辽宁锦州市第四中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

数学 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 2. 观察表格，估算一元二次方程的近似解： x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.19 0.44 由此可确定一元二次方程.的一个近似解x的范围是（ ） A. B. C. D. 3. 给出下列判断，正确的是（ ） A. 四个角相等的四边形是菱形 B. 四条边相等的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 4. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 5. 我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在上，连接，将沿折叠，使的对应线段经过点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　） A. 1 B. 5 C. 2 D. 9. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．若，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 10. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则__________． 12. 已知是方程的两个实数根，则的值为_______． 13. 九年级学生毕业前夕，某班每名同学都为其他同学写一段毕业感言，全班共写了870段毕业感言，如果该班有名同学，根据题意列出方程为__________． 14. 如图，在中，．点是斜边的中点，，垂足为，若，，则的值是__________． 15. 如图，在矩形中，，点E在上，点F在上，且，连结，则的最小值为___________． 三、计算题：本大题共4小题，共16分． 16. 用适当的方法解下列方程： （1）（配方法） （2）． （3）． （4）． 四、解答题：本大题共6小题，共49分 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若，是该方程的两个实数根，且，求m的值． 18. 如图，四边形的对角线相交于点O，，．若四边形是菱形； （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求四边形的面积． 19. 阅读材料：我们都知道, 于是，-2x2+40x+5 =-2(x2-20x)+5 =-2(x2-20x+100)+200+5 =-2(x-10)2+205 又因为，所以， 所以，-2x2+40x+5有最大值205. 如图，某农户准备用长34米的铁栅栏围成一边靠墙的长方形羊圈ABCD和一个边长为1米的正方形狗屋CEFG.设AB=x米. （1）请用含x的代数式表示BC的长（直接写答案）； （2）设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S，试用含x的代数式表示S，并计算当x=5时S的值； （3）试求出山羊活动范围面积S的最大值. 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A的坐标为，点B，C在x轴上，点D在y轴上． （1）写出点B的坐标 ； （2）动点P以每秒1个单位长度的速度从点O出发，沿射线方向运动，设点P运动的时间为t秒，连接，，设的面积为3时，求t的值； （3）点M在x轴上，平面内是否存在点N，使以A、C、M、N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 21. 沈阳故宫，被誉为“一朝发祥地，两代帝王都”，位于辽宁省沈阳市，如今凭借科技加持与文化赋能的创新融合，成功打造了一场现代与传统交织的文旅盛宴． （1）据统计，2026年暑期假期第一天沈阳故宫接待游客约5万人次，假期第三天接待游客达7.2万人次，求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率． （2）某商店推出古城联名手办，每个手办的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出25个．若要使每天销售的手办获利1800元，则每个手办的售价应为多少元？ 22. 在中，，，，点为边上的一个动点，以为边作等边，与相交于，连接，将等边绕点旋转． （1）如图1，当点是的中点时，求证四边形是菱形； （2）如图2，当点恰好落在上时，此时点与点重合，连接，若，，共线，求的面积； （3）如图3，在等边旋转的过程中，所在的直线与相交于点，当时，若，，求线段的长． 数学 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】C 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 【11题答案】 【答案】-2 【12题答案】 【答案】0 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 三、计算题：本大题共4小题，共16分． 【16题答案】 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 四、解答题：本大题共6小题，共49分 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2） 【19题答案】 【答案】（1）BC=32-2x；（2）S=-2x2+32x-1，当x=5时，S=109米2；（3）山羊活动范围ABGFE面积S的最大值是127平方米． 【20题答案】 【答案】（1） （2）t的值为或； （3）点N的坐标为或 【21题答案】 【答案】（1） （2）8元 【22题答案】 【答案】（1）证明：，， ， ， ∵点是的中点， ∴， ∵等边， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） （3）4 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $