精品解析：辽宁葫芦岛市绥中县第一初级中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2025-2026学年度第一学期第一次质量监测 九年级数学试卷 ※考试时间120分 试卷满分120分 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本部分包括10道小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个最符合题目要求的选项） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，配方后所得方程是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为  （ ） A. B. C. D. 5. 某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共91．若设主干长出x个支干，则可列方程正确的是（ ） A. （1＋x）2＝91 B. 1＋x＋x2＝91 C. 1＋x2＝91 D. x＋x2＝91 6. 如图，抛物线与x轴相交于点，点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时，（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（ ） A. B. C. D. 8. 年青山村种水稻平均每公顷产，和年水稻平均每公顷产量和为，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则下列所列的方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ） A. B. C. D. 10. 如图为2025年9月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数．如果圈出的6个数中，最小数与最大数x的积为190，那么根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本部分包括5道小题，每小题3分，共15分） 11. 已知关于x的一元二次方程有一个根为0，则______． 12. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽若设道路宽为，则根据题意可列方程为___________________ 13. 已知，，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于______． 14. 如图为二次函数的图象，则下列说法：①；②；③；④，其中正确的为______．（填序号） 15. 已知函数：在上的最大值是2，最小值是，则m的取值范围是________． 三、简答题（本部分包括8道小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） 17. 关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得和互为相反数？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 18. 已知二次函数 x … … y … … （1）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（先完成列表，并使每个数对均为整数，再描点，后连线）； （2）①当y随x的增大而增大时，结合图象直接写出x的取值范围． ②当时，结合图象直接写出y的取值范围． 19. 如图所示的平面直角坐标系中画有的图象，它与两条坐标轴共有三个公共点：A，B在x轴上（A在左），C在y轴上． （1）求点A，B，C的坐标； （2）抛物线上有一点P，使得，求出P的所有坐标． 20. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动． 求： （1）几秒后，的面积等于？ （2）的面积能否等于？说明理由． 21. 掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如表： 水平距离 0 2 4 5 6 8 竖直高度 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分． （1）在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是 米，实心球在空中的最大高度是 米； （2）求满足条件的抛物线的解析式； （3）根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.7米时，即可得满分10分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由． 22. 大鹏童装店销售某款童装每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖出10件，已知该款童装每件成本30元，设该款童装每件售价元每星期销售量为件． （1）求与之间的函数关系式； （2）若商店按每件售价不超过45元来销售，当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该童装多少件？ 23. 如图，已知抛物线经过，，三点，其顶点为，对称轴是直线、与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点是该抛物线对称轴l上的一个动点，求周长的最小值； （3）①当时，求出的取值范围； ②将抛物线沿轴翻折，再向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线；将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线，若函数其中，且函数y的图象与轴恰有两个交点，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期第一次质量监测 九年级数学试卷 ※考试时间120分 试卷满分120分 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本部分包括10道小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个最符合题目要求的选项） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 是关于的一元二次方程，故符合题意； B．是分式方程，故不符合题意； C．的最高次数是3，故不符合题意； D．含有2个未知数，故不符合题意． 故选A． 2. 用配方法解方程，配方后所得方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， 3. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 4. 九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为  （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是理解题意，找准等量关系． 假设全班有名学生，根据留言的数量，列出方程即可． 【详解】解：假设全班有名学生，根据题意得， 故选：C． 5. 某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共91．若设主干长出x个支干，则可列方程正确的是（ ） A. （1＋x）2＝91 B. 1＋x＋x2＝91 C. 1＋x2＝91 D. x＋x2＝91 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，若设主干长出x个支干，则根据主干、支干和小分支总数共91，列出方程即可． 【详解】设主干长出x个支干，根据题意，得 1＋x＋x2＝91 故选B 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意列出一元二次方程是解题的关键． 6. 如图，抛物线与x轴相交于点，点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时，（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出对称轴为：，结合图形及点C的横坐标即可求解． 【详解】解：∵与x轴相交于点，点， ∴对称轴为：， ∵与 y轴相交于点C，点D在抛物线上，轴， ∴点C的横坐标为0， ∴点D的横坐标为6， ∴． 7. 某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 8. 年青山村种水稻平均每公顷产，和年水稻平均每公顷产量和为，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则下列所列的方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】两年的产量和是，分别表示、年的每公顷产量后相加列方程即可． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为． 年平均每公顷产量为， 年平均每公顷产量为, 由题意得 ． 9. 抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，将交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键，由图象可知的根即为直线与抛物线的交点横坐标，是其中一个根，再根据抛物线的对称性可得另一根． 【详解】解：由图象可知的根即为直线与抛物线的交点横坐标，是其中一个根， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴另一个根为． 故选：C． 10. 如图为2025年9月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数．如果圈出的6个数中，最小数与最大数x的积为190，那么根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意直接列方程即可． 【详解】解：最大数为x，则最小数为， ∴． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本部分包括5道小题，每小题3分，共15分） 11. 已知关于x的一元二次方程有一个根为0，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】已知方程为一元二次方程，且一个根为，先将根代入方程得到关于的方程，再结合一元二次方程的定义舍去不符合条件的解，得到的值． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∵方程有一个根为，将代入原方程得， 提取公因式得， 解得，， ∵， ∴舍去，最终得． 12. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽若设道路宽为，则根据题意可列方程为___________________ 【答案】 【解析】 【分析】利用平移可把草坪把为一个长为，宽为的矩形，从而根据题中的等量关系即可得出方程． 【详解】解：利用平移，原图可转化为，如图所示， 设小路宽为x米， 根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键． 13. 已知，，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系；根据题意可得，，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 如图为二次函数的图象，则下列说法：①；②；③；④，其中正确的为______．（填序号） 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据图象的开口方向可判断a的符号，由抛物线与x轴的交点坐标可得对称轴为直线x=1，从而可判断b与2a的关系，当x=1时，根据图象可判断此时函数值a+b+c的符号，根据图象与x轴的交点可判断的符号，从而可对结果作出判断． 【详解】观察图象知，抛物线的开口向下，所以a<0，故①错误； 由抛物线与x轴的交点坐标分别为(-1,0)和(3,0)，由于抛物线的对称轴为直线x=，所以有： ，即，所以，故②正确； 当x=1时，y=a+b+c，由图象知，，故③正确； 观察图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点，所以，故④错误． 综上所述，正确的为②③． 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，本题的关键是数形结合，此类题的常用方法：看抛物线的开口方向定a的符号；看抛物线的对称轴在y轴的左边还是右边，定b的符号；看抛物线与y轴的交点定c的符号；看抛物线与x轴的交点定判别式的符号． 15. 已知函数：在上的最大值是2，最小值是，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式得出开口向上，最小值为，然后得出值为2的对应自变量的值，然后结合题意即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴开口向上，最小值为， ∵在上的最大值是2， ∴， 解得：， ∵最小值是， ∴必须包含对称轴， ∴， ∵最大值是2， ∴内无大于2的函数值， ∴， ∴． 三、简答题（本部分包括8道小题，共75分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解： ， 因式分解得：， 或， 解得： 17. 关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得和互为相反数？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：不存在实数k，使得和互为相反数，理由如下： ∵关于x的一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵和互为相反数， ∴， 解得， 又∵， ∴不存在实数k，使得和互为相反数． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，跟的判别式，解一元二次方程： （1）根据跟的判别式可得，解之即可得到答案； （2）根据根与系数的关系得到，，再由相反数的定义得到，解方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 18. 已知二次函数 x … … y … … （1）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（先完成列表，并使每个数对均为整数，再描点，后连线）； （2）①当y随x的增大而增大时，结合图象直接写出x的取值范围． ②当时，结合图象直接写出y的取值范围． 【答案】（1） x … 0 1 2 3 4 … y … 2 2 … 描点，连线，画出函数图象，如图： （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据列表，描点，连线的方法画出图象，即可； （2）①直接观察函数图象，即可；②直接观察函数图象，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①当y随x的增大而增大时，观察图象得：此时； ②当时，观察图象得： 当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为2， ∴当时，y的取值范围为． 19. 如图所示的平面直角坐标系中画有的图象，它与两条坐标轴共有三个公共点：A，B在x轴上（A在左），C在y轴上． （1）求点A，B，C的坐标； （2）抛物线上有一点P，使得，求出P的所有坐标． 【答案】（1）， （2）P的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）当时，求出方程的解，即可确定点A、B的坐标，当时，求出方程的解，即可确定点C的坐标； （2）由（1）得，结合题意确定，然后分两种情况求方程的解即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：当时，， 解得：， ∵A，B在x轴上（A在左）， ∴， 当时，， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， 解得：， ∴P的坐标为或； 当时，， 解得：， ∴P的坐标为或； 综上可得：P的坐标为或或或． 20. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动． 求： （1）几秒后，的面积等于？ （2）的面积能否等于？说明理由． 【答案】（1）当出发1秒后，的面积等于； （2）解：不能， 理由：假设经过t秒后，的面积等于，即， ∴， 整理得：， 由于， 则方程没有实数根， ∴的面积不能等于． 【解析】 【分析】（1）设出发t秒时，则，， ，根据， 解方程即可求解； （2）令，根据三角形的面积公式列出方程，再根据得出方程没有实数根，从而得出的面积不能等于． 【小问1详解】 解：设出发秒时，则， ，． ∴ 即 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴当出发1秒后，的面积等于； 【小问2详解】 略 21. 掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如表： 水平距离 0 2 4 5 6 8 竖直高度 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分． （1）在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是 米，实心球在空中的最大高度是 米； （2）求满足条件的抛物线的解析式； （3）根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.7米时，即可得满分10分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由． 【答案】（1）2，3.6 （2） （3） 明明在此次考试中能得到满分，理由如下： 把代入，得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴明明在此次考试中能得到满分． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，函数的图表和关系式，本题的关键是熟练待定系数法求函数解析式及二次函数的性质解题． （1）根据图表即可求解； （2）设抛物线的解析式为，通过图表求出抛物线的顶点，再代入即可求出解析式； （3）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． 【小问1详解】 解：由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 通过图表可得当时，， 得在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米， 由当时，；当时，， 可得对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度， 通过图表可得当时，， 得实心球在空中的最大高度是3.6米； 【小问2详解】 解：设抛物线的解析式为， 由（1）得抛物线的顶点坐标为， 则， 得抛物线的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问3详解】 略 22. 大鹏童装店销售某款童装每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖出10件，已知该款童装每件成本30元，设该款童装每件售价元每星期销售量为件． （1）求与之间的函数关系式； （2）若商店按每件售价不超过45元来销售，当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该童装多少件？ 【答案】（1） （2）每件售价为45元时，每星期的销售利润最大，最大利润3750元 （3）每星期至少要销售该款童装170件 【解析】 【分析】（1）根据售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系即可得到结论． （2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题． （3）列出不等式先求出售价的范围，即可解决问题． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 设每星期利润为元， ， 当时，随的增大而增大， 时，最大值， 当每件售价为45元时，每星期的销售利润最大，最大利润3750元； 【小问3详解】 ①由题意：， 解得：或47， 当每件童装售价定为53元或47元时，该店一星期可获得3910元的利润． ②由题意：， 解得：， ． ， 每星期至少要销售该款童装170件． 【点睛】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题． 23. 如图，已知抛物线经过，，三点，其顶点为，对称轴是直线、与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点是该抛物线对称轴l上的一个动点，求周长的最小值； （3）①当时，求出的取值范围； ②将抛物线沿轴翻折，再向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线；将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线，若函数其中，且函数y的图象与轴恰有两个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①或；②或 【解析】 【分析】（1）使用待定系数法求出解析式； （2）连接与直线的交点即为点，连接，则的周长的最小值为，分别计算与即可； （3）①利用图象法分别解二次不等式与，并取结果的公共部分作为解集； ②先根据轴对称与平移的性质写出与的解析式，再求出函数与轴交点的横坐标，分析可知的图象与轴的交点个数为或，分两类讨论，舍去无解的情况即可． 【小问1详解】 解：将点，，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，连接与直线的交点即为点，连接， 由二次函数的对称性可知，， ∴， ∴、、三点共线时，最小， ∵，，， ∴，， ∴的周长的最小值为； 【小问3详解】 解：①∵， ∴ ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或， 综上所述，的取值范围为或； ②将抛物线沿轴翻折可得，即，再向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度可得，即， 将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度可得，即， 将代入，得， 解得， 将代入，得， 解得或， ∵，自变量的取值范围关于原点对称， ∴同时符合题干要求或者同时不符合，即的图象与轴的交点个数为或， 当的图象与轴有两个交点，的图象与轴无交点时， ∴或， ∴或； 当的图象与轴有两个交点，的图象与轴无交点时， ∴， 该不等式组无解，故舍去； 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $