28.2.1 中心对称及其性质 知识清单2026-2027学年人教版九年级数学上册

28.2.1 中心对称及其性质　知识清单 人教版（2024）　九年级上册　第二十八章《旋转》 教材 P99—P101　28.2 中心对称（第 1 课时） 知识地图：从「旋转半圈」到「中心对称」 把一个图案绕着一个定点转过半圈（180°），它落到的位置往往与另一个图案正好重合；风车的两片对称叶片、剪纸里上下相对的两个花纹，都是这个样子。 这种「绕过一点、转 180° 后重合」的图形关系，就是本节要研究的中心对称。本节先认识中心对称（什么是对称中心、什么是对称点），再研究它的性质，然后学会作中心对称的图形、并会反过来找出对称中心（图 1）。 图 1　本节知识地图：中心对称的概念 → 中心对称的性质 → 中心对称的作图 → 确定对称中心 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习目标 ① 认识中心对称，知道它是把图形绕某一点旋转 180° 后与另一个图形重合，能指出对称中心和对称点； ② 掌握中心对称的性质：对称点所连线段都经过对称中心且被平分、两个图形全等，会用它们求线段长和角的度数； ③ 会作一个图形关于某点对称的图形，会找出两个成中心对称的图形的对称中心； ④ 知道中心对称与旋转的关系——它是旋转角为 180° 的特殊旋转。 学习重点 中心对称的性质；作一个图形关于某点对称的图形。 学习难点 ① 理解「对称点所连线段经过对称中心且被对称中心平分」——对称中心就是每一对对称点连线的中点； ② 作对应点时，必须同时做到「方向相反（三点共线）」和「到对称中心的距离相等」。 前后联系 本节是 28.1 旋转的直接延续：中心对称就是旋转角为 180° 的特殊旋转，所以 28.1 的三条性质它全都具备。它又是下一课的基础——下一课研究的是「一个图形绕点旋转 180° 后与自身重合」的情形。 二、中心对称的概念 1. 中心对称的定义 把一个图形绕着某一点旋转 180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称，也叫作中心对称。 这个点叫做对称中心；这两个图形中的对应点叫做关于这个点的对称点。 定义里有两个词要盯住：一是「旋转 180°」，二是「两个图形」。中心对称研究的是两个图形之间的位置关系——一个图形绕点 O 转半圈后，与另一个图形完全重合。 2. 它与旋转的关系 中心对称的「底子」就是旋转：把一个图形绕对称中心旋转 180°，就得到了与它成中心对称的图形。因此 28.1 学过的旋转的三条性质，在中心对称里全都成立；而 180° 这个特殊角度，又使性质①变得更简单、更好用（下一节详述）。 3. 三个关键词 · 对称中心：图形绕着转的那个定点，如点 O。它在旋转过程中始终不动；它可以在两个图形之间，也可以在图形上，还可以在图形外。 · 对称点：绕点 O 旋转 180° 后互相重合的两个点。如图 2 右图中， 与 、 与 各是一组对称点；点 是公共顶点，它的对应点就是它本身。 · 一条别忘的结论：每一对对称点的连线都经过对称中心。如图 2 右图中，、、 三点在一条直线上。这是性质①的「半句话」，下一节把它补全。 图 2　中心对称的概念：把一个平面图形绕点 O 旋转 180°，它能与另一个图形重合，就说这两个图形关于点 O 对称；线段 AC、BD 都经过点 O，且 OA = OC、OB = OD 三、中心对称的性质 中心对称是旋转角为 180° 的旋转，旋转的三条性质它都有。而 180° 又带来一条更好用的新性质，这一条是本节的核心。 ★ 中心对称的性质 ① 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。 ② 关于中心对称的两个图形全等。 （由②可以推出：对应线段相等，并且平行或在同一条直线上；对应角相等。） 1. 性质①的符号表示 若 与 关于点 对称，则 、、 三点共线，且 ，即点 是线段 的中点。对 与 、 与 也同样成立。 2. 一句更常用的话 把性质①换一种说法：两个图形关于点 中心对称时，对称中心 O 就是每一对对称点所连线段的「中点」。以后看到「是中心对称」，就要立刻想到「连线的中点」。 图 3　中心对称的性质：△ABC 与 关于点 O 中心对称，A、O、A′ 三点共线且 OA = OA′；两个图形全等；对应线段 AB ∥ A′B′ 四、性质的应用 性质最常用来「求线段长、求角的度数」，抓手只有一句话：对称中心把每一对对称点的连线平分。再配合「两个图形全等」，线段和角就都出来了。 例题（图 4）： 与 关于点 中心对称，已知 ，，，求 的周长。 解　因为 A 与 是对称点， 所以点 是 的中点， ； 又 ，所以 ； 所以 ， 即 的周长为 15。 图 4　由中心对称的性质求 △OAB 的周长：点 O 是 AA′ 的中点得 OA = 4，两个图形全等得 AB = 5 五、教材例 1：作中心对称的图形 教材 P100 例 1：选择点 为对称中心，作与 关于点 对称的 。 作法 ① 连接 并延长，在延长线上截取 ，得到点 ； ② 同法作出点 、 的对称点 、； ③ 顺次连接 、、，则 的图形 即为所求。 为什么这样作就是对的？因为「关于点 O 对称」要求 、、 三点共线且 ——「延长」保证了三点共线（在对称中心的两侧）；「截取等长」保证了 。两个条件都满足， 才是 的对称点。 图 5　教材例 1（P100）：作与 △ABC 关于点 O 对称的 六、中心对称的作图四步 把上面的作法整理成四个字：连 → 延 → 截 → 连接。 步骤 做什么 连 连接每一个关键点与对称中心 延 把连线延长，使延长线经过对称中心并伸到它的另一侧 截 在延长线上截取与原来相等的长度，得到这个关键点的对称点 连接 按原图形的连接方式，把各对称点顺次连接 图 6　中心对称的作图四步（连 → 延 → 截 → 连接），以及作一个点的对称点的方法 作图时要把连线和延长线保留下来，不要擦掉——它们既方便回头检查，也是作图题的规范要求。 七、确定对称中心的两种方法 反过来，如果已知两个图形关于某个点中心对称，怎样把这个点找出来？ · 方法一：连接任意一对对称点，这条线段的中点就是对称中心。 · 方法二：连接任意两对对称点，这两条线段的公共点就是对称中心。 两种方法其实是一回事：由性质①，对称中心一定是每一对对称点所连线段的中点，所以它必定落在每一条这样的线段上。为了减少误差，实际作图时常用方法二——两条线段的公共点比「量中点」更可靠。 图 7　确定对称中心的两种方法：一对对称点连线的中点，或两对对称点连线的公共点 八、易错清单 下面五个错误在初学中心对称时最常见（图 8）。 图 8　中心对称的常见易错点辨析：图中 N 点方向对、长度错，M 点长度对、方向错，只有 A′ 是正确的对称点 易错点 错在哪里 正确做法 ① 把它当成「一个图形自身重合」 把中心对称说成「一个图形旋转 180° 与自身重合」 中心对称讲的是两个图形之间的位置关系：一个图形绕点 O 转 180° 后，与另一个图形完全重合 ② 以为对称中心一定在两图形之间 作图时总把对称中心画在两个图形的中间 对称中心可以在两个图形之间，也可以在图形上，还可以在图形外；在哪里都不影响性质 ③ 把「对应线段平行」记成「一定平行」 遇到对应线段在同一条直线上的情形就判错 对应线段平行，或在同一条直线上；所以性质里写的是「平行（或在同一条直线上）且相等」 ④ 只作一个关键点就连线 作完点 A 的对称点 A′ 就顺手连接，结果图形画错 必须把所有关键点的对称点都作出来，再按原图形的连接方式顺次连接 ⑤ 与轴对称混为一谈 把「绕点转 180°」和「沿一条直线翻折」当成一回事 中心对称是绕定点旋转 180°；轴对称是沿一条直线翻折，二者不同 九、方法总结 解决与中心对称有关的问题，可以按下面四步走（图 9）。 图 9　解决中心对称问题的四步法：认关系 → 用性质 → 作图形 → 定中心 ★ 记忆要点 ① 中心对称是「旋转角为 180° 的特殊旋转」，旋转的三条性质它都有； ② 它比一般旋转还多一条：对称点所连线段都经过对称中心，并被对称中心平分； ③ 中心对称的两个图形全等，所以对应线段相等、对应角相等； ④ 因此解题时先想旋转，再用「平分」与「全等」这两把钥匙。 常见题型 入手点 用到的性质 已知中心对称，求线段长 抓住「对称中心把对应点的连线平分」，把所求线段与它的对称线段挂钩 性质①（连线被平分）、性质②（对应线段相等） 已知中心对称，求角的度数 先找对应角，或把所求角拆成几个已知角的和、差 性质②（对应角相等）、对应线段平行 作中心对称的图形 连 → 延 → 截 → 连接，逐点作出对称点再顺次连接 性质①（三点共线、等距） 找对称中心 连一对对称点取中点，或连两对对称点取公共点 性质①（对称中心是连线的中点） 十、课后巩固 1．下列说法中，正确的是（　　） A．中心对称的两个图形全等　　B．对称中心一定在两个图形之间 C．成中心对称的两个图形中，对称点的连线互相平行　　 D．中心对称就是把一个图形绕某点旋转 90° 2．如图，△ABC 与 △A′B′C′ 关于点 O 中心对称。已知 OA = 3 cm，OB = 4 cm，则 OA′ = 　　 cm，BB′ = 　　 cm。 3．如图，△ABC 与 △A′B′C′ 关于点 O 中心对称。已知 ∠A = 50°，∠B = 70°，AB = 6 cm。求 ∠A′、∠B′ 的度数与 A′B′ 的长。 4．已知线段 AB 和它外面的一点 O。作出线段 AB 关于点 O 对称的线段 A′B′，并写出作法。 5．四边形 ABCD 绕点 O 旋转 180° 后得到四边形 A′B′C′D′。已知 ∠A = 80°，AB = 5 cm，BC = 7 cm。 (1) 求 ∠A′ 的度数与 A′B′、B′C′ 的长； (2) 说明四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 有什么关系，并说明理由。 6．如图，△ABC 与 △A′B′C′ 关于点 O 中心对称，AA′ 经过点 O。已知 AA′ = 10 cm，OB = 3 cm，A′B′ = 4 cm。求 △OAB 的周长。 参考答案与解析 1．A。中心对称的两个图形全等，A 正确；对称中心可以在两图形之间、也可以在图形上或图形外，B 错；对称点的连线都经过对称中心，不是互相平行，C 错；中心对称是绕点旋转 180°，不是 90°，D 错。 2．OA′ = 3，BB′ = 8。由性质①，点 O 是 AA′、BB′ 的中点，所以 ，。 3．由性质②，两个图形全等，对应角相等、对应线段相等，所以 ，，。 4．作法：① 连接 AO 并延长，在延长线上截取 ，得到点 ；② 同法作出点 的对称点 ；③ 连接 。线段 就是所求作的线段。 5．(1) 由性质②，两图形全等，所以 ，，；(2) 四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′ 全等。因为把一个图形绕点 O 旋转 180° 得到另一个图形，旋转只改变图形的位置，不改变形状和大小。 6．因为 A 与 是对称点，所以点 是 的中点，；又 ，所以 ；所以 ，即 的周长为 12 cm。 十一、技能自查 序号 自查内容 能否做到 1 能说出中心对称的定义，能指出对称中心和对称点 □ 能　□ 还需复习 2 能说出中心对称的两条性质，并能用符号表示出来 □ 能　□ 还需复习 3 会由中心对称求线段长和角的度数（会用「平分」和「全等」） □ 能　□ 还需复习 4 会按「连—延—截—连接」作一个图形关于某点对称的图形，作图规范、保留痕迹 □ 能　□ 还需复习 5 会找出两个成中心对称的图形的对称中心 □ 能　□ 还需复习 6 知道中心对称是旋转角为 180° 的特殊旋转 □ 能　□ 还需复习 十二、知识追问 追问 1　中心对称与一般的旋转有什么区别？ 中心对称是旋转角恰好等于 180° 的特殊旋转。它有两点特别：一是旋转角固定为 180°，所以对应点与对称中心一定三点共线、分居两侧；二是它研究的是两个图形之间的位置关系——一个图形绕点转 180° 后与另一个图形重合。 追问 2　对称中心一定在两个图形之间吗？ 不一定。对称中心可以在两个图形之间，也可以在图形上（例如对称中心恰好是图形的一个顶点），还可以在图形之外。不管它在哪里，「对称点连线经过对称中心且被平分」这条性质都成立。 追问 3　中心对称的两个图形中，对应线段一定平行吗？ 不一定。对应线段可能平行，也可能在同一条直线上。例如一条线段绕它的中点旋转 180°，得到的线段与原线段就在同一条直线上。所以性质里写的是「平行（或在同一条直线上）且相等」，不能漏掉括号里的那半句。 十三、与旋转的联系、章内位置与中考对接 28.2.1 是第二十八章《旋转》中 28.2 的第 1 课时。它把上一节学的旋转「特化」了一个角度——当旋转角恰好是 180° 时，就得到本节的中心对称。 这样做的好处是：一般旋转里「对应点与旋转中心的连线夹角等于旋转角」这句话，到了 180° 就变成了一句更好用的话——「三点共线，且对称中心是连线的中点」。所以中心对称可以看成「最好算的一种旋转」。 教材位置 内容 P99 中心对称的概念（对称中心、对称点） P100 中心对称的性质（对称点连线过对称中心且被平分；两图形全等）；例 1（作与 △ABC 关于点 O 对称的图形） P101 由中心对称的性质求线段长、角的度数；确定对称中心 中考怎么考 ① 选择、填空题：判断两个图形是否关于某点中心对称；由中心对称求线段长或角的度数；指出对称中心、对称点。 ② 作图题：作出一个图形关于某点对称的图形，并写出作法、说明理由。 ③ 综合应用：把中心对称与全等三角形、平行四边形、正方形等结合起来，求角度或线段长。这是本节性质最主要的「用武之地」。 ★ 本节边界：本清单只研究「两个图形之间的中心对称」——它的概念、性质、作图与找对称中心，以及它与旋转的联系。至于「一个图形自身绕点旋转 180° 后与自身重合」，以及后续要学的图形变换内容，本清单都不涉及。 学科网（北京）股份有限公司 $