精品解析：陕西西安滨河学校2026-2027学年上学期九年级第一次学情调查数学试卷

2026—2027-1单元学情调查（一）九年级数学 一、选择题．（每题只有一个选项符合题意，每小题3分，本题共24分）． 1. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列投影是平行投影的是（　　） A. 孙敬“悬梁”在灯下读书的影子 B. 朱买臣“负薪”在日光下读书的影子 C. 车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子 D. 匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子 3. 下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 0 B. 3 C. ±3 D. -3 5. 已知线段a，b，c，d为成比例线段，其中，则线段b的长为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ）． A. 有一组对边相等的平行四边形是菱形 B. 四条边相等的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 对角线相等的四边形是矩形 7. 如图，是的边上的一点，那么下列四个条件不能单独判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形是菱形，对角线，交于点，于点，是线段的中点，连接．若，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题．（共6个小题，每小题3分，共18分） 9. 若，则________． 10. 若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是________．（用“ ”连接）． 11. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为．千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到第一象限的，则点A的对应点的坐标为________． 13. 如图，点D、E分别在的边、上，若，点G在上，，连接并延长交于点F，则________． 14. 如图，矩形中，，P为矩形内一点，，，则________ 三、解答题（共10小题，计78分，写出必要的解题过程） 15. 解不等式组 16. 化简： 17. 解方程： （1） （2） 18. 如图，已知，请用尺规作图法在上找一点，使得与面积相等（保留作图痕迹，不写作法）． 19. 如图，四边形中，对角线相交于点，，，且．求证：四边形是矩形． 20. 商场某种商品平均每天可销售20件，每件盈利60元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经营套发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律，每件商品降价多少元时，商场日盈利额可达到2400元？ 21. 如图，在中，，点为中点，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若是该方程的两个根，且满足，求m的值． 23. 在一个周末晚上，甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》所学的测量方法，利用灯光下的影子长来测量一路灯高度．如图，在一水平的人行道路上，当甲走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是，然后甲从出发沿方向继续向前走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是．已知甲同学直立时的身高为．求路灯离地面的高度． 24. 综合实践课上，小明学完特殊四边形和图形相似后，对于几何图形变换有了浓厚的兴趣．于是小明以特殊平行四边形的旋转为主题开展探究活动． （1）已知有公共顶点的矩形和矩形，，先将矩形的边，BF分别落在矩形的边，上，再将矩形绕点顺时针旋转，旋转角为（），连接，．如图，请写出与的数量关系为：________ 请你类比上述探究方法，继续研究正方形旋转问题． （2）将正方形的边绕点逆时针旋转至，记旋转角为，连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，．当且时， ①请先判断的形状，请说明理由：连接，并求出的值．请仅就上图的情形进行证明； ②当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请求出的值（写出完整的解题过程）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027-1单元学情调查（一）九年级数学 一、选择题．（每题只有一个选项符合题意，每小题3分，本题共24分）． 1. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：该几何体的俯视图是． 2. 下列投影是平行投影的是（　　） A. 孙敬“悬梁”在灯下读书的影子 B. 朱买臣“负薪”在日光下读书的影子 C. 车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子 D. 匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行投影与中心投影的区分．平行投影的光源为平行光线（如日光），而中心投影的光源为点光源（如灯光、萤火虫光）． 根据平行投影的定义判断即可． 【详解】A．灯是点光源，光线发散，形成中心投影； B．太阳光近似平行光线，形成平行投影； C．萤火虫为点光源，光线发散，形成中心投影； D．灯光为点光源，光线发散，形成中心投影； 故选：B． 3. 下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】明确二次函数的定义：形如（，、、为常数），且自变量最高次数为2、是整式函数，以此作为判断依据．对每个选项的表达式先整理化简，如果是整式且自变量最高次数为2，同时二次项系数不为0，那么符合二次函数定义．逐一验证各选项是否满足上述条件，排除不符合的选项． 【详解】初中阶段二次函数的定义是：形如（是常数，且）的函数，核心要求是自变量的最高次数为2，且含自变量的代数式必须是整式． 选项A：是自变量最高次数为1的一次函数， 不符合二次函数要求． 选项B：没有限定，当时函数就变为一次函数或常数函数， 不一定是二次函数． 选项C：将式子展开得，符合二次函数的定义， 一定是二次函数． 选项D：中含有分式，不是整式函数， 不属于二次函数． 4. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 0 B. 3 C. ±3 D. -3 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的最高次数为2且二次项系数不等于零，列式计算即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且，解得：． 5. 已知线段a，b，c，d为成比例线段，其中，则线段b的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据成比例线段的定义写出四条线段的比例关系．因为已知a、c、d的长度，所以将已知数值代入比例式，得到关于b的方程．求解方程即可得到b的长度． 【详解】成比例线段的定义是：若四条线段a、b、c、d成比例，则满足比例关系​ 将已知的，，代入该比例式，可得：  两边同乘计算得：， 解得． 6. 下列说法正确的是（ ）． A. 有一组对边相等的平行四边形是菱形 B. 四条边相等的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形、正方形、矩形的判定定理，逐一分析每个选项． 【详解】解：选项A、平行四边形本身两组对边就分别相等，有一组对边相等是所有平行四边形都具备的性质，故A错误． 选项B、四条边相等的四边形是菱形；正方形需要满足：四条边相等，且有一个内角是直角．四条边相等的四边形不一定是正方形，有可能只是菱形．故B错误． 选项C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C正确． 选项D、对角线相等的四边形不一定是矩形，对角线相等的平行四边形才是矩形．故D错误． 7. 如图，是的边上的一点，那么下列四个条件不能单独判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活利用相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐项即可． 【详解】解：∵是公共角，∴再加上或都可判定，不符合题意，即A、B都不符合题意； ∵是公共角，再加上，即可判定，则选项D不符合题意；选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，不能，符合题意． 故选C． 8. 如图，四边形是菱形，对角线，交于点，于点，是线段的中点，连接．若，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】菱形对角线互相垂直，为中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出，再用勾股定理算出，得到．利用菱形面积两种表达形式：，即可求出． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， 是直角三角形． 是中点，， ， ． 在中，，由勾股定理： ， ， ， 又， ， ， ． 二、填空题．（共6个小题，每小题3分，共18分） 9. 若，则________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 10. 若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是________．（用“ ”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】根据解析式可得开口方向和对称轴，进而可得增减性，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，二次函数的开口向上，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵二次函数的图象经过点，，且， ∴． 11. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为．千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时， 即点B为黄金分割点， 设B点下方的琴弦长为， 且二胡的琴弦长为 则有， 解得， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到第一象限的，则点A的对应点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】将点横坐标、纵坐标同时乘以，即可得到点A的对应点的坐标． 【详解】解：将点横坐标、纵坐标同时乘以， 得到：，即， 所以第一象限内，点A的对应点的坐标为． 13. 如图，点D、E分别在的边、上，若，点G在上，，连接并延长交于点F，则________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，利用平行线分线段成比例定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵， ∴，， 设， ∴，， ∴， ∴． 14. 如图，矩形中，，P为矩形内一点，，，则________ 【答案】 【解析】 【分析】过点B作 ，取，连接，根据各角之间的等量代换得出，再由边的比得出，结合相似三角形的判定和性质得出，，利用勾股定理及正切函数得出，利用勾股定理逆定理得出，确定， 过点B作 ，交的延长线于H，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可． 【详解】解：过点B作 ，取，连接， ∵四边形是矩形， ，即 ， ， ，即 ， ， ∵， ∴， ∵ ∴， ， ， ∴， 在 中， ∴ ∴， ， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ， 过点B作 ，交的延长线于H， ， 在 中， ， ∴， ∴ ， ∴， 在中， ． 三、解答题（共10小题，计78分，写出必要的解题过程） 15. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，两个解集的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为可得：， 解不等式②： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 不等式组的解集为． 16. 化简： 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的乘、除法法则计算即可． 【详解】解： ． 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法，即可求解； （2）利用因式分解法，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 18. 如图，已知，请用尺规作图法在上找一点，使得与面积相等（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 【解析】 【分析】若与面积相等，则点为边的中点，作出线段的垂直平分线，即可找到边的中点． 【详解】略 19. 如图，四边形中，对角线相交于点，，，且．求证：四边形是矩形． 【答案】证明：， ，四边形是平行四边形， 是的外角， ， ， ， ， ， 四边形是矩形． 【解析】 【分析】根据，得证四边形是平行四边形，，根据三角形外角的性质得到，进而得到，，根据对角线相等的平行四边形是矩形得证结论． 【详解】略． 20. 商场某种商品平均每天可销售20件，每件盈利60元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经营套发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律，每件商品降价多少元时，商场日盈利额可达到2400元？ 【答案】每件商品降价30元时，商场日盈利额可达到2400元． 【解析】 【分析】设每件商品降价x元，则每件盈利元，每天可售出件，根据题意列出关于x的一元二次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：设每件商品降价x元，则每件盈利元，每天可售出件， 根据题意可得出， 整理得：， 解得：，， 为了尽快减少库存，故， 答：每件商品降价30元时，商场日盈利额可达到2400元． 21. 如图，在中，，点为中点，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，为中点， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合题意，证明，利用公共角证明即可； （2）根据三角形相似，得，根据勾股定理，代入比例式求解即可． 【小问1详解】 证明见详解． 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， ∵为中点，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 22. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若是该方程的两个根，且满足，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）一元二次方程有两个根，则，列出一个关于的不等式，解这个不等式，即可求出实数的取值范围． （2）先列出两根之和与两根之积的式子，代入中，即可求出的值． 【小问1详解】 解：一元二次方程有两个根，则， 所以， 解得． 【小问2详解】 解：由题意得 ， ∵， ∴， 解得或， ∵第一问中， ∴（舍去）， 检验：将代入判别式中， ，满足条件， ∴． 23. 在一个周末晚上，甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》所学的测量方法，利用灯光下的影子长来测量一路灯高度．如图，在一水平的人行道路上，当甲走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是，然后甲从出发沿方向继续向前走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是．已知甲同学直立时的身高为．求路灯离地面的高度． 【答案】 【解析】 【分析】设，，由题意得出，推出，，由相似三角形的性质列式计算即可得出答案． 【详解】解：设，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：， ∴路灯离地面的高度为． 24. 综合实践课上，小明学完特殊四边形和图形相似后，对于几何图形变换有了浓厚的兴趣．于是小明以特殊平行四边形的旋转为主题开展探究活动． （1）已知有公共顶点的矩形和矩形，，先将矩形的边，BF分别落在矩形的边，上，再将矩形绕点顺时针旋转，旋转角为（），连接，．如图，请写出与的数量关系为：________ 请你类比上述探究方法，继续研究正方形旋转问题． （2）将正方形的边绕点逆时针旋转至，记旋转角为，连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，．当且时， ①请先判断的形状，请说明理由：连接，并求出的值．请仅就上图的情形进行证明； ②当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请求出的值（写出完整的解题过程）． 【答案】（1） （2）①是等腰直角三角形，理由如下： 连接， 四边形是正方形， ，，，， 由旋转的性质得：，， ，，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ． ②的值为3或1 【解析】 【分析】（1）证明，得到，则； （2）①由旋转的性质得，，推出，，，易证是等腰直角三角形，得出，再证明，即可得出结论；②若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论：第一种以为边时，则，此时点在线段的延长线上，点与点重合，，即可得出结果；第二种以为对角线时，由平行四边形的性质得，点为中点，证明，得出，则，，，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵四边形和四边形都是矩形， ， ， ， ∵， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 ①略 ②解：若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论： 第一种：以为边时，则， 此时点在线段的延长线上，点与点重合， ， ∴； 第二种：以为对角线时， ∵四边形是平行四边形， ∴，点为中点，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ∴， ∴， ∴，， ， 综上所述，的值为3或1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $