2.2.1 第1课时 有理数的乘法法则 教学设计 2026—2027学年数学人教版七年级上册

2.2.1 第1课时 有理数的乘法法则 教学设计 课题 2.2.1 第1课时 有理数的乘法法则 学科 数学 年级 七年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第1课时（2.2.1 共3课时） 课型 新授课 教学目标 1. 理解有理数的乘法法则，能利用法则熟练进行有理数的乘法运算；2. 理解倒数的意义，会求一个有理数的倒数；3. 会用分类讨论的思想归纳两数相乘的法则，体会“化归为小学乘法”的转化思想. 教学重点 两个有理数相乘的符号法则及运算步骤. 教学难点 如何观察给定的乘法算式，从符号和绝对值两个角度概括算式的规律. 教学方法 情境教学、探究归纳、讲练结合 教学准备 多媒体课件、学案 课后练习 教材本节课后练习及习题 2.2 中与有理数乘法法则相关的题目。 板书设计 见“板书设计”部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、温故知新 一、温故知新 1. 我们已经知道可以用正负数表示具有相反意义的量，你能举几个生活中的例子吗？ 答案：如收入记为正、支出记为负；水位上升记为正、下降记为负；气温零上记为正、零下记为负等. 2. 小学已经学过正数与正数、正数与零的乘法，引入负数之后，有理数的乘法运算有几种情况？ 答案：五种：正数乘正数、正数乘负数、负数乘正数、负数乘负数、因数中有 0 的乘法. 3. (1) 计算 (－5)+(－5)+(－5)+(－5)+(－5)；(2) 猜想 (－5)×5 的结果是多少？ 答案：(1) 5 个 －5 相加得 －25；(2) 猜想 (－5)×5=－25（乘法是加法的简便运算）. 【师生活动】(1)(2)(3) 由学生口答完成；问题 2 先让学生分组讨论，从有理数分为正数、零、负数的角度考虑，教师点拨学生的展示情况. 学生举例回顾相反意义的量，把有理数乘法按符号分类为五种情况；由连加猜想 (−5)×5=−25，感受乘法与加法的联系. 回顾用正负数表示具有相反意义的量的方法，渗透分类讨论思想，为推导有理数的乘法法则打下基础. 二、创设情境 导入新课 二、创设情境，导入新课 【情境·水库水位】有甲、乙两座水库，甲水库的水位每天升高 3 cm，乙水库的水位每天下降 3 cm. 如果用“+”号表示水位的上升、用“－”号表示水位的下降，请用算式表示 4 天后甲、乙水库水位的总变化量分别是多少？ 答案：甲水库 4 天后水位总变化量为 3+3+3+3=3×4=12(cm)；乙水库 4 天后水位总变化量为 (－3)+(－3)+(－3)+(－3)=(－3)×4=－12(cm). 【追问】乙水库的变化量 (－3)×4 该如何计算？负数与负数相乘又该如何进行？由此引出课题——有理数的乘法. 【师生活动】学生讨论交流，有的学生用小学算术算出甲升 12 cm、乙降 12 cm，有的学生用正负数表示变化量；教师肯定两种思路，指出负数参与乘法运算后需要新的法则，从分类角度明确本课要研究五种情况. 学生由水库情境列出 3×4 与 (−3)×4，发现负数乘法无法用小学方法直接处理，明确要研究的五种乘法类型. 通过实际问题自然引出本节课要解决的问题，渗透分类讨论思想，引导学生借助已有经验开始研究新问题. 三、实践探究 交流新知 三、实践探究，交流新知 问题1：观察下面的乘法算式，你能发现什么规律？ 3×4=12；　3×3=9；　3×2=6；　3×1=3；　3×0=0. （前一个乘数不变，后一个乘数逐次减 1，积逐次减 3） 要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有： 3×(－1)=　　　　；　3×(－2)=　　　　；　3×(－3)=　　　　；　3×(－4)=　　　　. 答案：－3；－6；－9；－12. 【结论1】正数乘负数，积为负数，积的绝对值等于乘数的绝对值的积. 问题2：类比上述过程，观察 4×3=12，3×3=9，2×3=6，1×3=3，0×3=0，要使规律在引入负数后仍然成立，那么应有： (－1)×3=　　　　；　(－2)×3=　　　　；　(－3)×3=　　　　；　(－4)×3=　　　　. 答案：－3；－6；－9；－12. 【结论2】负数乘正数，积为负数，积的绝对值等于乘数的绝对值的积. 问题3：利用上面的结论计算：(－3)×4、(－3)×3、(－3)×2、(－3)×1、(－3)×0，你发现什么规律？ （积依次为 －12、－9、－6、－3、0，后一个乘数逐次减 1，积逐次增 3） 要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有： (－3)×(－1)=　　　　；　(－3)×(－2)=　　　　；　(－3)×(－3)=　　　　；　(－3)×(－4)=　　　　. 答案：3；6；9；12. 【结论3】负数乘负数，积为正数，积的绝对值等于乘数的绝对值的积. 问题4：总结上面所有的情况，你能归纳出有理数乘法法则吗？ 【有理数乘法法则】两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积. 任何数与 0 相乘，都得 0. 【师生活动】先让学生观察、叙述、补充，教师带领学生总结各类规律；学生独立思考后课堂交流，师生共同归纳法则，鼓励学生模仿正数乘负数的探究过程自主得出负数乘负数的规律. 学生按“正乘负、负乘正、负乘负”三步递进探究，先填空验证规律再归纳符号与绝对值规则，最终概括出有理数乘法法则. 构造有规律的算式，通过合情推理得到各类乘法法则；使学生知道“如何观察”“如何发现规律”，体会从符号与绝对值两个角度思考问题. 四、学以致用 应用新知 四、学以致用，应用新知 【例1】计算： (1) (－3)×9；　(2) (－0.01)×0；　(3) (－)×(－2). 解：(1) (－3)×9=－(3×9)=－27； (2) (－0.01)×0=0； (3) (－)×(－2)=+(2×)=1. 【例2】下列各组数中，互为倒数的是（　） A．2 和 －2　　B．－5 和　　C．0 和 5　　D．－1 和 －1 答案：D（(－1)×(－1)=1；A 中 2×(－2)=－4；B 中 －5×=－1；C 中 0 没有倒数）. 【例3】在实验室中，用冷却的方法可将某种生物标本的温度稳定地下降，每 1 min 下降 2 ℃. 假设现在生物标本的温度是 0 ℃，则 3 min 后它的温度是多少？ 答案：记下降为负，(－2)×3=－6(℃)，3 min 后它的温度是 －6 ℃. 【变式训练】 1. 计算： (1) 15×(－6)；　(2) ×(－)． 解：(1) 原式=－(15×6)=－90； (2) 原式=－(×)=－． 2. 写出下列各数的倒数：3，－1，0.3，－，，－3. 答案：它们的倒数分别为 ，－1，，－2，4，－． 3. 计算：(1) 3.7×3；　(2) (+5.6)×(－1.2)；　(3) (－3.48)×(－0.7). 答案：(1) 11.1；　(2) －6.72；　(3) 2.436. 【师生活动】学生独立完成例题与变式，展示解答并说明符号的确定过程；教师对学习有困难的学生适当引导、点拨，强调“先定符号、再算绝对值”. 学生按“先定符号、再算绝对值”完成乘法计算，辨析倒数的意义（特别是 0 无倒数、负数的倒数仍为负），运用乘法解决冷却降温问题. 让学生进一步理解有理数的乘法法则，提升学生思考和解决问题的能力；倒数概念为后续除法与混合运算做准备. 五、课堂检测 堂堂清 五、课堂检测 1. 计算： (1) (－5)×0.2；　(2) (－8)×(－0.25)；　(3) (－3)×(－)；　(4) 0.1×(－0.01). 答案：(1) －1；　(2) 2；　(3) 1；　(4) －0.001. 2. 计算 (－3)×2 的结果是（　） A．－1　　B．1　　C．－6　　D．－5 答案：C（异号得负，积的绝对值为 3×2=6）. 3. 已知 x=－4，y=－2，则 |xy| 的值为　　　　． 答案：8（xy=(－4)×(－2)=8，|8|=8）. 4. (1) － 的倒数是（　） A．－　　B．－　　C．　　D． 答案：B（(－)×(－)=1）. (2) －×（　　）=1，为使等式成立，括号内应填的数是（　） A．－2　　B．－1　　C．2　　D．－ 答案：A. (3) 如果一个数的倒数是 －，那么这个数的绝对值是　　　　． 答案：2（这个数是 －2，|－2|=2）. 5. 若 a×(－)=1，则 a=　　　　；已知一个有理数的倒数的绝对值是 7，则这个有理数是　　　　． 答案：－7；±（倒数的绝对值是 7，则倒数是 ±7，原数是其倒数 ±）. 6. 下列说法正确的是（　） A．两数相乘，若积为正数，则这两个数都是正数 B．两数相乘，若积为负数，则这两个数异号 C．互为相反数的两数之积一定是负数 D．任何有理数都有倒数 答案：B（A 中两数也可同为负；C 中 0 的相反数是 0，积为 0；D 中 0 没有倒数）. 7. 用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负. 登山队攀登一座山峰，每登高 1 千米，气温的变化量为 －6 ℃，登高 3 千米后，气温下降多少摄氏度？ 答案：(－6)×3=－18(℃)，气温下降 18 ℃. 【师生活动】学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解；第 6 题针对“积的符号与因数符号关系”的易错点逐项辨析. 学生限时独立完成检测；第 1~3 题巩固乘法法则，第 4~5 题考查倒数概念，第 6 题辨析符号规律，第 7 题体会乘法的实际应用. 通过设置课堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的. 六、课堂小结 布置作业 六、课堂小结 （1）本节课学到了什么？（2）你还有什么疑惑？ 【归纳】①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与 0 相乘，都得 0；②有理数乘法的求解步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值；③乘积是 1 的两个数互为倒数；0 没有倒数；正数的倒数是正数，负数的倒数是负数. 【布置作业】教材本节课后练习及习题 2.2 中与有理数乘法法则相关的题目. 学生复述乘法法则与运算步骤、倒数概念，梳理“分类探究—归纳法则—应用”的主线；课后独立完成作业. 加深对本课知识的理解，把乘法法则纳入有理数运算体系. 板书设计 2.2.1 有理数的乘法（第1课时） 一、有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 任何数与 0 相乘，都得 0 二、运算步骤 先确定积的符号，再确定积的绝对值 三、倒数 乘积是 1 的两个数互为倒数；0 没有倒数 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $