精品解析：山东青岛市胶州市实验初级中学2026-2027学年第一学期九年级数学学情自测试题

九上数学第一次阶段检测试题（10.8） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是方程的根，则代数式的值为（ ） A. 7 B. C. 5 D. 3. 由下表估算一元二次方程的一个根的范围，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在矩形中，，，沿折叠，使点恰好落在对角线上的点处，则的长是（ ） A. 3 B. 5 C. 4 D. 5. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 6. 在菱形中，对角线相交于点，过点作的平行线交的延长线于点，则的面积为（ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 20 7. 如图所示，把一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（ ） A. B. C. D. 8. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为4，点在对角线上，且垂足为，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 把一元二次方程化成一般形式是__________． 12. 如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝5,BF＝8则EF的长为__________. 13. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，，若AB＝4，BC＝3，则四边形CODE的周长是________． 14. 三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是__________． 15. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为__________． 16. 若是方程的两个实数根，则的值为__________． 17. 若顺次连接四边形ABCD四边中点形成的四边形为矩形，则四边形ABCD满足的条件为.___________ 18. 如图，在正方形中，，点分别为边上的动点，，则的最小值为__________． 19. 如图，已知点E在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接分别是的中点，连接．若，则__________． 20. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿方向运动，点同时以每秒1个单位长度的速度从点出发沿方向运动，若，则经过__________秒后，四边形是矩形． 三、作图题：请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 21. 如图所示，一块儿三角形空地ABC，要在其内部建一个菱形花园，使得B为菱形花园的一个顶点，其余3个顶点分别在的3条边上．请你能设计出此菱形花园． 四、解答题（56分） 22. 解方程： （1）（公式法） （2）（配方法） （3）． （4） 23. 已知关于的一元二次方程，其中分别是的边长． （1）若方程有两个相等的实数根，试判断的形状； （2）若是等边三角形，试求该一元二次方程的根． 24. 阅读下列材料： 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，掌好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程，则有，，解得，．已知，求x，y的值，则有，，解得，． 根据以上材料解答下列各题： （1）若，求的值； （2）若分别表示的三边长，且满足，试判断的形状，并说明理由． 25. 如图，在菱形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F． （1）求证：； （2）从下列条件中任选一个作为已知条件，并判断四边形的形状．请证明你的结论． ①；②． 选择的条件：_______（填写序号）． （注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分） 26. 某快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．若要使该店每天的利润为1560元，则每份套餐的售价应为多少元？ 27. 如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动. 设点D，E运动的时间是，过点D作交于点F，连接，. （1）当 时，， 时，为直角三角形? （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由。 （3）请用含有t的式子表示的面积，并判断是否存在某一时刻t，使的面积是面积的，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九上数学第一次阶段检测试题（10.8） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；即可进行解答． 【详解】解：A、中含有两个未知数，不是一元二次方程，故不合题意； B、中分母含有未知数，不是整式方程，故不合题意； C、是一元二次方程，故符合题意； D、当时，的系数为0，故不是一元二次方程，故不合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 2. 已知是方程的根，则代数式的值为（ ） A. 7 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∴． 3. 由下表估算一元二次方程的一个根的范围，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察表格第二行中的数字，与15最接近时x的范围即为所求根的范围． 【详解】解：∵14.41＜15＜15.84， ∴一元二次方程x2+12x=15的一个根的范围为1.1＜x＜1.2． 故选：B． 【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据是解本题的关键． 4. 如图，在矩形中，，，沿折叠，使点恰好落在对角线上的点处，则的长是（ ） A. 3 B. 5 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，先利用勾股定理求出，结合折叠有，根据，，，即可作答． 【详解】解：设， ∵矩形中，，， ∴，， ∴，， 由折叠可知，，， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴． 5. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，解得，且； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键明确一元二次方程有两个实数根时，△≥0，注意：一元二次方程二次项系数不为0． 6. 在菱形中，对角线相交于点，过点作的平行线交的延长线于点，则的面积为（ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得，，则有，然后可得四边形是平行四边形，，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴． 7. 如图所示，把一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案． 【详解】解： 根据题目中的折叠方法，我们可知剪下的是一个四边相等的四边形，则这个四边形是个菱形， 设剪刀与折痕所成的锐角为α， ∵菱形里只要有一个角是就是正方形． ∴展开四边形后的角为：，即． 故选：B． 8. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元，且设平均每月的增长率为，进而列式即可作答． 【详解】解：由题意，一月份工业产值达50亿元，平均每月的增长率为，则二月份工业产值为亿元，三月份工业产值为亿元， ∵一月份、二月份、三月份的产值之和为175亿元， ∴， 故选：D 9. 菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，坐标与图形，连接交于点D，菱形的性质，得到，进而求出点B的坐标即可． 【详解】解：连接交于点D， ∵四边形是菱形，点C的坐标是，点A的纵坐标是1， ∴， ∴点B的坐标是． 故选：B． 10. 如图，正方形的边长为4，点在对角线上，且垂足为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在上截取一点，使得，连接，由题意易得，则有是等腰直角三角形，，然后可得，，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：在上截取一点，使得，连接，如图所示： ∵四边形是正方形，且边长为4， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则有， ∵， ∴， 解得：， ∴． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 把一元二次方程化成一般形式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式是，把一元二次方程化为一般形式即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：． 12. 如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝5,BF＝8则EF的长为__________. 【答案】13 【解析】 【分析】首先证明∠ABF=∠EAD，再利用AAS证明△AED≌△BFA，进而得到AF=DE，AE=BF，然后再根据线段的和差关系可得答案． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°，AD=AB， ∴∠DAE+∠BAF=90°， ∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E， ∴∠AED=∠AFB=90°， ∴∠BAF+∠ABF=90°， ∴∠ABF=∠DAE， 在△ABF和△DAE中，， ∴△AED≌△BFA(AAS)， ∴AF=DE，AE=BF， ∵DE＝5，BF＝8， ∴EF=AE+AF=BF+DE=8+5=13. 故答案为：13. 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键. 13. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，，若AB＝4，BC＝3，则四边形CODE的周长是________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据矩形和勾股定理的性质，得；根据平行四边形的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝4，BC＝3， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴四边形CODE的周长， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了勾股定理、矩形、平行四边形的整式；解题的关键是熟练掌握矩形、勾股定理的性质，从而完成求解． 14. 三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】先利用因式分解法求出一元二次方程的解，再根据勾股定理、三角形三边的关系确定第三边的取值，并求面积，即可． 【详解】解： ∴，， 当第三边为时，，此时可以构成直角三角形， 面积为：； 当第三边为时，，且有两条边均为6，此时可以构成等腰三角形， 如图， 此时三角形的高为： 则面积为：； 综上：三角形的面积为：或 15. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】：将代入中求解即可． 【详解】解：将代入中，即， 解得：． 16. 若是方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由根与系数的关系，得到，，然后根据多项式乘多项式变形，再代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴； 故答案为：． 17. 若顺次连接四边形ABCD四边中点形成的四边形为矩形，则四边形ABCD满足的条件为.___________ 【答案】AC⊥BD 【解析】 【分析】如图所示，由四边形EFGH为矩形，根据矩形的四个角为直角得到∠FEH=90°，又EF为三角形ABD的中位线，根据中位线定理得到EF与DB平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠EMO=90°，同理根据三角形中位线定理得到EH与AC平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到∠AOD=90°，根据垂直定义得到AC与BD垂直． 【详解】顺次连接四边形ABCD四边中点形成的四边形为矩形，则四边形ABCD满足的条件为对角线垂直，理由： ∵四边形EFGH是矩形， ∴∠FEH=90°， 又∵点E、F、分别是AD、AB、各边的中点， ∴EF是三角形ABD的中位线， ∴EF∥BD， ∴∠FEH=∠OMH=90°， 又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点， ∴EH是三角形ACD的中位线， ∴EH∥AC， ∴∠OMH=∠COB=90°， 则AC⊥BD，故四边形ABCD满足的条件为对角线垂直． 故答案为AC⊥BD． 【点睛】此题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理以及平行线的性质．这类题的一般解法是：借助图形，充分抓住已知条件，找准问题的突破口，由浅入深多角度，多侧面探寻，联想符合题设的有关知识，合理组合发现的新结论． 18. 如图，在正方形中，，点分别为边上的动点，，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作点A关于的对称点，连接，由题意易得，则有，然后可得要使的值最小，需满足三点共线，即最小值为线段的长，进而问题可求解． 【详解】解：连接，作点A关于的对称点，连接，如图所示： ∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由轴对称的性质可知：， ∴， ∴要使的值最小，需满足三点共线，即最小值为线段的长， ∴， ∴的最小值为． 19. 如图，已知点E在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接分别是的中点，连接．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质可得，，，证明点、、在同一直线上，求出，由勾股定理可得，连接，最后再由三角形中位线定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形、均为正方形， ∴，，， ∵， ∴点、、在同一直线上， ∴， ∴， 如图，连接， ， ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴． 20. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿方向运动，点同时以每秒1个单位长度的速度从点出发沿方向运动，若，则经过__________秒后，四边形是矩形． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题关键．设经过秒时，四边形是矩形，先根据平行四边形的性质可得，，再分两种情况：①和②，证出四边形是平行四边形，根据矩形的判定可得要使平行四边形是矩形，则需，即，由此即可得． 【详解】解：设经过秒时，四边形是矩形， 由题意得：， ∵， ∴点从点运动到点所需时间为秒；当点相遇时，， 解得，此时点在点相遇， ∵四边形是平行四边形，， ∴． ①如图1，在点相遇前，即， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 要使平行四边形是矩形，则需，即， ∴， 解得，符合题意； ②如图2，在点相遇后，即， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 要使平行四边形是矩形，则需，即， ∴， 解得，符合题意； 综上，经过或秒时，四边形是矩形， 故答案为：或． 三、作图题：请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 21. 如图所示，一块儿三角形空地ABC，要在其内部建一个菱形花园，使得B为菱形花园的一个顶点，其余3个顶点分别在的3条边上．请你能设计出此菱形花园． 【答案】 如图所示，四边形BEDF为所求菱形， 【解析】 【分析】首先作的角平分线交AC于点D，再过点D分别作BC边和AB边的平行线，即可得出所求菱形． 【详解】解：作法：（1）作的角平分线交AC于点D，具体作法为：以点B为圆心，任意长为半径作圆，与AB边交于M点，与BC边交于N点，分别以M、N点为圆心，适当长为半径作圆，交于P点，作射线BP，交AC于点D； （2）作交AB于点E，交BC于点F，则四边形BEDF为所求菱形． 证明：∵，， ∴四边形BEDF为平行四边形， ∵BD是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形BEDF为菱形． 【点睛】本题考查复杂作图，涉及角平分线的作法，平行线的性质，平行四边形的判定、菱形的判定等知识点，熟记菱形的判定方法是解题的关键． 四、解答题（56分） 22. 解方程： （1）（公式法） （2）（配方法） （3）． （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）确定 、、 的值，先计算判别式，再代入求根公式计算； （2）先把二次项系数化为 ，再配上一次项系数一半的平方，然后用直接开平方法求解； （3）先展开整理成一元二次方程的一般形式，再用因式分解法求解； （4）先整理成一般形式，再利用十字相乘法因式分解求解． 【小问1详解】 解：，，， ，     ， ，． 【小问2详解】 解：两边同除以 ，得 ，即 ． 配方，得 ， ， ， ，． 【小问3详解】 解：展开，得 ， 移项合并，得 ， 因式分解，得 ， 或 ， ，． 【小问4详解】 解：整理，得 ，即 ， 因式分解，得 ， 或 ， ，． 23. 已知关于的一元二次方程，其中分别是的边长． （1）若方程有两个相等的实数根，试判断的形状； （2）若是等边三角形，试求该一元二次方程的根． 【答案】（1）是直角三角形 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根，可得，代入化简即可； （2）根据是等边三角形，可得，将原方程化简求解即可． 【小问1详解】 ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； 【小问2详解】 当是等边三角形， ∴， 可整理为：， ∴， ∴， 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元一次方程，勾股定理，熟知关于的一元二次方程：若，方程有两个不相等的实数根；若，方程有两个相等的实数根；若，方程没有实数根；是解本题的关键． 24. 阅读下列材料： 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，掌好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程，则有，，解得，．已知，求x，y的值，则有，，解得，． 根据以上材料解答下列各题： （1）若，求的值； （2）若分别表示的三边长，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） 为等腰三角形， 理由：， ， ， ，， ，， . 为等腰三角形. 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法，完全平方公式，代数式求值，非负数的性质，将多项式变形为完全平方式是解题的关键． （1）应用配方法将方程变形为，解方程得到，，代入计算即可； （2）为等腰三角形，理由：先将方程变形为，解方程得到，，进而得出，即可得到结论． 【小问1详解】 解：， ， ， ，， . 【小问2详解】 略 25. 如图，在菱形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F． （1）求证：； （2）从下列条件中任选一个作为已知条件，并判断四边形的形状．请证明你的结论． ①；②． 选择的条件：_______（填写序号）． （注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】（1） 证明：在菱形中，，， ∴， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2） 若选①，则四边形为矩形，理由如下： 在菱形中，，， ∴， 又∵， ∴，， ∴为等边三角形，则， 又∵平分， ∴，即， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴四边形为矩形； 若选②，则四边形为矩形，理由如下： 在菱形中，， ∵， ∴， 又∵平分， ∴，即， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴四边形为矩形． 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定及性质，矩形的判定，等边三角形的判定及性质等，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）在菱形中，，，可得，由角平分线的定义可知，，进而可知，即，可得四边形是平行四边形，即可证明结论； （2）若选①，根据菱形的性质可得，，则为等边三角形，则，再根据“三线合一”得，结合（1）即可证明四边形为矩形； 若选②，根据菱形的性质可得，，再根据“三线合一”得，结合（1）即可证明四边形为矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 某快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．若要使该店每天的利润为1560元，则每份套餐的售价应为多少元？ 【答案】11或14元 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程，一元二次方程的应用，分析题目中的数量关系，列出方程是解题的关键． 分类讨论，当售价（元）时；当售价（元）时，列方程求解即可． 【详解】解：设每份套餐的售价应为x元 当售价（元）时， 根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）； 当售价（元）时， 根据题意，得， 解得，， ∴每份套餐的售价应定为11或14元，该店每天的利润为1560元． 27. 如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动. 设点D，E运动的时间是，过点D作交于点F，连接，. （1）当 时，， 时，为直角三角形? （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由。 （3）请用含有t的式子表示的面积，并判断是否存在某一时刻t，使的面积是面积的，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由。 【答案】（1）10；或12 （2）四边形能成为菱形，； （3）， 存在，当时，的面积是面积的． 【解析】 【分析】（1）①根据直角三角形的性质可得，从而可得，求解即可；②分两种情况：当，根据直角三角形的性质可得；当时，根据直角三角形的性质可得，分别进行求解即可； （2）证明四边形是平行四边形，再根据如果四边形是菱形，则必有邻边相等，即，列方程求解即可； （3）根据四边形是平行四边形，可得，即可求得，再根据，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：①∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，则，， 当时，， 解得； ②当，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， 当时，则， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，当或12时，为直角三角形， 故答案为：；或12； 【小问2详解】 解：四边形能成为菱形，理由如下： 由（1）可得，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 若四边形是菱形，则， ∴， 解得， 当时，四边形是菱形； 【小问3详解】 解：过点D作于点G， 由（1）可得，，，， 在中，，即， 由（2）可得，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在中，，即， ∴， 当时，， 解得或（舍）， ∴当时，的面积是面积的． 【点睛】本题考查直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、锐角三角函数、解一元二次方程和一元一次方程，熟练掌握相关性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $