河北省廊坊市第八高级中学2026-2027学年高三年级上学期10月月考数学试题

高三数学月考试卷 一、单选题（每题5分） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．幂函数的定义域为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．若，，且，则有（    ） A．最大值 B．最大值3 C．最小值 D．最小值3 6．设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 8．已知函数是偶函数，对且时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，部分选对得部分分，错选得0分） 9.下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10.已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则下列结论正确的是（    ） A．的解集为 B．当时， C．有且只有两个零点 D． 11.已知函数关于点对称，对任意，都有成立，且当，时，都有，则下列结论正确的有（    ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．在 上有个零点 D． 三、填空题（每题5分） 12.已知，求_____. 13.若关于的不等式的解集为，则___________． 14.已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为__________． 四、解答题（15题13分、16题和17题各15分、18题和19题各17分） 15.已知函数（，且）． (1)若在上的最大值与最小值之差为3，求a的值； (2)若，求不等式的解集． 16.设集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围． 17.已知函数. （1）求函数的解析式； （2）对任意的实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 18.已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)求函数的单调区间与极值； (3)在区间上有两个零点，求的取值范围． 19.已知，． (1)当时，讨论的单调性； (2)设，若在上有极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明： 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 高三数学月考卷答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D B A A D B C AB ABD ABD 1．B 【详解】集合，， 则 2．D 【分析】由命题的否定的定义即可得到结果. 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题的条件不变． ∴命题“，”的否定是“，”. 3．B 【详解】，根据分式函数和对数函数的性质， 可得，解得，即，B正确. 4．A 【分析】根据幂函数定义和定义域求出的值，得到解析式，解不等式得解． 【详解】由题，得，即，解得或， 当时，，定义域为，不合题意； 当时，，定义域为，合题意． 所以，即，所以， 即，解得， 所以不等式的解集为． 5．A 【详解】由基本不等式可知， 即，∴，当且仅当时取等号. 所以有最大值. 6．D 【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解. 【详解】，， ，， ，， . 故选：D. 7．B 【详解】由题意得函数的定义域为. ， 且， 为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，故排除D； 又且时，，故排除C； 当时，，故A不正确，B正确. 8．C 【分析】由是偶函数，得到的图像关于对称，由且时，，得到在单调递增，由，结合单调性即可判断. 【详解】因为函数是偶函数， 所以，即的图像关于对称， 又且时，， 可得在单调递增， 所以， 所以， 故选：C 9．AB 【详解】对于A选项，若，则，由不等式的基本性质可得，A对； 对于B选项，因为，，则， 所以，B对； 对于C选项，若，，不妨取，，，， 则，，此时，C错； 对于D选项，若，，不妨取，，，， 则，，此时，D错. 10．ABD 【分析】由函数的奇偶性求解可判断B；利用B中的结论及已知条件解不等式可判断A；由函数的解析式及奇函数的性质求出零点可判断C；利用导数研究函数的最值可判断D. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以， 当时，，则，故B正确； 当时，，由即，解得； 当时，，由即，解得， 所以的解集为，故A正确； 当时，由，解得； 因为是定义在上的奇函数，所以； 当时，由，解得， 故有且只有三个零点，故C错误； 当时，，， 故在上单调递增，所以，， 则，故D正确． 故选：ABD． 11．ABD 【分析】根据函数关于点对称可知函数为奇函数，然后再由可知，图象关于对称，则可推出函数的周期为，然后根据，时，可知在上递增，利用以上性质分析所给选项是否正确即可. 【详解】由题意可知函数图象关于对称，即函数为奇函数，故A正确； 又，则函数图象关于直线对称， 所以函数为周期函数，且周期为， 又，时，都有， 所以函数在上递增，则函数在上也递增， 根据函数的周期为可知函数在上递增，则B正确； 又，图象关于对称，则， 则，共个零点，故C错误； 而， 所以， 故D正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查函数的四大性质的综合运用，常用结论如下： （1）若函数图象满足对任意的都有，或则函数图象关于对称； （2）若函数的图象关于直线对称，关于点中心对称，则函数为周期函数，最小正周期为. 12．9 【详解】由解析式知，则. 13. 【分析】分析可知，关于的方程的两根分别为、，结合韦达定理可得出、的值，即可得解. 【详解】由题意可知关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，解得，故. 故答案为：. 14． 【分析】由题可知使得成立，即，结合函数的单调性求出最值即可． 【详解】因为且定义域为，所以， 又在上存在单调递减区间，等价于使得成立， 即不等式在上有解，即 设，，则 ， 令，解得（负根不符合定义域，舍去）． 所以函数在 单调递减，在单调递增，经计算， ， 所以，所以． 15．(1)2或； (2). 【分析】（1）对a分类讨论，根据单调性求出函数的最值，即可求解. （2）根据单调性，把对数不等式等价转化一次不等式求解. 【详解】（1）当时，函数在上单调递增， 当时，， 于是，因此； 当时，函数在上单调递减， 当时，， 于是，因此， 所以a的值为2或. （2）当时，函数在上单调递增，而， 不等式，解得， 所以原不等式的解集为. 16．(1) (2) 【详解】（1）由知，解得，   当时，， 故或，   ∴. （2）∵“”是“”的充分不必要条件，∴B是A的真子集，                          ∴当时，，解得，显然成立；   当时，，且及中等号不能同时取得， 解得，                              综上，m的取值范围是． 17．(1) ;(2) . 【详解】试题分析：用换元法令来求函数的解析式（2）由（1）得的解析式代入，分离含参量，求出实数的取值范围 解析：（1）令 ∴ 即：∴. （2）由 即： 又因为：，∴ 令，则： 又在为减函数，在为增函数. ∴ ∴，即：. 点睛：在解答含有参量的恒成立问题时，可以运用分离含参量的方法，求解不等式，注意分类讨论其符号，最后求解结果． 18．(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值 (3) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可知切点坐标为，切线斜率，即可得切线方程； （2）根据导数的符号可得函数的单调区间，根据单调区间即可得极值； （3）利用导数判断函数的单调性，结合零点存在性定理列式求解即可. 【详解】（1）因为函数的定义域为，且， 则，，即切点坐标为，切线斜率， 所以在处的切线方程为，即. （2）因为，且， 令，解得；令，解得； 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 极小值为，无极大值. （3）因为，， 则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则， 且，当趋近于时，趋近于， 若函数在区间上有两个零点， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 19．(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增 (2)（ⅰ）； （ⅱ）此时在上有唯一零点．在上单调递增， 故当时，，即； 当时，，即， 故在上单调递减，在上单调递增， 故是的极小值点.     方法一：由上分析，，又，故； 方法二：因为，由，得， 则， 令，则（）， 所以在上递减， 所以，即，所以. 【分析】（1）先求出函数的定义域，再求导后讨论导数的正负即可； （2）（ⅰ）将问题转化为导函数的变号零点，结合零点存在定理即可求解；（ⅱ）方法一：由（ⅰ）可知是的极小值点，则，结合即可证明；方法二：由（ⅰ）可知，然后构造函数，结合函数的单调性可证得结论. 【详解】（1）由题意知的定义域为， 当时，，     当时，，则在上单调递减，    当时，由，解得；由，解得． 即在上单调递增，上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）（ⅰ）由题意得，所以的定义域为， 在上有极值点等价于在上有变号零点． 令，即在上有变号零点． 当时，显然在区间上恒成立，无变号零点，不满足题意；     当时，在区间上恒成立. 所以在上单调递增.     令，解得.    （ⅱ）略 $