精品解析：陕西省宝鸡市高新中学2026-2027学年度上学期九年级数学第一次学情自测试题

2026—2027学年度第一学期形成性检测一 九年级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 1. 下列方程中：①；②；③；④．一元二次方程有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列命题中，真命题是（ ） A. 两对角线相等的四边形是矩形 B. 两对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 两对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D. 一组对边相等另一组对边平行的四边形是平行四边形 3. 用配方法解一元二次方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形是菱形，于点E，则的长是（ ） A. B. 6 C. D. 12 5. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 2 6. 在四边形中，，不能判定四边形为矩形的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 7. 顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是正方形，则这个四边形对角线应满足（ ） A. 相等且平分 B. 垂直且平分 C. 相等且垂直 D. 相等、平分且垂直 8. 如图，正方形中，点E在上，且，点F是的中点，点G是的中点，延长与的延长线交于点H．以下四个结论：①；②是直角三角形；③；④．其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共6小题，共18分． 9. 若方程是关于x的一元二次方程，则的值为________． 10. 如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为、．求________ ． 11. a是方程的一个根，则代数式的值是________． 12. 如图，在菱形中，点在对角线上，过点作于点，且，连接，若，，则的长为_____． 13. 如图，在矩形中，点F在上，点E在上，把这个矩形沿折叠后，使点D恰好落在边上的点G处．若矩形面积为且，，则折痕的长为_______． 14. 如图，在矩形中，，，，分别是，上的两个动点，，沿折叠形成，连接，，则的最小值是______． 三、解答题：本大题共11小题，共78分． 15. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 16. 如图，已知正方形，请用尺规作图法，在正方形内部找一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 17. 已知关于x的一元二次方程 ． （1）求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根为p和q，且满足，求m的值． 18. 如图，四边形是平行四边形，点是延长线上一点，，连接，，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的周长． 19. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： 的最小值是4． （1）求代数式的最小值； （2）求代数式的最大值； 20. 如图所示，在正方形中，．E、F分别为边的中点，连接，点N、M分别为的中点，连接，求的长度． 21. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆200人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末进馆288人次．若进馆人次的月平均增长率相同： （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因学校条件限制，图书馆月接纳能力不超过400人次．在进馆人次月平均增长率不变的前提下，学校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？请说明理由 22. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，延长到点E，使得．连接．过点B作，交于点F，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 23. 暑假期间，某商场购进一批价格为元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为元时，每周可售出件，售价每上涨元，销售量将减少件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的倍.该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为元，每件文化衫应定价多少元？ 24. 如图，中，点是边上一个动点（不与重合），过作直线，设交平分线于点，交的外角平分线于点． （1）当点运动到何处，四边形是矩形？并说明理由． （2）在（1）的条件下，满足什么条件时，四边形是正方形？ （3）当点在边上运动时，四边形会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由． 25. 【初步感受】 （1）如图1，在正方形中，点、、分别是、、边上的点，连接、．若，垂足为．将沿方向平移到，连接．求证：； 【迁移应用】 （2）如图2，在矩形中，点、、分别是、、边上的点，连接、，，垂足为．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，王叔叔家有一个矩形菜地，他计划对其进行改造，点、分别在、边上，在改造的过程中始终要满足，连接，过点作交边于点，垂足为．他计划在四边形区域内种植茄子，在四边形区域内种植西红柿，并分别沿、修建灌溉水渠，经测量，米，米，为了控制成本，要求灌溉水渠（）的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠（）总长度的最小值．（水渠宽度忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期形成性检测一 九年级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 1. 下列方程中：①；②；③；④．一元二次方程有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，求解即可． 【详解】解：化简①，得，因此不是一元二次方程； ②、③、④均满足一元二次方程的定义，是一元二次方程． 综上，一元二次方程有3个． 2. 下列命题中，真命题是（ ） A. 两对角线相等的四边形是矩形 B. 两对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 两对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D. 一组对边相等另一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定定理可进行求解． 【详解】解：A、两对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，故不符合题意； B、两对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法错误，故不符合题意； C、两对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法正确，故符合题意； D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原说法错误，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定定理，熟记平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定定理是解题的关键． 3. 用配方法解一元二次方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．首先将方程的常数项移到等号右边得到，方程两边同时加上9，再利用完全平方公式配方即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 4. 如图，四边形是菱形，于点E，则的长是（ ） A. B. 6 C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质得到，，，，从而根据勾股定理求出，进而可得，再由即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 5. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的根，方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于a的方程，从而求得a的值． 【详解】解：把代入方程得到：， 解得：， ， ， 故选：B． 6. 在四边形中，，不能判定四边形为矩形的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的判定条件逐项进行分析判断即可； 【详解】解：A、∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意； B、∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝∠B， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意； C、∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°， ∵∠A＝∠C， ∴∠B＝∠D， ∴四边形ABCD是平行四边形，不能判定四边形为矩形，故选项C符合题意； D、∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴四边形ABCD是矩形， ∴选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，准确分析判断是解题的关键． 7. 顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是正方形，则这个四边形对角线应满足（ ） A. 相等且平分 B. 垂直且平分 C. 相等且垂直 D. 相等、平分且垂直 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质定理，三角形中位线定理，熟练应用中位线定理和正方形的性质是解题的关键． 根据题意画图，利用中位线定理得，，，，然后根据正方形的性质得四个角是直角，四条边相等，然后，根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：根据题意画出图形如下： ∵E、F、G、H分别是四边形各边、、、的中点， ∴，， ∴，， ∵四边形是正方形， ，， ∴，， 故选：C． 8. 如图，正方形中，点E在上，且，点F是的中点，点G是的中点，延长与的延长线交于点H．以下四个结论：①；②是直角三角形；③；④．其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】设正方形边长为，求出、、，利用勾股定理等逆定理可以判定②正确；根据三角形中位 线定理可以判定①正确；根据直角三角形斜边中线 定理可以判断③正确；通过计算可以判断④正确． 【详解】解：设正方形边长为， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，点F是的中点， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故②正确； ∵，， ∴是中位线， ∴，故①正确； 在中， ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理逆定理、三角形中位线定理以及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，共18分． 9. 若方程是关于x的一元二次方程，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，需要满足未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列条件求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 解得：或且， ∴的值为． 10. 如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为、．求________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，由矩形性质可得，，，，然后通过勾股定理得出，则有，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 11. a是方程的一个根，则代数式的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用方程根的定义得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得：， 整理得：， ∴ ． 12. 如图，在菱形中，点在对角线上，过点作于点，且，连接，若，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的勾股定理以及辅助线的构造方法。掌握通过菱形性质推导等边三角形，并利用勾股定理在直角三角形中逐步求解线段长度是解题的关键．首先，利用菱形的性质，证明为等边三角形，得出对角线；其次，设，通过的角性质得到，结合的等量关系求出，确定和的长度；最后，作构造直角三角形，通过勾股定理逐步计算、和，最终在中求得． 【详解】解：在菱形中，，， 则， ∴为等边三角形， ∴， 设，则， ∵过点作于点， ∴， 在中，，， ∴， 由， 得，解得， 故，， 过P作于点M， ∵， ∴ 在中，，， ∴， 在中，，由勾股定理可得： ， ， 在中，，由勾股定理可得： ． 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，点F在上，点E在上，把这个矩形沿折叠后，使点D恰好落在边上的点G处．若矩形面积为且，，则折痕的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠的性质可知，，，，，结合即可得出，进而可得出为等边三角形．在中，通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出、，再由结合矩形面积为，即可求出的长度，根据即可求出结论． 【详解】解：由折叠的性质可知，，，，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵矩形的面积为， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、等边三角形的判定及性质以及解含30度角的直角三角形，根据边角关系及勾股定理确定、是解题的关键． 14. 如图，在矩形中，，，，分别是，上的两个动点，，沿折叠形成，连接，，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，作点关于的对称点，连接，由于四边形是矩形，所以，，，则，，在中，，从而得，故当共线时，的值最小，最小值，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∵是定值， ∴ 当共线时，的值最小，最小值， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题：本大题共11小题，共78分． 15. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先把方程两边同时除以3，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）先移项，再把方程左边利用提公因式法分解因式得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （3）利用公式法解方程即可； （4）先把原方程化为一般式，再利用十字相乘法分解因式得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 16. 如图，已知正方形，请用尺规作图法，在正方形内部找一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：所作点如图所示： 【解析】 【分析】分别以为圆心，长为半径画弧交正方形内部于点，连接，推出为等边三角形，即，再作边的垂直平分线交于点，连接，即可作出满足，且的点． 【详解】略 17. 已知关于x的一元二次方程 ． （1）求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根为p和q，且满足，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）的值为或 【解析】 【分析】本题考查的一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解法： （1）先计算，从而可得结论； （2）由根与系数的关系可得，再代入，建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系，得， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴的值为：或． 18. 如图，四边形是平行四边形，点是延长线上一点，，连接，，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的周长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）． 【解析】 【分析】（1）利用“平行四边形的对边平行且相等”证明,再利用“等量代换”得到,同时由“两直线平行，同位角相等”证明,再由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”和“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明结论． （2）由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得,再由勾股定理计算的长，进而求出结论． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 ∵，， ∴, 在中，, ∴由勾股定理得 ∴的周长为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定、平行线的性质、直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握这些性质是解决问题的关键． 19. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： 的最小值是4． （1）求代数式的最小值； （2）求代数式的最大值； 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题时要注意在变形的过程中不要改变式子的值，把式子变成完全平方与一个常数的和的形式． （1）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答； （2）仿照题中方法进行变形，根据非负数的性质进行解答． 【小问1详解】 解：， ， ， 的最小值为． 【小问2详解】 解：， ， ， 的最大值为5． 20. 如图所示，在正方形中，．E、F分别为边的中点，连接，点N、M分别为的中点，连接，求的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定、勾股定理，三角形中位线定理，正确做出辅助线且证出是解决问题的关键． 连接，延长交于G，连接，由正方形推出，，，证得，得到，，根据三角形中位线定理得到，由勾股定理求出即可得到． 【详解】解：连接，延长交于G，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵M为的中点， ∴， 在中， ∴， ∴，， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴． 21. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆200人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末进馆288人次．若进馆人次的月平均增长率相同： （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因学校条件限制，图书馆月接纳能力不超过400人次．在进馆人次月平均增长率不变的前提下，学校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？请说明理由 【答案】（1） （2） 解：学校图书馆能接纳第四个月的进馆人次，理由如下： 进馆人次的月平均增长率， 第四个月的进馆人次为（人次）． ， 学校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 【解析】 【分析】（1）设进馆人次的月增长率为，利用第三个月进馆人次数第一个月进馆人次数月平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用第四个月进馆人次数第三个月进馆人次数月平均增长率），可求出第四个月进馆人次数，再将其与400比较后即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设进馆人次的月增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：进馆人次的月平均增长率． 【小问2详解】 略 22. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，延长到点E，使得．连接．过点B作，交于点F，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ，，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ． ， ∴四边形是平行四边形． ，， ， ， ∴平行四边形是矩形． （2）2 【解析】 【分析】（1）证四边形是平行四边形，再证，则，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形的性质得，，所以．又由，，由直角三角形性质得．在中，，由直角三角形性质得，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知四边形是矩形， ，， ． 又，， ． 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判定与性质，菱形的性质、直角三角形的性质是解题的关键． 23. 暑假期间，某商场购进一批价格为元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为元时，每周可售出件，售价每上涨元，销售量将减少件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的倍.该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为元，每件文化衫应定价多少元？ 【答案】每件文化衫应定价元. 【解析】 【分析】设每件文化衫的定价为x元时，每天的利润为800元，则每天可售出（）件，根据总利润=每件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合售价不能超过进价的2倍即可确定x的值，此题得解． 【详解】设每件文化衫的定价为元， 根据题意，得， 解得，. ∵售价不能超过进价的倍， ∴. ∴. 答：每件文化衫应定价元. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24. 如图，中，点是边上一个动点（不与重合），过作直线，设交平分线于点，交的外角平分线于点． （1）当点运动到何处，四边形是矩形？并说明理由． （2）在（1）的条件下，满足什么条件时，四边形是正方形？ （3）当点在边上运动时，四边形会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由． 【答案】（1） 当点O运动到中点时，四边形是矩形，理由如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 又∵， ∴， ∴与相等且互相平分， ∴四边形是矩形； （2） 当时，四边形是正方形，理由如下： ∵，是的角平分线， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （3） 四边形不会是菱形，理由如下： 如图所示，连接交于G， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， 若四边形是菱形，则， 但在中，不可能存在两个角为， ∴四边形不会是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，正方形的判定，菱形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，熟知相关知识是解题的关键． （1）由角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，同理可得，则，当，可得与相等且互相平分，据此可证明四边形是矩形； （2）当时，可证明，进而证明，据此可证明四边形是正方形； （3）连接交于G，可证明，若四边形是菱形，则，但在中，不可能存在两个角为，故四边形不会是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 【初步感受】 （1）如图1，在正方形中，点、、分别是、、边上的点，连接、．若，垂足为．将沿方向平移到，连接．求证：； 【迁移应用】 （2）如图2，在矩形中，点、、分别是、、边上的点，连接、，，垂足为．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，王叔叔家有一个矩形菜地，他计划对其进行改造，点、分别在、边上，在改造的过程中始终要满足，连接，过点作交边于点，垂足为．他计划在四边形区域内种植茄子，在四边形区域内种植西红柿，并分别沿、修建灌溉水渠，经测量，米，米，为了控制成本，要求灌溉水渠（）的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠（）总长度的最小值．（水渠宽度忽略不计） 【答案】（1）证明：四边形是正方形， ，，， 将沿方向平移到， ，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，即， ∴、、、在一条直线上， ， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图2，取的中点，的中点，连接，将沿方向平移到，连接， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ，点是的中点，点是的中点， ，，是的中位线， ， ， ， ， ； （3）米 【解析】 【分析】（1）证明，即可证明结论； （2）取的中点，的中点，连接，将沿方向平移到，连接，同理（1）可得，，即可得结论； （3）过点作，过点作交于点，过点作于点，过点作于点，连接，则四边形是平行四边形，，，取的中点，的中点，同理（2）可得，，在中，可得，则，在中，可得，再由，即可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，过点作，过点作交于点，过点作于点，过点作于点，连接，则四边形是平行四边形， ，， ， 当、、在一条直线上时，取得最小值，最小值为的长． 四边形是矩形， ，， ， 四边形是矩形，， ，， ， ， ， ， ， ， 取的中点，的中点，连接， 则，，是的中位线， ∴，， ， ， ， ， ，， ， 在中，， ， ，， ， 在中，， 的最小值为米， 故灌溉水渠（）总长度的最小值为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $