精品解析：山东济南市平阴县2026-2027学年上学期九年级阶段性考试数学试题

初三数学月考试题 一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分） 1. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. 5 B. C. 1 D. 2. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 3. 如果3x＝4y，那么下列各式中正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，，，，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 6 5. 如图，已知在中，为上一点，连接，以下条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则的周长为（ ） A. 21 B. 28 C. 34 D. 48 9. 下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 10. 一次围棋比赛，参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排45场比赛，设本次比赛共有x个参赛棋手，则可列方程为（　　） A. x（x﹣1）＝45 B. x（x+1）＝45 C. x（x﹣1）＝45 D. x（x+1）＝45 11. 如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（　　） A. B. 3 C. 2 D. 12. 如图，正方形中，点是边上一点，连结，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连结，有以下结论：①；②；③；④，你认为其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 已知，且，则________ 14. 线段长为4，点C是线段的一个黄金分割点，且，那么的长是_______． 15. 已知方程的两根分别为和，则代数式的值为__________． 16. 某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是______． 17. 如图，已知路灯离地面的高度AB为4.8m，身高为1.6m的小明站在D处的影长为2m，那么此时小明离电杆AB的距离BD为_____m． 18. 如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，P是CD边上的一个动点，则当△ADP与△BCP相似时，DP=__________． 三、解答题（共10个小题，共78分，写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 如图，在平行四边形中，点是的中点，与相交于点． （1）求证：△△； （2）若，求的长． 21. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． （1）写出点的坐标为______； （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）的内部一点M的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 22. 已知关于的一元二次方程（p为常数）有两个不相等的实数根a，b． （1）填空：______，______； （2）求的值； （3）若，求p的值． 23. 如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少？ 24. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是______件； （2）设平均每天获利为Q元，写出Q与x的关系式．（化成最简形式） （3）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元时，文旅公司每天的利润是630元． 25. 学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，又米，米． （1）求大楼的高度为多少米（垂直地面）？ （2）小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼上点G的高度米，标杆应该向大楼方向移动多少米？ 26. 如图，在中，，，．点M在边上，以的速度由点B出发沿向点A匀速运动；同时点N在边上，以的速度由A出发沿向点C匀速运动．当点M到达A点时，点M，N同时停止运动．连接，设点M运动的时间为t（单位：s）． （1）是否存在时间t，使得以A，M，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出时间t的值；若不存在，请说明理由； （2）当t为何值时，的面积为面积的； 27. 如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE． （1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，①线段DG与BE之间的数量关系是　 　；②直线DG与直线BE之间的位置关系是　 　． （2）探究：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，证明：直线DG⊥BE． （3）应用：在（2）情况下，连结GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，则线段DG是多少？（直接写出结论） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学月考试题 一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分） 1. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ） A. 5 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 两边同除以，得． 2. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用根的判别式的符号即可得出结论. 【详解】解：∵对于一元二次方程，，， ∴判别式， 又∵任意实数的平方非负，即， ∴， ∴ 原方程有两个不相等的实数根. 3. 如果3x＝4y，那么下列各式中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用比例的性质表示出x，y的值，进而得出答案． 【详解】解：∵3x＝4y， ∴设x＝4a，则y＝3a， ∴＝，故选项A错误； ＝＝4，故选项B正确； ＝，故选项C错误； ＝，故选项D错误； 故选B． 【点睛】此题考查的是比例的性质,找出已知比例和所求比例的关系是解决此题的关键. 4. 如图，，，，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理求出即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 5. 如图，已知在中，为上一点，连接，以下条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理的应用．能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键．根据相似三角形的判定定理（有两角分别相等的两个三角形相似，有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两个三角形相似）逐个进行判断即可． 【详解】解：根据和，而无法证明，故A符合要求； ， 又， ，故B不符合要求； ∵，， ∴，故C不符合要求； ∵，， ∴，故D不符合要求； 故选：A． 6. 两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据最长边分别为和确定相似比，相似三角形的周长比等于相似比，再根据周长之和为即可求解． 【详解】解：两个相似三角形的最长边分别为和， 相似比为， 较大三角形与较小三角形的周长比为：， 它们的周长之和为， 较小三角形的周长为：， 故选：B． 7. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 8. 如图，点是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则的周长为（ ） A. 21 B. 28 C. 34 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质得出，，则可证明，由相似三角形得性质可得出，进而可得出，，进而可求出，最后根据平行四边形的性质求周长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴的周长为：． 故选：C． 9. 下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了两三角形相似的判定定理，熟练掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解题的关键． 先根据勾股定理求出各三角形的边长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似，即可求解． 【详解】解：设网格中小正方形的边长为1， ∴给出的三角形的三边长分别为：， A、三角形三边长分别为：， ， A选项不符合题意； B、由勾股定理计算得三角形三边长分别为：， ， B选项不符合题意； C、由勾股定理计算得三角形三边长分别为：， ， C选项不符合题意； D、由勾股定理计算得三角形三边长分别为：， ， D选项符合题意. 故选：D 10. 一次围棋比赛，参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排45场比赛，设本次比赛共有x个参赛棋手，则可列方程为（　　） A. x（x﹣1）＝45 B. x（x+1）＝45 C. x（x﹣1）＝45 D. x（x+1）＝45 【答案】A 【解析】 【分析】关系式为：棋手总数×每个棋手需赛的场数÷2=45，把相关数值代入即可． 【详解】解：本次比赛共有x个参赛棋手， 所以可列方程为：x（x1）=45． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2． 11. 如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（　　） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得MN垂直平分AD，AB=10，则有AD=4，AF=2，然后可得， 进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：MN垂直平分AD，， ∴， ∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°， ∴， ∴AD=4，AF=2，， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数，熟练掌握勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数是解题的关键． 12. 如图，正方形中，点是边上一点，连结，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连结，有以下结论：①；②；③；④，你认为其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】①由，可知；②根据和都是等腰直角三角形，可得，从而得到；③由②相似知：，进而可得则，则平分，即可得；④由，可证，根据对应边成比例，再结合等腰直角三角形和正方形的性质即可证明结论． 【详解】解：①∵正方形和正方形， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，则 ∴； ∴①正确，符合题意； ②∵是等腰直角三角形，则， ∴， 都是等腰直角三角形，同理可得 ∴， 又∵， ∴， ∴②正确，符合题意； ③∵， ∴，则， ∴平分 ∴； ∴③正确，符合题意； ④∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴④正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解决问题的关键． 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 已知，且，则________ 【答案】## 【解析】 【分析】设x=k，y=2k，z=3k（k≠0），结合，求出k的值，进而即可求解． 【详解】∵， ∴设x=k，y=2k，z=3k（k≠0）， ∵， ∴，解得：k=， ∴=． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握设k值法，是解题的关键． 14. 线段长为4，点C是线段的一个黄金分割点，且，那么的长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义，点C是线段的黄金分割点且时，是较长部分，与的比等于黄金比，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵线段长为4，点C是线段的一个黄金分割点，且， ∴， 则， 故答案为：． 15. 已知方程的两根分别为和，则代数式的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程的两根分别为和，可得：，，把整理可得：，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：方程的两根分别为和， ，， ， ． 故答案为：． 16. 某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是______． 【答案】20% 【解析】 【分析】根据降价前后的价格，列式计算即可. 【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率是x， 根据题意得25×（1-x）（1-x）=16， 整理得， 解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去）； 即该药品平均每次降价的百分率是20%， 故答案为：20%． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用.根据题意正确列出方程是解题的关键. 17. 如图，已知路灯离地面的高度AB为4.8m，身高为1.6m的小明站在D处的影长为2m，那么此时小明离电杆AB的距离BD为_____m． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意得△ABC∽△EDC，相似三角形成比例得解． 【详解】∵△ABC∽△EDC， ∴，，CB=6，BD=6-2=4． 故BD为4m． 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是清楚相似三角形的性质． 18. 如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，P是CD边上的一个动点，则当△ADP与△BCP相似时，DP=__________． 【答案】2或8或5 【解析】 【分析】需要分类讨论：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，分别根据相似三角形的对应边成比例求得DP的长度即可． 【详解】解：在矩形ABCD中，AB=CD=10，AD=BC=4， ①当△APD∽△PBC时， 可得，即， 解得：PD＝2或PD＝8； ②当△PAD∽△PBC时， 可得，即， 解得：DP＝5． 综上所述，DP的长度是2或8或5． 故答案为：2或8或5． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质．熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 三、解答题（共10个小题，共78分，写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先确定一元二次方程中的值，计算判别式，再代入求根公式求解； （2）先移项，把等号右侧的式子移到左边，再提取公因式进行因式分解，转化为两个一次方程，进而求出方程的解． 【小问1详解】 解： 解得：； 【小问2详解】 解： 解得：． 20. 如图，在平行四边形中，点是的中点，与相交于点． （1）求证：△△； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形为平行四边形， ， ，， △△； （2）2． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形点的与性质，中点的定义，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质，平行线的性质和相似三角形的判定定理解答即可； （2）利用线段的中点的定义和平行四边形的性质得到，再利用相似三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形为平行四边形， ， 点是的中点， ， ， △△， ， ， ， ． 21. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点为位似中心的位似图形． （1）写出点的坐标为______； （2）以原点为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）的内部一点M的坐标为，直接写出点在中的对应点的坐标为______． 【答案】（1） （2）如图： （3） 【解析】 【分析】本题考查位似图形及位似变换 （1）分别延长、、，它们的交点为点，再写出点坐标； （2）把、点的横纵坐标都乘以得到、点的坐标，然后描点并连线即可； （3）利用（2）中对应点的坐标变换规律求解即可． 解题的关键是掌握：当相似的两个图形的对应顶点的连线相交于一点时，就说这两个图形位似，此时的相似比称为位似比，交点称为位似中心；在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或；如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或． 【小问1详解】 解：如图，分别延长、、，它们的交点为点， ∵与是关于点为位似中心的位似图形， 则点为所作，点坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 如图，，， 把、点的横纵坐标都乘以得：、， 连接、，， 则即为所作； 【小问3详解】 ∵的内部一点M的坐标为， 由（1）知：与是关于原点为位似中心的位似图形，且位似比为， ∴点在中的对应点的坐标为． 故答案为：． 22. 已知关于的一元二次方程（p为常数）有两个不相等的实数根a，b． （1）填空：______，______； （2）求的值； （3）若，求p的值． 【答案】（1）；1 （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）由根与系数的关系可得答案； （2）根据方程的解的定义得到，可证明，则把等式两边同时除以a即可得到答案； （3）根据根与系数的关系和完全平方公式的变形得到，则可得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程（p为常数）有两个不相等的实数根a，b， ∴，； 【小问2详解】 解：∵a是关于x的一元二次方程（p为常数）的一个实数根， ∴， 当时，式子不成立， ∴， ∴把等式两边同时除以a得， ∴； 【小问3详解】 解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是判断．根据正方形的对边平行得到，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”．设正方形零件的边长为，则，，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∴，， ∴． 设正方形零件的边长为，则，． ∵， ∴， ∴， 解得． ∴这个正方形零件的边长是． 24. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是______件； （2）设平均每天获利为Q元，写出Q与x的关系式．（化成最简形式） （3）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元时，文旅公司每天的利润是630元． 【答案】（1） （2）（，且保证为整数） （3）该款巴小虎吉祥物应该降价3元时，文旅公司每天的利润是630元 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）每天的利润（原来的售价成本价降价）销售量，据此列式求解即可； （3）每天的利润（原来的售价成本价降价）销售量，据此列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，当该款巴小虎吉祥物降价x元时，每天售出的数量是件； 【小问2详解】 解：由题意得 （，且保证为整数） 【小问3详解】 解：由题意得，， 整理得， 解得或， ∵要让利于游客， ∴， 答：该款巴小虎吉祥物应该降价3元时，文旅公司每天的利润是630元． 25. 学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，又米，米． （1）求大楼的高度为多少米（垂直地面）？ （2）小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼上点G的高度米，标杆应该向大楼方向移动多少米？ 【答案】（1）（米） （2）0.5米 【解析】 【分析】本题考查测高，涉及矩形判定与性质、三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握测高的题型及解法，灵活运用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键 （1）过点作于点，交于点，如图所示，利用三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案； （2）过点作于点交于点，如图所示，设米，利用三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点作于点，交于点，如图所示： 则四边形，四边形都是矩形， ∴米，米，米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴米； 【小问2详解】 解：过点作于点交于点，如图所示： 设米， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴标杆AB应该向教学楼方向移动0.5米． 26. 如图，在中，，，．点M在边上，以的速度由点B出发沿向点A匀速运动；同时点N在边上，以的速度由A出发沿向点C匀速运动．当点M到达A点时，点M，N同时停止运动．连接，设点M运动的时间为t（单位：s）． （1）是否存在时间t，使得以A，M，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出时间t的值；若不存在，请说明理由； （2）当t为何值时，的面积为面积的； 【答案】（1）存在， 或 （2） 或 【解析】 【分析】（1）题目存在公共角，分、两种相似对应情况，把，代入比例式，分别解方程得到与，验证两个数值都满足，判定存在对应的时间． （2）利用共角三角形面积比等于夹公共角两边乘积之比，代入、、、，令面积比值等于，整理得到一元二次方程，因式分解求解，得到、，检验两个解都在的取值范围内，即为所求的值． 【小问1详解】 解：由勾股定理： 点速度2，点速度1，故： ， 考虑到达需 即 ， 到达需 ，共同停止条件取较小者，故：， 在 和 中，（公共角），所以要判定相似，只需看夹这个角的两边怎么对应， 情形一： 交叉相乘：， 因为 ，所以符合． 情形二： 交叉相乘： 又因为 ，也符合． 所以存在两个符合条件的 值： 和 ． 【小问2详解】 解：过点作 于，过点作 于． 因为 （都是直角），且 （都与角A相同），所以 ， 则有， 从而， 三角形的面积：； 三角形的面积：； 两面积相除：； 代入具体长度：； 根据题意，面积比等于 ： ， 两边同乘156：， 展开：， 整理：， 用十字相乘法：， 所以或 ， 两个值都在 范围内，都成立． 27. 如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE． （1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，①线段DG与BE之间的数量关系是　 　；②直线DG与直线BE之间的位置关系是　 　． （2）探究：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，证明：直线DG⊥BE． （3）应用：在（2）情况下，连结GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，则线段DG是多少？（直接写出结论） 【答案】（1）BE＝DG，BE⊥DG； （2）证明：∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形， ∴∠BAD=∠DAG， ∴∠BAE=∠DAG， ∵AD=2AB，AG=2AE， ∴， ∴△ABE∽△ADG， ∴∠ABE=∠ADG， ∵∠AGB+∠ABE=90°， ∴∠AGB+∠ADG=90°， ∵∠AGB=∠DGH， ∴∠DGH+∠ADG=90°， ∴∠DHB=90°， ∴BE⊥DG； （3） 【解析】 【分析】（1）先判断出△ABE≌△ADG，进而得出BE=DG，∠ABE=∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论； （2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出△ABE∽△ADG，得出∠ABE=∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论； （3）先求出BE，进而得出BE=AB，即可得出四边形ABEG是平行四边形，进而得出∠AEB=90°，求出BE，借助（2）得出的相似，即可得出结论． 【详解】（1）①∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， ∴AE=AG，AB=AD，∠BAD=∠EAG=90°， ∴∠BAE=∠DAG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴BE=DG； ②如图2，延长BE交AD于G，交DG于H， 由①知，△ABE≌△ADG， ∴∠ABE=∠ADG， ∵∠AGB+∠ABE=90°， ∴∠AGB+∠ADG=90°， ∵∠AGB=∠DGH， ∴∠DGH+∠ADG=90°， ∴∠DHB=90°， ∴BE⊥DG （2）略 （3）如图4，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形） ∵EG∥AB， ∴∠DME=∠DAB=90°， 在Rt△AEG中，AE=1， ∴AG=2AE=2， 根据勾股定理得，EG=， ∵AB=， ∴EG=AB， ∵EG∥AB， ∴四边形ABEG是平行四边形， ∴AG∥BE， ∵AG∥EF， ∴点B，E，F在同一条直线上如图5， ∴∠AEB=90°， 在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE==2， 由（3）知，△ABE∽△ADG， ∴， ∴， ∴DG=4． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，判断出△ABE≌△ADG或△ABE∽△ADG是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $