29.1.2 过三点的圆 知识清单2026-2027 学年人教版九年级数学上册

29.1.2 过三点的圆　知识清单 人教版（2024）　九年级上册　第二十九章《圆》 教材 P116—P119　29.1 圆的有关概念（第 2 课时） 图 1　本节知识地图：确定圆的条件、怎样作这个圆、外接圆与外心、反证法 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习 目标 ① 经历探究确定圆的条件的过程，理解「不在同一条直线上的三个点确定一个圆」的道理； ② 会用作两条垂直平分线的方法，作出经过不在同一条直线上的三点的圆； ③ 了解三角形的外接圆、内接三角形和外心的意义，知道三种三角形的外心位置； ④ 了解反证法的基本思路与书写步骤，能用它说明「同一条直线上的三个点不能作圆」 重点 不在同一条直线上的三个点确定一个圆的道理与作法；三角形的外接圆、内接三角形、外心的意义 难点 理解「确定」包含「能作」与「只能作一个」两层意思；理解反证法的思路 二、确定圆需要几个点 上一课时知道，一个圆由圆心和半径这两个条件确定。那么换个角度想：如果只给出平面内的几个已知点，要让一个圆「经过」这些点——也就是让这些点都落在圆上——最少要给出几个点，圆才能被唯一地定下来？ 课本依次研究了三种情形：经过一个点、经过两个点、经过不在同一条直线上的三个点。三种情形的结论先用一张表概括，后面几节再逐个说明道理。 经过的点 能作多少个圆 圆心的位置 一个点 A 无数个 点 A 以外的任意一点都可以作圆心 两个点 A、B 无数个 在线段 AB 的垂直平分线上（任取一点都能作圆心） 不在同一条直线上的 三个点 A、B、C 一个（且只有一个） AB、BC 的垂直平分线的交点 ★ 与「两点确定一条直线」类比：一条直线由两个点确定；而一个圆要由不在同一条直线上的三个点确定。圆的条件里多出「不在同一条直线上」这几个字，这个条件能不能省掉？本节第七节会用反证法给出答案。 把表里的三行用符号写出来：经过 A、B 两点作圆，圆心 O 只要满足 即可；而经过不在同一条直线上的 A、B、C 三点作圆，圆心 O 必须同时满足 。 三、经过一个点、两个点作圆 先看最容易的两种情形：只要求圆经过一个点，或者经过两个点（图 2）。 图 2　左：经过点 A 的圆有无数个，圆心可以是 A 以外的任意一点；右：经过两点 A、B 的圆有无数个，圆心都在线段 AB 的垂直平分线 l 上 经过一个点 A 作圆 要作一个经过点 A 的圆，只要把圆心定下来，半径就随之确定了——圆心到点 A 的距离就是半径。设圆心为 O，则 （r 是半径）。圆心可以取点 A 以外的任意一点，每取一个圆心就得到一个圆，所以这样的圆有无数个（图 2 左）。 结论：经过一个已知点 A 可以作无数个圆。 设圆心为 O、半径为 r，则 ；圆心不同，半径 r 也随之不同。 经过两个点 A、B 作圆 要作一个经过点 A、点 B 的圆，圆心到 A 的距离与到 B 的距离都等于半径，所以这个圆心到 A、B 两点的距离相等，即 。到线段两端点距离相等的点，一定在这条线段的垂直平分线上，所以圆心只能落在线段 AB 的垂直平分线上（图 2 右）。 反过来，在线段 AB 的垂直平分线上任取一点 O，它到 A、B 的距离都相等，即 。以点 O 为圆心、OA 为半径作圆，这个圆一定同时经过 A、B 两点。垂直平分线上有无数个点，所以这样的圆也有无数个；设半径为 r，则 。 结论：经过两个已知点 A、B 可以作无数个圆，这些圆的圆心都在线段 AB 的垂直平分线上。 换句话说，只要圆心 O 满足 ，以它到 A 的距离为半径画出的圆就一定经过 A、B 两点。 ① 经过一点、经过两点，圆都有无数个，原因都是「圆心还能自由移动」——圆心一旦被限制在一条直线上（而不是被固定在某一点），圆的个数就仍然是无数个。 ② 线段 AB 的垂直平分线，就是到 A、B 距离相等的所有点组成的图形。判断圆心在哪里时，抓住「到两端距离相等」这一条即可。 四、不在同一条直线上的三个点确定一个圆 再多给一个点，情形就不同了。设 A、B、C 是平面内三个点，它们不在同一条直线上（图 3 左）。假设能作一个经过 A、B、C 三点的圆，圆心为 O。 因为 ⊙O 经过 A、B，所以 ，点 O 在线段 AB 的垂直平分线上；因为 ⊙O 经过 B、C，所以 ，点 O 又在线段 BC 的垂直平分线上。 图 3　过不在同一条直线上的三点 A、B、C 作圆：分别作 AB、BC 的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点 O，则 OA = OB = OC；以点 O 为圆心、OA 为半径作圆，这个圆就经过 A、B、C 三点 也就是说，如果这样的圆存在，它的圆心 O 必须是线段 AB 的垂直平分线与线段 BC 的垂直平分线的交点。因为 A、B、C 不在同一条直线上，线段 AB 与 BC 不共线，所以这两条垂直平分线不平行，它们相交于唯一一点 O。 ★ 结论：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 这里的「确定」有两层意思：这样的圆能作出来（存在性），并且只能作出一个（唯一性）。 用符号说：若圆心为 O，则 ，圆心 O 的位置由两条（也就是三条）垂直平分线唯一确定。 从上面的分析还能看出一个省事的做法：作图时只要作出两条边的垂直平分线就够了，不必把三条都作出来——第三条垂直平分线（AC 的）一定也经过点 O。 例　已知 A、B、C 是平面内不在同一条直线上的三个点，且 cm。求 ⊙O 的半径。 解　点 O 是 AB、BC 两条垂直平分线的交点，所以点 O 到 A、B、C 的距离相等，即 。已知 cm，所以 ⊙O 的半径是 3 cm，并且 cm。 由 可知，点 O 到 A、B、C 三个顶点的距离都相等，所以以点 O 为圆心、OA 为半径的圆一定同时经过这三点。 五、三角形的外接圆与内接三角形 三角形的三个顶点不可能在同一条直线上——否则这三条线段就围不成三角形。所以由上一节的结论立刻可以知道：任意一个三角形，都有唯一一个经过它三个顶点的圆（图 4）。 图 4　左：圆经过三角形的三个顶点，这个圆叫做三角形的外接圆；右：三角形的三个顶点都在圆上，这个三角形叫做圆的内接三角形 外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 内接三角形：这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 设三角形的三个顶点为 A、B、C，外接圆的圆心为 O，则 （r 就是外接圆的半径）。 因为三角形的三个顶点不在同一条直线上，由上一节的结论可知，经过它们的圆有且只有一个，这个圆就是三角形的外接圆。 「外接圆」与「内接三角形」说的是同一个图形，只是看问题的角度不同：「外接圆」是站在三角形的角度，说这个圆「接」在三角形外面，正好从三个顶点上穿过去；「内接三角形」是站在圆的角度，说这个三角形「接」在圆里面，三个顶点都落在圆上。 ① 一个三角形只有一个外接圆，一个圆也只有一个内接三角形（在不计位置与大小的前提下，由三个顶点唯一确定）。 ② 三角形的三个顶点一定在圆上；但圆上的点不一定是三角形的顶点。圆上有无数个点，任取其中不在同一条直线上的三个点，都能连成一个内接三角形。 六、三角形的外心及其位置 三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心（图 4、图 5 中的点 O）。 外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。它是三角形三条边的垂直平分线的交点（实际作图时只需作出其中两条）。 外心到三角形三个顶点的距离相等，即 ，这个距离就是外接圆的半径。 外心的位置随三角形的形状而变。图 5 把三种三角形放在一起作比较。 图 5　三种三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外部 设 △ABC 的外心为 O。不论点 O 落在三角形内部、斜边中点，还是三角形外部，都始终有 、、，也就是外心到三个顶点的距离永远相等。 三角形的类型 外心的位置 说明 锐角三角形 在三角形内部 三条边的垂直平分线在三角形内相交 直角三角形 在斜边的中点 斜边是外接圆的一条直径，斜边的中点就是圆心 钝角三角形 在三角形外部 钝角对面的那条边最长，圆心落在三角形外面 ① 判断外心的位置，只看「到三个顶点的距离相等」这一点：把三条边的垂直平分线都作出来，看它们的交点落在哪里。 ② 无论外心在三角形内还是在三角形外，它到三个顶点的距离都相等，这一点始终不变。 ③ 直角三角形的外心在斜边中点，这是三种情形中最特殊的一个，要单独记住。 七、反证法：同一条直线上的三个点不能确定圆 前面反复强调「不在同一条直线上」。那么，如果三个点恰好在同一条直线上，还能作一个经过它们的圆吗？结论是：不能。要说明这一点，直接去作圆是不好办的，我们换一种证明方法——反证法（图 6）。 反证法的三步： ① 假设结论不成立； ② 从假设出发，经过推理，推出与已知条件（或定义、基本事实、已证结论）相矛盾的结果； ③ 由此断定假设错误，从而原结论成立。 下面用反证法说明「经过同一条直线上的三个点不能作圆」（图 6 左）。 证明　设 A、B、C 三点在同一条直线上。 假设经过 A、B、C 三点能作一个圆，圆心为 O。因为 ，所以点 O 在线段 AB 的垂直平分线上，把它记作 ；因为 ，所以点 O 在线段 BC 的垂直平分线上，把它记作 。 因为 A、B、C 在同一条直线上，所以 与 都垂直于这条直线，于是它们互相平行，没有公共点。也就是说，不存在一个点能同时落在 和 上，这与「点 O 既在 上，又在 上」相矛盾。 所以假设不成立，经过同一条直线上的三个点不能作圆。 图 6　左：A、B、C 三点在同一条直线上，AB 与 BC 的垂直平分线互相平行，没有公共点；右：反证法的三步——假设、推出矛盾、结论成立 ① 反证法的关键在于「推出矛盾」。本例中的矛盾是：点 O 必须同时在两条互相平行的直线上，而这样的点不存在。 ② 写反证法时，一定要把「矛盾在哪里」写清楚：是与已知条件矛盾，还是与定义、基本事实、已证结论矛盾。 ③ 把本节的两个结论放在一起看：三点不共线，圆唯一；三点共线，圆不存在。「不在同一条直线上」这个条件，正反两方面都用得上。 八、易错清单 本节结论不多，但「几个点」「几条线」很容易记混。下面六个地方最容易出错（图 7 先给出两组说法的辨析），下表逐条说明。 图 7　说法辨析：左边三条是正确的，右边三条是常见的错误说法 易错点 错在哪里 正确做法 ① 认为「经过一个点只能作一个圆」 以为圆心只有一个，半径也只有一个 圆心可以取点 A 以外的任意一点，每取一个圆心就得到一个圆，所以有无数个 ② 认为「经过两个点只能作一个圆」 忽略了圆心可以在垂直平分线上滑动 圆心在线段 AB 的垂直平分线上，可以任取，所以经过两点的圆有无数个 ③ 认为「经过三个点就能确定一个圆」 漏掉了「不在同一条直线上」这个关键条件 只有不在同一条直线上的三个点才确定一个圆；三个点在同一条直线上时，作不出经过它们的圆 ④ 定点时「凭眼睛看」 在图上随手取一点，就当作圆心 圆心一定要用垂直平分线来定：作两条线段（弦）的垂直平分线，取它们的交点 ⑤ 把外心当成三角形内部的点 以为外心一定在三角形里面 锐角三角形的外心在内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在外部 ⑥ 用反证法时忘记「推出矛盾」 只写「假设……所以结论成立」，没有指出矛盾在哪里 反证法必须写清由假设推出的矛盾（与已知条件、定义、基本事实或已证结论矛盾），矛盾找到了，假设才被否定 九、方法总结与常见题型 把本节理一遍：先判断「要几个点才能定一个圆」，再动手「把圆心找出来」，最后注意「三点共线时作不出圆」（图 8）。 图 8　本节方法总结：找圆心 → 定半径 → 判唯一 ★ 记忆要点 ① 三个结论：经过一个点可以作无数个圆；经过两个点也可以作无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上；不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 ② 找圆心的办法：作两条线段（弦）的垂直平分线，它们的交点就是圆心，圆心到已知点的距离就是半径。 ③ 外接圆与外心：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆，它的圆心叫外心，外心是三角形三条边的垂直平分线的交点。 ④ 外心的位置：锐角三角形在内部，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在外部。 ⑤ 反证法：假设结论不成立 → 推出矛盾 → 结论成立；用它可说明「同一条直线上的三个点不能作圆」。 ⑥ 常用关系：外心到三角形三个顶点的距离都相等，，且等于外接圆的半径。 常见题型 入手点 用到的结论 判断经过若干点能作多少个圆 逐个数：一点、两点、三点各是哪种情形 过一点、过两点的圆有无数个；过不在同一条直线上的三点的圆唯一 确定圆心（或判圆心位置） 作两条线段（弦）的垂直平分线，取它们的交点 垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 求外心到顶点的距离 （或外接圆的半径） 先定外心，再求它到某一个顶点的距离 外心到三个顶点的距离相等，即 判断外心的位置 先看三角形是锐角、直角还是钝角 三种三角形外心的位置（三角形内、斜边中点、三角形外） 说明「过三点能否作圆」 先判断三点是否在同一条直线上 三点不共线确定一个圆；三点共线不能作圆 用反证法说明简单结论 先假设结论不成立，再找矛盾 反证法的三步 十、课后巩固 1. 下列说法中，正确的是（　　） A. 经过一个点只能作一个圆　　B. 经过两个点只能作一个圆 C. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆　　D. 经过三个点一定能作一个圆 2. 经过点 A、B 的所有圆的圆心都在（　　） A. 线段 AB 上　　B. 线段 AB 的垂直平分线上 C. 线段 AB 的中点处　　D. 过点 A 的一条直线上 3. 下列关于三角形外心的说法中，正确的是（　　） A. 三角形的外心一定在三角形内部 B. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 C. 直角三角形的外心在斜边上，但不是斜边的中点 D. 钝角三角形的外心在三角形内部 4. 已知 △ABC 的三个顶点都在 ⊙O 上，⊙O 的半径为 5 cm，则 = ＿＿ cm。 5. 小明在手工课上剪了一个圆形纸片，不小心把圆心弄丢了。请你帮他想一个办法，找出这张圆形纸片的圆心，并说明道理。 6. 已知 A、B、C 是平面内三个点，，，。经过 A、B、C 三点能作一个圆吗？为什么？ 参考答案与解析 1. C。经过一个点的圆有无数个（A 错）；经过两个点的圆也有无数个（B 错）；只有不在同一条直线上的三个点才确定一个圆，三点在同一条直线上时作不出圆（D 错）。 2. B。经过 A、B 两点的圆，圆心到 A、B 的距离相等，所以圆心在线段 AB 的垂直平分线上。 3. B。锐角三角形的外心在内部，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在外部，所以 A、C、D 都错；不论外心落在哪里，它到三个顶点的距离都等于外接圆的半径（B 对）。 4. 15。A、B、C 都在 ⊙O 上，所以 OA、OB、OC 都是 ⊙O 的半径，都等于 5 cm。于是 （cm）。 5. 在圆上任意取三个点 A、B、C（使它们不在同一条直线上），分别作线段 AB、BC 的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心。道理：圆心到圆上各点的距离都等于半径，所以圆心到 A、B、C 的距离相等，它既在 AB 的垂直平分线上，也在 BC 的垂直平分线上，只能是这两条垂直平分线的交点。 6. 不能。因为 ，而 ，所以 ，即 A、B、C 三点在同一条直线上。经过同一条直线上的三个点不能作圆，所以过 A、B、C 三点作不出圆。 十一、技能自查 序号 自查内容 能否做到 1 能说出经过一个点、经过两个点分别能作多少个圆，圆心各在哪里 □ 能　□ 还需复习 2 能说出「不在同一条直线上的三个点确定一个圆」，并说清「确定」的两层意思 □ 能　□ 还需复习 3 会用作两条垂直平分线的方法，作出经过不在同一条直线上的三点的圆 □ 能　□ 还需复习 4 知道什么是三角形的外接圆、内接三角形和外心 □ 能　□ 还需复习 5 能判断锐角、直角、钝角三角形的外心分别在什么位置 □ 能　□ 还需复习 6 了解反证法的思路与书写步骤，能用它说明「同一条直线上的三个点不能作圆」 □ 能　□ 还需复习 十二、知识追问 追问 1　为什么经过两个点的圆有无数个，而经过不在同一条直线上的三个点只能作一个？ 关键看圆心被限制在什么范围里。给定两个点 A、B，圆心只要满足到 A、B 的距离相等就行，也就是只要满足 ，这样的点组成一条直线（线段 AB 的垂直平分线），直线上有无数个点，圆心就能有无数种取法。 再给第三个点 C，圆心还必须同时满足到 B、C 的距离相等，也就是还要满足 ，即还要落在 BC 的垂直平分线上。两条不平行的直线只有一个公共点 O，圆心的位置被「锁死」在这一点上，所以这样的圆只能有一个。 追问 2　「不在同一条直线上」这个条件可以去掉吗？ 不可以。这个条件一去掉，结论就不成立了。当 A、B、C 三点在同一条直线上时，AB 与 BC 的垂直平分线互相平行，没有公共点，圆心无处可放，这样的圆根本作不出来（图 6 左）。所以「不在同一条直线上」是结论成立的前提，一个字都不能少。 追问 3　反证法为什么能证明结论成立？ 因为一个结论只有「成立」和「不成立」两种可能，两者必居其一。反证法先假设结论不成立，如果从这个假设出发推出了矛盾——推出了一个与已知条件、定义、基本事实或已证结论相冲突的结果——就说明「结论不成立」这个假设是错的。既然「不成立」被排除，剩下的可能就只有「成立」，所以结论成立。 十三、章内位置与中考对接 29.1.2 是第二十九章《圆》中 29.1 的第 2 课时。上一课时回答了「圆是什么」；本课时回答「一个圆由几个点确定、怎样作出来」，并把「外接圆」「外心」这两个常用的名称引入进来。 教材位置 内容 P116—P117 经过一个点作圆（无数个）；经过两个点作圆（无数个，圆心在两点连线的垂直平分线上） P118 不在同一条直线上的三个点确定一个圆；三角形的外接圆、内接三角形与三角形的外心 P119 反证法：经过同一条直线上的三个点不能作圆 中考怎么考 ① 选择、填空题：判断经过若干点能作多少个圆、圆心在哪里；判断三角形的外心位置；求外接圆的半径。 ② 作图题：作经过不在同一条直线上的三点的圆（作两条垂直平分线定圆心）；找回圆形工件（或圆形纸片）的圆心。 ③ 说理题：用反证法说明简单结论；用外心到三顶点距离相等求线段的长。 ④ 与后续内容衔接：外接圆与外心是后面反复要用到的概念，现在就要说清楚、记准确。 十四、本节边界 ★ 本节边界：本清单只研究确定圆的条件，以及三角形的外接圆、内接三角形与外心，并用反证法说明「同一条直线上的三个点不能作圆」。圆的其它性质、与圆有关的其它量，以及直线与圆、三角形与圆、多边形与圆的内容，都不属于本课时。 学科网（北京）股份有限公司 $