第二十七章 反比例函数 专题训练·双曲线与直线：交点与判别式 2026--2027学年人教版九年级数学上册

九年级数学人教版上学期第二十七章反比例函数专题训练 双曲线与直线：交点与判别式 反比例函数 （）的图象是一对双曲线，一次函数 （）的图象是一条直线．两函数图象的公共点，在代数上对应着方程组 的实数解；消去 并去分母后，转化为一元二次方程 ．这构成了函数与方程相互转化的桥梁． 在研究交点问题时，需注意两类特殊位置的直线．第一类是过原点的正比例函数 ：当 与 同号时必有两个关于原点对称的交点，当 与 异号时无交点；第二类是平行于坐标轴的直线 或 ：它们与双曲线的一支恰有一个交点，此时只需代入即可直接求得交点坐标． 判别式与一元二次方程根与系数的关系结合．设两交点的横坐标分别为 、，则 ，．由此可简捷求出线段中点的横坐标 ，或利用 表达水平距离，再结合铅垂高求三角形面积． 专题一　交点个数的直接判定 1．【教材改编·判别式与交点】在平面直角坐标系中，判断一次函数 的图象与反比例函数 的图象的交点个数． （1）联立两函数解析式，列出关于 的一元二次方程； （2）计算该一元二次方程根的判别式 的值； （3）由 的符号判断两函数图象的交点个数，并求出交点的坐标． 2．【交点情况辨析】已知一次函数 与反比例函数 ． （1）联立两函数解析式并整理为一元二次方程的一般形式； （2）求该方程根的判别式 的值； （3）判断两函数图象是否有公共点，并说明理由． 3．【含参交点判定】已知一次函数 与反比例函数 ． （1）若 ，判断两函数图象的交点个数，并求出交点坐标； （2）若 ，判断两函数图象的交点个数，并求出交点坐标； （3）若 ，判断两函数图象的交点个数，并说明理由． 4．【平行于坐标轴的特殊直线】在平面直角坐标系中，已知双曲线 ． （1）求直线 与该双曲线的交点 的坐标； （2）求直线 与该双曲线的交点 的坐标； （3）判断线段 是否经过原点 ． 专题二　由交点个数反求参数取值范围 5．【教材改编·由公共点求范围】已知直线 与反比例函数 的图象有两个公共点． （1）列出关于 的一元二次方程； （2）用含 的代数式表示根的判别式 ； （3）求实数 的取值范围． 6．【相交与不相交的临界】已知直线 与反比例函数 的图象． （1）若直线与双曲线有两个不同的交点，求 的取值范围； （2）若直线与双曲线恰好只有一个交点，求 的值； （3）若直线与双曲线没有公共点，求 的取值范围． 7．【双曲线系数含参】如图，直线 与双曲线 （）． （1）联立解析式并整理为关于 的一元二次方程； （2）若两图象有两个公共点，求 满足的取值范围； （3）若两图象恰好只有一个公共点，求 的值及该公共点的坐标． 8．【指定象限内的交点】已知一次函数 的图象与反比例函数 （）的图象在第一象限内相交于两点． （1）求 的取值范围； （2）当 时，求两交点的坐标； （3）当两交点重合时，求此时 的值及交点坐标． 专题三　正比例函数与双曲线交点的中心对称性 9．【教材改编·正比例函数与双曲线】如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于 、 两点． （1）求点 、 的坐标； （2）说明点 与点 关于原点 对称； （3）求线段 的长度． 10．【由一个交点定另一个】已知正比例函数 与反比例函数 的图象相交于点 和点 ． （1）直接写出点 的坐标； （2）求 与 的值； （3）过点 作 轴于点 ，求 的面积． 11．【斜率互反与交点】已知直线 与反比例函数 的图象相交于点 、． （1）若点 的横坐标为 ，求 的值及点 的坐标； （2）求 是否存在？若存在，判断 的形状，若不存在，说明理由； （3）若反比例函数改为 ，判断直线 与其是否有公共点，并说明理由． 12．【正比例函数与双曲线围成三角形】如图，双曲线 与直线 相交于 、 两点，点 在第一象限．过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ． （1）求点 、 的坐标； （2）求线段 的长度； （3）求四边形 的面积． 专题四　直线平移与切线临界问题 13．【教材改编·直线平移与切线】如图，直线 与双曲线 在第一象限交于点 ．将直线 向下平移 个单位长度（），得到直线 ． （1）求点 的坐标； （2）若平移后的直线 与双曲线恰有一个公共点，求 的值及该公共点坐标； （3）若平移后的直线 与双曲线没有公共点，求 的取值范围． 14．【斜率为负的直线平移】已知直线 与双曲线 ． （1）若直线与双曲线有两个公共点，求 满足的条件； （2）若直线与双曲线恰好只有一个交点，求 的值； （3）在（2）的条件下，求出切点的坐标． 15．【旋转直线的交点临界】已知直线 过点 ，其表达式为 （），双曲线表达式为 ． （1）联立解析式，整理为关于 的一元二次方程； （2）若直线 与双曲线有两个交点，求 的取值范围； （3）若直线 与双曲线恰有一个公共点，求 的值及交点坐标． 16．【平行线族的交点状态】在平面直角坐标系中，直线 与双曲线 ． （1）若直线与双曲线有两个公共点，求 的取值范围； （2）当 时，求两交点的坐标； （3）当 时，判断直线与双曲线的交点个数，并说明理由． 专题五　交点坐标与根与系数的关系 17．【教材改编·韦达定理求中点】如图，直线 与双曲线 相交于 、 两点． （1）求一元二次方程 的两根 、； （2）求两交点 、 的坐标； （3）求线段 的中点 的坐标． 18．【交点横坐标之差】已知直线 与双曲线 相交于 、 两点． （1）用含 的代数式表示 和 ； （2）用含 的代数式表示 ； （3）若 ，求 的值． 19．【交点横坐标倒数和】已知直线 与双曲线 （）相交于 、 两点． （1）写出 和 的值（用含 的式子表示）； （2）求 的值； （3）若 ，求 的值，并验证此时两交点是否存在． 20．【中点弦与参数关系】如图，直线 与双曲线 相交于 、 两点，线段 的中点为 ． （1）求两交点横坐标的和 ； （2）求点 的坐标（用含 的代数式表示）； （3）判断点 是否在某条定直线上，若是，写出该直线的表达式． 专题六　双曲线与几何图形边界交点探究 21．【教材改编·动直线截矩形与双曲线】如图，矩形 的顶点 为坐标原点，，．双曲线 （）与边 交于点 ，与边 交于点 ． （1）分别求点 和点 的坐标（用含 的式子表示）； （2）求直线 的表达式（用含 的式子表示）； （3）当 时，求 的面积． 22．【菱形边界与双曲线公共点】如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 ，，，．反比例函数 （）的图象与菱形的边有公共点． （1）求边 所在直线的函数表达式； （2）当双曲线与边 恰好只有一个公共点时，求 的值； （3）求双曲线与菱形 的边有公共点时 的取值范围． 23．【正方形与双曲线多交点探究】正方形 的对角线交点为原点 ，边分别平行于坐标轴，边长为 ．反比例函数 的图象与正方形的边相交． （1）求正方形四个顶点的坐标； （2）当 时，求双曲线与正方形边的交点个数； （3）若双曲线与正方形的边恰好有 个交点，求 的取值范围． 24．【类比探究·三步递进开放压轴题】如图，直线 与两坐标轴分别交于 、 两点，与双曲线 （）交于 、 两点． （1）求点 、 的坐标； （2）当 时，求点 、 的坐标，并求 的面积； （3）若双曲线与线段 至少有一个公共点，求 的取值范围；并直接写出当 取最大值时两交点的位置关系． 参考答案 1．解：（1）联立两函数解析式，得 ， 两边同乘 ，得 ， 整理，得 ． （2）． （3）∵ ，∴ 方程有两个不相等的实数根， ∴ 一次函数 的图象与反比例函数 的图象有两个交点． 解方程 ，得 ，∴ 或 ． 当 时，；当 时，， ∴ 两交点的坐标为 、． 2．解：（1）联立两函数解析式，得 ， 两边同乘 ，得 ， 整理，得 ． （2）． （3）∵ ，∴ 方程有两个不相等的实数根，两函数图象有公共点． 解方程 ，得 ，∴ 或 ． 当 时，；当 时，， ∴ 两交点的坐标为 、． 3．解：联立两函数解析式，得 ， 两边同乘 ，得 ，即 ，其判别式为 ． （1）当 时，，方程有两个不相等的实数根，两函数图象有两个交点． 解方程 ，得 ，∴ 或 ． 当 时，；当 时，， ∴ 两交点坐标为 、． （2）当 时，，方程有两个相等的实数根，两函数图象只有一个交点． 解方程 ，得 ，∴ ，此时 ， ∴ 交点坐标为 ． （3）当 时，，方程没有实数根， ∴ 两函数图象没有交点． 4．解：（1）把 代入 ，得 ， ∴ 直线 与双曲线的交点 的坐标为 ． （2）把 代入 ，得 ，∴ ， ∴ 直线 与双曲线的交点 的坐标为 ． （3）∵ 点 、 的横坐标互为相反数、纵坐标也互为相反数， ∴ 点 与点 关于原点 对称， ∴ 线段 经过原点 ． 5．解：（1）联立两函数解析式，得 ， 两边同乘 ，得 ， 整理，得 ． （2）． （3）∵ 两函数图象有两个公共点，∴ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ，∴ ， ∴ 或 ． 6．解：联立两函数解析式，得 ， 两边同乘 ，得 ，即 ，其判别式为 ． （1）∵ 直线与双曲线有两个不同的交点，∴ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ，∴ 或 ． （2）∵ 直线与双曲线恰好只有一个交点，∴ 方程有两个相等的实数根， ∴ ，∴ 或 ． （3）∵ 直线与双曲线没有公共点，∴ 方程没有实数根， ∴ ，∴ ． 7．解：（1）联立两函数解析式，得 ， 两边同乘 ，得 ， 整理，得 ． （2）∵ 两函数图象有两个公共点，∴ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ，∴ ． 又∵ 是反比例函数，∴ ， ∴ 且 ． （3）∵ 两函数图象恰好只有一个公共点，∴ ，∴ ． 此时方程为 ，即 ，∴ ， 此时 ， ∴ 公共点的坐标为 ． 8．解：联立两函数解析式，得 ， 两边同乘 ，得 ，即 ，其判别式为 ． （1）∵ 两函数图象在第一象限内相交于两点，∴ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ，∴ ． 又∵ ，∴ ． （2）当 时，方程为 ，即 ，∴ 或 ． 当 时，；当 时，， ∴ 两交点坐标为 、． （3）∵ 两交点重合，∴ 方程有两个相等的实数根， ∴ ，∴ ． 此时方程为 ，即 ，∴ ，此时 ， ∴ 交点坐标为 ． 9．解：（1）联立两函数解析式，得 ， 两边同乘 ，得 ，∴ ，∴ 或 ． 当 时，；当 时，， ∴ 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． （2）∵ 点 的横坐标、纵坐标分别是点 的横坐标、纵坐标的相反数， ∴ 点 与点 关于原点 对称． （3）∵ 点 、， ∴ ． 10．解：（1）∵ 正比例函数与反比例函数的图象都关于原点成中心对称，它们的两个交点关于原点对称， ∴ 点 与点 关于原点对称， ∴ 点 的坐标为 ． （2）∵ 点 在正比例函数 的图象上，∴ ，∴ ； ∵ 点 在反比例函数 的图象上，∴ ，∴ ． （3）∵ 轴，，∴ 点 的坐标为 ， ∴ ，且 在 轴上． ∵ 点 到 轴的距离为 ， ∴ ． 11．解：（1）∵ 点 在直线 上，且其横坐标为 ， ∴ ，∴ 点 的坐标为 ． ∵ 点 在反比例函数 的图象上，∴ ． ∵ 直线 与双曲线的两个交点关于原点对称， ∴ 点 与点 关于原点对称，点 的坐标为 ． （2）∵ 点 、、 的横坐标与纵坐标都满足 ， ∴ 点 、、 都在直线 上，三点共线， ∴ 不能构成三角形． （3）联立解析式，得 ，两边同乘 ，得 ，即 ． ∵ 对任意实数 ，都有 ，∴ 方程 没有实数根， ∴ 直线 与双曲线 没有公共点． 12．解：（1）联立两函数解析式，得 ， 两边同乘 ，得 ，∴ 或 ． ∵ 点 在第一象限，∴ ；点 在第三象限，∴ ． （2）∵ 轴， 轴， ∴ 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ∴ ． （3）∵ 轴， 轴，∴ ，四边形 是梯形． ∵ ，，，且 是梯形的高， ∴ ． 13．解：（1）联立两函数解析式，得 ， 两边同乘 ，得 ，即 ，∴ ，∴ ， 此时 ， ∴ 点 的坐标为 ． （2）∵ 平移后的直线为 ， 联立解析式得 ， 两边同乘 ，得 ，其判别式为 ． ∵ 直线 与双曲线恰有一个公共点，∴ ， ∴ ，∴ 或 ，∴ 或 ． 当 时， 即为直线 ，公共点为 ； 当 时， 为直线 ，此时方程为 ，即 ， ∴ ，此时 ，公共点为 ． （3）∵ 直线 与双曲线没有公共点，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ． 14．解：联立两函数解析式，得 ， 两边同乘 ，得 ，即 ，其判别式为 ． （1）∵ 直线与双曲线有两个公共点，∴ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ，∴ 或 ． （2）∵ 直线与双曲线恰好只有一个交点，∴ 方程有两个相等的实数根， ∴ ，∴ 或 ． （3）当 时，方程为 ，即 ，∴ ，此时 ； 当 时，方程为 ，即 ，∴ ，此时 ， ∴ 切点的坐标为 或 ． 15．解：（1）联立两函数解析式，得 ， 两边同乘 ，得 ， 整理，得 ． （2）∵ 直线 与双曲线有两个交点，∴ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ，∴ ． 又∵ ，∴ 且 ． （3）∵ 直线 与双曲线恰有一个公共点，∴ ，∴ ． 此时方程为 ，即 ，∴ ，此时 ， ∴ 公共点的坐标为 ． 16．解：联立两函数解析式，得 ， 两边同乘 ，得 ，即 ，其判别式为 ． （1）∵ 直线与双曲线有两个公共点，∴ ，∴ 或 ． （2）当 时，方程为 ，即 ，∴ 或 ． 当 时，；当 时，， ∴ 两交点坐标为 、． （3）当 时，方程为 ，即 ， ∴ ，方程有两个相等的实数根，∴ 直线与双曲线只有一个交点． 此时 ，，∴ 交点坐标为 ． 17．解：（1）解方程 ，得 ， ∴ ，． （2）当 时，；当 时，， ∴ 两交点坐标为 、． （3）∵ 为线段 的中点， ∴ ，， ∴ 点 的坐标为 ． 18．解：联立两函数解析式，得 ， 两边同乘 ，得 ，即 ． （1）∵ 、 是方程 的两个实数根， ∴ ，． （2）． （3）∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ，∴ 或 ． 19．解：联立两函数解析式，得 ， 两边同乘 ，得 ，即 ． （1）∵ 、 是方程 的两个实数根， ∴ ，． （2）． （3）∵ ，∴ ，∴ ． 检验：当 时，方程为 ， ，方程有两个不相等的实数根， ∴ 此时两交点存在． 20．解：联立两函数解析式，得 ， 两边同乘 ，得 ，即 ． （1）∵ 、 是方程 的两个实数根， ∴ ． （2）∵ 点 、 都在直线 上， ∴ ，， ∴ ． ∵ 为线段 的中点， ∴ ，， ∴ 点 的坐标为 ． （3）∵ 点 的横坐标与纵坐标相等，都等于 ， ∴ 点 在直线 上． 21．解：（1）∵ 矩形 中 、，∴ ，边 在直线 上，边 在直线 上． 把 代入 ，得 ，∴ 点 的坐标为 ； 把 代入 ，得 ，∴ 点 的坐标为 ． （2）∵ 点 、， ∴ 直线 中横坐标每增加 个单位，纵坐标的变化为 ． ∴ 直线 的表达式可设为 ． 把点 代入，得 ， ∴ ， ∴ 直线 的表达式为 ． （3）当 时，，． ∵ ，且 在直线 上；，且 在直线 上， ∴ ， ∴ ． 22．解：（1）∵ 点 、， ∴ 边 所在直线的表达式可设为 ． 把 、 代入，得 ，， ∴ ， ∴ 边 所在直线的表达式为 ． （2）联立 与 ， 两边同乘 ，得 ，即 ． ∵ 双曲线与边 恰好只有一个公共点，∴ ， ∴ ． 此时方程为 ，即 ，∴ ，此时 ， ∴ 公共点的坐标为 ． （3）设双曲线与菱形的边的公共点为 ，则 ． ∵ 双曲线 中 ，∴ 公共点必在第一象限或第三象限． 在第一象限内，菱形的边为 （，）与 （，）． 在边 上：，当 时 ； 在边 上：，与 矛盾，无公共点． 在第三象限内，菱形的边为 （，）， 此时 ，当 时 ； 其余两边上 与 同号而积为负，与 矛盾． ∴ 双曲线与菱形 的边有公共点时， 的取值范围是 ． 23．解：（1）∵ 正方形的对角线交点为原点 ，边长为 ，边分别平行于坐标轴， ∴ 正方形四个顶点的坐标分别为 、、、． （2）当 时，双曲线为 ． 正方形四条边所在的直线分别为 、、、． 把 代入，得 ，交点为 ； 把 代入，得 ，交点为 ； 把 代入，得 ，交点为 ； 把 代入，得 ，交点为 ， 且这四个点都在正方形的边上， ∴ 双曲线与正方形边的交点个数为 ． （3）设交点坐标为 ，则 ． ∵ 双曲线与正方形的四条边都相交， ∴ 在直线 上，，需满足 ，即 ； 在直线 上，，需满足 ，即 ． 又∵ ，∴ ． ∴ 若双曲线与正方形的边恰好有 个交点，则 的取值范围是 ． 24．解：（1）∵ 直线 ，令 ，得 ；令 ，得 ， ∴ 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． （2）当 时，联立解析式得 ， 两边同乘 ，得 ，即 ， ∴ ，∴ 或 ． 当 时，；当 时，， ∴ 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． 过点 、 分别作坐标轴的平行线，可得以 、、、 为顶点的长方形，其面积为 ． △ 的面积等于该长方形的面积减去三个直角三角形的面积： ， ∴ ． （3）设双曲线与线段 的公共点为 ，则 ． ∵ 线段 上点的坐标满足 ，且 ， ∴ ． ∵ ，∴ ． ∴ 双曲线与线段 至少有一个公共点时， 的取值范围是 ． 当 时，方程为 ，即 ，∴ ，此时 ， ∴ 此时双曲线与线段 的两个交点重合于一点 ． 学科网（北京）股份有限公司 $