精品解析：江苏连云港市东海县白塔高级中学2023-2024学年第二学期第一次学情检测高一年级数学试题

白塔高级中学2023-2024学年度第二学期第一次学情检测 高一年级数学试题 时间：120分钟 总分：150 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. 6 D. -9 2. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知i是虚数单位，若是纯虚数，则实数m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 1或2 4. 已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，则β＝(　　) A. B. C. D. 5. 如图，在直角梯形中，，，，，是线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. D. 4 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 在△ABC中，若，则B＝（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 在平行四边形ABCD中，已知，，，，则（ ）． A. B. C. 6 D. 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，若为锐角，则实数可能的取值是（ ） A. B. C. D. 10. 下列各式中，值为的是（ ） A. 2sin15°cos15° B. C. 1﹣2sin215° D. 11. 在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A. b＝7，c＝3，C＝30° B. b＝5，c＝4，B＝45° C. a＝6，b＝3，B＝60° D. a＝20，b＝30，A＝30° 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，，且，共线，则______． 13. 已知，满足，，，，则______． 14. 在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60o，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值是_____． 四、解答题：本题共5小题，其中15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知cosα，sin（α﹣β），且α、β∈（0，）．求： （Ⅰ）cos（2α﹣β）的值； （Ⅱ）β的值． 16. 已知向量． （1）求的值； （2）求向量与的夹角． 17. 在中，角对应边分别为，若. （1）求角； （2）若，求的取值范围. 18. 如图，某小区有一块空地，其中AB=50，AC=50，∠BAC=90°，小区物业拟在中间挖一个小池塘，E，F在边BC上（E，F不与B，C重合，且E在B，F之间），且. （1）若，求EF的值； （2）为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小.设，试确定的值，使得的面积取得最小值，并求出面积的最小值. 19. 已知函数. （1）求函数的单调递减区间； （2）求函数在区间的最大值和最小值； （3）若在区间上恰有两个零点，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白塔高级中学2023-2024学年度第二学期第一次学情检测 高一年级数学试题 时间：120分钟 总分：150 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. 6 D. -9 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量平行的坐标公式计算即可. 【详解】因为向量，且， 所以，解得. 故选：B. 2. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先考虑充分性，再考虑必要性利用函数的单调性可得解. 【详解】当，因为在内单调递减，所以，所以“”是“”的充分条件； 当时，因为在内单调递减，所以，所以“”是“”的必要条件. 故选：C. 3. 已知i是虚数单位，若是纯虚数，则实数m的值为（ ） A. 1 B. C. D. 1或2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据纯虚数的定义，列出满足题意的式子，求解即可. 【详解】由是纯虚数，得，解得. 故选：B. 【点睛】本题考查纯虚数的定义，解题时应注意实部为零、虚部不为零，属于基础题. 4. 已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，则β＝(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用和平方关系得到，再利用两角差的余弦公式和平方关系得到关于的方程组，进而求出角. 【详解】由，可得cosαcosβ＋sinαsinβ＝，因为cosα＝，0＜β＜α＜， 所以.即，即2cosβ＋8sinβ＝13， 又根据sin2β＋cos2β＝1，解得sinβ＝，∴β＝，故选C. 【点睛】本题主要考查两角差的余弦公式、同角三角函数基本关系式，意在考查学生的基本运算能力，属于中档题．解决本题的较好方法是研究已知角和所求角的关系，即；具体解法如下: 因为，所以，因为， 所以，又，所以，则，又，所以. 5. 如图，在直角梯形中，，，，，是线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，建立直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】解：如图，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，， 因为，， 所以， 所以，， 所以， 所以， 所以当，即时，的最小值为. 故选：B 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角恒等变换公式求解. 【详解】 所以， 所以 故选:B. 7. 在△ABC中，若，则B＝（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理化边为角，再由诱导公式，两角和的正弦公式变形可得． 【详解】因为，由正弦定理得 因为，所以 因为，所以，所以，而B为三角形内角，故． 故选：A． 8. 在平行四边形ABCD中，已知，，，，则（ ）． A. B. C. 6 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的数量积的运算律，可以得所求数量积的值. 【详解】由题意可得：，， ∵，① ，② ①－②得：，即， ∴． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，若为锐角，则实数可能的取值是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用向量的减法法则及向量减法的坐标表示，根据已知条件及向量的数量积的坐标表示，结合向量共线的条件即可求解. 【详解】因为， 所以. 因为为锐角， 所以，解得. 当时，，解得. 当为锐角时，实数的取值范围是. 所以实数可能的取值是，. 故选：BD. 10. 下列各式中，值为的是（ ） A. 2sin15°cos15° B. C. 1﹣2sin215° D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用二倍角公式结合三角函数的值逐一求解四个选项得答案. 【详解】解：对于选项A，2sin15°cos15°＝sin30； 对于选项B，； 对于选项C，1﹣2sin215°＝cos30； 对于选项D，. ∴值为的是BCD. 故选：BCD. 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角公式的应用，是基础题. 11. 在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A. b＝7，c＝3，C＝30° B. b＝5，c＝4，B＝45° C. a＝6，b＝3，B＝60° D. a＝20，b＝30，A＝30° 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦定理，结合三角形个数的判断，判断各选项的正误． 【详解】解：对于A，∵b＝7，c＝3，C＝30°， ∴由正弦定理可得：，无解； 对于B，b＝5，c＝4，B＝45°， ∴由正弦定理可得：，且c＜b，有一解； 对于C，∵a＝6，b＝，B＝60°， ∴由正弦定理可得：，此时C＝30°，有一解； 对于D，∵a＝20，b＝30，A＝30°， ∴由正弦定理可得：，且b＞a，则， ∴B有两个可能值，即有两解， 故选：BC． 【点睛】易错点睛：利用正弦定理判断三角形解的个数时需要注意： （1）正弦值的范围：； （2）利用正弦定理求解出正弦值后，注意结合“大边对大角，小边对小角”对结果进行取舍. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量，，且，共线，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线的充要条件得出，然后利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】因为，共线，所以，解得：， 所以，， 所以， 故答案为：. 13. 已知，满足，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到的值，然后由正弦的和差角公式，代入计算即可得到结果. 【详解】因为，则， 因为，则， 所以， ， 则 故答案为: 14. 在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60o，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：设弦中点为,则，若同向，则；若反向，则，故的最小值在反向时取得，此时，，当且仅当时取等号，即的最小值是 考点：向量数量积、基本不等式求最值 四、解答题：本题共5小题，其中15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知cosα，sin（α﹣β），且α、β∈（0，）．求： （Ⅰ）cos（2α﹣β）的值； （Ⅱ）β的值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】 【分析】（Ⅰ）由α，β的范围求出α﹣β的范围，由题意和平方关系求出sinα和cos（α﹣β），由两角和的余弦公式求出cos（2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]的值； （Ⅱ）由两角差的余弦公式求出cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]的值，再由β的范围求出β的值． 【详解】（Ⅰ）∵，∴α﹣β∈（，）， ∵，， ∴sinα，cos（α﹣β）， ∴cos（2α﹣β）＝cos[（α﹣β）+α]＝cos（α﹣β）cosα﹣sin（α﹣β）sinα ， （Ⅱ）由（Ⅰ）得， cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosα cos（α﹣β）+ sinα sin（α﹣β） ， 又∵，∴β． 【点睛】关键点点睛：拆角，是本题解题关键. 16. 已知向量． （1）求的值； （2）求向量与的夹角． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标求解所求向量的坐标，利用数量积运算法则求解即可． （2）利用数量积求解向量的夹角即可． 【详解】（1） （2） 又 【点睛】本题考查向量的数量积的运算，考查计算能力． 17. 在中，角对应边分别为，若. （1）求角； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，把边化角，结合和差的正弦公式，化简可得结论； （2）利用余弦定理，结合基本不等式，可求的取值范围. 【详解】解：（1）∵， ∴由正弦定理可得 ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，∴； （2）由题意： ， ∴由余弦定理 则3 （当且仅当时取等号）， 即， ∴. ∵， ∴. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题. 18. 如图，某小区有一块空地，其中AB=50，AC=50，∠BAC=90°，小区物业拟在中间挖一个小池塘，E，F在边BC上（E，F不与B，C重合，且E在B，F之间），且. （1）若，求EF的值； （2）为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小.设，试确定的值，使得的面积取得最小值，并求出面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦定理、正弦定理求得，在中，利用正弦定理结合三角恒等变换可求，即可得结果； （2）利用正弦定理用表示，再结合条件得到，最后根据三角函数的性质求最值即可. 【小问1详解】 由题意可得， 设，则， 在中，由余弦定理， 则，即， 由正弦定理，可得， 即，可得， 在中，， ， 由正弦定理，可得， 故. 故EF的值. 【小问2详解】 设，则， 由正弦定理，可得， 在中，由正弦定理，可得， 故的面积 ， ∵，∴，∴， ∴，当且仅当，即时，等号成立， 故面积的最小值. 19. 已知函数. （1）求函数的单调递减区间； （2）求函数在区间的最大值和最小值； （3）若在区间上恰有两个零点，求的值. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化简表达式得，，令，解不等式组即可得解. （2）由，得 ，结合正弦函数单调性即可得解. （3）由题意得即，进一步结合换元、诱导公式以及平方关系即可得解. 【小问1详解】 . 由，可得， 即的单调递减区间为. 【小问2详解】 因为，所以， 所以，所以， 当时，即时，， 当时，即时，. 【小问3详解】 因为，所以，同理 由题意可得，. 即，所以， 所以，即可得， 因为，所以，所以， 所以， 因为，可设，则， 所以， 因为，且，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $