学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷·提升卷（新教材人教版，范围：九上第25～28章）

11 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11._______________ 15. ________________ 12. ___________ 16. _______________ 13. _________________ 17.________________ 14. __________________ 18. ________________ 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19.（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（7分） 21．（8分） 22．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（8分） 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1,A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11 12 13. S 16. 17. 18. 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 19.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(7分) 21.(8分) K4324 -5-4-3-2-10 4 X 23 22.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) 0 24.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) OD 7 B C E' B B P 图1 图2 图3 26. (10分) O B 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~28章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后的抛物线的函数表达式为（ ） A． B． C． D． 4．（新考法-以民生看病买药为现实背景，考连续两次降价模型）为了解决老百姓看病难的问题，卫生部门决定下调药品的价格．某种药品经过两次连续降价后，由每盒100元下调至64元，这种药品平均每次降价的百分率为（     ） A． B． C． D． 5．在同一坐标系内，函数和的图象大致为（     ） A． B． C． D． 6．如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点，点，连接，若轴，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 7．若是方程 的一个根，则的值为（     ） A．18 B．20 C．21 D．22 8．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），它的纵截面是如图所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽，则底部直径的长为（     ） A． B． C． D． 9．如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：，，，，正确的个数是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（     ） A．10 B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．已知点和点关于原点中心对称，则的值为______． 12．若一元二次方程的两个实数根为和，则二次三项式可以因式分解为________． 13．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在函数和的图象上，若，且，则___________． 14．如图，在中，，将绕点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为________． 15．函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点，如果，那么的值是__________． 16．抛物线的顶点为，将其沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为，平移前后的两条抛物线相交于点，若为等边三角形，则m的值为______． 17．如图，已知二次函数图象与轴交于点，其顶点坐标为．有以下结论：①；②；③若，则的取值范围为或；④；⑤若对任意实数恒成立，则的取值范围为．其中正确的有______． 18．如图，菱形的边长为12， ， E是边的中点，F是边 上的一个动点，连接，将线段绕着点E逆时针旋转得到，连接 ，，则 的最小值是________． 三、解答题：本题共8小题，共66分。其中：19-20每题7分，21-24题每题8分，25-26题每题10分。 19．解下列方程． (1) (2) 20．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，该方程总有实数根； (2)若该方程有一个根为3，求k的值及方程的另一个根． 21．如图所示，在平面直角坐标系中的． (1)画出，使与关于原点对称（其中点分别对应点），并写出各顶点的坐标； (2)若与关于轴对称，直接写出与的位置关系． 22．综合与实践 某商店经销一批小家电，每个小家电的成本为40元．据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10件．针对这种小家电的销售情况，请回答以下问题： (1)当销售单价定为60元时，计算月销售量和月销售利润； (2)设销售单价定为x元（），月销售利润为y元，求y（用含x的代数式表示）； (3)现该商店要保证每月盈利8750元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？ 23．如图，小金同学画了某反比例函数在第三象限内的图象，并把透明的矩形直尺放在上面，使尺的一边经过原点，交反比例函数图象于点，另一边经过轴上一点，交反比例函数于点． (1)求反比例函数表达式； (2)求点坐标． 24．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽． (1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 25．【基础回顾】（1）如图，E是正方形中边上任意一点，以点A为中心，将顺时针旋转后得到．如图1，若连接，则的形状为________； 【变式探究】（2）如图2，在（1）条件下，设与相交于P，在上取点Q，使，连接，猜想与的数量关系，并给予证明； 【联想拓展】（3）如图3，在中，，．点P是上一点，则，，之间存在的数量关系为________． 26．如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，经过 、 两点的抛物线 与 轴的另一交点为 ． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点 是该抛物线上的动点，过点 作垂直 轴的直线，交轴于点 ，交 于点 ，设点 的横坐标为 （）． ①当 时，求点 的坐标； ②当 为以 为腰的等腰三角形时，直接写出满足条件的 的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A A B D C D C C B 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．8 12． 13． 14．/度 15．/ 16． 17．②③⑤ 18． 三、解答题：本题共8小题，共66分。其中：19-20每题7分，21-24题每题8分，25-26题每题10分。 19．（7分） （1）解： ， 或， 解得；（3分） （2）解：， ， 或， 解得，.（7分） 20．（7分） (1)证明：∵， ∴ ∵， ∴． ∴无论k取何值，该方程总有实数根．（3分） （2）解：把代入方程，得， 解得， ∴方程为， ∴， 解得或， ∴方程的另一个根为2.（7分） 21．（8分） (1)解：如图所示，即为所求． （4分） （2）解：由图可得，， ∵与关于轴对称， ∴各点分别为，， 又∵各点分别为，， 则可得和各点的纵坐标相反， ∴和关于x轴对称．（8分） 22．（8分） （1）解：当销售单价为60元时，单价上涨金额为（元）， 月销售量减少（件）， 月销售量为（件）， 单件利润为（元）， 月销售利润为（元）． 答：月销售量为400件，月销售利润为8000元．（2分） （2）解：当销售单价为元（）时，单件利润为元，月销售量为（件）， 月销售利润， 整理得（）．（5分） （3）解：令，则， 整理得， 解得，， 要使顾客得到实惠， 销售单价应取较低值， ． 答：销售单价应定为65元．（8分） 23．（8分） （1）解：设反比例函数的解析式为， 反比例函数的图象经过点， ， 解得：， 反比例函数的解析式为；（3分） （2）解：∵反比例函数图象经过点， ∴把点坐标代入反比例函数表达式得， ∴， ∴点的坐标为，（4分） 设直线表达式为， ∵直线经过点， ∴把点坐标代入直线表达式得， 解得， 则直线表达式为，（5分） ∵， ∴设直线表达式为， ∵直线经过点， ∴把点坐标代入直线表达式得 ， 解得， ∴直线的表达式为，（7分） 当时，， ∴点的坐标为．（8分） 24．（8分） （1）解：设函数解析式为，设桥拱最高点到水面的距离为米，，， 则，， 代入，得， 解得：， 抛物线的解析式为；（4分） （2）解：能，理由如下， 由题意得，船行驶到桥下的时间为小时， 水位上升的高度为米， ， 该船的速度不变，能安全通过此桥．（8分） 25．（10分） 【详解】解：（1）由旋转的性质可知，， 四边形为正方形， ， ， 的形状为等腰直角三角形；（2分） （2），证明如下： 将顺时针旋转后得到， ，， 在和中， ， ， ，（6分） （3）如图，将逆时针旋转后得到，连接， ，， 是等腰直角三角形， 由旋转的性质可知，， ， ， ， ， ．（10分） 26．（10分） （1）解：直线与轴，轴的交点坐标分别为、， 抛物线与轴的另一交点为， 设所求抛物线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， 所求抛物线的函数表达式为，即；（3分） （2）解：①，则， ，， 当时，， 解得：或（与重合，舍去）， 当时，， 故；（7分） ②∵， ∴ 由①得， 以为腰，分两种情况讨论： 当时，， 解得或（舍； 当时，过点作交于，则为的中点，即，如图1， 解得或（舍）； 综上所述：满足条件的的值为或．（10分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~28章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后的抛物线的函数表达式为（ ） A． B． C． D． 4．（新考法-以民生看病买药为现实背景，考连续两次降价模型）为了解决老百姓看病难的问题，卫生部门决定下调药品的价格．某种药品经过两次连续降价后，由每盒100元下调至64元，这种药品平均每次降价的百分率为（     ） A． B． C． D． 5．在同一坐标系内，函数和的图象大致为（     ） A． B． C． D． 6．如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点，点，连接，若轴，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 7．若是方程 的一个根，则的值为（     ） A．18 B．20 C．21 D．22 8．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），它的纵截面是如图所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽，则底部直径的长为（     ） A． B． C． D． 9．如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：，，，，正确的个数是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（     ） A．10 B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．已知点和点关于原点中心对称，则的值为______． 12．若一元二次方程的两个实数根为和，则二次三项式可以因式分解为________． 13．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在函数和的图象上，若，且，则___________． 14．如图，在中，，将绕点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为________． 15．函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点，如果，那么的值是__________． 16．抛物线的顶点为，将其沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为，平移前后的两条抛物线相交于点，若为等边三角形，则m的值为______． 17．如图，已知二次函数图象与轴交于点，其顶点坐标为．有以下结论：①；②；③若，则的取值范围为或；④；⑤若对任意实数恒成立，则的取值范围为．其中正确的有______． 18．如图，菱形的边长为12， ， E是边的中点，F是边 上的一个动点，连接，将线段绕着点E逆时针旋转得到，连接 ，，则 的最小值是________． 三、解答题：本题共8小题，共66分。其中：19-20每题7分，21-24题每题8分，25-26题每题10分。 19．解下列方程． (1) (2) 20．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，该方程总有实数根； (2)若该方程有一个根为3，求k的值及方程的另一个根． 21．如图所示，在平面直角坐标系中的． (1)画出，使与关于原点对称（其中点分别对应点），并写出各顶点的坐标； (2)若与关于轴对称，直接写出与的位置关系． 22．综合与实践 某商店经销一批小家电，每个小家电的成本为40元．据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10件．针对这种小家电的销售情况，请回答以下问题： (1)当销售单价定为60元时，计算月销售量和月销售利润； (2)设销售单价定为x元（），月销售利润为y元，求y（用含x的代数式表示）； (3)现该商店要保证每月盈利8750元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？ 23．如图，小金同学画了某反比例函数在第三象限内的图象，并把透明的矩形直尺放在上面，使尺的一边经过原点，交反比例函数图象于点，另一边经过轴上一点，交反比例函数于点． (1)求反比例函数表达式； (2)求点坐标． 24．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽． (1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 25．【基础回顾】（1）如图，E是正方形中边上任意一点，以点A为中心，将顺时针旋转后得到．如图1，若连接，则的形状为________； 【变式探究】（2）如图2，在（1）条件下，设与相交于P，在上取点Q，使，连接，猜想与的数量关系，并给予证明； 【联想拓展】（3）如图3，在中，，．点P是上一点，则，，之间存在的数量关系为________． 26．如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，经过 、 两点的抛物线 与 轴的另一交点为 ． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点 是该抛物线上的动点，过点 作垂直 轴的直线，交轴于点 ，交 于点 ，设点 的横坐标为 （）． ①当 时，求点 的坐标； ②当 为以 为腰的等腰三角形时，直接写出满足条件的 的值． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~28章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A．既无对称轴，旋转也不与自身重合，所以既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； B．有对称轴，沿对称轴折叠可重合；旋转后与自身重合，所以既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C．有对称轴，是轴对称图形，但旋转后不与自身重合，不是中心对称图形，不符合题意； D．既无对称轴，旋转也不与自身重合，所以既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意． 2．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A.符合一元二次方程的定义，符合题意； B.含两个未知数，不符合题意； C.是一元一次方程，不符合题意； D.分母含未知数，不符合题意． 3．将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后的抛物线的函数表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后的抛物线的函数表达式为 ． 4．（新考法-以民生看病买药为现实背景，考连续两次降价模型）为了解决老百姓看病难的问题，卫生部门决定下调药品的价格．某种药品经过两次连续降价后，由每盒100元下调至64元，这种药品平均每次降价的百分率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 则这种药品平均每次降价的百分率为． 5．在同一坐标系内，函数和的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意， 当时，函数开口向上，顶点在原点；而函数的图象应该是随着的增大而增大，并且过点，即图象应该过第一、二、三象限； 当时，函数开口向下，顶点在原点；而函数的图象应该是随着的增大而减小，并且过点，即图象应该过第一、二、四象限； 分析选项可得，只有D选项符合题意． 6．如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点，点，连接，若轴，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【详解】连接，，设交轴于点． ∵轴，点在轴上， ∴． ∵轴， ∴轴． ∵点在图象上，点在图象上， ∴，． ∴． 7．若是方程 的一个根，则的值为（     ） A．18 B．20 C．21 D．22 【答案】D 【详解】解：是方程的根， ，且， ，， 将等式两边同时除以m得，， 则， 原式． 8．火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1），它的纵截面是如图所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽，则底部直径的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意可知，设反比例函数解析式为， 将代入，可得， 反比例函数解析式为． ， 当时，， ． 故答案为：C． 9．如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：，，，，正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵函数图象的开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，，即，故②正确， ∵函数与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵当时，为函数的最大值， 当时，， ∴， 即，故③正确； 由图象知，当时，， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确的个数是3个． 10．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（     ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得： ，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．已知点和点关于原点中心对称，则的值为______． 【答案】8 【详解】解：∵点和点关于原点中心对称， ∴，， ∴，， ∴． 12．若一元二次方程的两个实数根为和，则二次三项式可以因式分解为________． 【答案】 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为和， ∴，， 解得，， ∴． 13．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在函数和的图象上，若，且，则___________． 【答案】 【详解】解：由题意，，， ， ， 移项得，， ， ， ， ，且， ， ， ， 又，， ， ． 14．如图，在中，，将绕点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为________． 【答案】/度 【详解】解：由旋转可得，， ， ． 15．函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点，如果，那么的值是__________． 【答案】/ 【详解】解：设点的横坐标为，由图可知． ∵轴，交轴于点， ∴点、的横坐标均为，且点的坐标为． ∵点在的图像上，且位于第二象限 ∴点的纵坐标为，且． ∴． ∵点在的图像上，且位于第三象限点的纵坐标为，且． ∴． ∵，， ∴，即． ∴． ∴． ∴． 16．抛物线的顶点为，将其沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为，平移前后的两条抛物线相交于点，若为等边三角形，则m的值为______． 【答案】 【详解】解：原抛物线配方得， ∴顶点的坐标为， ∵抛物线沿水平方向向右平移个单位长度，得到顶点， ∴顶点的坐标为，平移后抛物线解析式为， 联立两个抛物线方程， 可得， 整理得， ∵， 两边同除以得，解得， 将代入，得， ∴点坐标为， ∵，， ∴（）， 如图所示，过点作于点，则为中点，坐标为， ， ∵是等边三角形， ， ∴， 又， ∴， ∵，两边同除以得， 解得（不符合题意，舍去）． 17．如图，已知二次函数图象与轴交于点，其顶点坐标为．有以下结论：①；②；③若，则的取值范围为或；④；⑤若对任意实数恒成立，则的取值范围为．其中正确的有______． 【答案】②③⑤ 【详解】解：由图象可知抛物线开口向上， ， ∵其顶点坐标为， 对称轴为直线， ，即， ∵抛物线与轴交点在轴下方， ， ，故错误； ∵抛物线过点， ， 将代入得，即，故正确； ∵当时，，且对称轴为直线， 点关于对称轴的对称点为， ， ∴当时，或，故正确； ， ， ， ∵顶点坐标为， ， ， ， ，故错误； 若对任意实数恒成立，则恒成立，即， 整理得， ， ∴需满足， ，解得，故正确； 综上所述，正确的结论有②③⑤． 18．如图，菱形的边长为12， ， E是边的中点，F是边 上的一个动点，连接，将线段绕着点E逆时针旋转得到，连接 ，，则 的最小值是________． 【答案】 【详解】解：取的中点，连接，，如图， 菱形的边长为12， ， E是边的中点， ，， ． ， ， 是的中点， ． ， 为等边三角形， ，． 线段绕着点E逆时针旋转得到， ，． 为等边三角形， ，． 在和中， ， ． ，， ∴， ∴， ． 连接， ． 当点，点E，点三点共线时，的值最小，且最小值为． 过点E作交的延长线于点M， ， ， ， ， 根据勾股定理，得， 的最小值为． 三、解答题：本题共8小题，共66分。其中：19-20每题7分，21-24题每题8分，25-26题每题10分。 19．解下列方程． (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解： ， 或， 解得； （2）解：， ， 或， 解得，. 20．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，该方程总有实数根； (2)若该方程有一个根为3，求k的值及方程的另一个根． 【答案】(1)证明：∵， ∴ ∵， ∴． ∴无论k取何值，该方程总有实数根． (2)k的值为3，方程的另一个根为2 【详解】（1）略 （2）解：把代入方程，得， 解得， ∴方程为， ∴， 解得或， ∴方程的另一个根为2. 21．如图所示，在平面直角坐标系中的． (1)画出，使与关于原点对称（其中点分别对应点），并写出各顶点的坐标； (2)若与关于轴对称，直接写出与的位置关系． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求． (2)与关于轴对称 【详解】（1）解：略 （2）解：由图可得，， ∵与关于轴对称， ∴各点分别为，， 又∵各点分别为，， 则可得和各点的纵坐标相反， ∴和关于x轴对称． 22．综合与实践 某商店经销一批小家电，每个小家电的成本为40元．据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10件．针对这种小家电的销售情况，请回答以下问题： (1)当销售单价定为60元时，计算月销售量和月销售利润； (2)设销售单价定为x元（），月销售利润为y元，求y（用含x的代数式表示）； (3)现该商店要保证每月盈利8750元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？ 【答案】(1)月销售量为400件，月销售利润为8000元． (2)（）． (3)销售单价应定为65元． 【详解】（1）解：当销售单价为60元时，单价上涨金额为（元）， 月销售量减少（件）， 月销售量为（件）， 单件利润为（元）， 月销售利润为（元）． 答：月销售量为400件，月销售利润为8000元． （2）解：当销售单价为元（）时，单件利润为元，月销售量为（件）， 月销售利润， 整理得（）． （3）解：令，则， 整理得， 解得，， 要使顾客得到实惠， 销售单价应取较低值， ． 答：销售单价应定为65元． 23．如图，小金同学画了某反比例函数在第三象限内的图象，并把透明的矩形直尺放在上面，使尺的一边经过原点，交反比例函数图象于点，另一边经过轴上一点，交反比例函数于点． (1)求反比例函数表达式； (2)求点坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 反比例函数的图象经过点， ， 解得：， 反比例函数的解析式为； （2）解：∵反比例函数图象经过点， ∴把点坐标代入反比例函数表达式得， ∴， ∴点的坐标为， 设直线表达式为， ∵直线经过点， ∴把点坐标代入直线表达式得， 解得， 则直线表达式为， ∵， ∴设直线表达式为， ∵直线经过点， ∴把点坐标代入直线表达式得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴点的坐标为． 24．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽． (1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【答案】(1) (2)如果该船的速度不变，能安全通过此桥 【详解】（1）解：设函数解析式为，设桥拱最高点到水面的距离为米，，， 则，， 代入，得， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：能，理由如下， 由题意得，船行驶到桥下的时间为小时， 水位上升的高度为米， ， 该船的速度不变，能安全通过此桥． 25．【基础回顾】（1）如图，E是正方形中边上任意一点，以点A为中心，将顺时针旋转后得到．如图1，若连接，则的形状为________； 【变式探究】（2）如图2，在（1）条件下，设与相交于P，在上取点Q，使，连接，猜想与的数量关系，并给予证明； 【联想拓展】（3）如图3，在中，，．点P是上一点，则，，之间存在的数量关系为________． 【答案】（1）等腰直角三角形； （2），证明如下： 将顺时针旋转后得到， ，， 在和中， ， ， ， （3）． 【详解】解：（1）由旋转的性质可知，， 四边形为正方形， ， ， 的形状为等腰直角三角形； （2）略 （3）如图，将逆时针旋转后得到，连接， ，， 是等腰直角三角形， 由旋转的性质可知，， ， ， ， ， ． 26．如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，经过 、 两点的抛物线 与 轴的另一交点为 ． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点 是该抛物线上的动点，过点 作垂直 轴的直线，交轴于点 ，交 于点 ，设点 的横坐标为 （）． ①当 时，求点 的坐标； ②当 为以 为腰的等腰三角形时，直接写出满足条件的 的值． 【答案】(1) (2)①；②或． 【详解】（1）解：直线与轴，轴的交点坐标分别为、， 抛物线与轴的另一交点为， 设所求抛物线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， 所求抛物线的函数表达式为，即； （2）解：①，则， ，， 当时，， 解得：或（与重合，舍去）， 当时，， 故； ②∵， ∴ 由①得， 以为腰，分两种情况讨论： 当时，， 解得或（舍； 当时，过点作交于，则为的中点，即，如图1， 解得或（舍）； 综上所述：满足条件的的值为或． / 学科网（北京）股份有限公司 $