精品解析：天津市武清区杨村第五中学 2026-2027学年度九年级第一次阶段性评估数学试卷

杨村五中2026-2027学年度九年级第一次阶段性评估 数学试卷 一、选择题（每题3分共36分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程要满足以下条件：只含1个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，据此可得到答案． 【详解】解：选项A，含,两个未知数，不符合题意． 选项B，只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，符合题意． 选项C，未说明，当时不是二次方程，不符合题意． 选项D，不是等式，不属于方程，不符合题意． 2. 把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【详解】解：整理得， 所以二次项系数为4，一次项系数为，常数项为． 3. 已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式确定顶点坐标以及开口方向，结合 确定顶点在坐标系中的位置即可解答． 【详解】解：∵ 抛物线的解析式为 ， ∴该抛物线的顶点坐标为 ，抛物线开口向上， ∵ ， ∴顶点 在 x轴的正半轴上，抛物线开口向上，即选项A符合题意． 4. 把方程化为的形式，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过配方法将二次方程化为，从而确定和的值，然后求出的值即可． 【详解】解：∵， 配方得，即， ∴， ∵方程化为的形式， ∴，， ∴． 5. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，首先根据是关于的一元二次方程的根，可得：，再利用整体代入法求代数式的值即可． 【详解】解：是方程 的根， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 6. 关于二次函数，以下说法正确的是（ ） A. 函数图像开口向上 B. 的最大值为4 C. 图像的对称轴为直线 D. 随的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数性质以及图象相关知识，属于基础题．根据二次函数性质，通过系数判断开口方向、最值、对称轴及单调性． 【详解】解：∵二次函数为，其中，，， ∴对于A：∵，∴开口向下，A错误； 对于B：∵开口向下，顶点处取得最大值，顶点横坐标，代入得，∴y的最大值为4，B正确； 对于C：对称轴为直线，即，而非，C错误； 对于D：∵开口向下，对称轴，∴当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小，D错误． 故选：B． 7. 一个两位数等于各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，这个两位数是（ ） A. 18 B. 20 C. 24 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及两位数的表示方法，解题的关键是通过设未知数将两位数转化为代数式，根据“两位数等于各位数字之积的3倍”建立方程，同时结合数字为整数的实际意义舍去非整数解． 设个位数字为，因十位数字比个位数字小2，故十位数字为；根据两位数的表示规则（十位数字个位数字），将该两位数表示为；再依据“两位数等于各位数字之积的3倍”列方程，求解后筛选出符合实际的整数解，进而确定这个两位数． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为． ∵两位数可表示为“十位数字+个位数字”，且该两位数等于各位数字之积的3倍， ∴列方程：， 化简方程：，整理得． 因式分解：，解得或． ∵数字需为整数，故舍去 ∴个位数字，十位数字为， 该两位数为，对应选项C． 故选：C． 8. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，结合根的判别式求解k的取值范围． 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵ 方程有实数根， ∴，即， 解得； 综上，且． 9. 已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的大小比较． 通过直接计算各点的函数值，比较大小即可． 【详解】解：∵点，和都在二次函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴， 即． 故选：C． 10. 设，是一元二次方程的两个根，则代数式的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ，． ． 11. 如图，某学校有一块长，宽的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意和图形可以得到相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， ． 12. 如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（ ） A. 3 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点在线段上运动可以确定抛物线为．在抛物线移动的过程中，当抛物线顶点在时，点的横坐标会取得最小值，因此，将点、代入抛物线解析式即可求出，从而得到抛物线解析式为；当抛物线顶点在时，点的横坐标会取得最大值，令，即可求出此时最靠右的点的横坐标． 【详解】解：∵抛物线的顶点在线段上运动，点，的坐标分别为和， ∴抛物线为． 当抛物线顶点经过点时，点的横坐标会取得最小值， 即此时抛物线经过点． 将点代入抛物线解析式得：， 解得：． ∴抛物线的解析式为． 当抛物线经过点时，点的横坐标会取得最大值，则此时抛物线解析式为． 令，即， 解得：，． ∴点的横坐标最大值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与轴的交点坐标，理解题意分析出何种情况取得最值，以及根据题意正确求出二次函数的解析式是解题关键． 二、填空题 13. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0，列出条件求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且． 由，得． 但，即． 故． 故答案为：． 14. 已知抛物线的顶点坐标为且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】设二次函数的表达式为，再把代入表达式，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为 设二次函数的表达式为， 抛物线经过坐标原点， 将代入表达式得， 解得 ， ∴抛物线解析式为． 15. 某数学小组共有若干人，元旦时每个人各送一张自己制作的贺卡给组内其他人，全组一共送了72张贺卡，则这个数学小组共有__________人． 【答案】 【解析】 【分析】设小组人数为，每个人给除自身外的成员送贺卡，总贺卡数等于人数乘以每人送出的贺卡数，列一元二次方程求解后舍去不合题意的负解即可． 【详解】解：设这个数学小组共有人， ∵每个人需要给组内除自己以外的人送贺卡， ∴总贺卡数可表示为， 据此列方程，得 ， 整理，得 ， 解得，． ∵人数不能为负数， ∴舍去， 即这个数学小组共有人． 16. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则求解即可． 【详解】解：将函数的图象向左平移2个单位长度，得到的函数表达式为，再将得到的图象向下平移1个单位长度得到抛物线的函数表达式为，即． 17. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 【答案】9 【解析】 【分析】设每个支干长出x个小分支，主干为1个，支干为个，小分支为个，根据总数是91列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴每个支干长出9个小分支． 18. 函数，当时，函数值的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】分析二次函数的基本性质，顶点式可确定函数图象的顶点坐标、对称轴和最值，然后判断对称轴与给定自变量区间的位置关系，计算区间端点处的函数值，确定最大值边界，综合确定最终取值范围． 【详解】解：函数是二次函数的顶点式，其中二次项系数为1，大于0，因此抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即当时，函数取得最小值； 已知自变量取值范围为，对称轴在该区间内，因此函数在该区间内的最小值为顶点处的函数值； 开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大： 当时，代入函数得； 当时，代入函数得； 由于到对称轴的距离大于到对称轴的距离，因此区间内函数值的最大边界为5，又因为x的取值不包含和2，因此函数值取不到5； 综上，当时，函数值的取值范围是． 三、解答题 19. 用适当方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， ，； 【小问4详解】 解：， ， ， ， ， ，． 20. 二次函数中，当时，y取得最小值，且该函数图像交y轴于．求此抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数顶点坐标设顶点式，代入已知点求解未知系数，即可得到最终解析式． 【详解】解：由题意得二次函数的顶点坐标为， 设二次函数解析式为（） 将代入解析式： 所以此抛物线的解析式为． 21. 今年3月份某图书角中有藏书册，到今年5月份藏书数量增长到册．求该图书角的月平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】设图书角这两个月藏书的平均增长率为x，利用该图书角5月底的藏书量=该图书角3月的藏书量，即可得出关于x的一元二次方程，解之，取其正值即可得出结论． 【详解】解：设图书角这两个月藏书的平均增长率为，则： 或（不合实际，舍去） 答：图书角这两个月藏书的平均增长率为． 22. 如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长），矩形围栏的面积为时，三边分别长多少? 【答案】三边长分别为 【解析】 【分析】设垂直于墙的一边长，根据矩形围栏的面积为列出方程，解方程并选取合适的解即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边长， 则 解得：， 当时，（不符合题意，舍去） 当时，（符合题意） 三边长分别为：． 23. 某商场一款品牌服装平均每天可以售出10件，每件盈利40元．商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：每件服装每降价1元，平均每天就可以多售出2件．如果需要盈利700元，同时尽可能让利于顾客，那么每件降价多少元？ 【答案】 元 【解析】 【分析】设每件降价元，则每件盈利元，每天售出件，根据总利润每件的利润销售量建立方程求解即可． 【详解】解：设每件降价元，则每件盈利元，每天售出件， 由题意得 整理得， 解得或， ∵ 尽可能让利于顾客， ∴， 答：每件降价元． 24. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线经过A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P． （1）求a，k的值； （2）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，求M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）抛物线的对称轴上是否存在一点N，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出N点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据直线与轴、轴分别交于点、，进行计算得，，根据抛物线经过点、得，计算求出，的值即可； （2）由、关于对称轴对称，连接交对称轴于点，连接，，根据两点之间线段最短，即为使的周长最小的点，求出直线解析式，将代入求解即可； （3）设，根据，，得，，，当是以为斜边的直角三角形时，由勾股定理得，，代入计算即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵直线与轴、轴分别交于点、， ∴，，解得：， ∴，． ∵抛物线经过、， ∴把，代入抛物线，得：， 解得：； 【小问2详解】 解：∵抛物线， ∴对称轴为， ∵， ∴． 如下图，连接交对称轴于点，连接， ∵、两点关于对称轴对称， ∴， ∴． ∵两点之间线段最短， ∴最小， ∴周长最小， ∵，， ∴设直线解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为，当时，， ∴； 【小问3详解】 解：设， ∵，， ∴， ， ， 当是以为斜边的直角三角形时，由勾股定理得：， ， ， ， ， ，， ∴或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杨村五中2026-2027学年度九年级第一次阶段性评估 数学试卷 一、选择题（每题3分共36分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（ ） A. B. C. D. 4. 把方程化为的形式，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A. 4 B. C. 2 D. 6. 关于二次函数，以下说法正确的是（ ） A. 函数图像开口向上 B. 的最大值为4 C. 图像的对称轴为直线 D. 随的增大而减小 7. 一个两位数等于各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，这个两位数是（ ） A. 18 B. 20 C. 24 D. 22 8. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 9. 已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 设，是一元二次方程的两个根，则代数式的值为（ ） A. 2 B. C. D. 11. 如图，某学校有一块长，宽的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（ ） A. B. C. D. 12. 如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于两点（在的左侧），点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为（ ） A. 3 B. 5 C. 8 D. 10 二、填空题 13. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为________． 14. 已知抛物线的顶点坐标为且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是______． 15. 某数学小组共有若干人，元旦时每个人各送一张自己制作的贺卡给组内其他人，全组一共送了72张贺卡，则这个数学小组共有__________人． 16. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为__________． 17. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 18. 函数，当时，函数值的取值范围是______ 三、解答题 19. 用适当方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 二次函数中，当时，y取得最小值，且该函数图像交y轴于．求此抛物线的解析式． 21. 今年3月份某图书角中有藏书册，到今年5月份藏书数量增长到册．求该图书角的月平均增长率． 22. 如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长），矩形围栏的面积为时，三边分别长多少? 23. 某商场一款品牌服装平均每天可以售出10件，每件盈利40元．商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：每件服装每降价1元，平均每天就可以多售出2件．如果需要盈利700元，同时尽可能让利于顾客，那么每件降价多少元？ 24. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线经过A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P． （1）求a，k的值； （2）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，求M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）抛物线的对称轴上是否存在一点N，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出N点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $