专题03 相似三角形重要模型之手拉手模型（几何模型讲义）数学新教材沪科版九年级上册

该初中数学讲义以相似三角形手拉手模型为核心，通过思维导图系统梳理知识体系，从模型来源（旋转相似变换）、知识储备（SAS判定、全等手拉手等）到核心结论（相似、边比、夹角、面积）层层递进，并用对比表格区分全等与相似手拉手的异同，清晰呈现“共顶点、等夹角、边成比例→SAS相似”的推导逻辑，突出旋转相似的本质与重难点。 讲义亮点在于“模型-典例-拓展”的三阶练习设计，如典例5通过旋转等腰直角三角形，从观察猜想到拓展应用，引导学生用8字模型推导夹角结论，培养推理意识与几何直观。易错总结针对性指出相似比顺序、夹角记忆等问题，配合“共顶点，等顶角，边成比例”口诀，基础学生可掌握判定方法，优秀学生能突破压轴题，助力教师实施分层教学，提升复习效率。

专题03 相似三角形重要模型之手拉手模型 手拉手模型是旋转相似的经典代表，由全等三角形的手拉手模型拓展而来，将“等线段”替换为“成比例线段”，即可得到相似手拉手。该模型共顶点、等夹角、边成比例，通过SAS判定相似，衍生出边成比例、夹角等于旋转角等一系列结论，是九年级相似综合题、几何压轴题的高频考点。本专题就相似手拉手模型进行系统梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 命题趋势：弱化基础全等手拉手，强化旋转相似的综合应用，多以“等边/等直/正方形手拉手相似、多结论辨析、旋转综合”形式出题，常与旋转、坐标系、函数结合考查压轴题。 推导逻辑：共顶点+两边成比例+夹角相等→SAS相似→对应边成比例、夹角等于旋转角，拒绝零散记忆结论。 核心素养目标： 1.掌握相似手拉手模型的判定与核心结论，能快速识别模型； 2.理解旋转相似的本质，能推导对应边夹角、面积比等拓展结论； 3.培养旋转转化、动态分析的几何思维，提升综合解题能力。 【模型来源】 1 【知识储备】 2 【例讲模型】 2 模型1.手拉手模型（相似模型） 2 模型拓展 17 【易错总结】 17 【模型运用】 18 模型源于旋转相似变换：两个具有公共顶点的三角形，对应边成比例且顶角相等，将其中一个绕公共顶点旋转一定角度后，可与另一个三角形形成SAS相似。因两个三角形像“手拉手”一样共顶点连接而得名。 全等手拉手是相似比为1:1的特殊情况，相似手拉手是其一般化形式，常见类型有等边三角形手拉手、等腰直角手拉手、任意等腰三角形手拉手、正方形手拉手等。 学习本专题前，需熟练掌握以下前置知识： 1. 相似三角形SAS判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； 2. 全等手拉手模型：全等是相似比为1的特殊相似； 3. 8字倒角模型：对顶三角形角度和相等； 4. 旋转的性质：旋转前后对应边成比例、对应角相等，旋转角相等； 5. 相似三角形性质：对应边成比例、面积比等于相似比的平方。 模型1.手拉手模型（相似模型） 【模型提炼与证明】 “手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 手拉手模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；3）图形是任意三角形（只要这两个三角形是相似的）。 1）手拉手相似模型（任意三角形） 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 四大核心结论： ①相似结论：拉手线构成的三角形相似； ②边比结论：拉手线之比等于原三角形对应边之比； ③夹角结论：BD与CE的夹角=顶角∠BAC（用8字模型可证）； ④面积结论：△ABD与△ACE的面积比=相似比的平方。 2）手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 3）手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形） 条件:M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 证明：∵M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点，∴，∠BMC=∠EMF=90°， ∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴， 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；. 证明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE， ∴，∠ACE=∠ABD=90° 【模型运用】 【典例1】(25-26九上·同步练习)如图，把绕点A旋转得到，当点D刚好落在上时，连接．设相交于点F，则图中相似三角形的对数是（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据旋转的性质得到，，利用三角形内角和得到，则可判断；根据相似的性质得，而，则可判断；由于，所以，于是可判断． 【详解】解：∵把绕点旋转得到， ， ， ． ， 故题图中共有对相似三角形． 故选：B． 【典例2】(25-26九上·广东广州执信中学·月考)如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，点的对应点分别为点、，连接，若，则（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线构造相似三角形，灵活运用旋转的性质． 利用勾股定理计算出的长，再根据旋转的性质得到，，， 从而根据两条边对应成比例，且这两条边的夹角对应相等，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可得解． 【详解】解：四边形为矩形， ， ∵在中，，， ， 将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，点，的对应点分别为点、， ，，， ， ， ． 故选：C． 【典例3】如图，在四边形中，，，，，将绕点顺时针方向旋转后得，当恰好经过点时，为等腰三角形，若，则（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由旋转的性质和为等腰三角形可得，为等腰直角三角形，则，使用勾股定理计算出．容易证明，则，代入数值计算即可． 【详解】解： 由旋转的性质可得，，，，， ∵为等腰三角形，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 在直角中，， ∴， 在直角中，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 【典例4】(25-26九上·山东德州宁津县·期末)如图，矩形和矩形，矩形绕点旋转，给出下列结论：①；②；③当时；④，其中正确的结论的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.通过证明 ，由相似三角形的性质可求，可以判断①错误；由相似三角形的性质可得，由余角的性质可证，可以判断②正确； 由勾股定理可求. ，可以判断④错误； 分别求出、即可判断③，即可求解. 【详解】解：∵矩形和矩形，，， ， ， ， ， ，故①错误； 如图: 设与交于点， ， ， 又 ， ， ，故②正确； 如图，连接， ， ，， ， ，，， ， ，故④错误； 如图，过点作 于， 于， ， ∴四边形APGN是矩形， ， ， ， ， ， ，故③正确； 综上所述：正确的结论是②③. 故选A 【典例5】如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据，，，可得、均为等边三角形，可证明，即可得到的值； （2）根据，，，可得、均为等腰直角三角形，可证明，即可得到的值； （3）根据，D为AB的中点，，可以得到及的长度，根据，可得及的长度，利用勾股定理即可确定的长度，根据图5可得即可确定的长度； 【详解】（1）解：∵，，， ∴、均为等边三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即： 故答案为： （2）∵，，， ∴、均为等腰直角三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ 即： （3）∵，D为AB的中点，， ∴，， ∵，与交于点， ∴， 在中， ， ∴如图5所示， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握旋转全等及相似模型是重点． 【典例6】(25-26九下·黑龙江齐齐哈尔龙江县多校联考·一模)综合与实践 【问题呈现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则 【拓展提升】 （3）如图3，，，连接，，若． ①求的值； ②延长交于点，则 ． 【答案】 （1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）；（3）①，②． 【分析】（1）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； （2）利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （3）①利用勾股定理求得，利用相似三角形的性质和相似三角形的判定解答即可； ②利用相似三角形的性质，对顶角相等的性质和三角形的内角和定理得到，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）①∵，， ∴设，则， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． ②设，交于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【典例7】【问题情境】 如图1，正方形和正方形按如图所示位置放置，我们通过观察可以得到，与的夹角为； 将正方形绕点旋转，如图2，连接．我们利用旋转的性质，通过证明，仍然可以得到，与的夹角为． 【变式思考】 如图3，将正方形绕点旋转，连接． （1）用等式表示线段与之间的数量关系为______，直线与的夹角为______； （2）按照图3的旋转位置，证明（1）所得出的结论； 【拓展运用】 （3）在图2的基础上，若，连接，在正方形绕点旋转一周的过程中，请直接写出的最小值是______． 【答案】（1），； （2）证明：如图，连接，延长交于点， 四边形和四边形为正方形， 为等腰直角三角形， ，, ，即， ， , ， , ， 直线与的夹角为； （3） 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，点到圆的距离的最值，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，延长交于点，证明，即可得到线段与之间的数量关系；再利用相似三角形的性质，进行角度的转换可得直线与的夹角； （2）连接，延长交于点，证明，即可得到线段与之间的数量关系；再利用相似三角形的性质，进行角度的转换可得直线与的夹角； （3）根据当三点共线，且点在线段上时，最小，即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接，延长交于点， 四边形和四边形为正方形， 为等腰直角三角形， ，, ，即， ， , ， , ， 直线与的夹角为， 故答案为：；； （2）略； （3）， ，， 正方形绕点旋转一周， 当三点共线，且点在线段上时，最小， 此时， 故答案为：． 【典例8】(25-26九·河北保定易县·期末)综合与实践 【问题背景】 借助平行于三角形一边与其他两边相交的线段可构造一组相似三角形，若将它绕公共顶点旋转，对应点连线的长度存在特殊数量关系． 如图1，，，，过点D作交于点E． 【初步尝试】 （1）将绕点A按逆时针方向旋转至如图2所示的位置时，连接，，求证：． 【探索应用】 （2）若将旋转至如图3所示的位置，B，D，E三点在同一条直线上，求此时线段的长． 【答案】（1）证明：图1中，∵，， ∴， ∴． ∴． 图2中，由旋转可得， ∴， ∴． （2） 【分析】（1）首先证明出，得到，然后证明出，即可得到； （2）利用勾股定理求出，求出，由得到，求出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴， ∴． ∵图1中， ∴，． ∵， ∴． 由（1）知，， ∵． ∵． ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 模型拓展 1.手拉手相似可拓展到任意共顶点的相似图形，如正n边形手拉手； 2.是旋转综合题的核心模型，动点旋转问题优先考虑手拉手相似； 3.可结合坐标系、三角函数考查综合计算，是中考压轴的高频载体。 模型常见易错点 1. 易错点：相似三角形对应顶点顺序错误，相似比搞反 错因分析：未按“对应边夹对应角”的原则找相似。 避坑指南：旋转后重合的顶点为对应顶点，严格按顺序书写相似。 2. 易错点：夹角结论记错，误以为等于底角 错因分析：死记结论，不会用8字模型推导。 避坑指南：遇到夹角问题，用8字倒角模型现场推导，无需死记。 3. 易错点：全等与相似混淆，所有手拉手都认为是全等 错因分析：思维停留在八年级全等阶段，忽略边长不等的情况。 避坑指南：边相等则全等，边成比例则相似，先判断边的关系。 模型小结 1. 核心口诀：共顶点，等顶角，边成比例，拉手相似；边成比，角相等，夹角等于原顶角； 2. 解题步骤：找共顶点等腰 → 定旋转角 → 证SAS相似 → 用结论解题； 3. 夹角必用8字模型推导，面积必用相似比平方； 4. 旋转问题优先想手拉手，化动为静，转化相似。 1．(2024·内蒙古自治区赤峰市·中考)如图，中，，．将绕点A顺时针旋转得到，点与点B是对应点，点与点C是对应点．若点恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是；②；③；④．其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理．根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求得各角的度数，再逐一判断各项，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， 由旋转的性质得，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ①点B在旋转过程中经过的路径长是；①说法正确； ②∵，∴；②说法正确； ③∵， ∴， ∴；③说法正确； ④∵，， ∴， ∴．④说法正确； 综上，①②③④都是正确的， 故选：A． 2．(24-25九下·安徽安庆太湖县望天学校·月考)如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．连接．    （1）__________． （2）设直线交于点，连接，若，则在旋转过程中，线段的最大值是__________． 【答案】 / 2 【分析】（1）由旋转可知：，可证，即得； （2）取的中点，连接，设，交于点，由（1）知，得，可得，由H是的中点，有，当点共线时，最大．最大为． 【详解】（1）由旋转可知，， ， ， ， ． 故答案为：． （2）如图，取的中点，连接，设，交于点．    由（1）知， ． ， ． 是的中点， ． ， 当点共线时，最大．最大为． 故答案为：2. 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 3．在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度，记为，如果是顺时针旋转一个角度，则记为负值，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，叫做旋转角． (1)填空： ①如图1，将以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为A（_____，_____）； ②如图2，是边长为的等边三角形，，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为__________． (2)如图3，经过得到，又将经过得到，连接，求证：． 【答案】(1)①，；② (2)证明：∵经过得到， ∴． ∴，； ∵经过得到， ∴． ∴ ∴； ∵， ∴即， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 【分析】（1）①直接根据定义作答即可；②根据旋转相似变换，得到，再通过勾股定理解答即可； （2）根据经过得到，得到，得到，；根据经过得到，得到，得到从而得到；由得即结合得到得到，继而得到得到． 【详解】（1）解：①根据新定义的意义，得答案为； ②根据旋转相似变换，得到，， 是边长为的等边三角形， ，， ． （2）略 4．(2026九·湖北省黄石市·)如图，中，，将绕点逆时针旋转到，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若与相交于点，求证：点是的中点； (3)如图3，当，时，探究与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)证明：∵将绕点A旋转得到， ∴，，． ∴，． ∴． (2)证明：过点D作于点M，过点B作，交的延长线于点N， 由旋转的性质可知，， ， ，，， ， 又∵ ， ， ，， ， ， 即点是线段的中点． (3)解：结论：， 理由：延长、交于点，过点作，垂足为， 设，由可得， ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∵，， ∴，，， 由（2）得， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴ ∴，即． 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，，即可得出，，根据相似三角形的判定定理即可证明． （2）过点D作于点M，过点B作，交的延长线于点N，构造K字形全等，得，由全等三角形的性质得到，进而证明即可得出． （3）延长、交于点，过点作，垂足为，设，则，可求，，根据中点+平行线模型可得，可得，，由勾股定理可得，进而求出，利用可得，由此求出，根据，求出，由此得出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 5．(2026·湖南省湘潭市·模拟)综合探究 (1)【问题发现】 如图1，已知点为正方形对角线上一动点（不与点、重合），连接，将线段绕点顺时针旋转90°到处，连接．请写出与的数量关系，并给出证明过程． (2)【类比探究】 如图2，在矩形中，，点为对角线上一动点（不与点、重合）．在中，，，连接．请探究此时与的数量关系，并给出探究过程． (3)【拓展延伸】 如图3，在矩形中，，点为射线上一动点，点为的外接圆的圆心，连接，，若，则当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)解： ， 证明如下： 将绕点顺时针旋转90°到处， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， (2)， 理由如下： 四边形是矩形， ， ， ， 同理在中，， ， ， ， ， 即， ， ，即 (3)的长为或 【分析】（1）①先根据旋转的性质得出，，再根据正方形的性质得出，，接着证明，从而可得； （2）先根据矩形的性质得出，再利用正切求得，，从而可得，再证明，从而可得，根据相似三角形的性质列出比例式，由此可得； （3）分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时．根据可得，再解三角形即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）的长为或 解：方法一 在中，，， ， 当点在线段上时， ， 在中，， 过点作， 在中，，， ，， 在中，， ， ； 当点在线段的延长线上时： ， 在中，， 过点作， 同理，在中，，， 在中，， ． 综上所述，的长为或． 方法二： 在中，，， ， 连接并延长交于点，连接， 在中，为直径 ，，且， 又， ，， 由（2）得， 设，则，， ，， ， 或， 或． 6．(2026九·辽宁省丹东市)如图，在Rt中，，，于点，点是直线上一动点，连接，过点作，交直线于点． (1)如图1，若，点在线段上，求出的值，并写出证明过程； (2)①如图2，若点在线段上，则___________（用含，的代数式表示）； ②当点E在直线上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； (3)若，，请直接写出的长． 【答案】(1)1； (2)①；②； (3)或 【分析】（1）先用等量代换判断出，，得到，再判断出即可； （2）方法和（1）一样，先用等量代换判断出，，得到，再判断出即可； （3）由（2）的结论得出，判断出，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可． 【详解】（1）解：当时，即：， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， （2）， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， 成立如图3， ， ， 又， ， ， ， ， 即， ， ， ，， ， ， ． （3）由（2）有，， 又∵，， ， ∴，， ， ， 如图4图5图6，连接． 如图4，当E在线段上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ，或舍 如图5，当E在延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ， ，或舍， ③如图6，当E在延长线上时， 在中，，， 根据勾股定理得，， ， ，或（舍）， 综上：或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点． 7．综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）；； （2）①证明：如图②，过点作，垂足为， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由旋转可知：是等腰直角三角形， 同理（1）可得：；； 设，， 则，，， ∴， ∴， ② 【分析】本题考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、直角三角形的性质，勾股定理，以及旋转的性质等知识点． （1）证明，根据相似三角形的性质可得，； （2）同理（1）可得可求，，由此求出； （3）分当在内时，当在外时， 两种情况，结合（1）的结论，利用直角三角形性质和勾股定理解三角形即可求解． 【详解】解：（1）；； ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：；； （2）①略 ②当在内时，如图③-1，过点作，垂足为， 同理可得：，；； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 当在内时，如图③-2， 同理可求：，， ∴ 综上所述：长为 8．(2026·安徽省安庆市潜山市·模拟)如图1，在中，，与边分别交于点D、E，连接，点F、G、H分别是的中点，分别连接． (1)观察、猜想 观察图1，猜想 ， (2)探究、说理 把绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由 (3)拓展、思考 在所在的平面内，把绕点C自由旋转，当时，直接写出线段的长度的取值范围 【答案】(1)，90 (2)（1）中的结论还成立，理由如下： 证明：如图2， 在中，， ∴， 在中，∴， ∴ 又， ∴ ∴ ∴ ∵是的中位线， ∴． 同理可得， ∴ ∵是的中位线， ∴， ∴ ∵， 由于，有， 由得： ∴； (3) 【分析】（1）由平行得，则，由平行得到，则，由三角形中位线定理得到，故，，再根据平行导角即可； （2）由角正切得到，证明，则，由三角形中位线得到，，再根据平行和相似三角形的性质导角即可； （3）由题意可知，，则，由于是的中位线，则，继而可求取值范围． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵点F、G、H分别是的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴, 故答案为：，90； （2）略 （3）解：由题意可知，， ∴，即 ∴绕点C旋转时，当D点落在边上时，AD最小值为6；当点D落在延长线上时，最大值为14， ∵是的中位线，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，难度较大，综合性强，熟练掌握知识点和基本图形是解题的关键． 9．某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）根据已知条件利用边角边证明，再利用全等三角形的性质即可得到和的数量关系； （2）根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边长比例且夹角相等的判定定理证明，之后再由相似三角形对应边成比例即可得到和的数量关系； （3）连接，先由正方形的性质判断出和都是等腰直角三角形，再利用与第二问同样的方法证出，由对应边成比例，依据相似比求出线段的长，接着设正方形的边长为x，运用勾股定理列出方程即可求得答案． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， 在中，，， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：结论：， 理由如下：∵是等腰直角三角形，中，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，如图所示， ∵四边形与四边形是正方形，与交于点， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，，设，则， 又∵正方形的边长为， ∴， ∴， 解得（舍去），． ∴正方形的边长为6． 【点睛】本题是一道几何综合题，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性质，以及正方形和等腰三角形的性质，正确识图并能熟练地掌握几何图形的性质与判定定理进行证明是解题的关键． 10.(25-26九上·江西南昌第十九中学·数学模拟)定义：如图2，与有公共顶点，且，我们称这两个三角形互为“旋转相似图形”． (1)知识理解：①如图1，若，都是等边三角形，则___________的“旋转相似图形”（填“是”或“不是”） 如图2，与互为“旋转相似图形”， ②若，，则___________； ③若，，，则___________，若连接，，则___________； (2)知识运用： 如图3，在四边形中，，于，， 求证：①； ②和互为“旋转相似图形”； (3)拓展提高： 如图4，为等腰直角三角形，点为的中点，且与互为“旋转相似图形”，若，，求和的长． 【答案】(1)①是；②；③， (2)①证明：∵，， ∴； ②证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵与有公共顶点， ∴和互为“旋转相似图形”； (3)， 【分析】（1）①先证明，再结合“旋转相似图形”的定义判断即可得出结果；②由“旋转相似图形”的定义可得，再由相似三角形的性质可得，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果；③由“旋转相似图形”的定义可得，再由相似三角形的性质计算得出，连接，， 由相似三角形的性质可得，，从而得出，，即可推出，再由相似三角形的性质即可得出结果； （2）①由对顶角相等可得，再结合题意即可得证；②由，得出，从而可得，再证明，得出，最后再证明，再结合“旋转相似图形”的定义判断即可得证； （3）由等腰直角三角形的性质可得，，，结合题意可得，由“旋转相似图形”的定义可得，由相似三角形的性质可得，，，则，求出，作于点，则为等腰直角三角形，求出，证明垂直平分，由勾股定理可得，，求出，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵与有公共顶点， ∴是的“旋转相似图形”； ②∵与互为“旋转相似图形”， ∴， ∴， ∴； ③∵与互为“旋转相似图形”， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 连接，，如图： ， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）①略 ②略 （3）解：∵为等腰直角三角形，， ∴，，， ∵点为的中点， ∴， ∵与互为“旋转相似图形”， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，作于点， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 11．问题背景：如图1，在矩形中，，，点E是边的中点，过点E作交于点F． 实验探究： (1)在一次数学活动中，小明同学将图1中的绕点B按顺时针方向旋转，如图2所示，得到结论： ①__________； ②直线与所夹锐角的度数为__________．； (2)小明同学继续将绕点B按顺时针方向旋转，旋转至点D，E，F在一条直线上如图3所示位置时，求的面积； (3)在绕点B按顺时针方向旋转一周过程中，记的面积为S，直接写出S的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①利用矩形的性质、旋转的性质，以及特殊角的锐角三角函数值，证明，再结合相似三角形性质求解，即可解题； ②延长与交于点，记交于点，利用相似三角形性质和三角形内角和定理求解，即可解题； （2）过点作于点，利用线段中点特点和锐角三角函数求出，结合相似三角形性质，直角三角形性质，勾股定理求出，最后根据三角形面积公式求解，即可解题； （3）根据在绕点B按顺时针方向旋转一周过程中，的底边长度不变，找出高最大，以及最小的情况求解，即可解题． 【详解】（1）解：①四边形为矩形， ， ， ， ， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ； 故答案为：； ②延长与交于点，记交于点， ， ， ， ， 即直线与所夹锐角的度数为； 故答案为：； （2）解：过点作于点， 点E是边的中点，， ， ， ， 解得， 由①同理可证， ， ， ， ， ， ，解得， 在中，有， ， ， ， ， ， ； （3）解：在绕点B按顺时针方向旋转一周过程中，的底边长度不变， 当，，三点共线，面积最小，即， 记边上的高为，根据垂线段最短可知， 当，重合时，的高最大为，此时面积最大， ， ， ， ，即， 综上所述，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，锐角三角函数，垂线段最短，旋转的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 12．(25-26九上·广东茂名龙岭学校·期末)在中，，，． (1)问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是 ； (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由 (3)迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长 【答案】(1)； (2)一致；理由如下： 延长交于点H，如图所示： ∵将绕点旋转得到， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 又∵，，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）延长交于点H，根据旋转得出，，，根据勾股定理得出，，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，即可得出结论； （2）延长交于点H，证明，得出，，根据三角形内角和定理得出，即可证明结论； （3）过点C作于点N，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，根据解析（2）得出． 【详解】（1）解：延长交于点H，如图所示： ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴根据勾股定理得：，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． （2）略 （3）解：过点C作于点N，如图所示： 根据旋转可知：， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 根据解析（2）可知：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 13．(2026·河南省周口市·二模)综合与探究 【问题情境】：数学课上，同学们以直角三角形为基本图形探究图形旋转变化问题．已知直角三角形纸片，，，，将绕点旋转得到． (1)【操作判断】：如图1，当点恰好落在的延长线上时，____； (2)【深入探究】：旋转到图2位置，连接、，与交于点，猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】：若旋转后，直线与直线交于点，射线交直线于点，直接写出的长． 【答案】(1) (2)，理由如下： 如图，过点作交于点， 由旋转可知，，， ， ， ， ，， ， ， ， ，，， ， ； (3)或 【分析】（1）由旋转的性质可证明，，得到，推出，由勾股定理可得的长，再由等腰三角形三线合一可得，即可得解； （2）过点作交于点，由旋转的性质结合等边对等角可得，由平行线的性质结合角的等量证明，推出，得到，从而证得，即可得证； （3）由旋转可知，由（2）可知，，由勾股定理可得的长，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形三线合一可得，，分两种情况讨论：将绕点逆时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，分别根据等面积法可表示出与之间的数量关系，再在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：将绕点旋转得到， ，，， ，，即， ， ， 在中，，， ， ，，即， ， ，解得； （2）略 （3）解：由旋转可知， 由（2）可知，， ， ，，， 将绕点逆时针旋转得到，如图所示， ，即， ， 在中，， 即，解得或（不合题意，舍去）， ； 将绕点顺时针旋转得到，如图所示， ，即， ， 在中，， 即，解得或（不合题意，舍去）， ． 14．(25-26九下·陕西榆林高新中学·)在锐角中，，将绕点按逆时针方向旋转，得到 (1)如图，当点在线段的延长线上时，______． (2)如图，连接，若的面积为，求的面积． (3)如图3，点为线段的中点，点是线段上的动点，在绕点按逆时针方向旋转过程中，点的对应点是点，求在旋转过程中，线段长度的最大值与最小值的差． 【答案】(1)60 (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的性质可知：，再由等边对等角得，则； （2）由得比例式，证明，根据面积比等于相似比的平方求出的面积； （3）作辅助线，当点在处时最小，则最小，最小；当点在点处时，最大，则最大，最大，代入计算． 【详解】（1）解：如图， 由旋转得：，， ， ， 故答案为； （2）解：如图， ，， （3）解：如图4，过点作，为垂足， 为锐角三角形 点在线段上 在中， 以为圆心，为半径画圆交于，有最小值 的最小值为 以为圆心，为半径画圆交的延长线于，有最大值 此时的最大值为 线段的最大值与最小值的差为． 【点睛】本题是三角形旋转的综合题，考查了三角形旋转的性质：旋转前后的两个图形全等；考查了全等三角形和相似三角形的对应边的关系，本题利用两三角形全等的对应边相等，列比例式证明另外两三角形相似，这一证明思路值得借鉴． 15．(2026·河南省三门峡市·)综合与实践 如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边交于点． (1)【探究一】在旋转过程中， ①如图2，当时，猜想线段与的数量关系________． ②如图3，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由． ③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，与满足的数量关系式为________， (2)【探究二】若且，连接，设的面积为，直接写出在旋转过程中的最大值是________，最小值是________． 【答案】(1) ①；②，理由如下： 解：如图2，作于，作于， ， 由①知，，四边形是矩形， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； ③ (2)75；50 【分析】（1）①作于，作于，证明，因此； ②作于，作于，证明，得到，由已知条件求出即可得到； ③作于，作于，证明，得到，由已知条件求出即可得到； （2）结合②以及已知条件写出关于的表达式，根据位置关系判断最值． 【详解】（1）①证明：如图1， 作于，作于， ， ，， 平分， ， ， 四边形是矩形， ， ∵， ， ， ， ， ； ②略； ③如图2，作于，作于， 由②知，，， ， ， ． （2）解：存在最大值或最小值，理由如下： 且， ， 由②知，， ， 当时，最小， 此时，， ， 当最大时，即， 即时，． 16．(25-26九上·四川达州铁路中学·期末)（1）如图，正方形与等腰直角有公共顶点A，，连接，将绕点A旋转，在旋转过程中，直线相交所成的角为β，则；_________； （2）如图2，矩形与有公共顶点A，，且，连接，将绕点A旋转，在旋转过程中，直线相交所成的角为β，请求出的值及β的度数，并结合图2进行说明； （3）若平行四边形与有公共顶点A，且，将绕点A旋转，在旋转过程中，直线相交所成的锐角的度数为β，则： ①； ②请直接写出α和β之间的关系式：__________． 【答案】（1）1，；（2）； （3）①；②或 【分析】（1）延长分别交于点G，交于点M，先根据正方形和等腰直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质得，即可得出，然后说明则此题可解； （2）延长交于点H，根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”得，再根据相似三角形的性质得，然后根据四边形的内角和等于得出，则此题可解； （3）①延长交于点H，根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”得，可得； ②先根据相似三角形的对应角相等得，再根据四边形的内角和定理得，然后分两种情况讨论得出答案即可． 【详解】解：（1）如图，延长分别交于点G，交于点M， 在正方形和等腰直角三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴； （2）如图，延长交于点H， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）①如图，延长交于点H， ∵ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②或， 由得， ∵， ∴． ∵四边形的内角和为， ∴． 若为锐角，即为锐角，如图，则为钝角， ， ∴，即； 若为钝角，如图， 则． 故或． 【点睛】证明两个三角形全等或相似是解题的关键，也是难点所在． 17．(25-26九上·安徽安庆太湖县·期末)综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和，，，． (1)如图1，连接、，在纸片绕点旋转过程中，求证：； (2)如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时， ①求的长； ②延长交于点，求的值． 【答案】(1) 证明： ，，， ，， ， ， 又， ， (2)①6；② 【分析】（1）先求出，再利用两边成比例且夹角相等即可证明两个三角形相似． （2）①先证明得到，再利用即可得到，代入计算即可求解；②先利用角的关系求，再利用相似三角形的判定与性质可以得到，最后代入数值计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①，是的中线， ， ， ， ，则， 又， ， ， ， 又由（1）知， ，即， ， ②如图，由①知，又， ， 则， ， ， 由①知，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、旋转、计算一个角的正切值等知识，解题关键是理解题意，发现相似三角形，并利用其性质求解． 18．按要求解答问题： (1)【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则，把绕着点A逆时针方向旋转，连接和．如图2，找出图中的另外一组相似三角形__________；并加以证明． (2)【迁移应用】如图，在中，，，，D、E、M分别是、、中点，连接． ①如图，把绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段和始终存在的位置关系和数量关系：__________、__________； ②把绕着点A逆时针方向旋转到如图所在的位置，连接和，取中点N，连接，若，求的长． (3)【创新应用】如图：，，是直角三角形，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，，连接，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；；② (3) 【分析】（1）利用两边成比例夹角相等的两个三角形相似及相似三角形的性质； （2）①利用相似三角形的性质证明与之间的关系，本题即可求解； ②连接，利用相似三角形的性质求出，再利用三角形的中位线的性质，求解即可； （3）过点作，过点作，连接，证明，求出与本题即可求解． 【详解】（1）解：如图，， ， ， ， 又， ， ； （2）解：①如图，在中， ， ， ， 又， ． 如图，延长与相交于点，与相交于点， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ， 即，． 故答案为：；； ②如图，连接， ， ， 又， ， ， 又∵M是的中点，N是的中点， ； ； （3）解：如图，过点作，过点作，连接， ，， ， ， 又， ， ， ， ， ， 即． 19．(25-26九上·福建宁德蕉城区·期中)在矩形中，点为射线上一点，连接，以为一边，在的右侧作正方形． (1)若，如图1，连接，当射线与射线的交点在线段上时． 求证：①； ②点一定在射线上； (2)如图2，若，，连接，求的最小值． 【答案】(1) 证明：①四边形是矩形，， 四边形是正方形， 是对角线， ， 同理， 又， ． ②如图，连接， 四边形是正方形，是对角线， ， 同理， ， 又， ， ， ， ， 点一定在射线上． (2) 【分析】（1）①根据正方形的性质得到，结合相似三角形的判定即可求解；②连接，可知和都是等腰直角三角形，利用手拉手的相似模型，证得，求得，最后根据，得到三点共线即可求解． （2）先将一条边设元，通过相似和全等找到线段之间的关系，用含有未知数的式子将其余线段长度表示出来，通过勾股定理将表示出来，利用函数求出最值即可求解． 【详解】（1）略 （2）如图，过点E作直线，再过点F分别作，则， 设的长度为，则， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 结合图形可知四边形和四边形都是矩形， ， ， 由勾股定理可知， 当时，有最小值，最小值为32， 最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，二次函数的最值等知识点，掌握“手拉手”的相似模型、“一线三等角”的全等模型，以及设元通过函数求最值的思路是解题的关键． 20．【问题发现】 （1）如图1，在和中，，，，连接交于点M．求出的值及的度数； 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，连接，交的延长线于点M，求出的值及的度数； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．当D、C、B三点共线时时，直接写出的长为__________； 【答案】（1），；（2），；（3）或 【分析】（1）直接根据两个共顶点的等腰三角形证明，可以证明，最后在和中导角直接可以求解； （2）改变三角形结构，直接通过判定和相似，同样可以用第一问的方式证明，根据相似比，求线段比例，最后在和中导角直接可以求解的度数； （3）分点在直线的左侧和右侧两种情况讨论，利用相似三角形对应边的比设未知数，在中利用勾股定理构造方程即可求出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，设与交于点F， ∵， ∴， ∵， ， ∴； （2）解：如下图，在和中，设与交于点， ∵∠，， ∴； ∵， 即， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，； （3）①如下图所示，点C在线段上时， 在中，，， ， 在中，， 由（2）知，，且， 设，则， 在中，， ， 解得，，舍去， ， ②如下图，当点C在线段延长线上时， 在中，，， ， 在中，， 由（2）知，，且， 设，则， 在中，， ， 解得，，舍去， ； 综上所述：的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，相似的判定与性质，解直角三角形，利用勾股定理构造方程等，解题的关键是在图形的变换中要能够以不变应万变，找出图形中不变的特征． 21．(24-25九上·四川成都八区联考·期末)已知，，直线与直线相交于点． (1)如图1，点在内部，当且点，重合时，请证明：； (2)如图2，点在内部． ①当时，探究线段，，之间的数量关系； ②当时，直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系； (3)当，，且为直角三角形时，直接写出表示线段与的比值． 【答案】(1) 证明： ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ∵， ， ， 在和中， ， ()， ． (2)①；② (3)或或 【分析】（1）由等边三角形的性质及相似三角形的性质得是等边三角形，由判定，由全等三角形的性质，即可得证； （2）①(ⅰ)如图，当点D，N重合时，由直角三角形的特征得，由相似三角形的性质得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由勾股定理得 ，即可求解；(ⅱ)当点D，N不重合时，同理可求； ②在上取一点H，使得，连接，由①中的(ⅱ)同理可求； （3）取的中点，连接，由等边三角形的判定方法得是等边三角形，由等边三角形的性质可求，①当时，此时与重合，（ⅰ）点在线段上， 由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得 ，即可求解；（ⅱ）点在线段延长线上，同理可求； ②当时，（ⅰ）当点在的内部时，连接，在上取一点H，使得，连接，过作交的延长线于，过作交于，设，由相似三角形的性质及直角三角形的特征、勾股定理得， ，由勾股定理得，可得 ， ， ， 从而求出，由三角形面积可求，再由勾股定理求出，，求出 ， ，即可求解；（ⅱ）当点在的外部时，同理可求： ， ，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①(ⅰ)如图，当点D，N重合时， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即， 在中，， ， ， ， ， 当点D，N重合时，； (ⅱ) 如图，当点D，N不重合时， 在上取一点H，使得，连接； 由(ⅰ)同理可证：，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ； 在中， 同理可求：， 当点D，N不重合时， ． 综上，． ②如图：在上取一点H，使得，连接， 由①中的(ⅱ)同理可证，， ∴，， ， 如图，过作交于， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 故； （3）解：如图，取的中点，连接， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ①如图，当时，此时与重合， （ⅰ）点在线段上，如图， ， ， ， ； （ⅱ）点在线段延长线上，如图， 由（ⅰ）同理可证：； ②当时， （ⅰ）如图，当点在的内部时， 如图，连接，在上取一点H，使得，连接，过作交的延长线于，过作于， 设， ， ， ， ， 由勾股定理得： ， ， 四边形是矩形， ，，， ，， ，， ， ， ， 由（2）同理可证：， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：， ， ， ， ， ； （ⅱ）如图，当点在的外部时， 连接，在上取一点H，使得，连接，过作交于，过作交于， 设， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 由（2）同理可证：， ， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：， ， ， ， ， ； 综上所述：或或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，矩形的判定及性质等；相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定就性质，等边三角形的判定及性质，能根据题意构建相似三角形及根据点的不同位置进行分类讨论，并能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 22．(25-26九上·河北石家庄第四十二中学·月考)问题背景：某数学兴趣小组研究图形旋转的性质，将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转．已知：三角形纸片和中，，点为边的中点，旋转角为小组经测量得知． 【初步感知】 (1)①线段的长度为______； ②在旋转过程中，当为锐角且时，旋转角______； (2)如图1，连接，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值； 【深入探究】 (3)如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求的长． 【拓展延伸】 (4)在纸片绕点旋转过程中，试探究三点能否构成以为一直角边的直角三角形．若能，直接写出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) 10 或 (2) (3)12 (4)的长为或 【分析】（1）①根据全等三角形的判定定理得到，则，再根据勾股定理得到，②结合已知角的正弦值与旋转角的关系求解； （2）通过证明，利用相似三角形的性质求的值； （3）同（1）得，得到，根据直角三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，再证明是矩形，进而求出的长度； （4）在纸片绕点旋转过程中，当三点能构成直角三角形时，且以为一直角边的直角三角形分2种情况，结合勾股定理求 的长． 【详解】（1）解：①在中，， 则， ②已知，当且为锐角时，， 当在内部时，旋转角， 当在外部时，旋转角。 故答案为：①10，②或； （2）解：在和中， ∴， ，， ， 即， 由（1）知，， ， ∵， ， ∴， ， ∴， 故为； （3）解：连接，延长交于点，连接交于，延长交于，如图， 同（2）得， ∴， ∵点为边的中点 ∴是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； ， ， ； （4）解：三点能构成以为一直角边的直角三角形，理由如下， ①当时，是直角三角形，过点作于点，如图所示： ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，则， ∴； ②当时，是直角三角形，过点作于点，交于点，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴， 在中，由勾股定理可得，则， 解得， ∴，， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查三角形相似的综合应用，涉及旋转的性质，三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理等知识，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键． 23．(24-25九上·四川成都温江区·期末)数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在三角形纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的边上时，交于点，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在纸片绕点旋转过程中，当的中点恰好落在的边上时，与相交于点，求的长．    【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定和性质即可求解； （2）作于，作于，作于，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据锐角三角函数求出，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形的面积公式求出，根据勾股定理求出，根据锐角三角函数得出，故设，，根据锐角三角函数表示出和的值，进而根据，列出方程，求出的值，即可求解； （3）连接，作于，作于，根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形中位线的性质得出，根据锐角三角函数设，，则，根据勾股定理列出方程，解方程求出的值，根据等边对等角和相似三角形的判定和性质求出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：作于，作于，作于，如图，    在中，， ∵， ∴， 在和中，， 即， 解得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中，，， 即， 故设，， 在和中，，， 即，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）连接，作于，作于，如图，    ∵，点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中，， 故设，，则， 在中，，， ∴， 解得：（负值已舍去）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形中位线的性质等，熟练掌握三角函数的应用、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 24．(2025·湖北省襄阳市·模拟)在中，，将绕点A旋转得到，连接对应点，． (1)如图1，求证：． (2)当经过的中点F时． ①如图2，若，求线段的长； ②如图3，延长交于点G，当时，判断线段，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵将绕点A旋转得到， ∴，，． ∴，． ∴． (2)①； ②，理由： 设． ∵，， ∴，，． ∵，， ∴． ∴．         ∴． ∴． ∴．     ∴． 由①知，． ∴． ∵， ∴． 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，，即可得出，，根据相似三角形的判定定理即可证明． （2）①勾股定理求出，根据直角三角形的性质得出，即可得，结合，得出，即可得，证明，根据相似三角形的性质即可求解． ②设，根据，，得出，，．证明，得出，，由①知，．即可得．根据，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①∵，，， ∴．     ∵点F是的中点， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴．     ∵， ∴．         ∴，即．     ∴．         ②略 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质等知识点．解题的关键是证明三角形相似． 25．在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当，时，求的长； (3)如图3，延长至点，使，连接，与交于点．求证：． 【答案】(1)证明：由旋转性质得：， ∴​， ∵由旋转性质得知，， ∴， ∴； (2) (3)证明：由旋转得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据旋转的性质得出相等的边和角，然后利用相似三角形的判定定理进行证明； （2）根据勾股定理求出直角三角形斜边长度，利用相似三角形的性质得出线段之间的数量关系，设为，则，，根据勾股定理列出方程求解； （3）根据旋转的性质得出相等的边和角，证明，得出相等的角，然后利用邻补角的定义得出，即可得出平行线． 【详解】（1）证明：略； （2）解：在中，， ∴， ∵， ∴， 由，得，， 即， ∵， ∴， 设为，则，， 在中， ， 即，​ 解得或(舍去)， ∴； （3）证明：略． 3 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 相似三角形重要模型之手拉手模型 手拉手模型是旋转相似的经典代表，由全等三角形的手拉手模型拓展而来，将“等线段”替换为“成比例线段”，即可得到相似手拉手。该模型共顶点、等夹角、边成比例，通过SAS判定相似，衍生出边成比例、夹角等于旋转角等一系列结论，是九年级相似综合题、几何压轴题的高频考点。本专题就相似手拉手模型进行系统梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 命题趋势：弱化基础全等手拉手，强化旋转相似的综合应用，多以“等边/等直/正方形手拉手相似、多结论辨析、旋转综合”形式出题，常与旋转、坐标系、函数结合考查压轴题。 推导逻辑：共顶点+两边成比例+夹角相等→SAS相似→对应边成比例、夹角等于旋转角，拒绝零散记忆结论。 核心素养目标： 1.掌握相似手拉手模型的判定与核心结论，能快速识别模型； 2.理解旋转相似的本质，能推导对应边夹角、面积比等拓展结论； 3.培养旋转转化、动态分析的几何思维，提升综合解题能力。 【模型来源】 1 【知识储备】 2 【例讲模型】 2 模型1.手拉手模型（相似模型） 2 模型拓展 7 【易错总结】 7 【模型运用】 8 模型源于旋转相似变换：两个具有公共顶点的三角形，对应边成比例且顶角相等，将其中一个绕公共顶点旋转一定角度后，可与另一个三角形形成SAS相似。因两个三角形像“手拉手”一样共顶点连接而得名。 全等手拉手是相似比为1:1的特殊情况，相似手拉手是其一般化形式，常见类型有等边三角形手拉手、等腰直角手拉手、任意等腰三角形手拉手、正方形手拉手等。 学习本专题前，需熟练掌握以下前置知识： 1. 相似三角形SAS判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； 2. 全等手拉手模型：全等是相似比为1的特殊相似； 3. 8字倒角模型：对顶三角形角度和相等； 4. 旋转的性质：旋转前后对应边成比例、对应角相等，旋转角相等； 5. 相似三角形性质：对应边成比例、面积比等于相似比的平方。 模型1.手拉手模型（相似模型） 【模型提炼与证明】 “手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 手拉手模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；3）图形是任意三角形（只要这两个三角形是相似的）。 1）手拉手相似模型（任意三角形） 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 四大核心结论： ①相似结论：拉手线构成的三角形相似； ②边比结论：拉手线之比等于原三角形对应边之比； ③夹角结论：BD与CE的夹角=顶角∠BAC（用8字模型可证）； ④面积结论：△ABD与△ACE的面积比=相似比的平方。 2）手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 3）手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形） 条件:M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 证明：∵M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点，∴，∠BMC=∠EMF=90°， ∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴， 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；. 证明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE， ∴，∠ACE=∠ABD=90° 【模型运用】 【典例1】(25-26九上·同步练习)如图，把绕点A旋转得到，当点D刚好落在上时，连接．设相交于点F，则图中相似三角形的对数是（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【典例2】(25-26九上·广东广州执信中学·月考)如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，点的对应点分别为点、，连接，若，则（　　） A． B．2 C． D． 【典例3】如图，在四边形中，，，，，将绕点顺时针方向旋转后得，当恰好经过点时，为等腰三角形，若，则（　　）． A． B． C． D． 【典例4】(25-26九上·山东德州宁津县·期末)如图，矩形和矩形，矩形绕点旋转，给出下列结论：①；②；③当时；④，其中正确的结论的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【典例5】如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 【典例6】(25-26九下·黑龙江齐齐哈尔龙江县多校联考·一模)综合与实践 【问题呈现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． 【类比探究】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则 【拓展提升】 （3）如图3，，，连接，，若． ①求的值； ②延长交于点，则 ． 【典例7】【问题情境】 如图1，正方形和正方形按如图所示位置放置，我们通过观察可以得到，与的夹角为； 将正方形绕点旋转，如图2，连接．我们利用旋转的性质，通过证明，仍然可以得到，与的夹角为． 【变式思考】 如图3，将正方形绕点旋转，连接． （1）用等式表示线段与之间的数量关系为______，直线与的夹角为______； （2）按照图3的旋转位置，证明（1）所得出的结论； 【拓展运用】 （3）在图2的基础上，若，连接，在正方形绕点旋转一周的过程中，请直接写出的最小值是______． 【典例8】(25-26九·河北保定易县·期末)综合与实践 【问题背景】 借助平行于三角形一边与其他两边相交的线段可构造一组相似三角形，若将它绕公共顶点旋转，对应点连线的长度存在特殊数量关系． 如图1，，，，过点D作交于点E． 【初步尝试】 （1）将绕点A按逆时针方向旋转至如图2所示的位置时，连接，，求证：． 【探索应用】 （2）若将旋转至如图3所示的位置，B，D，E三点在同一条直线上，求此时线段的长． 模型拓展 1.手拉手相似可拓展到任意共顶点的相似图形，如正n边形手拉手； 2.是旋转综合题的核心模型，动点旋转问题优先考虑手拉手相似； 3.可结合坐标系、三角函数考查综合计算，是中考压轴的高频载体。 模型常见易错点 1. 易错点：相似三角形对应顶点顺序错误，相似比搞反 错因分析：未按“对应边夹对应角”的原则找相似。 避坑指南：旋转后重合的顶点为对应顶点，严格按顺序书写相似。 2. 易错点：夹角结论记错，误以为等于底角 错因分析：死记结论，不会用8字模型推导。 避坑指南：遇到夹角问题，用8字倒角模型现场推导，无需死记。 3. 易错点：全等与相似混淆，所有手拉手都认为是全等 错因分析：思维停留在八年级全等阶段，忽略边长不等的情况。 避坑指南：边相等则全等，边成比例则相似，先判断边的关系。 模型小结 1. 核心口诀：共顶点，等顶角，边成比例，拉手相似；边成比，角相等，夹角等于原顶角； 2. 解题步骤：找共顶点等腰 → 定旋转角 → 证SAS相似 → 用结论解题； 3. 夹角必用8字模型推导，面积必用相似比平方； 4. 旋转问题优先想手拉手，化动为静，转化相似。 1．(2024·内蒙古自治区赤峰市·中考)如图，中，，．将绕点A顺时针旋转得到，点与点B是对应点，点与点C是对应点．若点恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是；②；③；④．其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④ 2．(24-25九下·安徽安庆太湖县望天学校·月考)如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．连接．    （1）__________． （2）设直线交于点，连接，若，则在旋转过程中，线段的最大值是__________． 3．在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度，记为，如果是顺时针旋转一个角度，则记为负值，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，叫做旋转角． (1)填空： ①如图1，将以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为A（_____，_____）； ②如图2，是边长为的等边三角形，，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为__________． (2)如图3，经过得到，又将经过得到，连接，求证：． 4．(2026九·湖北省黄石市·)如图，中，，将绕点逆时针旋转到，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若与相交于点，求证：点是的中点； (3)如图3，当，时，探究与的数量关系并说明理由． 5．(2026·湖南省湘潭市·模拟)综合探究 (1)【问题发现】 如图1，已知点为正方形对角线上一动点（不与点、重合），连接，将线段绕点顺时针旋转90°到处，连接．请写出与的数量关系，并给出证明过程． (2)【类比探究】 如图2，在矩形中，，点为对角线上一动点（不与点、重合）．在中，，，连接．请探究此时与的数量关系，并给出探究过程． (3)【拓展延伸】 如图3，在矩形中，，点为射线上一动点，点为的外接圆的圆心，连接，，若，则当时，请直接写出线段的长． 6．(2026九·辽宁省丹东市)如图，在Rt中，，，于点，点是直线上一动点，连接，过点作，交直线于点． (1)如图1，若，点在线段上，求出的值，并写出证明过程； (2)①如图2，若点在线段上，则___________（用含，的代数式表示）； ②当点E在直线上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； (3)若，，请直接写出的长． 7．综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 8．(2026·安徽省安庆市潜山市·模拟)如图1，在中，，与边分别交于点D、E，连接，点F、G、H分别是的中点，分别连接． (1)观察、猜想 观察图1，猜想 ， (2)探究、说理 把绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由 (3)拓展、思考 在所在的平面内，把绕点C自由旋转，当时，直接写出线段的长度的取值范围 9．某校数学活动小组探究了如下数学问题： (1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边上一点，连接，以为腰作等腰，且，连接、则和的数量关系是______； (2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰上一点，连接，以为底边作等腰，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形两条对角线的交点，连接．若正方形的边长为，，请直接写出正方形的边长． 10.(25-26九上·江西南昌第十九中学·数学模拟)定义：如图2，与有公共顶点，且，我们称这两个三角形互为“旋转相似图形”． (1)知识理解：①如图1，若，都是等边三角形，则___________的“旋转相似图形”（填“是”或“不是”） 如图2，与互为“旋转相似图形”， ②若，，则___________； ③若，，，则___________，若连接，，则___________； (2)知识运用： 如图3，在四边形中，，于，， 求证：①； ②和互为“旋转相似图形”； (3)拓展提高： 如图4，为等腰直角三角形，点为的中点，且与互为“旋转相似图形”，若，，求和的长． 11．问题背景：如图1，在矩形中，，，点E是边的中点，过点E作交于点F． 实验探究： (1)在一次数学活动中，小明同学将图1中的绕点B按顺时针方向旋转，如图2所示，得到结论： ①__________； ②直线与所夹锐角的度数为__________．； (2)小明同学继续将绕点B按顺时针方向旋转，旋转至点D，E，F在一条直线上如图3所示位置时，求的面积； (3)在绕点B按顺时针方向旋转一周过程中，记的面积为S，直接写出S的取值范围． 12．(25-26九上·广东茂名龙岭学校·期末)在中，，，． (1)问题发现 如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是 ； (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由 (3)迁移应用 如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长 13．(2026·河南省周口市·二模)综合与探究 【问题情境】：数学课上，同学们以直角三角形为基本图形探究图形旋转变化问题．已知直角三角形纸片，，，，将绕点旋转得到． (1)【操作判断】：如图1，当点恰好落在的延长线上时，____； (2)【深入探究】：旋转到图2位置，连接、，与交于点，猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】：若旋转后，直线与直线交于点，射线交直线于点，直接写出的长． 14．(25-26九下·陕西榆林高新中学·)在锐角中，，将绕点按逆时针方向旋转，得到 (1)如图，当点在线段的延长线上时，______． (2)如图，连接，若的面积为，求的面积． (3)如图3，点为线段的中点，点是线段上的动点，在绕点按逆时针方向旋转过程中，点的对应点是点，求在旋转过程中，线段长度的最大值与最小值的差． 15．(2026·河南省三门峡市·)综合与实践 如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边交于点． (1)【探究一】在旋转过程中， ①如图2，当时，猜想线段与的数量关系________． ②如图3，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由． ③根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，与满足的数量关系式为________， (2)【探究二】若且，连接，设的面积为，直接写出在旋转过程中的最大值是________，最小值是________． 16．(25-26九上·四川达州铁路中学·期末)（1）如图，正方形与等腰直角有公共顶点A，，连接，将绕点A旋转，在旋转过程中，直线相交所成的角为β，则；_________； （2）如图2，矩形与有公共顶点A，，且，连接，将绕点A旋转，在旋转过程中，直线相交所成的角为β，请求出的值及β的度数，并结合图2进行说明； （3）若平行四边形与有公共顶点A，且，将绕点A旋转，在旋转过程中，直线相交所成的锐角的度数为β，则： ①； ②请直接写出α和β之间的关系式：__________． 17．(25-26九上·安徽安庆太湖县·期末)综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和，，，． (1)如图1，连接、，在纸片绕点旋转过程中，求证：； (2)如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时， ①求的长； ②延长交于点，求的值． 18．按要求解答问题： (1)【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则，把绕着点A逆时针方向旋转，连接和．如图2，找出图中的另外一组相似三角形__________；并加以证明． (2)【迁移应用】如图，在中，，，，D、E、M分别是、、中点，连接． ①如图，把绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段和始终存在的位置关系和数量关系：__________、__________； ②把绕着点A逆时针方向旋转到如图所在的位置，连接和，取中点N，连接，若，求的长． (3)【创新应用】如图：，，是直角三角形，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，，连接，请直接写出的取值范围． 19．(25-26九上·福建宁德蕉城区·期中)在矩形中，点为射线上一点，连接，以为一边，在的右侧作正方形． (1)若，如图1，连接，当射线与射线的交点在线段上时． 求证：①； ②点一定在射线上； (2)如图2，若，，连接，求的最小值． 20．【问题发现】 （1）如图1，在和中，，，，连接交于点M．求出的值及的度数； 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，连接，交的延长线于点M，求出的值及的度数； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．当D、C、B三点共线时时，直接写出的长为__________； 21．(24-25九上·四川成都八区联考·期末)已知，，直线与直线相交于点． (1)如图1，点在内部，当且点，重合时，请证明：； (2)如图2，点在内部． ①当时，探究线段，，之间的数量关系； ②当时，直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系； (3)当，，且为直角三角形时，直接写出表示线段与的比值． 22．(25-26九上·河北石家庄第四十二中学·月考)问题背景：某数学兴趣小组研究图形旋转的性质，将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转．已知：三角形纸片和中，，点为边的中点，旋转角为小组经测量得知． 【初步感知】 (1)①线段的长度为______； ②在旋转过程中，当为锐角且时，旋转角______； (2)如图1，连接，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值； 【深入探究】 (3)如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求的长． 【拓展延伸】 (4)在纸片绕点旋转过程中，试探究三点能否构成以为一直角边的直角三角形．若能，直接写出的长；若不能，请说明理由． 23．(24-25九上·四川成都温江区·期末)数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在三角形纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的边上时，交于点，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在纸片绕点旋转过程中，当的中点恰好落在的边上时，与相交于点，求的长．    24．(2025·湖北省襄阳市·模拟)在中，，将绕点A旋转得到，连接对应点，． (1)如图1，求证：． (2)当经过的中点F时． ①如图2，若，求线段的长； ②如图3，延长交于点G，当时，判断线段，的数量关系，并说明理由． 25．在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当，时，求的长； (3)如图3，延长至点，使，连接，与交于点．求证：． 3 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $