30.1.2 圆的切线（第1课时 切线的性质与判定） 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版（2024） 数学 九年级 上册 第三十章 直线和圆的位置关系 30.1.2 圆的切线 第1课时 切线的性质与判定 目录 01 学习目标 02 回顾旧知 03 新知探究 04 课堂练习 05 课堂小结 06 课后作业 学习目标 1. 通过观察与操作，能准确判定直线与圆相切并作出切线. 2. 经历定理推导过程，能熟练运用切线性质与判定定理解决几何问题. 3. 通过逻辑推理与模型构建，提升推理能力与模型观念. 问题2 什么叫作圆的切线?怎样判断一条直线是不是圆的切线? 问题1 直线与圆有哪几种位置关系?你有哪些判断方法? 直线与圆有三种位置关系，分别是相离、相切、相交 判断直线与圆位置关系有2种方法: ①利用圆心到直线的距离d和半径r的大小关系; ②利用直线与圆的公共点个数. 直线和圆有且只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，直线和圆只有1公共点，圆心O到直线的距离等于圆的半径. 回顾旧知 思考 ⊙O的半径OA与过点A的切线l有什么关系？ 如图 ，设 P 为直线 l 上不同于点 A 的点，因为直线 l 与 ⊙O 只有一个公共点 A，所以点 P 在 ⊙O 外，从而 OP>OA，即半径 OA 是圆心 O 与直线 l 上的点的最短连线.因此，半径 OA 与直线 l 垂直，由此得到切线的性质. P 切线的性质定理 01 新知探究 切线的性质 圆的切线垂直于过切点的半径． 应用格式 ∵直线l是⊙O 的切线，A是切点. ∴直线l ⊥OA. 归纳总结 新知探究 C D B O A M 证法1：反证法. 证明：假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M. 则OM<OA,即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾.所以AB与CD垂直. 性质定理的证明 新知探究 C D O A 证法2：构造法. 作出小⊙O的同心圆大⊙O，CD切小⊙O于点A，且A点为CD的中点.连接OA，根据垂径定理，则CD ⊥OA，即圆的切线垂直于经过切点的半径． 新知探究 归纳总结 利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题. 新知探究 例1 如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B，C两点，∠P＝30°，连接AO，AB，AC. (1)求证：△ACB≌△APO； (2)若AP＝ ，求⊙O的半径． 分析：(1)根据已知条件我们易得∠CAB=∠PAO=90°， 由∠P=30°可得出∠AOP=60°，则∠C=30°=∠P，即AC=AP；这样就凑齐了角边角，可证得△ACB≌△APO； (2)由已知条件可得△AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角形求出半径OA的长. 典型例题 O A B P C 新知探究 (1)求证：△ACB≌△APO； O A B P C 证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴∠OAP＝90°. 又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°， 又∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形． ∴AB＝AO，∠ABO＝60°.又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°. 在△ACB和△APO中， ∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB， ∴△ACB≌△APO（ASA）. 新知探究 (2)若AP＝ ，求⊙O的半径． O A B P C 解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP = ， ∴AO＝1， ∴CB＝OP＝2， ∴OB＝1， 即⊙O的半径为1. 新知探究 练习 如图所示，点 A 是⊙O 外一点，OA 交⊙O 于点 B，AC 是⊙O 的切线，切点是 C，且∠A＝30°，BC＝1.求⊙O 的半径． 解：连接 OC. ∵ AC 是⊙O 的切线， ∴ ∠OCA ＝90°. 又∵ ∠A＝30°， ∴ ∠COB＝60° ∴ OBC 是等边三角形． ∴ OB＝BC＝1，即⊙O 的半径为 1. 新知探究 A l o → 由d=r 直线 l 是⊙O的切线． 知识点 1 切线的判定方法 02 如图，若直线l过半径OA的外端点A，且l⊥OA,那么圆心O到直线 l 的距离是多少？直线l是⊙O的切线吗？ 这时圆心O到直线 l 的距离就是⊙O的半径． 新知探究 A B C 问题 已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？ 观察（1） 圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系? （2）二者位置有什么关系？为什么？ O 新知探究 OA为⊙O的半径 BC ⊥ OA于点A BC为⊙O的切线 Ｏ A B C 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 应用格式 O 新知探究 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ O. A O. A B A O (1) (2) (3) (1)不是，因为没有垂直. (2)(3)不是，因为没有经过半径的外端点A. 在切线的判定定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 新知探究 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线; 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切； 3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. l 新知探究 例2 如图，AB是☉O上的直径，∠ABC=45°，AC=AB. 求证：AC是☉O的切线. 分析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可. 证明：∵AB=AC，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°. ∴∠BAC=180°-∠ABC- ∠ACB=90°. ∵AB是☉O的直径， ∴ AC是☉O的切线. A O C B 典型例题 新知探究 练习 如图 所示，线段 AB 经过圆心 O，交⊙O 于点 A，C，∠BAD＝∠B＝30°，边 BD 交圆于点 D.BD 是⊙O 的切线吗？为什么？ 解：BD 是⊙O 的切线．理由如下： 连接 OD, ∵OD＝OA，∠A＝30°， ∴∠DOB＝60°. ∵∠B＝30°，∴∠ODB＝90°. ∴BD 是⊙O 的切线． 新知探究 例3 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是⊙O的切线. O B A C 证明：连接OC(如图). ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.　 ∴ AB⊥OC. ∵ OC是⊙O的半径, ∴ AB是⊙O的切线. 新知探究 练习 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，⊙O 与AB 相切于E. 求证：AC 是⊙O 的切线． B O C E A 分析：根据切线的判定定理，要证明AC是⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是⊙O的半径就可以了，而OE是⊙O的半径，因此只需要证明OF=OE. F 新知探究 证明：连接OE ，OA，过O 作OF ⊥AC. ∵⊙O 与AB 相切于E ， ∴OE ⊥ AB. 又∵△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点． ∴AO 平分∠BAC， 又OE ⊥AB ，OF⊥AC. ∴OE ＝OF. ∵OE 是⊙O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC. ∴AC 是⊙O 的切线． F B O C E A 新知探究 如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB 求证：直线AB是⊙O的切线. C B A O 如图，OA＝OB=5，AB＝8， ⊙O的直径为6. 求证：直线AB是⊙O的切线. C B A O 对比思考？ 作垂直 连接 归纳总结 新知探究 证切线时辅助线的添加方法 (1) 有交点，连半径,证垂直; (2) 无交点，作垂直,证半径. 例1 例2 有切线时常用辅助线添加方法 见切点，连半径，得垂直. 切线的其他重要结论 (1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; (2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 新知探究 1. 如图,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的圆与AB相切，则☉C的半径为 (　　 ) A. 2.3 B. 2.4 C. 2.5 D. 2.6 B 课堂练习 2. 如图所示，A是☉O上一点，且AO=5，PO=13，AP=12，则PA与☉O的位置关系是 . 相切 A 课堂练习 3. 如图，A、B是☉O上的两点，AC是过点A的一条直线.如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数为　　 时，AC才能成为☉O的切线. 60° 课堂练习 4. 如图，PA为⊙O的切线，切点为A，OP = 2，∠APO=30° ， 求⊙O的半径. 解：连接OA，则OA为⊙O的半径， 因为PA是⊙O的切线， 所以OA⊥AP， 又∠APO＝30°，OP＝2， 所以OA＝  OP＝1， 即⊙O的半径为1. 课堂练习 5 . 如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于E.求证: PE是⊙O的切线. 证明：连接OP. ∵AB=AC，∴∠B=∠C. ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB， ∴∠OPB=∠C.∴OP∥AC. ∵PE⊥AC， ∴PE⊥OP. ∴PE为⊙O的切线. O A B C E P 课堂练习 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 课堂小结 A B 习题30.1：第2，3，4，6题. 习题30.1：第9，10题. 课后作业 感谢聆听！ THANKS $