30.1.2 圆的切线（1） 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

圆的切线（第1课时） 问题 　　直线和圆有哪些位置关系？如何判断直线和圆相切？ 　　直线和圆的位置关系有相切、相离、相交； 　　根据直线和圆只有一个公共点、d＝r（d 为圆心到直线的距离，r 为圆的半径）判断直线和圆相切． 　　如图，直线 l 与 ⊙O 相切于点 A．考虑到圆的有关性质多是通过与圆有关的线段和角来体现的，连接 O，A 两点，得到过切点 A的半径 OA．接下来，研究 OA 与切线 l 的关系． 　　⊙O 的半径 OA 与过点 A 的切线 l 有什么关系？ 思考 如图，设 P 为直线 l 上不同于点 A 的点， ∵直线 l 与 ⊙O 只有一个公共点 A， ∴点 P 在 ⊙O 外，从而 OP＞OA， 即半径 OA 是圆心 O 与直线 l 上的点的最短连线． ∴半径 OA 与直线l垂直．（可以用反证法证明） A O l P 切线的性质定理 　　文字语言： 　　圆的切线垂直于过切点的半径． A O l 　　符号语言： 　　∵OA 是⊙O 的半径，直线 l 是过点 A 的⊙O 的切线， 　　∴OA⊥直线 l ． 　　观察下面的动图，进一步理解切线的性质定理． 　　观察下面的动图，进一步理解切线的性质定理． 思考 　　按上述性质，若 ⊙O 的切线 l 经过半径 OA 的外端点 A，那么 l⊥OA．反过来，如图，若直线 l 过半径 OA 的外端点 A，且 l⊥OA，那么直线 l 是 ⊙O 的切线吗？ 　　可以看出，这时圆心 O 到直线 l 的距离就是⊙O 的半径，直线 l 就是 ⊙O 的切线，所以直线 l 和⊙O 相切． A O l 切线的判定定理 　　文字语言： 　　经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． A O l 　　符号语言： 　　∵OA 是⊙O 的半径，直线 l⊥OA 于点 A， 　　∴直线 l 就是⊙O 的切线． 　图中的直线 l 与⊙O 相切吗？ 思考 l O l O （1） （2） 　　∵图（1）中直线 l 经过半径外端，但不与半径垂直；图（2）中直线 l 与半径垂直，但不经过半径外端，∴都不相切． 归纳 　　一条直线只有同时满足定理中的两个条件“经过半径的外端”“垂直于这条半径”时，才是圆的切线，千万不能只凭一个条件就判定一条直线是圆的切线． 　　已知⊙O和⊙O上的一点 A，如何过点 A作出圆的切线？ 问题 　　作法： 　　①连接 OA； 　　②过点 A 作直线 l 与 OA 垂直． 　　则直线 l 就是所求作的切线． A O l 　　观察下面的动图，进一步理解圆的切线的画法． 　　观察下面的动图，进一步理解圆的切线的画法． 　　在生活中，有许多直线与圆相切的实例.例如，列车车轮的边沿与铁轨的上沿是相切的，在砂轮上打磨工件时产生的火星是沿着圆的切线飞出的． 问题 　　例 1　如图，△ABC 为等腰三角形， O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与⊙O 相切于点 D．求证：AC 是⊙O 的切线． 　　分析：根据切线的判定定理，要证明 AC 是⊙O 的切线，只要证明由点 O 向 AC 所作的垂线段 OE 是⊙O 的半径就可以了．而 OD 是⊙O 的半径，因此需要证明 OE＝OD． O C B A D 　　证明：如图，过点 O 作 OE⊥AC，垂足为 E，连接 OD，OA． 　　∵⊙O 与 AB 相切于点 D， 　　∴OD⊥AB． 　　又△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点， 　　∴AO 是∠BAC 的平分线． 　　∴OE＝OD，即 OE 是⊙O 的半径． 　　这样，AC 经过⊙O 的半径 OE 的外端 E， 并且垂直于半径 OE，所以AC 与⊙O 相切． O C B A D E 　　例 2　如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，点 O 在AB 上，OB＝2，以 OB 长为半径的⊙O 与 AC 相切于点 D，交 BC于点 F，OE⊥BC，求弦 BF 的长． A B O C D F E 　　解：连接 OD． 　　∵⊙O 与 AC 相切于点 D， 　　∴OD⊥AC． 　　又∵∠C＝90°，OE⊥BC， 　　∴四边形 CDOE 是矩形． 　　∵OD＝OB＝2， 　　∴CE＝OD＝2． 　　∵BC＝3， 　　∴BE＝1，∴BF＝2． A O C D F E B 归纳 　　解决切线相关问题常用的辅助线作法 　　当证明某直线是圆的切线时，如果已知直线过圆上一点，则作过这一点的半径，证明直线垂直于半径； 　　如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径． 　　已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接圆心和切点，得到半径，那么半径垂直于切线． 圆的切线的性质和判定 解决切线相关问题常用的辅助线作法 切线的判定定理 切线的性质定理 21 $