、矩形的性质与二次函数图象的平移，正确掌握相关性质内容是解题的关键。(1) 由 为顶点设顶点式，再把 代入求 ；(2) 由对称性得点 的对称点为 ，故下边缘抛物线由上边缘向左平移 4 米得到，先求上边缘与 轴交点，再左移 4 米得 ；(3) 求出绿化带最右上角 的坐标，代入上边缘抛物线比较水柱高度与绿化带高度即可。 【详解】解：(1) 由题意得 为上边缘抛物线的顶点， 设 。 又∵抛物线过点 ，∴，解得 ， ∴上边缘抛物线的函数解析式为 。 (2) ∵对称轴为直线 ，∴点 的对称点为 ， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 4 米得到的。 当 时，，解得 ，（舍去）， ∴，∴点 的坐标为 。 (3) 洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带。理由： ∵矩形 的水平宽度 米，竖直高度 米， 米， ∴（米），∴点 的坐标为 。 当 时，， 又当 时， 随 的增大而减小， ∴在绿化带范围内水柱最低处仍高于绿化带顶部， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带。 【练1】（2026合肥168中期中 21）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线。我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合。 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面 60cm，起跳点与落地点的距离为 160cm。 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为 ，对称轴为直线 ，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为 ，落地点为 。以 为原点， 所在直线为 轴，过点 与 所在水平地面垂直的直线为 轴，建立平面直角坐标系。 (1) 请直接写出顶点 的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变。 (2) 如图1，若仿青蛙机器人从点 正上方的点 处起跳，落地点为 ，点 的坐标为 ，点 在 轴的正半轴上，求起跳点 与落地点 的水平距离 的长； (3) 实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于 3cm，才能安全通过。如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形 ，其中 ，cm，cm，cm。仿青蛙机器人从距离 左侧 80cm 处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物。若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）。 【答案】(1) ，；(2) 的长为 200cm；(3) 平台的高度为 6cm 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意、正确列出函数关系式是解题的关键。(1) 由起跳点与落地点距离 160cm 得对称轴为直线 ，最高点距地面 60cm 得顶点纵坐标为 60，用顶点式并把 代入求解析式；(2) 抛物线形状不变，新图象可看作由(1)的抛物线向上平移 75 个单位得到，令 求 ；(3) 设平台高 cm，新抛物线为 ，由"刚好安全通过"知抛物线经过 右侧上方 3cm 处的点 ，代入求 。 【详解】解：(1) 由题意，得抛物线的对称轴为直线 ，顶点纵坐标为 60， ∴顶点坐标为 。 设抛物线的函数解析式为 。 ∵图象过原点，∴，解得 ， ∴。 (2) ∵抛物线的形状不变，且点 ， 故第二次的函数图象可以看作由(1)的抛物线向上平移 75 个单位长度得到， ∴新的抛物线的解析式为 。 当 时，， 解得 ，（舍去）， 故起跳点 与落地点 的水平距离 的长为 200cm。 (3) 设该平台的高度为 cm，由题意，新的函数解析式为 。 ∵cm，cm，cm，仿青蛙机器人从距离 左侧 80cm 处的地面起跳， 由题意，机器人经过 正上方 3cm 处，即抛物线经过点 ，即 。 把 代入 ， 得 ，解得 。 故该平台的高度为 6cm。 【练2】（2026清华附中合肥学校期中 20）在校园足球社团课上同学们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形。小罗同学从球门正前方 8m 的 处射门，当球飞行的水平距离为 6m 时，球达到最高点 ，此时球离地面 3m，球门高 为 2.44m。 (1) 请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； (2) 小罗此次射门能否射入球门内？请通过计算说明理由。 【答案】(1) 以 为原点、 所在直线为 轴，抛物线的函数表达式为 ；(2) 不能射入球门内 【分析】本题考查二次函数的实际应用和待定系数法求解析式，根据题意正确建立坐标系并求出二次函数解析式是解题关键。(1) 以 为原点、 为 轴建系，得顶点 和点 ，设顶点式代入求解；(2) 令 求球到球门线处的高度，与球门高 2.44m 比较。 【详解】(1) 解：如图，以 为原点， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系。 【练3】（2026安庆四中期中 22）如图①是古代的一种重力投石机，其投出去的石弹运动轨迹是抛物线的一部分。若石弹在离地面 5m 处发射，则石弹在离发射点水平距离 50m 处达到最大高度 25m。如图②，点 为发射点，以水平地面 为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系。若将石弹投向远处的高为 20m 的防御墙 （ 与 之间的距离超过 50m）。 (1) 求石弹运行的函数关系式； (2) 若石弹正好能打中防御墙 ，设投石机离防御墙的水平距离 为 m，求 的取值范围。 【答案】(1) ；(2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意确定函数关系式、运用二次函数的性质是解题关键。(1) 由题意得 ，顶点为 ，设顶点式代入求解；(2) 石弹能打中高 20m 的墙，则墙所在直线与抛物线相交且不落地：令 得墙的最小距离，令 得石弹落地点即墙的最大距离，从而求出 的范围。 【详解】(1) 解：根据题意得 ，顶点坐标为 ， 设石弹运行的函数关系式为 。 把 代入，得 ，解得 ， ∴石弹运行的函数关系式为 。 (2) 解：当 时，， 解得 ，（∵墙与 的距离超过 50m，舍去）； 当 时，， 解得 ，（舍去）。 ∴石弹能打中防御墙时， 的取值范围是 。 【练4】（2026合肥嘉陵江路中学9月月考 22）任意球是足球比赛的主要得分手段之一。在某次足球比赛中，小明站在点 处罚出任意球，如图，把球看作点，其运行的高度 （m）与运行的水平距离 （m）满足关系式 。小明罚任意球时，防守队员站在小明正前方 9m 处组成人墙，防守队员的身高为 2.1m；对手球门与小明的水平距离为 18m，已知足球球门的高是 2.43m（假定小明罚出的任意球恰好能射正对方的球门）。 (1) 当 时，求 与 的关系式； (2) 当 时，足球能否越过人墙？足球会不会踢飞？请说明理由； (3) 若小明罚出的任意球一定能直接射进对手球门得分，直接写 的取值范围。 【答案】(1) ；(2) 当 时，足球能越过人墙，足球不会踢飞，理由见详解；(3) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、学会利用不等式解决实际问题是解题的关键。(1) 当 时，把 代入 求出 ；(2) 分别把 和 代入解析式，求出 的值与 2.1 和 2.43 比较即可；(3) 由抛物线过原点得 ①，由足球能越过人墙得 ②，由足球能直接射进球门得 ③，联立①②③解不等式组即可。 【详解】(1) 解：当 时，， ∵ 抛物线 经过点 ，∴，解得 ， ∴ 所求的函数关系式为 。 (2) 解：当 时，由(1)得 ， 当 时，，∴ 足球能越过人墙； 当 时，， ∴ 足球能直接射进球门，不会踢飞。 (3) 解：由题设知 的图象经过点 ， 得 ，整理得 ①； 由足球能越过人墙，得 ②； 由足球能直接射进球门，得 ③。 把①代入②得 ，解得 ； 把①代入③得 ，解得 ， ∴ 的取值范围是 。 　题型五 二次函数与方案决策 方法要领　解方程得临界两根→开口方向定取值区间→按目标（利润最大/成本最低）取端点。 【例】（2026滁州天长期中 21）某超市销售一种成本为每千克 20 元的商品，已知这种商品的月销售量 （千克）与销售单价 （元/千克）之间的函数关系式为 。 (1) 当这种商品的销售单价 定为多少时，每月可获得最大利润？ (2) 如果这种商品的销售单价 不超过 32 元/千克，超市想要每月通过销售这种商品获得的利润不低于 2000 元，那么该超市对这种商品的月投资总成本最少是多少元？（月投资总成本＝商品每千克的成本×月销售量） 【答案】(1) 销售单价定为 35 元时，每月可获得最大利润（最大利润 2250 元）；(2) 月投资总成本最少是 3600 元 【分析】本题考查二次函数与一次函数的实际应用，读懂题意、找到等量关系、正确列出函数关系是解题关键。(1) 根据"利润＝（售价－进价）×销售量"列出 关于 的二次函数，用顶点坐标公式求最值；(2) 先由"利润不低于 2000 元"解不等式并结合 确定 的范围，再写出投资总成本 关于 的一次函数，利用增减性求最小值，作出决策。 【详解】(1) 解：设利润为 元，由题意得 ， ∵，∴当 时， 有最大值，最大值为 （元）。 答：这种商品的销售单价 定为 35 元时，每月可获得最大利润，最大利润为 2250 元。 (2) 解：由题意得 ， 即 ，解得 ，。 ∵，抛物线开口向下，∴当 时，。 ∵，∴当 时，每月利润不低于 2000 元。 设月投资总成本为 元，由题意得 ， ∵，∴ 随 的增大而减小， ∴当 时， 最小，（元）。 答：该超市对这种商品的月投资总成本最少是 3600 元。 【练1】（2026合肥45中菱湖分校9月月考 22）小赵经营一家网店，销售一款成本为 80 元的冬装。他销售一段时间后发现，当售价为 240 元时，每周可销售 200 件；售价每下降 1 元，可多销售 2 件。设该冬装降价 元，每周可获利润 元。 (1) 试用含 的式子表示 ，并求当 取最大值时，该款冬装应降价多少元； (2) 小赵准备减少库存，且每周的利润不低于 32000 元，则该款冬装最多降价多少元？ 【答案】(1) ，降价 30 元时利润最大；(2) 最多降价 60 元 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题关键是读懂题意，根据等量关系列出函数关系式或方程。(1) 降价 元后单件利润为 元，周销量为 件，由"利润＝单件利润×销量"列出 ，配方求最值；(2) 令 解方程，结合开口方向得利润不低于 32000 元的 范围，再按"减少库存"的决策取最大降价幅度。 【详解】(1) 解：设该冬装降价 元，则售价为 元，单件利润为 元，每周销量为 件。 依题意，得 ， ∴。 ∵，抛物线开口向下，∴当 时， 取得最大值。 即当 取最大值时，该款冬装应降价 30 元。 (2) 解：当 时，， 解得 ，。 ∵抛物线开口向下，∴当 时，每周利润不低于 32000 元。 ∵要减少库存，降价越多销量越大， ∴该款冬装最多降价 60 元。 【练2】（2026合肥45中菱湖分校9月月考 16）电商平台销售一种 T 恤衫，每件进价为 100 元。经市场调查发现：每周销售量 （件）与销售单价 （元/件）满足一次函数关系（其中 为整数，且 ），部分数据如下表所示： 销售单价 （元/件） 120 130 135 销售量 （件） 80 60 50 根据以上信息，解答下列问题： (1) 求 与 的函数关系式； (2) 求每周销售这种 T 恤衫获得的利润 （元）的最大值； (3) 电商平台希望每周获得 1000 元的利润，且尽可能让利于顾客，请计算销售单价应定为多少元。 【答案】(1) ；(2) 的最大值为 1800 元；(3) 销售单价应定为 110 元 【分析】本题考查一次函数及二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键。(1) 用待定系数法求解；(2) 根据"利润＝单件利润×销售量"列出 关于 的二次函数，求最大值；(3) 令 解方程，两个售价都满足利润要求，按"尽可能让利于顾客"的决策取较小售价。 【详解】(1) 解：设 与 的函数关系式为 ，把 和 分别代入， 得 ，解得 ， ∴（经检验 也满足）。 (2) 解：依题意，， ∵，∴当 时， 有最大值， （元）。 (3) 解：依题意，当 时，， 即 ，解得 ，。 ∵，且尽可能让利于顾客， ∴销售单价应定为 110 元。 【练3】（2026六安部分学校期中 23）综合与实践 【问题背景】某数学兴趣小组针对高铁检票问题，研究了排队人数与安检时间、检票闸口数之间的关系。 【模型构建】收集数据：列车发车前 15 分钟开始检票，数学兴趣小组根据收集到的候车总人数 （人）与安检时间 （分钟） 之间部分对应值并制成下表： 安检时间 （分钟） 0 5 10 15 候车总人数 （人） 25 150 225 250 (1) 以 ， 的每组对应值作为点的坐标在给出的平面直角坐标系中描点，用光滑的曲线顺次连接各点； (2) 根据图象，在我们学过的一次函数、二次函数和反比例函数中， 与 之间满足 ________ 函数关系； (3) 求 与 之间的函数表达式（写出自变量 的取值范围）。 【模型应用】已知条件1：旅客排队检票上车，在任意时刻都满足：排队人数＝候车总人数－已检票人数；已知条件2：若该检票口最多可开放 10 条检票通道，平均每条通道每分钟可安检 6 人。结合上述信息，请完成下述问题： (1) 当开通 3 条检票通道，检票时间 分钟时，已检票人数为 ________，排队人数 与检票时间 的函数关系式为 ________； (2) 在(1)的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ (3) 为保证列车行车安全，车站规定列车开车前 5 分钟停止检票，同时为节省开支，尽量少安排检票通道，为保证候车室所有旅客都能安全检票上车，求至少应打开几条检票通道？ 【答案】【模型构建】(1) 描点、连线见详解图；(2) 二次；(3) ；【模型应用】(1) ；；(2) 排队人数在第 6 分钟达到最大值，最大人数为 61 人；(3) 至少应打开 4 条检票通道 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意、掌握二次函数的性质是解答的关键。【模型构建】(1) 描点、连线即可画出图象；(2) 根据所画图象为抛物线的一部分，可得 与 之间满足二次函数关系；(3) 利用待定系数法求解；【模型应用】(2) 将 配方成顶点式，由二次函数的性质求最值；(3) 设应打开 条检票通道，则 ，由列车开车前 5 分钟停止检票知当 时 ，且对称轴位置满足 ，解不等式组即可作出决策。 【详解】解：【模型构建】(1) 描点、用光滑的曲线顺次连接各点，如图： 　题型六 函数图象信息应用（读图建模） 方法要领　读图取顶点/起点/过原点信息，用顶点式建模后判断结论。 【例】（2026宣城六中期中 19）掷实心球是亳州市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目。一男生在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度 （m）与水平距离 （m）之间的函数关系如图所示。已知该男生掷球时的起点高度是 2m，当水平距离为 5m 时，实心球行进至最高点 4m 处。 (1) 求 关于 的函数表达式； (2) 根据亳州市 2025 年初中学业水平体育与健康学科考试项目评分标准（男生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于 12.4m，则此项考试得分为满分 20 分。按此评分标准，该生在此项考试中能否得满分？请说明理由。 【答案】(1) ；(2) 该生在此项考试中得不到满分 【分析】本题考查二次函数的实际应用，关键是读图获取信息并建模。(1) 由图可知抛物线的顶点为 ，设顶点式，把起点 代入即可求解；(2) 令 求出落地点的横坐标，与 12.4m 进行比较，从而作出判断。 【详解】(1) 解：由图可知抛物线的顶点为 ， 故可设 关于 的函数表达式为 。 把起点 代入表达式，得 ，解得 ， ∴。 (2) 解：该男生在此项考试中得不到满分。理由如下： 令 ，即 ， 解得 ，（负值舍去）。 ∵， ∴该男生在此项考试中得不到满分。 【练1】（2026合肥四十五中9月月考 9）飞机着陆后滑行的距离 （单位：m）关于滑行的时间 （单位：s）的函数解析式为 。有下列结论： ①滑行的时间为 2 s 时，滑行的距离是 114 m； ②飞机停下前最后 10 s 内滑行的距离是 450 m； ③飞机着陆后滑行了 600 m 才停下来。 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，将函数解析式配方成顶点式，抓住"飞机停下时 取得最大值"这一图象信息，再逐个分析即可。 【详解】解：∵， 当 时，，即①正确； 当 时， 取得最大值 600，即飞机从着陆到停下共需 20 秒，滑行距离为 600 m，③正确； 前 10 秒滑行的距离为 （m）， ∴飞机停下前最后 10 s 内滑行的距离是 （m），②错误。 ∴正确的结论是①③，共 2 个。故选：C。 【练2】（2027合肥五十中9月月考 13）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器。将发石车置于山坡底部 处，以点 为原点，水平方向为 轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系。将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线 的一部分，则发射石块在空中飞行的最大高度为 ________ 米。 【答案】10 【分析】本题考查二次函数的实际应用，由图读出发石车位于原点 、石块从 处发射，把 代入解析式求出 ，顶点纵坐标即为最大高度，熟练掌握待定系数法是解题的关键。 【详解】解：根据题意，抛物线经过点 ，代入解析式 ，得 ，解得 ， ∴抛物线的解析式为 ，顶点坐标为 ， ∴发射石块在空中飞行的最大高度为 10 米。 故答案为：10。 【练3】（2026合肥五十中天鹅湖期中 21）【项目式学习】 项目主题：从函数角度重新认识"阻力对物体运动的影响"。 实验过程：如图，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点 处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间 （单位：s）、运动速度 （单位：cm/s）、滑行距离 （单位：cm）的数据。 任务一：数据收集。记录的数据如下： 运动时间 （s） 0 2 4 6 8 10 ... 运动速度 （cm/s） 10 9 8 7 6 5 ... 滑行距离 （cm） 0 19 36 51 64 75 ... 任务二：数据分析。观察分析发现，小球运动速度 （单位：cm/s）与小球运动时间 （单位：s）满足关系式 ，小球滑行距离 （单位：cm）与运动时间 （单位：s）满足关系式 。 (1) 求 、、、 的值； 任务三：问题解决。 (2) 当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离； (3) 当小球到达木板点 的同时，在点 的前方 cm 处有一辆电动小车，以 cm/s 的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求 的取值范围。 【答案】(1) ，，，；(2) 小球的滑行距离为 100 cm；(3) 【分析】本题考查一次函数和二次函数的待定系数法求解析式，以及利用函数解决实际问题，解题关键在于熟练运用待定系数法准确求出函数解析式，再根据实际问题的条件建立方程或不等式求解。(1) 从表格中选取两组对应值分别代入 与 ，求出各系数；(2) 先由 求出小球停下来时的运动时间，再把该时间代入 求滑行距离；(3) 分别表示出小球滑行距离和小车行驶距离，根据小球不能撞上小车的条件列出不等式恒成立，利用二次函数的判别式求 的取值范围。 【详解】解：(1) 当 时，；把 ，， 代入 ，得 ， 解得 。 ∵ 时，； 时，， ∴，解得 。 (2) 由(1)得 ，当小球停下来时，，即 ，解得 。 把 代入 ，得 （cm）， 即此时小球的滑行距离为 100 cm。 (3) 小球滑行距离 ，小车行驶距离 。 ∵ 小球不能撞上小车，∴ 恒成立，即 恒成立。 对于二次函数 ，∵，要使其恒小于 0， ∴，解得 ， 即 的取值范围是 。 【练4】（2026淮南9月月考 13）假设飞机着陆后滑行的距离 （米）关于滑行时间 （秒）满足函数关系式 ，则经过 ________ 秒后，飞机停止滑行。 【答案】40 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意：当飞机停止滑行时，滑行的距离达到最大，因此可根据二次函数的性质求出当滑行距离最大时所需的时间。 【详解】解：由题意得 ， ∵，抛物线开口向下，∴ 当 时，滑行距离 有最大值， 即经过 40 秒后，飞机停止滑行。 故答案为：40。 　专题过关检测（限时20分钟 · 满分62分） 一、选择题（每小题4分） 1．（4分）（2026合肥庆平希望学校9月月考 8）小亮爸爸想用长为 80m 的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成。设矩形与墙垂直的一边长为 m，面积为 m²，则 与 的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意是解题关键。设矩形与墙垂直的一边长为 m，则与墙平行的一边长为 m，由矩形面积公式即可得到解析式。 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为 m，面积为 m²， 则与墙平行的一边长为 m， ∴。 故选：D。 2．（4分）（2026合肥三十八中9月月考 7）今年暑假，我省某地天气异常干旱，为缓解旱情，该地气象部门进行了人工增雨作业。人工增雨通过发射防雹增雨火箭弹的方式进行，已知该炮弹的飞行高度 （米）和飞行时间 （秒）的关系满足二次函数 。若此炮弹在第 6 秒与第 12 秒时的高度相等，则炮弹飞行高度最高的时间是（　　） A．第 10 秒 B．第 9 秒 C．第 8 秒 D．第 7 秒 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握抛物线的对称性及性质是解题的关键。抛物线上高度相等的两点关于对称轴对称，求出对称轴即可。 【详解】解：∵炮弹在第 6 秒与第 12 秒时的高度相等， ∴抛物线的对称轴为直线 。 ∵，抛物线开口向下，顶点处飞行高度最高， ∴炮弹飞行高度最高的时间是第 9 秒。 故选：B。 3．（4分）（2026合肥嘉陵江路中学9月月考 7）一种大模型飞机模型表演中，已知该种飞机着陆后滑行的距离 （单位：米）与滑行时间 （单位：秒）之间的函数关系表达式为 ，则该种模型飞机着陆后滑行停止所需要的时间为（　　） A．20 秒 B．25 秒 C．30 秒 D．40 秒 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是掌握当飞机停止时 取得最大值。先将函数关系式配方成顶点式，即可得到答案。 【详解】解：∵， ∵，∴当 时， 取得最大值 800，即此时飞机滑行停止。 故该种模型飞机着陆后滑行停止所需要的时间为 20 秒。 故选：A。 4．（4分）（2026安庆四中期中 9）如图，在 中，，，点 、 分别是 、 边上的点，，则 面积的最大值是（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用与等腰直角三角形的判定和性质：从图形中读取信息，证明 是等腰直角三角形，作 于点 ，设 ，用含 的式子表示 ，利用三角形面积公式列出关于 的二次函数，利用二次函数的性质求解即可。 【详解】解：∵，， ∴，。 ∵，∴， ∴ 是等腰直角三角形。 作 于点 D。 二、填空题（每小题5分） 5．（5分）（2026合肥三十八中9月月考 11）近年来我国新能源汽车发展迅速。据中国汽车乘联会统计，2024 年我国新能源汽车销售量约为 1150 万辆。假设我国新能源汽车每年销售增长率 保持不变，预计 2026 年我国新能源汽车销售量约为 万辆，则 关于 的函数表达式为 ________（不用写自变量的取值范围）。 【答案】 【分析】本题考查二次函数的增长率问题，掌握"两年后＝原量×(1+增长率)²"是解题的关键。 【详解】解：由题意，2025 年我国新能源汽车销售量约为 万辆， 则 2026 年我国新能源汽车销售量约为 万辆， ∴ 关于 的函数表达式为 。 故答案为：。 6．（5分）（2026合肥百校联考9月月考 13）"嫦娥"揽月、"祝融"探火、"羲和"逐日、"北斗"指路、"天和"遨游星辰。新中国成立 75 年来，中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展。某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型。已知该模型每件成本为 20 元，按每件 24 元出售，每日可售出 40 件。经市场调查发现，这种模型每件涨价 1 元，日销售量会减少 2 件。每件模型应涨价 ________ 元，才能使每日利润最大。 【答案】8 【分析】本题考查了二次函数的应用。设涨价 元，则单件利润为 元，日销量为 件，根据"总利润＝单件利润×销量"写出 关于 的二次函数，配方求最值即可。 【详解】解：设当涨价 元时，单日利润为 元， 则 。 ∵，抛物线开口向下， ∴当 时，， 即每件模型应涨价 8 元，才能使每日利润最大。 故答案为：8。 7．（5分）（2026合肥38中期中 13）苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有"东方威尼斯"之称。如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面 2m 时，水面宽 4m。若水面下降 2m，则水面宽度增加 ________ m。 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，属于数学建模题。建立合适的坐标系，设抛物线为 ，把已知点代入求出解析式，再令 求出水面下降 2m 后的水面宽度，作差即可。 【详解】解：如图，以抛物线顶点为原点、对称轴为 轴建立直角坐标系，则 。 8．（5分）（2026合肥四十五中9月月考 13）如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为 2 米时，水面宽度为 4 米。则当水面的宽度为 米时，水位上升 ________ 米。 【答案】（或 0.5） 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键在于准确地建立坐标系进行求解。以水面 所在直线为 轴、 的中点为原点建系，求出抛物线解析式，再把新水面宽度对应的横坐标代入求出新的水面高度。 【详解】解：如图，以水面 所在直线为 轴， 的中点 为坐标原点，建立平面直角坐标系。 三、解答题（8分+8分+10分） 9．（8分）（2027亳州蒙城9月月考 16）某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮。已知球出手时离地面高 m，当球出手后水平距离为 4m 时到达最大高度 4m。设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系。 (1) 求出抛物线的解析式； (2) 若队员与篮圈中心的水平距离为 7m，篮圈距地面 3m，问此球能否准确投中？ 【答案】(1) ；(2) 此球能准确投中 【分析】本题考查二次函数的应用，从图象读取出手点、最高点的坐标是解题的关键。(1) 根据抛物线的顶点坐标 及球出手时的坐标 ，设顶点式用待定系数法确定解析式；(2) 令 求出 的值，与篮圈高度 3m 比较即可作出判断。 【详解】(1) 解：根据题意，球出手点、最高点的坐标分别为 ，。 设二次函数解析式为 ， 将点 代入，得 ， 解得 ， ∴抛物线解析式为 。 (2) 解：将 代入抛物线解析式，得 ， 即球运动到篮圈正上方时高度恰为 3m，与篮圈距地面的高度相等， ∴篮圈中心 在抛物线上，此球能准确投中。 10．（8分）（2026亳州名校联盟9月月考 19）一座桥如图，桥下水面宽度 是 20 米，高 是 4 米。把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系（桥顶 在 轴上，水面所在直线为 轴）。 (1) 求抛物线的解析式； (2) 要使高为 3 米的船通过，则其宽度须不超过多少米？ 【答案】(1) ；(2) 船的宽度须不超过 10 米 【分析】本题考查二次函数的应用，正确理解题意并运用二次函数的图象与性质解题是关键。(1) 由题意得顶点 ，抛物线与 轴的交点 ，设 代入求解；(2) 令 解方程，求出高为 3 米处桥的宽度，即为船能通过的最大宽度。 【详解】(1) 解：由已知，抛物线的顶点 的坐标为 ，抛物线与 轴的交点 的坐标为 。 设抛物线的解析式为 ， 将 代入解析式，得 ，解得 ， ∴抛物线的解析式为 。 (2) 解：令 ，则 ， 解得 ， ∴高为 3 米处桥的宽度为 （米）， ∴船的宽度须不超过 10 米。 11．（10分）（2027六安汇文中学9月月考 20）为贯彻实施劳动课程，某校计划建造一个矩形种植场地。为充分利用现有资源，该矩形种植场地一面靠墙（墙的长度为 8m），另外三面用栅栏围成。已知栅栏的总长度为 18m，设矩形场地中垂直于墙的一边长为 m（如图）。 (1) 若矩形种植场地的总面积为 36m²，求此时 的值； (2) 当 为多少时，矩形种植场地的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1) ；(2) 当 时，矩形种植场地的面积最大，最大面积为 40m² 【分析】本题考查解一元二次方程和二次函数的性质的综合应用。(1) 根据矩形面积列出关于 的一元二次方程，结合墙的长度为 8m 排除不符合题意的解；(2) 先由墙长 8m 求得 的取值范围，再根据二次函数的增减性在范围内求最大值——顶点不在范围内，最值在端点处取得。 【详解】(1) 解：矩形场地中垂直于墙的一边长为 m，则平行于墙的一边长为 m。 ∵矩形种植场地的总面积为 36m²， ∴，即 ，解得 ，。 ∵墙的长度为 8m，若 ，则 ，不符合题意，舍去， ∴。 (2) 解：矩形种植场地的面积 。 ∵，∴。 ∵，对称轴为直线 ，当 时， 随 的增大而减小， ∴当 时， 取得最大值，， ∴当 时，矩形种植场地的面积最大，最大面积为 40m²。 期中专项复习 · 九年级教师版　 学科网（北京）股份有限公司 $