精品解析：河北廊坊市固安县英才中学2026-2027学年高三上学期九月阶段检测数学试卷

2026-2027学年固安县英才中学高三上学期九月阶段检测 数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，记.则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据集合对元素的要求，求得集合,再根据交集并集的定义判断A,B两项，根据集合新定义和的元素要求，分别求出集合判断即得. 【详解】由可得可能的取值有，即，均满足，故. 对于A项，，故A项错误； 对于B项，，故B项错误； 对于C项，因，故，故C项正确； 对于D项，依题有，,则，故D项错误. 故选：C. 2. 已知直线平分圆：的周长，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得直线过圆心，代入圆心坐标可求. 【详解】由，可得圆心为， 因为直线平分圆：的周长， 所以直线过圆的圆心，则，解得. 故选：B. 3. 若直线的倾斜角为，则实数m值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将直线方程化成斜截式方程，求得斜率，再借助于直线的斜率定义即可求得m值. 【详解】由题知，，解得. 故选：A. 4. 如图所示，福建莆田广化寺东侧的释迦文佛塔是一座古老的五层石塔.某数学兴趣小组成员为测量释迦文佛塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的三处进行测量，如图2已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则根据该测量方案可测得释迦文佛塔的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意先分析出图形中的具体角度，设，然后表示出其余所有边长，最后利用余弦定理求解. 【详解】在直角三角形中，，，可设； 在直角三角形中，，，可得； 在直角三角形中，，，可得. 在中，根据余弦定理，， 在中，根据余弦定理，， 又，则，即， 解得，即. 故选：B 5. 圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式求出圆锥的底面半径r，再利用圆锥的侧面积公式即可得出结果. 【详解】根据题意，设圆锥的底面半径为r，因为圆锥的轴截面为等边三角形， 所以圆锥的母线长，，解得， 所以圆锥的侧面积为. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的性质比较的大小，再根据正切函数的性质比较的大小，从而可比较出的大小. 【详解】因为在上递增，且， 所以，即， 所以，所以， 因为在上递增，且， 所以，所以， 所以，即， 所以. 故选：C 7. 已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点，交y轴于点E，若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由于，记的中点为点M，则的中点也为点M，如下图： 显然直线的斜率一定存在，设直线，，， 则，，于是， 则，，， 由，，两式相减可得， 即，得. 又，所以E为的中点，则，可得. 又因为，即， 所以，可得，即 解得离心率. 8. 已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由导函数确定的单调性，将含绝对值的方程去掉绝对值符号，然后引入新函数，设，问题转化为存在，，使得，只要在上不单调即可得． 【详解】， 时，，所以是增函数， 不妨设，则，又， 所以由，得，即， 设，则， 当时，，是增函数，不存在，，使得， 当时，要满足题意，则在上有解，使得在上不单调． ，， 设，，， 所以， 由在上单调递减，得，， 所以． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数方程有解问题，解题关键是利用函数的单调性去掉绝对值符号，转化为新函数不单调，即新函数的导数有零点，最后转化为求函数的最值． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为120° B. 经过点，且在轴上截距互为相反数的直线方程为 C. 直线恒过定点 D. 直线，，则或0 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线方程求得斜率为，得到，可判定A正确；当直线过原点时，得到，满足题意，可判定B错误；化简得到，进而可判定C正确；根据直线的一般式的条件和垂直关系，列出方程，可判定D不正确. 【详解】对于A中，设直线的倾斜角为，由直线，可得斜率为， 即，因为，所以，所以A正确； 对于B中，当直线过原点时，此时过点直线方程为，即，满足题意； 当直线不过原点时，要使得直线在轴上截距互为相反数，可得所求直线的斜率， 所以点的直线方程为，即，所以B错误； 对于C中，直线，可化为， 由方程组，解得，所以直线恒过点，所以C正确； 对于D中，由直线， 若，可得且，解得，所以D不正确. 故选：AC. 10. 已知函数，若函数与其导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象在关于点中心对称 C. 的最大值为 D. 当时，函数有4个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】由三角函数的性质先求出，由可判断A；求解可判断B；化简，由三角函数的性质可判断C；化简可将题意转化为求在的交点个数，可判断D. 【详解】，， 由题意可得：，所以，所以， 又因为函数过，所以， 解得：，因为，所以， 所以， 对于A，，故A正确； 对于B，，所以， ，故B错误； 对于C，， 其中，的最大值为，故C正确； 对于D，令 ，， 令，即， 画出在的图象知， 在有8的交点， 所以当时，函数有8个零点，故D错误. 故选：AC. 11. 已知圆，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 直线被圆截得的最短弦长是 C. 当点在圆上时，的取值范围是 D. 设过的直线与圆的两个交点为，，则线段的中点的轨迹为圆 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线过定点计算可判断A；根据弦长公式及圆的对称性可判断B；表示到原点距离的平方，根据点到圆上点距离最值计算可判断C；由可判断D. 【详解】对于A，直线可化为， 令，解得， 所以直线过定点，故A正确； 对于B，当圆心与定点连线垂直于时，此时弦长最短， 圆的圆心，半径 即圆心到直线最大距离为， 所以最短弦长为，故B错误； 对于C，由题意得表示到原点距离的平方， 且原点到圆心的距离为， 因为点在圆上，所以， 故，故C正确； 对于D，因为是线段的中点，所以， 因为直线过定点，所以， 故线段的中点的轨迹是以线段为直径的圆，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，则___________． 【答案】0.6## 【解析】 【分析】由，可得的概率，然后用和事件的概率公式计算即可. 【详解】由，可得，所以， 所以. 故答案为：0.6 13. 若函数是偶函数，则实数的值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据偶函数定义对函数解析式进行化简即可得. 【详解】易知的定义域为， 且， 因为函数是偶函数， 所以， 所以恒成立，故，即. 故答案为： 14. 已知三棱锥的四个面是全等的等腰三角形，且，，则三棱锥的外接球半径为______；点为三棱锥的外接球球面上一动点，时，动点的轨迹长度为______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】由三棱锥的结构特征，可扩成长方体，利用长方体的外接球半径得三棱锥的外接球半径；由动点的轨迹形状，求长度. 【详解】三棱锥的四个面是全等的等腰三角形，且，，如图所示， 则有，， 把三棱锥扩成长方体， 则有，解得， 则长方体外接球半径， 所以三棱锥的外接球半径； 点为三棱锥的外接球球面上一动点，时， 由，动点的轨迹是半径为的圆， 轨迹长度为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛： 三组对棱分别相等的四面体(三棱锥)——补形为长方体(四面体的棱分别是长方体各面的对角线). 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，为角α终边上一点.求的值. 【答案】 【解析】 【分析】运用三角函数的定义求得，再利用诱导公式及弦化切的知识对原式进行化简，即可得解. 【详解】根据任意角三角函数的定义可得， 所以. 所以的值为. 16. 若函数满足，求的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法、配凑法求函数解析式. 【详解】解法一：换元法． 设，则，， 故函数的解析式为． 解法二：配凑法 ∵， ∴函数的解析式为． 17. 已知在中，角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若为边上一点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理可得，结合三角恒等变换与辅助角公式可求得，求解即可； （2）设，利用等边三角形的性质得，在中利用余弦定理求得，即可求解比例. 【小问1详解】 依题意，， 由正弦定理可得， 因为，所以，所以， 即， 所以，即， 因为，所以，所以，即． 【小问2详解】 不妨设，则， 因为，所以为等边三角形， 则， 由余弦定理得， 所以，解得或（舍去）， 所以． 18. 已知函数. （1）证明：； （2）求证：. 【答案】（1） 证明：函数的定义域为，则， 当时，，当时，，函数在上递减，在上递增， 所以. （2） 证明：先证，设，求导得， 即函数在区间上单调递减，则，即， 于是， 再证，由（1）知，当时等号成立， 令，则，即， 所以，，， 累加可得， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的最小值即可得解. （2）由结合放缩法，转化证明，即可推理得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于该椭圆的另一个焦点上.椭圆具有以下光学性质：由椭圆的一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知.以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图的平面直角坐标系. （1）求截口所在椭圆的方程； （2）该椭圆的左右顶点分别为，过的直线与椭圆交于两点（其中点位于轴上方），记直线的斜率分别为.请问是否有最值，若有，请指出为何种最值（最大值或最小值），并求出这个最值，若没有，请说明理由. 【答案】（1）； （2）有，最小值为，无最大值. 【解析】 【分析】（1）根据已知有，结合椭圆参数关系求参数值，即可得方程； （2）令，且，联立椭圆方程，应用韦达定理及椭圆的性质先求得，再由基本不等式求目标式的最值. 【小问1详解】 令椭圆的方程，，则，， 所以，且，可得， 所以所求方程为. 【小问2详解】 令，且，， 联立，则，整理得， 所以，，且， 由，则， 综上，，当且仅当时取等号， 所以有最小值为，无最大值. 【点睛】关键点点睛：第二问，设直线方程，联立椭圆并应用韦达定理及椭圆的性质得为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年固安县英才中学高三上学期九月阶段检测 数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，记.则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线平分圆：的周长，则（ ） A. B. C. D. 3. 若直线的倾斜角为，则实数m值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，福建莆田广化寺东侧的释迦文佛塔是一座古老的五层石塔.某数学兴趣小组成员为测量释迦文佛塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的三处进行测量，如图2已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则根据该测量方案可测得释迦文佛塔的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线l交C于A，B两点，交y轴于点E，若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为120° B. 经过点，且在轴上截距互为相反数的直线方程为 C. 直线恒过定点 D. 直线，，则或0 10. 已知函数，若函数与其导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象在关于点中心对称 C. 的最大值为 D. 当时，函数有4个零点 11. 已知圆，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 直线被圆截得的最短弦长是 C. 当点在圆上时，的取值范围是 D. 设过的直线与圆的两个交点为，，则线段的中点的轨迹为圆 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，则___________． 13. 若函数是偶函数，则实数的值为__________. 14. 已知三棱锥的四个面是全等的等腰三角形，且，，则三棱锥的外接球半径为______；点为三棱锥的外接球球面上一动点，时，动点的轨迹长度为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，为角α终边上一点.求的值. 16. 若函数满足，求的解析式． 17. 已知在中，角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若为边上一点，且，求的值． 18. 已知函数. （1）证明：； （2）求证：. 19. 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于该椭圆的另一个焦点上.椭圆具有以下光学性质：由椭圆的一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知.以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图的平面直角坐标系. （1）求截口所在椭圆的方程； （2）该椭圆的左右顶点分别为，过的直线与椭圆交于两点（其中点位于轴上方），记直线的斜率分别为.请问是否有最值，若有，请指出为何种最值（最大值或最小值），并求出这个最值，若没有，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $