精品解析：辽宁锦州市第四中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

数学 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程）逐项判断即可得． 【详解】解：A、当时，方程是一元一次方程，则此项不符合题意； B、方程整理为，是一元一次方程，则此项不符合题意； C、方程中的不是整式，不是一元二次方程，则此项不符合题意； D、方程整理为，是一元二次方程，则此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟记一元二次方程的定义是解题关键． 2. 观察表格，估算一元二次方程的近似解： x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.19 0.44 由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的估算，解题的关键是根据表格数据找出位于哪两个数之间即可． 【详解】解：由表格可知， 当时，与时， ∴时，， 故选C． 3. 给出下列判断，正确的是（ ） A. 四个角相等的四边形是菱形 B. 四条边相等的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形、矩形、菱形的判定方法逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵ 四边形内角和为，四个角相等时每个角都为，因此四个角相等的四边形是矩形，A选项错误； ∵ 四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，因此B选项错误； ∵ 对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，因此C选项错误； ∵ 矩形的判定定理为对角线相等的平行四边形是矩形，因此D选项正确； ∴ 选D． 4. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．由方程根的个数，根据根的判别式可得到关于k的不等式，结合一元二次方程二次项系数不为，则可求得k的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得：， 又∵一元二次方程中，， ∴的取值范围是且， 故选：B． 5. 我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆形田地的半径为步，再根据正方形田地与圆形田地的面积之和为平方步，列方程即可． 【详解】解：∵正方形田地的边长为步， ∴正方形田地的面积为平方步． ∵圆形田地的直径与正方形边长相等， ∴圆形田地的半径为步， ∴圆形田地的面积为平方步． ∵两块田地面积之和为252平方步， ∴． 6. 如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角形中位线定理证明四边形为平行四边形，然后添加每个选项的条件，根据矩形的判定定理判定即可． 【详解】解：应添加的条件是，理由为： 证明：、、、分别为、、、的中点， ，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， A、添加的条件是时，四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； B、添加的条件是，则，所以四边形为矩形，故此选项符合题意； C、添加的条件是，四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； D、添加的条件是， 、、、分别为、、、的中点，且，，，，， ， 则四边形为菱形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了中点四边形，以及平行四边形、矩形、菱形的判定，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键． 7. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在上，连接，将沿折叠，使的对应线段经过点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出，，，，根据勾股定理求出，则，根据翻折得出，最后根据即可求解. 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴，，，， ∴在中，， ∴， ∵翻折， ∴， ∴. 8. 如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A. 1 B. 5 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，是解题的关键，勾股定理求出的长，进而得到的长，推出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D. 9. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．若，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了基本作图-作已知角的平分线，一般是结合几何图形的性质．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，．也考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理及逆定理． 利用作法得平分，根据“等角对等边”得出，由已知条件及勾股定理的逆定理证明是直角三角形，所以根据平行四边形的性质得到是直角，再由勾股定理即可求得的长度． 【详解】解：由作法得平分， ， ∵四边形为平行四边形， ，， ， ， ， , ， ， 是直角三角形，即, , ． 故选：C． 10. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到，根据菱形的面积得到，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案． 【详解】解：设方程的两根分别为a，b， ∴， ∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11， ∴，即， ∵菱形对角线垂直且互相平分， ∴该菱形的边长为 ，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】将一元二次方程的根代入该一元二次方程，再求解即可． 【详解】解：将代入， 得：， 解得：． 故答案为：-2． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解．掌握方程的解就是使其成立的未知数的值是解题关键． 12. 已知是方程的两个实数根，则的值为_______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，熟知是解题的关键． 由题知，，，代入计算即可． 【详解】解：是方程的两个实数根， ，， ， ． 故答案为：0． 13. 九年级学生毕业前夕，某班每名同学都为其他同学写一段毕业感言，全班共写了870段毕业感言，如果该班有名同学，根据题意列出方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，弄清数量关系是解题关键．根据题意，该班有名同学，每名同学都为其他同学写一段毕业感言，即每名同学需要写段毕业感言，然后根据“全班共写了870段毕业感言”即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可列出方程为． 故答案为：． 14. 如图，在中，．点是斜边的中点，，垂足为，若，，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理及平行线的判定，先根据垂直定义得到，结合点是的中点，利用三角形中位线定理求出的长及点是的中点，再利用勾股定理求出的长，进而得到的长，最后在中利用勾股定理求出的长． 【详解】解：，  ，  点是斜边的中点，  ∴ ，  ∴ 是的中位线，  ，点是的中点， 在中，，， 由勾股定理得：，  ， 在中，由勾股定理得：． 15. 如图，在矩形中，，点E在上，点F在上，且，连结，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】证得，作点关于的对称点，则，据此即可求解． 【详解】解：连接，作点关于的对称点，连接 由题意得： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质等．通过证全等和作对称得出是解题关键． 三、计算题：本大题共4小题，共16分． 16. 用适当的方法解下列方程： （1）（配方法） （2）． （3）． （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． （2）根据因式分解法可进行求解． （3）先求出判别式，判断根的情况，再用求根公式求解． （4）根据因式分解法可进行求解． 【小问1详解】 解： ∴，． 【小问2详解】 解： ∴或， 解得：，． 【小问3详解】 解： ∵，，， ∴， ∴， 解得：，． 【小问4详解】 解： ∴或， 解得：，． 四、解答题：本大题共6小题，共49分 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若，是该方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程总有两个实数根得到，进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到关于的方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 即， 解得：或； 由（1）可知该方程有两个实数根时，， ∴． 18. 如图，四边形的对角线相交于点O，，．若四边形是菱形； （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易得四边形是平行四边形，，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，，则有，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、矩形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、矩形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键 19. 阅读材料：我们都知道, 于是，-2x2+40x+5 =-2(x2-20x)+5 =-2(x2-20x+100)+200+5 =-2(x-10)2+205 又因为，所以， 所以，-2x2+40x+5有最大值205. 如图，某农户准备用长34米的铁栅栏围成一边靠墙的长方形羊圈ABCD和一个边长为1米的正方形狗屋CEFG.设AB=x米. （1）请用含x的代数式表示BC的长（直接写答案）； （2）设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S，试用含x的代数式表示S，并计算当x=5时S的值； （3）试求出山羊活动范围面积S的最大值. 【答案】（1）BC=32-2x；（2）S=-2x2+32x-1，当x=5时，S=109米2；（3）山羊活动范围ABGFE面积S的最大值是127平方米． 【解析】 【分析】（1）依题意得AB=DC=x，EF=FG=1，根据铁栅栏总长为34米即可用x表示出BC的长； （2）根据S=S长方形ABCD-S正方形CEFG列出S与x的函数关系式，进而求出当x=5时S的值； （3）配方后根据完全平方式恒小于等于0，即可求出最大值以及x的值即可． 【详解】（1）依题意得AB=DC=x，EF=FG=1， ∵AB+DC+BC+EF+FG=34， ∴2x+BC+2=34， ∴BC=32-2x； （2）依题意得S=S长方形ABCD-S正方形CEFG=x（32-2x）-1=-2x2+32x-1， 当x=5时，S=-2×52+32×5-1=109（米2）； （3）S=-2x2+32x-1=-2（x2-16x+64）+127=-2（x-8）2+127， 又因为-2＜0， 所以，（x-8）2≥0，-2（x-8）2≤0，-2（x-8）2+127≤127， 所以，山羊活动范围ABGFE面积S的最大值是127平方米． 【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A的坐标为，点B，C在x轴上，点D在y轴上． （1）写出点B的坐标 ； （2）动点P以每秒1个单位长度的速度从点O出发，沿射线方向运动，设点P运动的时间为t秒，连接，，设的面积为3时，求t的值； （3）点M在x轴上，平面内是否存在点N，使以A、C、M、N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）t的值为或； （3）点N的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质和点A的坐标求出菱形的边长，在中，由勾股定理得的长，求得的长即可； （2）由题意得，利用三角形面积公式列式计算即可求解； （3）分和两种情况讨论，画出图形，直接写出点N的坐标． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形，点A的坐标为， ∴，， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得， ， ∴， 解得或， ∴t的值为或； 【小问3详解】 解：当时，设， 则点A到x轴的距离等于点N到x轴的距离，即为4， 作于点F，于点E， ，，， 由勾股定理得，即， 解得， 即， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，又， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∴； 综上，点N的坐标为或． 21. 沈阳故宫，被誉为“一朝发祥地，两代帝王都”，位于辽宁省沈阳市，如今凭借科技加持与文化赋能的创新融合，成功打造了一场现代与传统交织的文旅盛宴． （1）据统计，2026年暑期假期第一天沈阳故宫接待游客约5万人次，假期第三天接待游客达7.2万人次，求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率． （2）某商店推出古城联名手办，每个手办的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出25个．若要使每天销售的手办获利1800元，则每个手办的售价应为多少元？ 【答案】（1） （2）8元 【解析】 【分析】（1）设游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率为，根据假期第一天沈阳故宫接待游客约5万人次，第三天接待游客达7.2万人次，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设售价降低元，则每天售出个，根据要使每天销售的手办获利1800元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价降低元， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴售价应为：（元）． 答：每个手办的售价应为8元． 22. 在中，，，，点为边上的一个动点，以为边作等边，与相交于，连接，将等边绕点旋转． （1）如图1，当点是的中点时，求证四边形是菱形； （2）如图2，当点恰好落在上时，此时点与点重合，连接，若，，共线，求的面积； （3）如图3，在等边旋转的过程中，所在的直线与相交于点，当时，若，，求线段的长． 【答案】（1）证明：，， ， ， ∵点是的中点， ∴， ∵等边， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）可证得出四边形是平行四边形，根据，可得到四边形是菱形； （2）作于，可得出，，，勾股定理解直角三角形求得，进而求解即可； （3）将绕点顺时针旋转至，连接，可得出，，，，从而得出是等边三角形，于是可求得，，从而得出，从而求得，进一步得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图1， 作于， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ，， ， ， 在中，，， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ∴的面积； 【小问3详解】 解：如图2， 将绕点顺时针旋转至，连接， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ∵， ∴， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 2. 观察表格，估算一元二次方程的近似解： x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.19 0.44 由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（ ） A. B. C. D. 3. 给出下列判断，正确的是（ ） A. 四个角相等的四边形是菱形 B. 四条边相等的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 4. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 5. 我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在上，连接，将沿折叠，使的对应线段经过点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A. 1 B. 5 C. 2 D. 9. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．若，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 10. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则__________． 12. 已知是方程的两个实数根，则的值为_______． 13. 九年级学生毕业前夕，某班每名同学都为其他同学写一段毕业感言，全班共写了870段毕业感言，如果该班有名同学，根据题意列出方程为__________． 14. 如图，在中，．点是斜边的中点，，垂足为，若，，则的值是__________． 15. 如图，在矩形中，，点E在上，点F在上，且，连结，则的最小值为___________． 三、计算题：本大题共4小题，共16分． 16. 用适当的方法解下列方程： （1）（配方法） （2）． （3）． （4）． 四、解答题：本大题共6小题，共49分 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若，是该方程的两个实数根，且，求m的值． 18. 如图，四边形的对角线相交于点O，，．若四边形是菱形； （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求四边形的面积． 19. 阅读材料：我们都知道, 于是，-2x2+40x+5 =-2(x2-20x)+5 =-2(x2-20x+100)+200+5 =-2(x-10)2+205 又因为，所以， 所以，-2x2+40x+5有最大值205. 如图，某农户准备用长34米的铁栅栏围成一边靠墙的长方形羊圈ABCD和一个边长为1米的正方形狗屋CEFG.设AB=x米. （1）请用含x的代数式表示BC的长（直接写答案）； （2）设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S，试用含x的代数式表示S，并计算当x=5时S的值； （3）试求出山羊活动范围面积S的最大值. 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A的坐标为，点B，C在x轴上，点D在y轴上． （1）写出点B的坐标 ； （2）动点P以每秒1个单位长度的速度从点O出发，沿射线方向运动，设点P运动的时间为t秒，连接，，设的面积为3时，求t的值； （3）点M在x轴上，平面内是否存在点N，使以A、C、M、N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 21. 沈阳故宫，被誉为“一朝发祥地，两代帝王都”，位于辽宁省沈阳市，如今凭借科技加持与文化赋能的创新融合，成功打造了一场现代与传统交织的文旅盛宴． （1）据统计，2026年暑期假期第一天沈阳故宫接待游客约5万人次，假期第三天接待游客达7.2万人次，求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率． （2）某商店推出古城联名手办，每个手办的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出25个．若要使每天销售的手办获利1800元，则每个手办的售价应为多少元？ 22. 在中，，，，点为边上的一个动点，以为边作等边，与相交于，连接，将等边绕点旋转． （1）如图1，当点是的中点时，求证四边形是菱形； （2）如图2，当点恰好落在上时，此时点与点重合，连接，若，，共线，求的面积； （3）如图3，在等边旋转的过程中，所在的直线与相交于点，当时，若，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $