2.2.1 有理数的乘法 教学设计 2026-2027学年人教版七年级数学上册

2.2.1 有理数的乘法 教学设计 2026—2027学年人教版七年级数学上册 课题 2.2.1 有理数的乘法 单元 第二章 有理数的运算（第3课时） 学科 初中数学（人教版） 年级 七年级上册 学习目标 1.经历由两列乘法算式“观察规律、合情推理”的过程，理解在有理数范围内规定乘法运算必须与已有的正数及 0 的乘法保持一致，发展抽象能力与推理能力； 2.掌握有理数乘法法则（两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与 0 相乘都得 0），能正确、熟练地进行有理数的乘法运算，理解倒数的概念，发展运算能力； 3.理解有理数乘法的交换律、结合律和分配律仍然成立，能运用运算律简化运算，能判断多个有理数相乘时积的符号，会用有理数的乘法解决气温变化等实际问题，发展应用意识。 教材分析 本节课是人教版（2024年版）七年级上册第二章第3课时。在前两课时研究了有理数的加法、减法之后，教材以“与加法、减法一样，乘法、除法也是有理数的基本运算”开篇，提出“希望在有理数范围内，所有数都能像正数及 0 一样进行乘法运算，并使乘法运算具有一致性”的研究设想。 教材设计了两个关键的“思考”：先从 3×3、3×2、3×1、3×0 与 3×3、2×3、1×3、0×3 两列算式出发，利用“一个乘数逐次递减 1，积逐次递减 3”的规律，得到 3×(−1)=−3 等算式，归纳出“正数乘负数、负数乘正数，积为负数”；再利用 (−3)×3、(−3)×2、(−3)×1、(−3)×0 中“积逐次增加 3”的规律，得到 (−3)×(−1)=3 等算式，归纳出“负数乘负数，积为正数”，从而完整得出有理数乘法法则。 此后教材给出例1（法则的直接运用）、倒数的概念、例2（气温变化），并通过探究得到乘法交换律、结合律、分配律，用例3 对比两种解法体现分配律的价值；最后探究“多个不为 0 的数相乘时积的符号与负乘数个数之间的关系”。本课的知识生成过程体现了“合情推理—归纳法则—验证运算律”的研究路径，是发展学生推理能力的重要载体。 学情分析 学生已经掌握有理数的加法、减法法则与运算律，熟悉正数及 0 的乘法，具备用“规律延续”进行合情推理的经验。学生的困难主要有三：一是对“负数乘负数得正数”缺乏直观体验，容易凭感觉写成负数；二是把“同号得正、异号得负”错误地迁移为“同号相加也取正”；三是在多个数相乘时，确定积的符号往往依靠逐一相乘而不是先数负乘数的个数。 因此教学中要充分发挥“两列算式”的规律探究作用，让学生亲历“猜—算—验—归纳”的过程；对“负负得正”，要引导学生从“规律必须延续”和“乘法对加法的分配律仍然成立”两个角度理解；练习中要强化“先定符号、再算绝对值”的运算习惯。 教学重点 有理数乘法法则的理解与运用；倒数的概念；乘法运算律在简化计算中的运用。 教学难点 “负数乘负数，积为正数”的归纳与理解；多个有理数相乘时积的符号的确定。 教学准备 多媒体课件；自制“算式规律”探究表；登山气温变化示意图；学习任务单（含“两列算式规律表”与“积的符号判定表”）。 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 情境导入 【创设情境 引入课题】 教师回顾：前两节课我们研究了有理数的加法与减法，把小学的加法、减法推广到了有理数范围内。 出示章首语：与加法、减法一样，乘法、除法也是有理数的基本运算，小学时学习的乘法、除法运算也可以推广到有理数范围内。 提问：我们已经熟悉正数及 0 的乘法。数的范围扩大到有理数后，怎样进行有理数的乘法运算呢？ 教师引导学生先按乘数的符号分类： ①正数×正数；②正数×0；③0×0（小学已学）；④正数×负数、负数×正数；⑤负数×负数；⑥0×负数。 追问：为使乘法运算具有一致性，第④⑤⑥类的结果应该怎样规定？这就是本节课要研究的问题。 板书课题：2.2.1 有理数的乘法。 1. 回顾加法、减法的推广过程，明确“运算要在有理数范围内保持一致”的研究要求； 2. 说出小学已学的乘法情况，并列举出引入负数后新出现的乘法情况； 3. 明确本课的研究任务：确定“正×负”“负×正”“负×负”“0×负”的结果。 沿用加法、减法“保持运算一致性”的研究思路，让学生自己列全乘法可能出现的情况，使探究的对象明确、有序，为下文的规律探究做好铺垫。 新知探究一 正数乘负数、负数乘正数 【思考1】分别观察下面两列乘法算式，你能发现什么规律？ (1) 3×3=9，3×2=6，3×1=3，3×0=0； (2) 3×3=9，2×3=6，1×3=3，0×3=0。 教师引导学生逐列观察： （1）随着后一乘数逐次递减 1，积逐次递减 3； （2）随着前一乘数逐次递减 1，积也逐次递减 3。 追问：要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么 3×(−1)，3×(−2)，3×(−3) 应各等于多少？(−1)×3，(−2)×3，(−3)×3 呢？ 学生在任务单上填空并交流： 3×(−1)=−3，3×(−2)=−6，3×(−3)=−9；(−1)×3=−3，(−2)×3=−6，(−3)×3=−9。 追问：从符号和绝对值两个角度观察这些算式，你能归纳出什么结论？ 教师板书归纳：正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积也为负数。积的绝对值等于乘数的绝对值的积。 1. 观察两列算式的变化，说出“逐次递减 1”与“积递减 3”的对应关系； 2. 按规律延续填空，得到 6 个新算式并说明理由； 3. 分小组从“符号”和“绝对值”两方面归纳结论，代表发言； 4. 举例检验：任意举一个正数乘负数的例子，看结论是否成立。 用“规律延续”进行合情推理，让学生体会数学结论的发现过程；同时明确“乘积由符号与绝对值两部分确定”，为概括完整法则做好准备。 新知探究二 负数乘负数 【思考2】利用上面归纳的结论计算下面的算式： (−3)×3=____，(−3)×2=____，(−3)×1=____，(−3)×0=____。 学生口答：−9，−6，−3，0。 追问：观察这四个算式，你能发现什么规律？ （预设：随着后一乘数逐次递减 1，积逐次增加 3。） 追问：按照上述规律，(−3)×(−1)，(−3)×(−2)，(−3)×(−3) 应各填什么数？从中可以归纳出什么结论？ 学生填表并交流：(−3)×(−1)=3，(−3)×(−2)=6，(−3)×(−3)=9。 教师板书结论：负数乘负数，积为正数，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积。 深度追问：为什么“负数乘负数”的积必须是正数？请从“规律必须延续”的角度说一说。 （预设：只有这样，前面发现的“积的变化规律”在所有有理数中才一致；如果规定为负数，规律就断裂了。） 1. 独立计算四个算式，核对结果； 2. 观察“积逐次增加 3”的变化，按规律填空； 3. 讨论并回答“为什么负负得正”，从规律一致性的角度说明理由； 4. 完整复述两个探究得到的结论。 “负数乘负数得正数”是本课的难点。通过“积逐次增加 3”的规律延续，让学生感受到这一结论不是随意规定，而是保持运算规律一致性的必然结果，从而突破认知障碍。 归纳法则 例1示范 【归纳法则】教师引导学生把两个探究的结论合并，完整表述有理数乘法法则： 与有理数加法类似，有理数相乘也既要确定积的符号，又要确定积的绝对值。一般地： 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积。 任何数与 0 相乘，都得 0。 教师说明法则的字母表示：设 a，b 为正有理数，c 为任意有理数，则 (+a)×(+b)=+(a×b)，(−a)×(−b)=+(a×b)；(−a)×(+b)=−(a×b)，(+a)×(−b)=−(a×b)；c×0=0，0×c=0。 显然，两个有理数相乘，积是一个有理数。 【例1】计算：(1) 8×(−1)；(2) (−1/2)×(−2)；(3) (−2/3)×(−5/7)。 教师规范示范，强调“先定符号、再算绝对值”： （1）8×(−1)=−(8×1)=−8； （2）(−1/2)×(−2)=+(1/2×2)=1； （3）(−2/3)×(−5/7)=+(2/3×5/7)=10/21。 追问：计算(−3)×0 与 0×(−3) 的结果是什么？为什么？ 1. 参与归纳，用“两步走”的语言复述法则：先定符号，再算绝对值； 2. 观察教师示范的书写格式，注意符号与绝对值分别处理； 3. 独立完成 (−3)×0、0×(−3) 等题，指出“任何数与 0 相乘都得 0”； 4. 同桌互相出题（一正一负、两负、含 0 各一道）并互查。 由两个特殊结论概括出一般法则，实现由特殊到一般的提升；规范示范“先定符号、再算绝对值”的程序，落实运算能力；渗透“用字母表示法则”的符号意识。 倒数与例2 实际应用 【倒数的概念】教师指出：在例1(2)中，(−1/2)×(−2)=1，我们说 −1/2 和 −2 互为倒数。一般地，在有理数中仍然有：乘积是 1 的两个数互为倒数。 追问：0 有倒数吗？为什么？1 和 −1 的倒数分别是多少？ （预设：0 没有倒数，因为任何数与 0 相乘都得 0，不等于 1；1 的倒数是 1，−1 的倒数是 −1。） 【例2】用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负。登山队攀登一座山峰，每登高 1 km 气温的变化量为 −6 ℃。登高 3 km 后，气温有什么变化？ 教师引导学生分析：气温的变化量是“每千米变化量×登高千米数”，即 (−6)×3。 学生列式计算：(−6)×3=−18。 教师结合登山示意图强调结果的意义：答：登高 3 km 后，气温下降 18 ℃。 追问：如果登高 3 km 后气温上升 18 ℃，那么每登高 1 km 的气温变化量应记为多少？ 1. 理解倒数的定义，举出互为倒数的例子（如 −2 与 −1/2、3 与 1/3）； 2. 讨论并说明 0 没有倒数的理由； 3. 独立列式解决例2，写出计算过程并说明“−18 表示下降 18 ℃”； 4. 完成追问，体会“用负数表示变化量”的意义。 把倒数概念嵌入具体算式中生成，避免孤立记忆；例2用气温变化的实际问题说明乘法的意义，学生不仅会算，还要能解释结果的实际含义，发展应用意识。 登山气温变化示意图：每登高 1 km 气温变化 −6 ℃，登高 3 km 气温下降 18 ℃（对应教材例2） 新知探究三 乘法运算律 【探究1：交换律】计算 5×(−6)，(−6)×5，所得的积相同吗？换几组乘数再试一试，你能得出什么结论？ 学生计算：5×(−6)=−30，(−6)×5=−30，结果相同。 教师板书：一般地，在有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变，即乘法交换律 ab=ba。 【探究2：结合律】计算 [2×(−3)]×(−4) 与 2×[(−3)×(−4)]，结果相同吗？再换几组数试一试。 学生计算后发现结果相同，教师板书：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，即乘法结合律 (ab)c=a(bc)。 教师指出：根据乘法交换律和结合律，多个有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个数相乘。 旁注说明：a×b 也可以写为 a·b 或 ab；当用字母表示乘数时，“×”可以写为“·”或省略不写。 1. 独立计算并比较两组算式的结果； 2. 自己再举几组例子验证两条运算律； 3. 用字母表示两条运算律，说出字母的含义； 4. 讨论：多个有理数相乘时，任意交换乘数的位置依据是什么。 运算律由学生举例验证得出，而不是直接告知；把“验证—概括—表示”的过程留给学生，既巩固乘法法则，又为下一环节的简算与符号探究提供依据。 分配律 例3两种解法 【探究3：分配律】计算 5×[3+(−7)]，5×3+5×(−7)，所得的结果相同吗？换几组数再试一试，你能得出什么结论？ 学生计算：5×[3+(−7)]=5×(−4)=−20；5×3+5×(−7)=15+(−35)=−20，结果相同。 教师板书：在有理数中，一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加，即分配律 a(b+c)=ab+ac。 【例3】（1）计算 2×3×0.5×(−7)；（2）用两种方法计算 (1/4+1/6−1/2)×12。 示范(1)：2×3×0.5×(−7)=(2×0.5)×[3×(−7)]=1×(−21)=−21。（追问：先算 2×0.5 和 3×(−7) 有什么好处？） 示范(2)： 解法1（先算括号内）：(1/4+1/6−1/2)×12=(3/12+2/12−6/12)×12=(−1/12)×12=−1； 解法2（用分配律）：(1/4+1/6−1/2)×12=1/4×12+1/6×12−1/2×12=3+2−6=−1。 追问：比较两种解法，它们在运算顺序上有什么区别？解法2用了什么运算律？哪种解法更简便？ （预设：解法2先把括号去掉，把分数与整数相乘化为整数运算，更简便。） 1. 计算并验证分配律，用字母表示； 2. 观察例3(1)，说出“先算 2×0.5 得 1”“把 3 与 −7 结合”使计算简便的道理； 3. 独立用两种方法完成例3(2)，比较两种解法的运算顺序； 4. 归纳：当括号外的数分别与括号内各数相乘能“约分”“凑整”时，用分配律更简便。 通过两种解法的对比，让学生亲身感受运算律对简化运算的作用，把“为什么要用运算律”讲清楚；同时明确运算顺序与运算律的区别与联系。 积的符号 多个数相乘 【探究4】改变例3(1)的乘积式子中某些乘数的符号，得到下列一些式子，观察这些式子，它们的积是正的还是负的？ 2×3×(−0.5)×(−7)，2×(−3)×(−0.5)×(−7)，(−2)×(−3)×(−0.5)×(−7)。 学生计算并填表，教师引导观察：几个不为 0 的数相乘，积的符号与负的乘数的个数之间有什么关系？如果有乘数为 0，那么积有什么特点？ 学生归纳，教师板书： 几个不为 0 的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数的个数是奇数时，积为负数；几个数相乘，如果其中有乘数为 0，那么积为 0。 教师示范：遇到多个不为 0 的数相乘，可以先用上面的结论确定积的符号，再把乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。例如 (−3)×5/6×(−9/5)×(−1/4)=−(3×5/6×9/5×1/4)=−9/8； (−5)×6×(−4/5)×1/4=5×6×4/5×1/4=6。 追问：示例(2)中负的乘数的个数是几个？所以积为什么是正的？ 1. 计算三组算式，把积的符号与负乘数的个数填入表格； 2. 小组讨论并归纳符号判断规律； 3. 用“数一数负乘数的个数”的方法快速判断符号，再用绝对值相乘求积； 4. 独立完成两个示例，说明每一步的依据。 把符号判断从“逐一相乘”提升为“数负乘数的个数”，是运算技能与推理能力的结合；表格化的探究过程使结论清晰可循，有助于形成高效的运算习惯。 课堂练习 分层落实 【练习一】（教材P40练习第1题）计算：(1) 6×(−9)；(2) (−4)×6；(3) (−6)×(−1)；(4) (−6)×0；(5) (−4)×1/4；(6) 2/3×(−9/4)。 【练习二】（教材P40练习第2题）商店降价销售某种商品，每件降 5 元，售出 60 件。与按原价销售同样数量的商品相比，销售额有什么变化？ 教师引导：销售额的变化为 (−5)×60=−300（元），即销售额减少 300 元。 【练习三】（教材P40练习第3题）写出下列各数的倒数：1，−1，1/3，−1/3，5，−5，2/3，−2/3。 【练习四】（教材P43练习第1、2题）计算：(1) (−85)×(−25)×(−4)；(2) (−7/8)×15×(−8/7)；(3) (9/10−1/15)×30；(4) (−6/5)×(−2/3)+(−6/5)×(+17/3)；(5) (−5/12)×8/15×1/2×(−2/3)；(6) (−1)×(−5/4)×8/15×3/2×(−2/3)×0×(−1)。 教师重点讲评(2)(3)(4)(6)：第(2)题把带分数化为假分数再约分；第(3)(4)题用分配律；第(6)题抓住“有乘数为 0，积为 0”。 教师巡视，对“符号定错”“约分不彻底”两类错误进行面批与集中讲评。 1. 独立完成练习一，按“先定符号、再算绝对值”书写过程； 2. 用乘法解释商品降价带来的销售额变化； 3. 口答倒数，注意“0 没有倒数”； 4. 完成练习四，比较各题用到的运算律或符号规律，说出选择依据。 练习覆盖法则运用、实际应用、倒数、运算律与多因数符号判断，层次递进；讲评紧扣易错点，帮助学生把“先定符号”的习惯转化为自动化技能。 课堂小结 作业布置 【课堂小结】教师引导学生从四个方面回顾： 1. 我们是用什么方法发现有理数乘法法则的？（观察两列算式的变化规律—合情推理—归纳） 2. 有理数乘法法则是什么？（两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与 0 相乘都得 0） 3. 有理数乘法有哪些运算律？它们在什么情况下能使计算简便？（交换律、结合律、分配律；能约分、凑整、化整时） 4. 多个不为 0 的数相乘，怎样快速确定积的符号？（负乘数的个数为偶数，积为正；为奇数，积为负；有 0 则积为 0） 教师完善板书结构图：分类→规律探究→乘法法则→倒数→运算律→符号规律→应用。 【作业布置】 1. 必做：教材习题2.2 第1题、第2题、第3题； 2. 选做：教材习题2.2 第4题、第5题（含“有乘数为 0”的情形）； 3. 拓展：阅读教材P50“探究与发现——从数系扩充看有理数乘法法则”，从数系扩充的角度说明 1×(−1)=−1，0×(−1)=0，(−1)×(−1)=1 的合理性，写在数学笔记本上。 1. 围绕四个问题口头小结，完善笔记中的知识结构； 2. 整理本节课的易错点（负负得正、多个数相乘的符号）； 3. 记录分层作业，明确拓展阅读的任务。 以“研究方法—法则—运算律—符号规律”四条线小结，帮助学生形成结构化的知识网络；拓展阅读与下一课时“有理数的除法”以及后续的数系扩充思想衔接。 板书设计： 一、分类（正×正、正×负、负×正、负×负、与0相乘） 二、规律探究（3×0→3×(−1)=−3；(−3)×0→(−3)×(−1)=3） 三、有理数乘法法则（同号得正，异号得负，积的绝对值等于乘数绝对值的积） 四、倒数（乘积为1） 五、运算律（ab=ba；(ab)c=a(bc)；a(b+c)=ab+ac） 六、多个数相乘的符号规律 学科网（北京）股份有限公司 $