21.4 反比例函数 重难点题型（举一反三）讲义 2026-2027学年 沪科版 九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学反比例函数核心知识点，系统梳理定义（含表达式、k的意义及待定系数法）、图象性质（双曲线特征、象限分布、增减性及k的几何意义）、实际应用（模型特征、典型场景与解题步骤），构建完整学习支架，衔接函数知识体系。 该资料亮点在于知识点分层呈现与题型丰富设计，通过k的几何意义图形分析培养几何直观，结合行程等实际问题渗透模型意识，例与变式训练提升推理能力。课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

21.4 反比例函数 一、知识点回顾 知识点01 反比例函数的定义 1. 反比例函数的定义 一般地，形如（k为常数，）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解： ⑴x是自变量，y是x的反比例函数； ⑵自变量x的取值范围是的一切实数，函数值的取值范围是； ⑶比例系数是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①（）， ②（）， ③（定值）（）； ⑸函数（）与（）是等价的，所以当y是x的反比例函数时，x也是y的反比例函数。 （k为常数，）是反比例函数的一部分，当k=0时，，就不是反比例函数了，由于反比例函数（）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。 2.用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数（）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。 知识点02 反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象及画法 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们关于原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量，函数值，所以它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图象时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取； ②列表时选取的数值越多，画的图象越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图象时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图象与坐标轴相交。 2.反比例函数的性质 关于反比例函数的性质，主要研究它的图象的位置及函数值的增减情况，如下表： 反比例函数 （） 的符号 k>0 k<0 图象 x、y的范围 x≠0，y≠0 x≠0，y≠0 象限 第一、第三象限 第二、第四象限 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 3.反比例函数（）中比例系数k的几何意义 如图所示，过双曲线上任一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线，E、F分别为垂足， 则 注意： 1.反比例函数（）中，越大，双曲线越远离坐标原点；越小，双曲线越靠近坐标原点。 2.双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x和直线y=－x。 知识点03 反比例函数的应用 1.反比例函数的模型特征 能够应用反比例函数解决的实际问题，核心满足两个基本特征：一是两个相关联的变量x、y的乘积为定值，即满足的等量关系；二是自变量的取值范围符合实际场景。 2.常见的典型场景 行程问题中路程定值时，速度与时间的关系；工程问题中工作总量定值时，工作效率与工作时间的关系；面积定值的矩形，长与宽的关系；压强、电压、电阻等物理量的定值关系问题。 3.解题的基本步骤 第一步：审清题意，找出题目中不变的定值，确定两个变量，设出符合题意的函数表达式； 第二步：根据已知的定值或一组对应变量值，用待定系数法求出反比例系数k，确定反比例函数解析式； 第三步：结合实际问题的要求，利用反比例函数的增减性性质，求解对应问题（已知自变量求函数值、已知函数值求自变量、确定自变量或函数值的取值范围等）； 第四步：结合实际场景验证结果，舍去不符合实际意义的解，给出最终答案。 2、 题型归纳 【题型1 反比例函数的定义与求值】 【例1】已知反比例函数的解析式为y＝．则a的取值范围是_____． 【变式1-1】下表是反比例函数的y与x的几组对应值，其中a的值为（    ） x a 1 y 1 2 4 A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）若函数是反比例函数，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．或1 D．或 【变式1-3】根据欧姆定律可知，当电压为定值时，电流与电阻成反比例．当时，电流为（    ） A． B． C． D． 【题型2 根据图像增减性求系数k取值范围】 【例2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）对于双曲线，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（【万唯原创】基础检测卷）对于双曲线，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·安徽马鞍山·期中）若双曲线y=在每一个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（　　） A．k＜3 B．k≥3 C．k＞3 D．k≠3 【变式2-3】（25-26九年级上·河北张家口·期末）若双曲线在每一个象限内，随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 依据反比例函数增减性比大小】 【例3】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·浙江台州·二模）已知反比例函数（）的图象经过点，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·河南周口·二模）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25九年级下·天津·期中）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型4 依据函数图像位置求系数k的范围】 【例4】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）若反比例函数的图象经过第一、三象限，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-25九年级上·山东济宁·期末）若函数的图象在第一、三象限内，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·云南红河·期末）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【题型5 反比例函数性质综合】 【例5】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．该函数图象经过点 B．函数值y随x的增大而减小 C．该函数图象与坐标轴没有交点 D．该函数图象位于一、三象限 【变式5-1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）关于反比例函数的描述错误的是（    ） A．图象必经过点 B．图象位于第二、第四象限 C．当时， D．当时，y随x的增大而增大 【变式5-2】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）下列关于反比例函数，说法不正确的是（　　） A．点、均在其图像上 B．当时，的范围是 C．双曲线分布在二、四象限 D．该函数图像上有两点A、B，若，则 【变式5-3】（25-26九年级上·广东揭阳·期末）已知反比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．图像经过点 B．图像在第二、四象限 C．当时， D．当时，随着的增大而增大 【题型6 系数k的求解：依据图形面积】 【例6.1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，点为坐标原点，点在轴正半轴上，点在双曲线上，且，若的面积为12，则的值为（   ） A．24 B．12 C．6 D．3 【变式6.1-1】（2025·山东枣庄·三模）如图，在中，，边经过原点，轴，双曲线经过、两点．若，则的值为（    ）    A． B．1 C．4 D．2 【变式6.1-2】（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，CD⊥x轴，垂足为D，CO，CD分别交双曲线y＝于点A，B，若OA＝AC，△OCB的面积为6，则k的值为（　　）    A．2 B．4 C．6 D．8 【例6.2】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知点为反比例函数图象上一点，轴于点为轴上任一点，若的面积为5，则的值为_____． 【变式6.2-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，点A是反比例函数（）图象上的一点，过点A作轴于点B，点C是x轴上的一点，连接，若的面积为3，则的值是______． 【变式6.2-2】（25-63九年级上·广西北海·期中）如图，点A是反比例函数的图象上的一点过点A作轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接，，若的面积为5，则k的值是_____． 【变式6.2-3】（25-61八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图像上，过点作轴于点，点在轴上，连接、．若的面积为，则的值为________________． 【题型7 系数k的求解：依据双曲线上两点与原点围成的三角形面积求k】 【例7】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，点在反比例函数的函数图象上，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为．连接．若，面积为9，则_____． 【变式7-1】（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，点A，C为函数图象上的两点，过A，C分别作轴，轴，垂足分别为B，D，连接，，，线段交于点E，且点E恰好为的中点，当的面积为6时，k的值为________．    【变式7-2】（2026·江苏宿迁·三模）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是________． 【题型8 系数k的求解：依据点坐标求k】 【例8】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，为等腰直角三角形．直角顶点A的坐标为，点B在反比例函数的图象上，则k的值为________． 【变式8-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知直角三角形中，，将绕点点旋转至的位置，且在的中点，在反比例函数上，则的值为________________． 【变式8-2】（2024·山西运城·一模）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点O为直角三角形的一个顶点，在x轴上，，，，将绕点A逆时针旋转90°，旋转后的斜边的中点C恰好落在反比例函数的图象上，则k的值为______． 【变式8-3】（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，为等腰直角三角形，，，若反比例函数的图象经过的中点，则_____．    【题型9 系数k的求解：依据两条双曲线求k】 【例9】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，平行于x轴的直线与函数，的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若的面积为3．则k的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式9-1】（24-25八年级下·山西长治·期中）如图，平行于轴的直线与函数，的图象分别相交于，两点，点在点的右侧，为轴上的一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26九年级上·河南濮阳·期末）如图所示，是反比例函数y＝与y＝在x轴上方的图象，点C是y轴正半轴上的一点，过点C作AB∥x轴分别交这两个图象于A点和B点，若点P在x轴上运动，则△ABP的面积等于（　　）    A．5 B．4 C．10 D．20 【变式9-3】（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，平行于y轴的直线l分别与反比例函数（x＞0）和（x＞0）的图象交于M、N两点，点P是y轴上一动点，若△PMN的面积为2，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型10 函数图像共存问题】 【例10】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图是抛物线（，，是常数且）的图象，则双曲线和直线在同一坐标系中的位置可能为（    ） A．B．C．D． 【变式10-1】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段检测）二次函数（是常数）的图象如图，则双曲线和直线的位置可能为（   ） A． B．C．D． 【变式10-2】（2024·安徽淮北·二模）如图，关于的二次函数是常数且的图象如图，则双曲线和直线在同一坐标系中大致是（    ） A． B．C．D． 【变式10-3】（2025·湖南张家界·中考真题）若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一个坐标系内的大致图象为（    ） A．B．C．D． 【题型11 双曲线中的最值问题】 【例11】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，矩形的边，点是边上的一个动点（不与点重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．当四边形的面积最大时，的长度为______． 【变式11-1】（25-26九年级·广西·阶段检测）如图，在矩形OABC中，，，F是BC边的一个动点（F不与B，C重合）．过点F的反比例函数的图象与AB边交于点E，使的面积最大的k的值是________． 【变式11-2】（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形边在y轴上，在x轴上，且点B坐标为，反比例函数的图象与，交于D，E两点，的面积为8，点P为y轴上一点，当取得最小值时，点P的坐标为__________． 【变式11-3】（25-26九年级上·四川达州·期末）如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象与AB相交于点D．与BC相交于点E，且BD＝3，AD＝6，△ODE的面积为15，若动点P在x轴上，则PD+PE的最小值是_____． 【题型12 反比例函数与不等式】 【例12】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集． 【变式12-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，二次函数的顶点坐标为，与轴交于，与反比例函数的图象交点横坐标为． (1) 求二次函数和反比例函数解析式； (2)根据图象：直接写出的解集． 【变式12-2】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，一次函数（m，n为常数，）的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的关系式． (2)结合图象，请直接写出不等式的解集． 【变式12-3】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与反比例函数（）的图象交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A点的纵坐标为6． (1)求k的值及B点坐标； (2)观察图象，直接写出不等式的解集． 【变式12-4】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，直线y＝ax+b与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，2），点B的横坐标为﹣2． （1）求出一次函数和反比例函数的关系式； （2）当x＜0时，根据图象写出反比例函数大于一次函数的x的取值范围． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.4 反比例函数 一、知识点回顾 知识点01 反比例函数的定义 1. 反比例函数的定义 一般地，形如（k为常数，）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解： ⑴x是自变量，y是x的反比例函数； ⑵自变量x的取值范围是的一切实数，函数值的取值范围是； ⑶比例系数是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①（）， ②（）， ③（定值）（）； ⑸函数（）与（）是等价的，所以当y是x的反比例函数时，x也是y的反比例函数。 （k为常数，）是反比例函数的一部分，当k=0时，，就不是反比例函数了，由于反比例函数（）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。 2.用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数（）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。 知识点02 反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象及画法 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们关于原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量，函数值，所以它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图象时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取； ②列表时选取的数值越多，画的图象越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图象时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图象与坐标轴相交。 2.反比例函数的性质 关于反比例函数的性质，主要研究它的图象的位置及函数值的增减情况，如下表： 反比例函数 （） 的符号 k>0 k<0 图象 x、y的范围 x≠0，y≠0 x≠0，y≠0 象限 第一、第三象限 第二、第四象限 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 3.反比例函数（）中比例系数k的几何意义 如图所示，过双曲线上任一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线，E、F分别为垂足， 则 注意： 1.反比例函数（）中，越大，双曲线越远离坐标原点；越小，双曲线越靠近坐标原点。 2.双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x和直线y=－x。 知识点03 反比例函数的应用 1.反比例函数的模型特征 能够应用反比例函数解决的实际问题，核心满足两个基本特征：一是两个相关联的变量x、y的乘积为定值，即满足的等量关系；二是自变量的取值范围符合实际场景。 2.常见的典型场景 行程问题中路程定值时，速度与时间的关系；工程问题中工作总量定值时，工作效率与工作时间的关系；面积定值的矩形，长与宽的关系；压强、电压、电阻等物理量的定值关系问题。 3.解题的基本步骤 第一步：审清题意，找出题目中不变的定值，确定两个变量，设出符合题意的函数表达式； 第二步：根据已知的定值或一组对应变量值，用待定系数法求出反比例系数k，确定反比例函数解析式； 第三步：结合实际问题的要求，利用反比例函数的增减性性质，求解对应问题（已知自变量求函数值、已知函数值求自变量、确定自变量或函数值的取值范围等）； 第四步：结合实际场景验证结果，舍去不符合实际意义的解，给出最终答案。 2、 题型归纳 【题型1 反比例函数的定义与求值】 【例1】已知反比例函数的解析式为y＝．则a的取值范围是_____． 【答案】a≠±2 【分析】根据反比例函数解析式中k是常数，且不能等于0解答即可． 【详解】解：由题意可得：|a|﹣2≠0， 解得：a≠±2， 故答案为a≠±2． 【变式1-1】下表是反比例函数的y与x的几组对应值，其中a的值为（    ） x a 1 y 1 2 4 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用待定系数法求出，然后将，代入求解． 【详解】解：将，代入得， 解得 ∴反比例函数 将，代入得， 解得． 【变式1-2】（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）若函数是反比例函数，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．或1 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟悉的形式的反比例函数是解题的关键．根据反比例函数的定义解答即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，且， ∴且， ∴， 故选：B． 【变式1-3】根据欧姆定律可知，当电压为定值时，电流与电阻成反比例．当时，电流为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴时，． 【题型2 根据图像增减性求系数k取值范围】 【例2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）对于双曲线，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的增减性，得出2-m＞0，解不等式即可得出结论． 【详解】解：∵双曲线，当时，y随x的增大而减小， ∴2-m＞0， 解得：m＜2． 故选：D． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 【变式2-1】（【万唯原创】基础检测卷）对于双曲线，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵双曲线，当时，y随x的增大而增大，∴．∴． 【变式2-2】（25-26九年级上·安徽马鞍山·期中）若双曲线y=在每一个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（　　） A．k＜3 B．k≥3 C．k＞3 D．k≠3 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质可解． 【详解】解：∵双曲线在每一个象限内，y随x的增大而减小， ∴k-3＞0 ∴k＞3 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数，当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； 当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 【变式2-3】（25-26九年级上·河北张家口·期末）若双曲线在每一个象限内，随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数在象限内的增减性与比例系数的关系求解即可． 【详解】解：∵双曲线在每一个象限内，y随x的增大而减小 ∴ ∴． 故选：D． 【题型3 依据反比例函数增减性比大小】 【例3】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中k＜0， ∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大． ∵-3＜0，-1＜0， ∴点A（-3，y1），B（-1，y2）位于第二象限， ∴y1＞0，y2＞0， ∵-3＜-1＜0， ∴0＜y1＜y2． ∵2＞0， ∴点C（2，y3）位于第四象限， ∴y3＜0， ∴y3＜y1＜y2． 故选：A． 【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单． 【变式3-1】（2026·浙江台州·二模）已知反比例函数（）的图象经过点，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数，且， ∴其图象经过二四象限，在每个象限内函数值随的增大而增大， ∵点，都在第四象限，且， ∴． 【变式3-2】（2026·河南周口·二模）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴函数图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵点的横坐标小于0， ∴点在第二象限， ∴； ∵点，的横坐标都大于0， ∴点B，C都在第四象限， ∵， ∴， ∴． 【变式3-3】（24-25九年级下·天津·期中）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：反比例函数，， 反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， 点、、都在反比例函数的图象上， 、在第二象限内，在第四象限内， ，，， ， ， 故选：C． 【题型4 依据函数图像位置求系数k的范围】 【例4】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）若反比例函数的图象经过第一、三象限，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与其系数之间的关系，在反比例函数中，当时，反比例函数的图象经过一、三象限，当时，反比例函数的图象经过二、四象限，据此列式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴， 故选：B． 【变式4-1】（25-25九年级上·山东济宁·期末）若函数的图象在第一、三象限内，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数的性质，当图像在第一、三象限内，则，根据这个性质即可解出答案． 【变式4-2】（25-26九年级上·云南红河·期末）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象与其系数的关系，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限；当时，图象在二、四象限，据此求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴， 故选：C． 【题型5 反比例函数性质综合】 【例5】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知反比例函数，下列说法错误的是（   ） A．该函数图象经过点 B．函数值y随x的增大而减小 C．该函数图象与坐标轴没有交点 D．该函数图象位于一、三象限 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象经过的象限，反比例函数的增减性，求反比例函数的函数值 ，求出时的函数值可判断A；根据函数解析式可判断该函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，函数值y随x的增大而减小，据此可判断B、D；根据反比例函数的性质可判断C． 【详解】解：A、当时，，则该函数图象经过点，原说法正确，不符合题意； B、在中，，则该函数的图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，函数值y随x的增大而减小，原说法错误，符合题意； C、该函数图象与坐标轴没有交点，原说法正确，不符合题意； D、该函数图象位于一、三象限，原说法正确，不符合题意； 故选：B ． 【变式5-1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）关于反比例函数的描述错误的是（    ） A．图象必经过点 B．图象位于第二、第四象限 C．当时， D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：∵反比例函数， ∴当时，，即该函数图象过点，故选项A正确，不符合题意； 该函数图象在第二、四象限，故选项B正确，不符合题意； 当时，，故选项C错误，符合题意； 当时，y随x的增大而增大，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【变式5-2】（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）下列关于反比例函数，说法不正确的是（　　） A．点、均在其图像上 B．当时，的范围是 C．双曲线分布在二、四象限 D．该函数图像上有两点A、B，若，则 【答案】D 【分析】A选项，把点的坐标代入验算即可判断正确；B选项，当时，函数图像在第四象限，随的增大而增大，当时，当时的取值范围是，可判断正确；C选项根据中的值可判断双曲线所在象限在二、四象限；D选项，没有说明在第几象限内，不能确定时，可判断不正确． 【详解】解：A选项，当时，；当时，，故该选项正确，不符合题意； B选项，当时，函数图像在第四象限，随的增大而增大，当时，当时的取值范围是，故该选项正确，不符合题意； C选项，， 双曲线分布在第二、四象限，故该选项正确，不符合题意； D选项，没有说明在第几象限内，如果，但是，故该选项错误，符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查反比例函数的性质，在描述反比例函数的增减性时候，必须说明在第几象限内，否则就是错误的． 【变式5-3】（25-26九年级上·广东揭阳·期末）已知反比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．图像经过点 B．图像在第二、四象限 C．当时， D．当时，随着的增大而增大 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质逐项分析即可． 【详解】解：A、将代入反比例函数，可得，所以图像经过点，该选项结论正确，不符合题意； B、因为，所以图像在第二、四象限，该选项结论正确，不符合题意； C、当时，图像在第四象限内随着的增大而增大，当时，，该选项结论错误，符合题意； D、当时，图像在第二象限内随着的增大而增大，该选项结论正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，解题关键是正确掌握函数的增减性、值与图像所在象限的关系． 【题型6 系数k的求解：依据图形面积】 【例6.1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，点为坐标原点，点在轴正半轴上，点在双曲线上，且，若的面积为12，则的值为（   ） A．24 B．12 C．6 D．3 【答案】C 【分析】作轴于M，根据，易得点是中点，由的面积为12，求出的面积为，进而求出的面积为，再根据，即可解答． 【详解】解：如图，作轴于M， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴点是中点， ∵的面积为12， ∴的面积为， ∴的面积为， ∵点在双曲线上， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的几何意义、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 【变式6.1-1】（2025·山东枣庄·三模）如图，在中，，边经过原点，轴，双曲线经过、两点．若，则的值为（    ）    A． B．1 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 如图，作于，由，可得，由的几何意义可得 ，，即，计算求解即可． 【详解】解：如图，作于，    ∵， ∴， 由的几何意义可得 ，， ∵， ∴， 解得，， 故选：D． 【变式6.1-2】（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，CD⊥x轴，垂足为D，CO，CD分别交双曲线y＝于点A，B，若OA＝AC，△OCB的面积为6，则k的值为（　　）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】设A（m，n），根据题意则C（2m，2n），根据系数k的几何意义，k=mn，△BOD面积为k，即可得到S△ODC=•2m•2n=2mn=2k，即可得到6+k=2k，解得k=4． 【详解】设A（m，n）， ∵CD⊥x轴，垂足为D，OA＝AC， ∴C（2m，2n）， ∵点A，B在双曲线y＝上， ∴k＝mn， ∴S△ODC＝×2m×2n＝2mn＝2k， ∵△OCB的面积为6，△BOD面积为k， ∴6+k＝2k，解得k＝4， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|． 【例6.2】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知点为反比例函数图象上一点，轴于点为轴上任一点，若的面积为5，则的值为_____． 【答案】10 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值是解题的关键． 如图，连接，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值即可． 【详解】解：如图，连接， ∵轴 ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵由图像可知， ∴． 故答案为：10． 【变式6.2-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，点A是反比例函数（）图象上的一点，过点A作轴于点B，点C是x轴上的一点，连接，若的面积为3，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，解题的关键在于能够熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义．连接，得到轴，则，由此即可得到答案． 【详解】解：连接， 轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵点A在第二象限， ∴， 故答案为：． 【变式6.2-2】（25-63九年级上·广西北海·期中）如图，点A是反比例函数的图象上的一点过点A作轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接，，若的面积为5，则k的值是_____． 【答案】 【分析】连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：连接，如图， ∵轴， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 【变式6.2-3】（25-61八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图像上，过点作轴于点，点在轴上，连接、．若的面积为，则的值为________________． 【答案】 【分析】点在函数的图像上，设，过点作轴于点，可求出的长，点在轴上，可知，点到线段的长，根据三角形的面积即可求解． 【详解】解：∵点在函数的图像上， ∴设， ∵过点作轴于点，点在轴上， ∴，点到线段的长为， ∵的面积为， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数与三角形的综合，掌握反比例函数图像的性质，三角形的面积计算方法是解题的关键． 【题型7 系数k的求解：依据双曲线上两点与原点围成的三角形面积求k】 【例7】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，点在反比例函数的函数图象上，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为．连接．若，面积为9，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．过点A作轴，垂足为E，先求出，，再结合，求得，由此列方程求解即可． 【详解】解：过点A作轴，垂足为E， ， ， 令，则， 解得， 令，则， 解得， ，， ，，， ， 由题意得， 则， ， 解得． 故答案为：． 【变式7-1】（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，点A，C为函数图象上的两点，过A，C分别作轴，轴，垂足分别为B，D，连接，，，线段交于点E，且点E恰好为的中点，当的面积为6时，k的值为________．    【答案】 【分析】根据三角形的中线的性质求出的面积，根据相似三角形的性质求出，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可． 【详解】解：∵点E为的中点， ∴的面积的面积， ∵点A，C为函数图象上的两点， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 则， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【变式7-2】（2026·江苏宿迁·三模）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是________． 【答案】 【分析】延长，交于点，设，则，把、、的面积用含的代数式表示出来，根据列方程求出的值． 【详解】解：如下图所示，延长，交于点， 设，则， 轴，轴， 点的纵坐标为，点的纵坐标为， ，， ，， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， 得：， ． 【题型8 系数k的求解：依据点坐标求k】 【例8】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，为等腰直角三角形．直角顶点A的坐标为，点B在反比例函数的图象上，则k的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质的运用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．过A作轴于C，过B作于D，证明，根据全等三角形的性质，可以得到点B的坐标，由点B在反比例函数的图象上，从而可以得到k的值． 【详解】解：如图，过A作轴于C，过B作于D，则， ∵顶点A的坐标为， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为：． 【变式8-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知直角三角形中，，将绕点点旋转至的位置，且在的中点，在反比例函数上，则的值为________________． 【答案】 【分析】连接，作轴于点，根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质得出是等边三角形，从而得出，即可得出，解直角三角形求得的坐标，进一步求得． 【详解】解：连接，作轴于点， 由题意知，是中点，，， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， 在反比例函数上， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式8-2】（2024·山西运城·一模）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点O为直角三角形的一个顶点，在x轴上，，，，将绕点A逆时针旋转90°，旋转后的斜边的中点C恰好落在反比例函数的图象上，则k的值为______． 【答案】 【分析】根据题意和旋转的性质，可以得到点的坐标，再求解中点的坐标，把点坐标代入反比例函数中，即可求出k的值． 【详解】解：∵在x轴上，，，， ∴，设，则， ∴， 解得：（负根舍去），， ∴点A的坐标为， ∵将绕点A逆时针旋转90°， ∴，，且轴 ∴点的坐标为， ∵为的中点， ∴， ∵点恰好落在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为15． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化-旋转，勾股定理的应用，解直角三角形的应用，二次根式的乘法运算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式8-3】（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，为等腰直角三角形，，，若反比例函数的图象经过的中点，则_____．    【答案】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，中点坐标，求反比例函数的解析式；先根据等腰直角三角形的到点B的坐标，然后根据中点坐标公式得到点C的坐标，代入反比例函数解析式即可求出k值解题． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，， ∴点的坐标为， ∴的中点C的坐标为， 又∵反比例函数的图象经过， ∴， 故答案为：． 【题型9 系数k的求解：依据两条双曲线求k】 【例9】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，平行于x轴的直线与函数，的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若的面积为3．则k的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，根据三角形的面积求参数，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质． 假设点的纵坐标为，则点的纵坐标也为，表示出两点的横坐标，然后根据三角形的面积列出方程求参数即可． 【详解】解：假设点的纵坐标为，则点的纵坐标也为， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 【变式9-1】（24-25八年级下·山西长治·期中）如图，平行于轴的直线与函数，的图象分别相交于，两点，点在点的右侧，为轴上的一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数系数的几何意义、图象上点的特点，求解函数问题的关键是要确定相应点坐标，通过设、两点坐标，表示出相应线段长度． 根据反比例函数图象上点的坐标特征分别设出设点、点的坐标，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：平行于轴的直线与函数，的图象分别相交于，两点， 轴， 设， ， ， 故选：A． 【变式9-2】（25-26九年级上·河南濮阳·期末）如图所示，是反比例函数y＝与y＝在x轴上方的图象，点C是y轴正半轴上的一点，过点C作AB∥x轴分别交这两个图象于A点和B点，若点P在x轴上运动，则△ABP的面积等于（　　）    A．5 B．4 C．10 D．20 【答案】A 【分析】设点A（a，），则点B坐标（﹣ ，），从而求得三角形的面积. 【详解】设点A（a，） ∵AB∥x轴 ∴点B纵坐标为，且点B在反比例函数y= 图象上， ∴点B坐标（﹣ ，） ∴S△ABP=（a+）×=5 故选A． 【点睛】考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是设点A（a，），利用字母a表示AB的长度和线段AB上的高． 【变式9-3】（25-26八年级下·河南南阳·期中）如图，平行于y轴的直线l分别与反比例函数（x＞0）和（x＞0）的图象交于M、N两点，点P是y轴上一动点，若△PMN的面积为2，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由题意易得点M到y轴的距离即为△PMN以MN为底的高，点M、N的横坐标相等，设点，则有，进而根据三角形面积公式可求解． 【详解】解：由平行于y轴的直线l分别与反比例函数（x＞0）和（x＞0）的图象交于M、N两点，可得：点M到y轴的距离即为△PMN以MN为底的高，点M、N的横坐标相等， 设点， ∴， ∵△PMN的面积为2， ∴， 解得：； 故选B． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数与几何的综合是解题的关键． 【题型10 函数图像共存问题】 【例10】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图是抛物线（，，是常数且）的图象，则双曲线和直线在同一坐标系中的位置可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，由抛物线图象可得，当时，，即，即可判断反比例函数的图象；由抛物线图象可知，则；又抛物线与轴交于负半轴，则，即可判断一次函数的图象，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：根据抛物线图象可得，当时，，即，故双曲线分别位于第二、四象限； 由抛物线图象可知，，则， ∵抛物线与轴交于负半轴，则， ∴直线经过第二、三、四象限，故选项A符合题意． 故选：A． 【变式10-1】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段检测）二次函数（是常数）的图象如图，则双曲线和直线的位置可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象与性质，由二次函数的图象可得，，，据此判断一次函数和反比例函数的图象即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，与轴交点在负半轴，对称轴在轴左边， ∴，，， ∴， ∴直线过一、二、四象限， 当时， ∴双曲线过二、四象限， ∴双曲线和直线的位置都符合条件的只有D选项， 故选：D． 【变式10-2】（2024·安徽淮北·二模）如图，关于的二次函数是常数且的图象如图，则双曲线和直线在同一坐标系中大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与x轴交点，一次函数的图象及反比例函数的图象，根据二次函数图象及，可得，，进而得到，，再根据一次函数的定义及反比例函数的定义即可判断函数图象． 【详解】解：根据题意得：，， ，， 双曲线过二、四象限，直线过二、三、四象限， 只有D选项符合题意， 故选：D． 【变式10-3】（2025·湖南张家界·中考真题）若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一个坐标系内的大致图象为（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】先根据抛物线的开口方向确定a＜0，对称轴可确定b的正负，与y轴的交点可知c＞0，然后逐项排查即可． 【详解】解：∵抛物线开口方向向下 ∴a＜0， ∵抛物线对称轴 ∴b＞0 ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴 ∴c＞0 ∴的图像过二、一、四象限，的图象在二、四象限 ∴D选项满足题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的特征、一次函数、反比例函数的图象，牢记各种函数图象的特点成为解答本题的关键． 【题型11 双曲线中的最值问题】 【例11】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，矩形的边，点是边上的一个动点（不与点重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．当四边形的面积最大时，的长度为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与图形的综合，掌握矩形的性质，图形面积与反比例函数系数的关系是关键． 根据题意点的纵坐标为，点的横坐标为，则，，由代入计算得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∴， 过点的反比例函数的图象与边交于点， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， 当时 ，四边形的面积最大，最大值为， ∴， 故答案为： ． 【变式11-1】（25-26九年级·广西·阶段检测）如图，在矩形OABC中，，，F是BC边的一个动点（F不与B，C重合）．过点F的反比例函数的图象与AB边交于点E，使的面积最大的k的值是________． 【答案】4 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征表示出E，F两点的坐标，再利用三角形的面积公式表示出△EFC的面积，得到关于k的二次函数，然后利用二次函数的性质求出最值即可． 【详解】解：由题意知E，F两点坐标分别为E（2，），F（，4）， ∴S△EFC＝， ∵F是BC边的一个动点（F不与B，C重合）， ∴0＜＜2，解得0＜k＜8， ∴当k＝4时，S△EFC有最大值，此时S最大值为1， 故答案为4． 【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形性质，矩形的性质以及二次函数的性质，用含k的代数式表示出△EFC的面积是解题的关键． 【变式11-2】（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形边在y轴上，在x轴上，且点B坐标为，反比例函数的图象与，交于D，E两点，的面积为8，点P为y轴上一点，当取得最小值时，点P的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、轴对称-最短线路，熟练掌握以上知识点是关键． 利用求出反比例函数k值，继而得到，，再利用轴对称-最短路径求出点P坐标即可． 【详解】解：作轴， ∵点D、E都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴，， 找到点D关于y轴的对称点，则，连接交y轴于点P，此时，取得最小值， 设直线的解析式为，由条件可得：， 解得， ∴直线的解析式为， ∴． 故答案为：． 【变式11-3】（25-26九年级上·四川达州·期末）如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象与AB相交于点D．与BC相交于点E，且BD＝3，AD＝6，△ODE的面积为15，若动点P在x轴上，则PD+PE的最小值是_____． 【答案】． 【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，求得B和E的坐标，然后E点关于x的对称得E′，则E′（9，﹣4），连接DE′，交x轴于P，此时，PD+PE＝PD+PE′＝DE′最小，利用勾股定理即可求得E点关于x的对称得E′，则E′（9，﹣4），连接DE′，交x轴于P，此时，PD+PE＝PD+PE′＝DE′最小． 【详解】解：∵四边形OCBA是矩形， ∴AB＝OC，OA＝BC， ∵BD＝3，AD＝6， ∴AB＝9， 设B点的坐标为（9，b）， ∴D（6，b）， ∵D、E在反比例函数的图象上， ∴6b＝k， ∴E（9，b）， ∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝9b﹣k﹣k﹣•3•（b﹣b）＝15， ∴9b﹣6b﹣b＝15， 解得：b＝6， ∴D（6，6），E（9，4）， 作E点关于x的对称得E′，则E′（9，﹣4），连接DE′，交x轴于P，此时，PD+PE＝PD+PE′＝DE′最小， ∵AB＝9，BE′＝6+4＝10， ∴DE′＝＝， 故答案为． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式，本题属于中等题型． 【题型12 反比例函数与不等式】 【例12】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式，函数的图象的应用，主要考查学生的计算能力和观察图象的能力，用了数形结合思想． （1）根据题意先将点A代入一次函数求得m的值，再将点A代入反比例函数即可求得解析式； （2）先求出一次函数与反比例函数在第三象限交点的横坐标，结合图象可判断出x的解集． 【详解】（1）解：在一次函数的图象上， ， 解得， 为， 将点代入，得， 反比例函数的解析式为． （2）解：当， 解得，， 经检验，是方程的根， 所以一次函数与反比例函数在第三象限交点的横坐标为， 观察函数图象，发现： 当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， 不等式的解集为或． 【变式12-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，二次函数的顶点坐标为，与轴交于，与反比例函数的图象交点横坐标为． (1)求二次函数和反比例函数解析式； (2)根据图象：直接写出的解集． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查二次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）设二次函数的解析式为，将点代入计算即可求解出二次函数的解析式，设反比例函数的解析式为，再求出二次函数与反比例函数的图象交点坐标，代入反比例函数解析式即可求解； （2）根据二次函数与反比例函数的图象交点坐标，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，将点代入，则， 解得， ∴二次函数的解析式为； 设反比例函数的解析式为， ∵二次函数与反比例函数的图象交点横坐标为， 将代入，则， ∴二次函数与反比例函数的图象交点的坐标为， 将代入，则， 解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：由（1）知二次函数与反比例函数的图象交点的坐标为， 当或时，反比例函数图象在二次函数图象上方， ∴的解集为或． 【变式12-2】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，一次函数（m，n为常数，）的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的关系式． (2)结合图象，请直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数综合，利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线与反比例函数的交点坐标，再结合函数图象找到一次函数的图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入反比例函数解析式中得， 解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：联立，解得或， ∴直线与反比例函数交于点和点， 由函数图象可知，不等式的解集为或， ∴不等式的解集为或． 【变式12-3】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与反比例函数（）的图象交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A点的纵坐标为6． (1)求k的值及B点坐标； (2)观察图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，B点坐标为； (2)或． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题． （1）把代入求出，把代入得到，联立两解析式得到B点横坐标为6，即可求出B点坐标； （2）根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：把代入得， 即 把代入得 解得， 由 解得 当时 ∴B点坐标为 （2）解：由图可知不等式的解集为或． 【变式12-4】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，直线y＝ax+b与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，2），点B的横坐标为﹣2． （1）求出一次函数和反比例函数的关系式； （2）当x＜0时，根据图象写出反比例函数大于一次函数的x的取值范围． 【答案】（1）一次函数的解析式为y＝x+3，反比例函数解析式为y＝﹣；（2）x＜﹣2或﹣1＜x＜0 【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数解析式，由点B的横坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出点B的坐标，再根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可得出反比例函数大于一次函数的x的取值范围． 【详解】解：（1）∵点A（﹣1，2）在反比例函数（x＜0）的图象上， ∴k＝﹣1×2＝﹣2， ∴反比例函数解析式为y＝﹣． ∵点B在反比例函数的图象上，且点B的横坐标为﹣2， ∴点B的坐标为（﹣2，1）． 将A（﹣1，2）、B（﹣2，1）代入y＝ax+b得， 解得：， ∴一次函数的解析式为y＝x+3． （2）观察函数图象可知：反比例函数大于一次函数的x的取值范围为x＜﹣2或﹣1＜x＜0． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据函数图象的上下位置关系找出不等式的解集． 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $