精品解析：山东省青岛市胶州市瑞华实验初级中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

瑞华中学九年级第一学期第二次诊断性检测 数学试题 一、选择题（每小题3分） 1. 把等式写成比例式，下列写法错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 左下图是一些完全相同的小正方体搭成的几何体的三视图 ．这个几何体只能是（ ） A. B. C. D. 3. 若反比例函数的图象经过点，则该函数的图象不经过的点是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在▱ABCD中，E为CD边上的中点，AE交BD于点O，若S△DOE=2，则▱ABCD的面积为（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 5. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，CD是AB边上的高，且AB=5，cosA=，则CD的长为（　　） A. B. C. D. 6. 若点在函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，于点D，则下列比值：其中可以表示的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 8. 如图，某人从山脚下的点A走了后到达山顶的点B处，已知点B到山脚的垂直距离为，则山的坡度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，、相交于点．则的值是（） A. 0.5 B. C. 2 D. 10. 和在同一坐标系内的图像可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 在中，，若，则_____． 12. 如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，边在x轴上，在y轴上，如果矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是________． 13. 在函数中，当时，的取值范围是_____． 14. 如图所示是某种货号的直三棱柱(底面是等腰直角三角形)零件的三视图，则它的表面积为__________ 15. 小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为的竹竿影长，但当他马上测树高时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所示．他测得留在地面部分的影子长，留在墙壁部分的影高，则树的高度为_____． 16. 如图，已知第一象限内的点在反比例函数上，第二象限的点在反比例函数上，且，，则的值为_____． 三、解答题 17. 计算题 （1） （2） （3）． 18. 在矩形中，，，为边上一点，连接，过作垂直． 求证：； 若设，，求与的函数解析式． 19. 如图，一次函数与反比例函数的图像相交于，两点，与y轴交于点C．分别连接． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求的面积． （3）当时，请写出自变量的取值范围． （4）在反比例函数图像上找一点P，使的面积为3．直接写出P点坐标 20. 数学实验小组学习了投影后，分别利用阳光和灯光下的影子进行了如下活动： （1）如图①所示，阳光下在某一时刻，身高的小军刚好站在路灯影子的顶端点处，并做了标记．经测量发现、、三点在同一直线上，此时小军的影子长是，且点距离路灯底端为．求路灯的高； （2）夜晚小军沿所在直线从点走13.5米到点，请在图②中分别画出小军在的灯光照射下、两点处的影子，并说明小军影子的长度变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 21. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图，某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，并画了测量示意图．已知，风力发电机垂直于地平面，斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方53米的点处测得点的俯角为． （1）填空：______度； （2）求点到地面的距离； （3）求该风力发电机塔杆的高度． （参考数据：，，） 22. 如果一个三角形有两条互相垂直的中线，我们就把这样的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，是的中线，，垂足为，称这样的三角形为“中垂三角形”，设． 【特例探索】 ①如图1，当时，______，______； ②如图2，当时，______，______． 【归纳证明】 请你观察（1）中的计算结果，用等式表示对三者之间关系的猜想，并利用图3证明三者之间的关系． 23. 已知：如图.在△ABC中.AB=AC=5cm，BC=6cm.点P由B出发，沿BC方向匀速运动.速度为1cm/s.同时，点Q从点A出发，沿AC方向匀速运动.速度为1cm/s，过点P作PMBC交AB于点M，过点Q作QNBC，垂足为点N，连接MQ，若设运动时间为t(s)(0<t<3)，解答下列问题： （1）当t为何值时，点M是边AB中点? （2）设四边形PNQM的面积为y(cm2)，求出y与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使S四边形PNQM:S△ABC=4:9?若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由； （4）是否存在某一时刻t，使四边形PNQM为正方形?若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 瑞华中学九年级第一学期第二次诊断性检测 数学试题 一、选择题（每小题3分） 1. 把等式写成比例式，下列写法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，掌握比例的两内项之积等于两外项之积是解题的关键． 根据比例的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A．由，则，与给定等式一致，故A正确，不符合题意； B．由，则，与给定等式一致，故B正确，不符合题意； C．，则，即，与给定等式一致，故C正确，不符合题意； D．由，则，与给定等式不一致，故D错误，符合题意． 故选D． 2. 左下图是一些完全相同的小正方体搭成的几何体的三视图 ．这个几何体只能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据几何体的主视图可判断C不合题意；根据左视图可得B、D不合题意，因此选项A正确，故选A． 考点：几何体的三视图 3. 若反比例函数的图象经过点，则该函数的图象不经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把代入解析式，可得，据此即可判定． 【详解】解：，故该函数的图象经过点； ，故该函数的图象经过点； ，故该函数的图象经过点； ，故该函数的图象经不过点． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成 (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数． 4. 如图，在▱ABCD中，E为CD边上的中点，AE交BD于点O，若S△DOE=2，则▱ABCD的面积为（　　） A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥BC，证明△DOE∽△BOA，根据相似三角形的性质、平行四边形的性质计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，E为CD边上的中点， ∴AB∥BC，DE=DC=AB， ∴△DOE∽△BOA， ∴=，=（）2，即， ∴S△BOA=8，S△AOD=4， ∴S△BAD=12， ∴▱ABCD的面积=24， 故选D． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 5. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，CD是AB边上的高，且AB=5，cosA=，则CD的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，cosA=，可以求得AC的长，然后根据勾股定理即可求得BC的长，然后根据等积法即可求得CD的长． 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，cosA=，cosA=， ∴AC=4， ∴BC==3， ∵， ∴， 解得，CD=， 故选C． 【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和勾股定理解答． 6. 若点在函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．由反比例函数性质，时，函数图象在第二、四象限，根据各点横坐标符号判断值符号，再比较大小即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴，，， ∵，且， ∴，即， 又， ∴， 故选：D． 7. 如图，中，，于点D，则下列比值：其中可以表示的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的余弦值，三角形内角和定理，根据余弦的定义可得在中，，在中，，利用三角形内角和定理证明，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴在中，可以表示的有，共3个， 故选；B． 8. 如图，某人从山脚下的点A走了后到达山顶的点B处，已知点B到山脚的垂直距离为，则山的坡度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理，以及坡度坡角的运用，需注意的是坡度是坡角的正切值，是铅直高度和水平宽的比． 先根据勾股定理求出水平距离的长，再根据坡度的定义求解即可． 【详解】解：由勾股定理得， 山的坡度， 故选：C． 9. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，、相交于点．则的值是（） A. 0.5 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理逆定理，正方形的性质等知识，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，再根据题意可得，从而可得，即可解答，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 设小正方形的边长为， 由题意得： ∴是直角三角形， ∴， 在中，， ， 由题意得：， ∴， 故选：B． 10. 和在同一坐标系内的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数图像，掌握一次函数和反比例函数图像与相关参数的关系是解题的关键． 分别根据各选项的一次函数和反比例函数图像确定m的取值范围，如果不存在矛盾，即符合题意． 【详解】解：A．由一次函数的图像可知，由反比例函数图像可知，存在矛盾，不符合题意； B．由一次函数的图像可知，由反比例函数图像可知，不存在矛盾，符合题意； C．由一次函数的增减性来看，又其与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即存在矛盾，不符合题意； D．由一次函数的增减性来看，又其与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即存在矛盾，不符合题意． 故选B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 在中，，若，则_____． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，灵活运用特殊角的三角函数值求角度是解题的关键． 由，则，即，再根据特殊角的三角函数值即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ∵在中，， ∴， ∴． 故答案为30． 12. 如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，边在x轴上，在y轴上，如果矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是________． 【答案】或． 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系、位似的性质等知识点，掌握位似的性质是解题的关键． 根据相似图形的性质可知两矩形的相似比为，由平面直角坐标系可知B点的坐标为，进而求得点的坐标． 【详解】解：∵矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的， ∴两矩形的相似比为， ∵由坐标系可得B点的坐标为， ∴点的坐标是或． 故答案为：或． 13. 在函数中，当时，的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．根据反比例函数的性质，结合自变量 x 的取值范围，分析函数值的取值范围即可． 【详解】解：∵函数 是反比例函数，比例系数 ， ∴函数图像位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵当 时，， ∴当 时，，且 y 为正数， 因此，y 的取值范围是 ， 故答案为：． 14. 如图所示是某种货号的直三棱柱(底面是等腰直角三角形)零件的三视图，则它的表面积为__________ 【答案】(28+20) 【解析】 【分析】根据三视图可知，直三棱柱的底面是斜边为4厘米、斜边上的高为2厘米的等腰直角三角形，直三棱柱的高是5厘米的立体图形，根据表面积计算公式即可求解． 【详解】直三棱柱的底面如下图， 根据三视图可知，为等腰直角三角形，斜边上的高为2厘米，根据等腰三角形三线合一的性质得：， ∴， 它的表面积为： (平方厘米) 故答案为：． 【点睛】考查了由三视图判断几何体，几何体的表面积，关键是得到直三棱柱的底面三角形各边的长． 15. 小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为的竹竿影长，但当他马上测树高时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所示．他测得留在地面部分的影子长，留在墙壁部分的影高，则树的高度为_____． 【答案】##米 【解析】 【分析】本题主要考查的是相似三角形的应用：构造相似三角形进行求解即可． 【详解】解：如图： 为竹竿，为它的影子，， 为树，是树的影子，． 过作于，则由题可知， ， ， ∴四边形是矩形， ∴树高， 故答案为：． 16. 如图，已知第一象限内的点在反比例函数上，第二象限的点在反比例函数上，且，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】作轴于点C，作轴于点D，易证，则面积的比等于相似比的平方，然后根据反比例函数中比例系数k的几何意义即可求解． 本题考查了相似三角形的判定与性质，以及反比例函数的比例系数k的几何意义，正确作出辅助线求得两个三角形的面积的比是关键． 【详解】解：作轴于点C，作轴于点D． 则 则 又 ∵第二象限的点在反比例函数上， ，则， 由图可知， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17. 计算题 （1） （2） （3）． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． （1）利用特殊角三角函数值的混合运算即可得到结果； （2）利用特殊角三角函数值的混合运算即可得到结果； （3）利用特殊角三角函数值的混合运算即可得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 18. 在矩形中，，，为边上一点，连接，过作垂直． 求证：； 若设，，求与的函数解析式． 【答案】 证明：∵四边形是矩形， ∴． ∵垂直， ∴． ∴． ，． ∴． ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）要求的两个相似三角形中，已有一对直角对应相等，可利用垂直得到其余一组锐角相等即可得到相似． （2）利用相似求得函数关系式． 【详解】略 解：∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与反比例函数，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与根据实际问题列反比例函数关系式. 19. 如图，一次函数与反比例函数的图像相交于，两点，与y轴交于点C．分别连接． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求的面积． （3）当时，请写出自变量的取值范围． （4）在反比例函数图像上找一点P，使的面积为3．直接写出P点坐标 【答案】（1）反比例函数的解析式为 （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求反比例函数解析式、三角形的面积等知识点，求出交点B的坐标是解题的关键． （1）利用一次函数求出点A的坐标，然后代入求得k的值即可求出反比例函数的表达式； （2）联立函数解析式，求出点B坐标，再由一次函数解析式得出点C坐标，根据求解即可； （3）根据函数图像确定自变量的取值范围即可； （4）如图：连接，设，由题意可得可求得或，进而求得点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数经过点， ∴，解得：， ∴， ∵反比例函数过点， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：联立函数解析式得，，解得或， ∴， ∵一次函数与y轴交于点C， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵一次函数与反比例函数的图像相交于，两点． ∴由图像可得，当或时，． ∴当时，自变量的取值范围为或． 【小问4详解】 解：如图：连接，设， 由题意可知：， 则，即， ∴，即或， 当时，点P的坐标为； 当时，点P的坐标为． 综上，点P的坐标为或． 20. 数学实验小组学习了投影后，分别利用阳光和灯光下的影子进行了如下活动： （1）如图①所示，阳光下在某一时刻，身高的小军刚好站在路灯影子的顶端点处，并做了标记．经测量发现、、三点在同一直线上，此时小军的影子长是，且点距离路灯底端为．求路灯的高； （2）夜晚小军沿所在直线从点走13.5米到点，请在图②中分别画出小军在的灯光照射下、两点处的影子，并说明小军影子的长度变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 【答案】（1） （2）小军影子的长度变短了 如图， 由题意，知，，，，， ∴，， ∴，， ∴，， 解得，， ∵ ∴小军影子的长度变短了． 【解析】 【分析】本题考查了平行投影和中心投影，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）证明，然后根据相似三角形的性质求解即可； （2）先根据中心投影画出图形，然后证明，，根据相似三角形的性质，，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，知，，，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 答：路灯的高为； 【小问2详解】 略 21. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图，某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，并画了测量示意图．已知，风力发电机垂直于地平面，斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方53米的点处测得点的俯角为． （1）填空：______度； （2）求点到地面的距离； （3）求该风力发电机塔杆的高度． （参考数据：，，） 【答案】（1） （2）点到地面的距离为米； （3）该风力发电机塔杆的高度约为米． 【解析】 【分析】（1）过点作垂足为，根据题意可得，从而可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答； （2）延长交于点，根据题意可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质求出的长，即可解答； （3）根据题意可得米，，然后设米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：如图：过点作，垂足为， 由题意得： ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点， 由题意得：， 在中，米， (米)， ∴点到地面的距离为米； 【小问3详解】 解：由题意得：米，， 设米， 在中， ， ∴ (米)， 在中， ， (米)， ， ， 解得：， 米， 米， (米)， ∴该风力发电机塔杆的高度约为米． 22. 如果一个三角形有两条互相垂直的中线，我们就把这样的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，是的中线，，垂足为，称这样的三角形为“中垂三角形”，设． 【特例探索】 ①如图1，当时，______，______； ②如图2，当时，______，______． 【归纳证明】 请你观察（1）中的计算结果，用等式表示对三者之间关系的猜想，并利用图3证明三者之间的关系． 【答案】（1），，，；（2），理由见解答． 【解析】 【分析】（1）如图1，由，，得到，根据相似三角形的判定与性质列比例式可得，长，由勾股定理计算和的长，最后由中线的定义可得和的长即可；如图2，同理根据含角的直角三角形的性质可得结论； （2）设，，由得到，，再由勾股定理可得结论即可． 【详解】解：特例探索：①如图1．连接， ，是的中线， ， ， 当，时，， ，是的中线， ， ∴，又， ， ， 由勾股定理得：， ， ，； ②如图2，连接， 当，时， 在中，，， ，， ， ∴， ， ，， 由勾股定理得：， ， ，； 故答案为：①，；②，； 归纳证明：猜想：，理由如下： 如图3，连接， ，是的中线， 是的中位线， ，且， ， 设，， ，， 在中，， 在中，， 在中，， ． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，三角形中线，三角形中位线，含30角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质等知识，根据条件表示相关的线段是解本题的关键． 23. 已知：如图.在△ABC中.AB=AC=5cm，BC=6cm.点P由B出发，沿BC方向匀速运动.速度为1cm/s.同时，点Q从点A出发，沿AC方向匀速运动.速度为1cm/s，过点P作PMBC交AB于点M，过点Q作QNBC，垂足为点N，连接MQ，若设运动时间为t(s)(0<t<3)，解答下列问题： （1）当t为何值时，点M是边AB中点? （2）设四边形PNQM的面积为y(cm2)，求出y与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使S四边形PNQM:S△ABC=4:9?若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由； （4）是否存在某一时刻t，使四边形PNQM为正方形?若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）当t为s时，点M是AB中点； （2）y与t的函数关系式是y （3）t的值为s； （4）不存在， 若S四边形PNQM：S△ABC＝4：9，则y=S△ABC， ∵S△ABC=， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴t的值为s； （3）若四边形PNQM为正方形，则需满足PM = QN，PM = PN， 当PM = QN时，， 解得：， 当时，PM =，PN=， ∴PM≠PN， ∴不存在． 【解析】 【分析】（1）求出BD＝3，根据，即可求出时间t； （2）先判断出△MBP∽△ABD，进而得出MP，同理表示出QN和CN，然后利用梯形面积公式进行计算即可得出结论； （3）根据（2）中所求，结合面积之间的关系建立方程即可得出结论； （4）假设存在，先利用PM＝QN求出t，进而求出PM，PN，判断出PM≠PN即可得出结论． 【详解】解：（1）过点A作AD⊥BC于点D， ∵PM⊥BC， ∴PM∥AD， ∴， ∵点M是AB中点 ∴， ∴， ∵AB = AC， ∴， ∵BP=t， ∴，解得：， 即当t为s时，点M是AB中点； （2）过点A作AD⊥BC于点D， ∵PM∥AD， ∴△MBP∽△ABD， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，△QCN∽△ACD， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴y =S四边形PNQM=， 即y与t的函数关系式是y； （3） 略 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理、梯形和三角形的面积公式、解一元二次方程以及正方形的性质等知识点，解本题的关键是用方程的思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $