精品解析：河北衡水中学2026届高三年级上学期检测三数学试题

河北衡水中学26届高三年级上学期检测三 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】依题意，，解得， 所以的定义域为. 故选：C 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. 6 D. 10 【答案】A 【解析】 【详解】由可得，解得，所以. 3. 等差数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，求得，结合，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，可得，可得， 又由. 故选：B. 4. 曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，即可根据点斜式求解直线方程. 【详解】由函数的解析式可得， 所求切线的斜率为．由于切点坐标为， 故切线方程为，即为． 故选：C． 5. 在一次校园安全知识竞赛中，甲、乙、丙同时回答一道题，每人回答问题正确与否相互独立，甲答对的概率是，甲、乙两人都答对的概率是，乙、丙两人都答错的概率是，则甲、乙、丙三人中，至少有一人答对该题的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设乙、丙各自答对这道题的概率分别是x、y，根据已知及独立事件乘法公式、对立事件概率求法列方程求x、y，再应用对立事件概率求法求目标概率. 【详解】设乙、丙各自答对这道题的概率分别是x，y，则，解得，， 故所求概率为. 故选：D 6. 直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（ ） A. 6 B. 8 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】联立直线与抛物线的方程，根据抛物线的焦点坐标，结合焦点弦长公式求解即可 【详解】因为抛物线的焦点坐标为， 又直线过抛物线的焦点F，所以，抛物线的方程为，由，得，所以，所以． 故选：B 7. 若正四棱锥的高为4，且所有顶点都在半径为6的球面上，则该正四棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】点在底面的投影为，确定球心的位置，求，由此可求底面棱和侧面三角形的高，进而可求表面积. 【详解】在正四棱锥中，设点在底面的投影为，则为正方形的中心， 过作正四棱锥的截面，如图： 因为，，所以正四棱锥的外接球球心在的延长线上， 则，， 所以. 在正四棱锥中，如下图： ，， 中边上的高为， 故该正四棱锥的表面积为． 故选： 8. 设定义在上的函数，满足，且对任意，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将转化为，由同向不等式相加，得，也即，从而得到，然后累加求. 【详解】由①， 又②， 由①＋②得， 即③， 又①＋③得，即， 已知，所以， 累加可得，， 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，利用立方根的性质可得A正确；BC选项，可根据不等式的性质进行推理，D选项可举出反例. 【详解】A选项，若，则，A正确； B选项，因为，所以，B正确； C选项，因为，所以由倒数法则得， 因为，由不等式性质（同向同正可乘性）知，C正确； D选项，举反例：当时，满足，， 此时，则，D错误. 故选：ABC 10. 已知椭圆的上、下顶点分别为，，焦距为，P是椭圆上不与A，B重合的一点．若椭圆内有一点Q满足，则Q的横坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先由过已知点及焦距求得椭圆方程，设直线的斜率，得的方程并与椭圆联立求得点，得到直线的斜率，再由，得到直线的方程并联立求得，利用基本不等式求其范围即得解. 【详解】由题意得，，所以， 故椭圆方程为． 由题意知直线PA，PB的斜率存在且不为零， 设直线PA，PB的斜率分别为k，n（，）， 故直线PA的方程为， ，∴直线AQ的方程为， 联立，得， 因为点P不与A，B重合，所以，， 则， 因为，所以直线BQ的方程为． 联立，得， 当时，，当且仅当时取等号，此时， 根据椭圆的对称性可得，当时，， 综上，点Q横坐标的取值范围是， 结合各选项可得点Q的横坐标可能为，，． 故选：BCD 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是以为周期的周期函数 B. 在上单调递减 C. 的最大值为 D. 存在，使得为奇函数 【答案】AC 【解析】 【分析】利用周期函数的定义判断A；举例说明判断B；在内求出的最大值，结合周期性判断C；利用奇函数图象特征判断D. 【详解】对于A，， ，因此是以为周期的周期函数，故A正确； 对于B，，， 则，故B错误； 对于C，当时，， 令 ，，， 当时，， 令， ，， 因此函数在上的最大值为， 由选项A得在定义域R上的最大值为，故C正确； 对于D，由选项C知，函数在定义域R上的值域为， 函数的图象总在上方，因此函数不可能是奇函数， 即不存在，使得为奇函数，故D错误. 故选：AC 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将直线沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆相切，则实数__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据平移得平移后的直线方程，即可根据点到直线的距离公式求解. 【详解】向左平移个单位得到， 圆化为，圆心为，半径为， 因为相切，所以解得或， 故答案为：或 13. 函数，（是常数，且）的部分图象如图所示，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】由“五点法”，结合图象分别求出得，然后结合特殊角的函数值求解即可. 【详解】由图象知，，即，所以，即， 由五点法作图及图象过点知，即，则， 当时，，满足，符合题意， 所以，所以. 故答案为：. 14. 定义在上的函数的导函数为，且，若存在实数x使不等式对于恒成立，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】求导赋值求得，可得，进一步得函数单调性、最值，故原题条件可转换为对于恒成立，从而可得关于的不等式，解不等式即可得解. 【详解】因为，， 令，，解得：， 所以，令，，所以， 所以，而显然在上单调递增，又， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 存在实数x使不等式对于恒成立， 所以对于恒成立， 所以对于恒成立， 即，解得：或， 则实数m的取值范围为：． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知正项等比数列的前项和为，满足，. （1）求数列的前项和. （2）在（1）的条件下，若，，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的性质可求解公比，即可求解通项，进而利用错位相减法即可求和， （2）将问题转化为求解，利用作差法求解数列的单调性即可求解. 【小问1详解】 由于为正项等比数列，，故，故公比， 故，则， 两式相减得， 所以 【小问2详解】 由已知得由可得，即 设， 当时，；当时， 所以当时，取最大值，即.故的最小值是. 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为等边三角形，平面平面，E为PB中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 如图所示，作线段的中点，连接， 因为侧面为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，面， 所以平面，因为平面，所以， 因为底面为矩形，所以， 因为，面，面，所以面， 因为平面，所以平面面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理得出平面，接着求证面，再根据面面垂直的判定定理即可得证. （2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，根据面面角的向量方法，求出面的法向量即可计算求出面与面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 如图所示，作中点，连接，则 由（1）可得，面，面，所以面， 则可以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系； 则， 可得， 设面的法向量为，则，得， 令，解得，所以面的一个法向量为， 易知面得一个法向量为， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知． （1）讨论的单调性； （2）若任意的，求的取值范围． 【答案】（1）当时，在（0，2）上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在（0，2）上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． （2） 【解析】 【分析】（1）先确定函数的定义域，接着对函数进行求导，令，得到临界点和，最后根据与的大小关系，分四种情况讨论在不同区间的符号，从而确定的单调性. （2）根据，构造函数，由条件得出在上单调递增，所以在上恒成立，变形得到在上恒成立，最后求的最大值即可得到的取值范围． 【小问1详解】 的定义域为． 若，则． ①若，当时，；当时，， 所以在（0，2）上单调递减，在上单调递增； ②若，当或时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； ③若，当且仅当时取等号，此时在上单调递增； ④若，当或时，；当时，， 所以在（0，2）上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在（0，2）上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在（0，2）上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 不妨设，则 ． 设，则， 所以在上单调递增，所以对恒成立， 所以对恒成立， 又，所以当时，取最大值， 所以，解得，即的取值范围为． 18. 已知双曲线（）的离心率为，右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1，两动点A，B在双曲线C上，线段AB的中点为 （1）求双曲线C的方程； （2）证明：直线AB的斜率k为定值； （3）O为坐标原点，若的面积为求直线AB的方程． 【答案】（1） （2） 设，，则, 两式相减并整理得，, 因为线段AB的中点为，则， 所以，因为，所以， 所以直线的斜率k为定值2． （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率以及右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离，求出，即得答案； （2）设，，利用点差法即可证明； （3）设出直线方程，联立双曲线方程，可得根与系数关系式，表示出弦长以及原点到直线的距离，结合三角形面积求出参数，即可求得答案. 【小问1详解】 双曲线（）右焦点的坐标为， 不妨取C的一条渐近线的方程为 即，所以 又，解得， 所以双曲线C的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设直线，联立，消去得， 因为，所以， 则， 故， 点O到直线AB的距离为 所以， 整理得，解得（舍去），则， 又因为，所以直线AB的方程为 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当a变化时，曲线过定点，证明：； （3）若，求函数的零点个数． 【答案】（1） （2） ， 因为曲线过定点，所以，从而． 令，则，所以在上单调递增，且， 所以． 所以，即． （3）两个零点 【解析】 【分析】（1）分别求出，，即可求出切线方程； （2）由可得曲线的恒过点且，令，可得在上单调递增，由零点存在定理可得，即可证明结论； （3）函数的零点个数可转化为与交点个数，由导数求出函数的单调区间，得到，结合值域分析即可求解.. 【小问1详解】 若，则， 所以，， 因此曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数的零点个数可转化为与交点个数； 由． 令，得， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 因此． 当时，，且． 由（2）可知，存在，满足，又当且时，， 所以与有两个交点， 故有两个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北衡水中学26届高三年级上学期检测三 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. 6 D. 10 3. 等差数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 4. 曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 在一次校园安全知识竞赛中，甲、乙、丙同时回答一道题，每人回答问题正确与否相互独立，甲答对的概率是，甲、乙两人都答对的概率是，乙、丙两人都答错的概率是，则甲、乙、丙三人中，至少有一人答对该题的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（ ） A. 6 B. 8 C. 2 D. 4 7. 若正四棱锥的高为4，且所有顶点都在半径为6的球面上，则该正四棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 设定义在上的函数，满足，且对任意，满足，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知椭圆的上、下顶点分别为，，焦距为，P是椭圆上不与A，B重合的一点．若椭圆内有一点Q满足，则Q的横坐标可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是以为周期的周期函数 B. 在上单调递减 C. 的最大值为 D. 存在，使得为奇函数 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将直线沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆相切，则实数__________. 13. 函数，（是常数，且）的部分图象如图所示，则______． 14. 定义在上的函数的导函数为，且，若存在实数x使不等式对于恒成立，则实数m的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知正项等比数列的前项和为，满足，. （1）求数列的前项和. （2）在（1）的条件下，若，，求的最小值. 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为等边三角形，平面平面，E为PB中点． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知． （1）讨论的单调性； （2）若任意的，求的取值范围． 18. 已知双曲线（）的离心率为，右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1，两动点A，B在双曲线C上，线段AB的中点为 （1）求双曲线C的方程； （2）证明：直线AB的斜率k为定值； （3）O为坐标原点，若的面积为求直线AB的方程． 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当a变化时，曲线过定点，证明：； （3）若，求函数的零点个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $