江苏连云港市白塔高级中学2023-2024学年第二学期第二次学情检测高一年级数学试题

白塔高级中学2023-2024学年度第二学期第二次学情检测 高一年级数学试题 时间：120分钟 总分：150 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 一个容量为20的样本，已知某组的频率为0. 25，则该组的频数为(　　)　　　 　　　　　 　　　　 A. 2 B. 5 C. 15 D. 80 2. 某单位有职工750人，其中青年职工350人、中年职工250人、老年职工150人. 为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 (　　) A. 7 B. 15 C. 25 D. 35 3. 已知边长为1的菱形ABCD中，A=，则用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为(　　) A. B. C. D. 4. 设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是 (　　) A. π B. C. 4π D. 32π 5. 甲组数据为5，12，16，21，25，37，乙组数据为1，6，14，18，38，39，则甲、乙的平均数、极差及中位数相同的是(　　) A. 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 都不相同 6. 从某项综合能力测试中抽取了100人的成绩，统计如下表所示，则这100人成绩的标准差为(　　) A. B. C. 3 D. 7. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为 (　　) A. (60+4)π B. (60+8)π C. (56+8)π D. (56+4)π 8. 在等腰直角三角形ABC中，AB=BC=1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C-BM-A的大小为(　　) A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 下列四个说法中，正确的有(　　) A. 若直线a，b互相平行，则直线a，b确定一个平面 B. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 C. 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线 D. 两条异面直线不可能垂直于同一个平面 10. 如图，在棱长均相等的四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，下列结论正确的是(　　) A. PD∥平面OMN B. 平面PCD∥平面OMN C. 直线PD与直线MN所成角的大小为90° D. ON⊥PB 11. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则(　　) A. 直线D1D与直线AF垂直 B. 直线A1G与平面AEF平行 C. 平面AEF截正方体所得的截面面积为 D. 点C与点G到平面AEF的距离相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 如图是样本容量为200的频率直方图. 根据样本的频率直方图估计，样本数据落在[2，14)内的频率约为　　　　.   第(12)题 第(13)题 第(14)题 13. 如图，已知平面α∩平面β=l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系是　　　　. (填“平行”、“垂直”、“异面”)  14. 学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型. 如图所示，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB=BC=6 cm，AA1=4 cm. 3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3. 不考虑损耗，制作该模型所需原料的质量为　 g.   四、解答题：本题共5小题，其中15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知数据x1，x2，…，x10的平均数=20，方差s2=0.015.求: (1)3x1，3x2，…，3x10的平均数和方差; (2)4x1-2，4x2-2，…，4x10-2的平均数和方差. 16.(15分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin B+1=bsin A+2cos C. (1)求角C的大小; (2)若a=2，a2+b2=2c2，求△ABC的面积. 17.(15分)如图，矩形AMND所在平面与直角梯形MBCN所在的平面垂直，MB∥NC. (1)求证:平面AMB∥平面DNC; (2)若MC⊥CB，求证:BC⊥AC. 18.(17分)已知函数f(x)=sin xcos xsin2x+. (1)若x∈[]，求函数f(x)的值域; (2)设α∈(，π)，若f()=，求cos α的值. 19.(17分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形,AB=AC=1,侧棱AA1⊥底面ABC,且AA1=2,E是BC的中点. (1)证明：A1C∥平面B1AE; (2)求异面直线AE与A1C所成角的余弦值; (3)求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值. 学科网（北京）股份有限公司 $白塔高级中学2023-2024学年度第二学期第二次学情检测 高一年级数学试题 时间：120分钟 总分：150 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1.一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25，则该组的频数为() A.2 B.5 C.15 D.80 2.某单位有职工750人，其中青年职工350人、中年职工250人、老年职工150 人.为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本 中的青年职工为7人，则样本容量为 () A.7 B.15 C.25 D.35 3.己知边长为1的菱形ABCD中，A零， 则用斜二测画法画出这个菱形的直观图 的面积为() A B c. D.6 4.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是 () A. B. C.4v3元 D.32V3元 5.甲组数据为5,12,16,21,25,37，乙组数据为1,6,14,18,38,39， 则甲、乙的平均数、极差及中位数相同的是() A.极差 B.平均数 C.中位数 D.都不相同 6.从某项综合能力测试中抽取了100人的成绩，统 分数 3 /2 计如下表所示，则这100人成绩的标准差为( 人数 2010303010 A.V3 B.210 5 C.3 7.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°， ED. D B AB=5,CD=2V2,AD=2,则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体 的表面积为 （) A.(60+4V2)元 B.(60+8V2)元 C.(56+8V2元 D.(56+4v2元 8.在等腰直角三角形ABC中，AB=BC=1,M为AC的中点，沿BM把它折成二 面角，折后A与C的距离为1，则二面角C-BMA的大小为() A.30° B.60° C.90° D.120 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分。 9.下列四个说法中，正确的有() A.若直线a,b互相平行，则直线a,b确定一个平面 B.平行于同一条直线的两条直线互相平行 C.若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线 D.两条异面直线不可能垂直于同一个平面 10.如图，在棱长均相等的四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的中心，M,N 分别为侧棱PA,PB的中点，下列结论正确的是() A.PD∥平面ON B.平面PCD∥平面ON C.直线PD与直线MN所成角的大小为90 D.ON⊥PB 11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E,F,G分别为BC,CC1,BB1 的中点，则() A.直线D1D与直线AF垂直 B.直线A1G与平面AEF平行 C.平面AEF截正方体所得的裁面面积为 D D.点C与点G到平面AEF的距离相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.如图是样本容量为200的频率直方图.根据样本的频率直方图估计，样本数 据落在[2,14)内的频率约为 十频率 D 组距 888 D 883 0 2610141822样本数据 B 第(12)题 第(13)题 第(14)题 13.如图，已知平面a∩平面B=l,EA⊥o,垂足为A,EB⊥B,垂足为B,直线aCB, a⊥AB,则直线a与直线I的位置关系是 一（填平行”、“垂直”、“异面） 14.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图所示，该模型为长 方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的 中心，E,F,G,H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,A41=4cm.3D打印所 用原料密度为0.9g/cm3.不考虑损耗，制作该模型所需原料的质量为g 四、解答题：本题共5小题，其中15题13分，16、17题每题15分，18、19 题每题17分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知数据x1,x2,,x10的平均数元=20，方差s2=0.015.求： (1)3x1,3x2,,3x10的平均数和方差 (2)4x1-2,4x2-2,,4x10-2的平均数和方差. 16.(15分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asin B+1=bsin 4+2cos C. (1)求角C的大小； (2)若a=2,+b2=2c2,求△ABC的面积. 17.(15分)如图，矩形AMND所在平面与直角梯形MBCN所在的平面垂直， MB∥NC. (I)求证：平面AMB∥平面DWC, (2)若MC⊥CB,求证：BC⊥AC 18.(17分)已知函数)=sin xcosx-V3sin2x+5 2 ()若x∈[-，求函数w)的值域， (②)设a∈G网，若号-没青求cosa的值 19.(17分)如图，三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC是等腰直角三 角形，AB=AC=1,侧棱AA1⊥底面ABC,且A41=2,E是BC的中B 点 (1)证明：A1C∥平面BAE, A (2)求异面直线AE与A1C所成角的余弦值； E (3)求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值 白塔高级中学2023-2024学年度第二学期第二次学情检测 高一年级数学试题 命题：房磊 审核：朱修亮、朱加祝 时间：120分钟 总分：150 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 一个容量为20的样本，已知某组的频率为0. 25，则该组的频数为(　　)　　　 　　　　　 　　　　 A. 2 B. 5 C. 15 D. 80 答案B 解析由题意得20×0. 25=5. 2. 某单位有职工750人，其中青年职工350人、中年职工250人、老年职工150人. 为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 (　　) A. 7 B. 15 C. 25 D. 35 答案B 解析由题意设样本容量为n，则，解得n=15. 3. 已知边长为1的菱形ABCD中，A=，则用斜二测画法画出这个菱形的直观图的面积为(　　) A. B. C. D. 答案D 解析在菱形ABCD中，AB=1，A=，则菱形的面积为S菱形ABCD=2S△ABD=2××1×1×sin. 所以用斜二测画法画出这个菱形的直观图面积为S=S菱形ABCD=. 4. 设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是 (　　) A. π B. C. 4π D. 32π 答案C 解析设正方体的棱长为a，由题意可知，6a2=24，∴a=2. 设正方体外接球的半径为R，则a=2R，∴R=，∴V球=πR3=4π. 5. 甲组数据为5，12，16，21，25，37，乙组数据为1，6，14，18，38，39，则甲、乙的平均数、极差及中位数相同的是(　　) A. 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 都不相同 答案B 解析由题中数据的分布，可知极差不同， 甲的中位数为=18. 5，乙的中位数为=16， ， ， 所以甲、乙的平均数相同. 故选B. 6. 从某项综合能力测试中抽取了100人的成绩，统计如下表所示，则这100人成绩的标准差为 (　　) A. B. C. 3 D. 答案B 解析∵=3， ∴s2=×(20×22+10×12+30×12+10×22)=，∴s=. 7. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为 (　　) A. (60+4)π B. (60+8)π C. (56+8)π D. (56+4)π 答案A 解析四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成的几何体，如图. S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=π+π(r1+r2)l2+πr1l1=π×52+π×(2+5)×5+π×2×2=(60+4)π. 故选A. 8. 在等腰直角三角形ABC中，AB=BC=1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C-BM-A的大小为(　　) A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 答案C 解析如图，由A'B=BC=1，∠A'BC=90°知A'C=. ∵M为A'C的中点，∴MC=AM=，且CM⊥BM，AM⊥BM，∴∠CMA为二面角C-BM-A的平面角. ∵AC=1，MC=MA=，∴∠CMA=90°，故选C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 下列四个说法中，正确的有(　　) A. 若直线a，b互相平行，则直线a，b确定一个平面 B. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 C. 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线 D. 两条异面直线不可能垂直于同一个平面 答案ABD 解析C项中，若两直线无公共点，则这两直线平行或异面. 其他选项正确. 10. 如图，在棱长均相等的四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，下列结论正确的是(　　) A. PD∥平面OMN B. 平面PCD∥平面OMN C. 直线PD与直线MN所成角的大小为90° D. ON⊥PB 答案ABD 解析连接BD，图略，显然O为BD的中点，又N为PB的中点，所以PD∥ON，又PD⊄平面OMN，由线面平行的判定定理可得，PD∥平面OMN，A正确;由M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MN∥AB，又底面为正方形，所以AB∥CD，所以MN∥CD，又CD⊄平面OMN，由线面平行的判定定理可得，CD∥平面OMN，又由选项A得PD∥平面OMN，又PD∩CD=D，由面面平行的判定定理可得，平面PCD∥平面OMN，B正确;因为MN∥CD，所以∠PDC为直线PD与直线MN所成的角，又因为所有棱长都相等，所以∠PDC=60°，故直线PD与直线MN所成角的大小为60°，C错误;因为底面为正方形，所以AB2+AD2=BD2，又所有棱长都相等，所以PB2+PD2=BD2，故PB⊥PD，又PD∥ON，所以ON⊥PB，D正确. 故选ABD. 11. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则(　　) A. 直线D1D与直线AF垂直 B. 直线A1G与平面AEF平行 C. 平面AEF截正方体所得的截面面积为 D. 点C与点G到平面AEF的距离相等 答案BC 解析∵AD1∥EF，∴平面AEF即平面AEFD1，故A错误. ∵A1G∥D1F，A1G⊄平面AEFD1，∴A1G∥平面AEFD1，即A1G∥平面AEF，故B正确. 平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1，其面积为××，故C正确. 假设点C与点G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于H(图略)，易知H不是CG的中点，∴假设不成立，显然D错误. 故选BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 如图是样本容量为200的频率直方图. 根据样本的频率直方图估计，样本数据落在[2，14)内的频率约为　　　　.   答案0.76 解析数据落在[2，14)内的频率=(0. 02+0. 08+0. 09)×4=0.76. 13. 如图，已知平面α∩平面β=l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系是　　　　. (填“平行”、“垂直”、“异面”)  答案平行 解析∵EA⊥α，平面α∩平面β=l，即l⊂α，∴l⊥EA. 同理l⊥EB. 又EA∩EB=E， ∴l⊥平面EAB. ∵EB⊥β，a⊂平面β，∴EB⊥a. 又a⊥AB，EB∩AB=B，∴a⊥平面EAB，∴a∥l. 14. 学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型. 如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB=BC=6 cm，AA1=4 cm. 3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3. 不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为　　　　　g.   答案118. 8 解析由题意得，四棱锥O-EFGH的底面积为4×6-4××2×3=12(cm2)，点O到平面BB1C1C的距离为3 cm，则此四棱锥的体积为V1=×12×3=12(cm3). 又长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V2=4×6×6=144(cm3)，则该模型的体积为V=V2-V1=144-12=132(cm3). 故其质量为0. 9×132=118. 8(g). 四、解答题：本题共5小题，其中15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知数据x1，x2，…，x10的平均数=20，方差s2=0.015.求: (1)3x1，3x2，…，3x10的平均数和方差; (2)4x1-2，4x2-2，…，4x10-2的平均数和方差. 解(1)设3x1，3x2，…，3x10的平均数为'，方差为s'2， '=(3x1+3x2+…+3x10)=(x1+x2+…+x10) =3=3×20=60;········································3分 s'2=[(3x1-3)2+(3x2-3)2+…+(3x10-3)2] =[(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2] =9s2=9×0.015=0.135.····································6分 (2)设4x1-2，4x2-2，…，4x10-2的平均数是″，方差为s″2， ∵(x1+x2+…+x10)=20， ∴″=(4x1-2+4x2-2+…+4x10-2) =(4x1+4x2+…+4x10-20)=(x1+x2+…+x10)-2 =4-2=4×20-2=78.······································9分 ∵s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2]=0.015， s″2=[(4x1-2-4+2)2+(4x2-2-4+2)2+…+(4x10-2-4+2)2]=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2] =16×0.015=0.24.············································12分 故4x1-2，4x2-2，…，4x10-2的平均数和方差分别是78和0.24.·········13分 16.(15分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin B+1=bsin A+2cos C. (1)求角C的大小; (2)若a=2，a2+b2=2c2，求△ABC的面积. 解(1)由正弦定理，得，························2分 ∴asin B=bsin A. 又asin B+1=bsin A+2cos C， ∴2cos C=1，cos C=.····························4分 又0<C<π，∴C=.·································7分 (2)由余弦定理，得c2=a2+b2-ab，··························9分 ∵a=2，a2+b2=2c2， ∴4+b2=2(4+b2-2b)，解得b=2.······························12分 ∴S△ABC=absin C=×2×2×sin .····························15分 17.(15分)如图，矩形AMND所在平面与直角梯形MBCN所在的平面垂直，MB∥NC. (1)求证:平面AMB∥平面DNC; (2)若MC⊥CB，求证:BC⊥AC. 证明(1)∵MB∥NC，MB⊄平面DNC， NC⊂平面DNC，∴MB∥平面DNC.·························2分 ∵四边形AMND是矩形，∴MA∥DN. 又MA⊄平面DNC，DN⊂平面DNC， ∴MA∥平面DNC.·····································4分 又MA∩MB=M，且MA，MB⊂平面AMB， ∴平面AMB∥平面DNC.··································7分 (2)∵四边形AMND是矩形，∴AM⊥MN. ∵平面AMND⊥平面MBCN，且平面AMND∩平面MBCN=MN，∴AM⊥平面MBCN. ∵BC⊂平面MBCN，∴AM⊥BC. ∵MC⊥BC，MC∩AM=M，且MA，MC⊂平面AMC， ∴BC⊥平面AMC， ∵AC⊂平面AMC，∴BC⊥AC. 18.(17分)已知函数f(x)=sin xcos xsin2x+. (1)若x∈[]，求函数f(x)的值域; (2)设α∈(，π)，若f()=，求cos α的值. 解(1)f(x)=sin xcos xsin2x+ =sin 2x(1cos 2x)+ =sin 2x+cos 2x=sin(2x+)，···································4分 因为x∈[]，-≤2x+， 则≤sin(2x+)≤1， 所以函数f(x)在[-]上的值域为[，1].··························8分 (2)f()=sin[2()+]=sin(α+)=，·························11分 因为α∈(，π)，则<α+，所以cos(α+)=-=-，····14分 所以cos α=cos[(α+)]=cos(α+)+sin(α+)=.·······17分 19.(17分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形,AB=AC=1,侧棱AA1⊥底面ABC,且AA1=2,E是BC的中点. (1)证明：A1C∥平面B1AE; (2)求异面直线AE与A1C所成角的余弦值; (3)求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值. 解 (1)连接A1B交B1A于点O. 在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形BAA1B1为平行四边形，OA1=OB 在△A1BC中，∵BE=EC，∴A1C∥OE···················2分 又OE⊂平面B1AE，A1C ⊄平面B1AE ∴A1C∥平面B1AE········································4分 (2)在三棱柱ABC-A1B1C1中,取C1B1的中点H,连A1H与HC. ∵E是BC的中点,∴A1H∥AE,∠CA1H是异面直线AE与A1C所成角.·······5分 ∵底面ABC是等腰直角三角形,E是BC的中点, ∴AE⊥BC,∴A1H⊥BC. ∵侧棱AA'⊥底面ABC,∴侧棱B1B⊥A1H, 又BB1∩BC=B, ∴A1H⊥平面BCC1B1,··················································7分 ∴A1H⊥HC.··························································8分 在Rt△A1HC中,cos∠CA1H=.······························10分 (3)由(2)知A1H⊥平面BCC1B1,A1C在平面BCC1B1上的射影是HC, ∴∠A1CH是直线A1C与平面BCC1B1所成角,······························13分 在Rt△A1HC中,tan∠A1CH=.·································17分 学科网（北京）股份有限公司 $白塔高级中学2023-2024学年度第二学期第二次学情检测 高一年级数学试题 命题：房磊 审核：朱修亮、朱加祝 时间：120分钟 总分：150 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的： 1.一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25，则该组的频数为() A.2 B.5 C.15 D.80 答案B 解析由题意得20×0.25=5. 2.某单位有职工750人，其中青年职工350人、中年职工250人、老年职工150 人.为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本 中的青年职工为7人，则样本容量为 () A.7 B.15 C.25 D.35 答案B 解析由题意设样本容量为m,则石0-30解得15， 3.已知边长为1的菱形ABCD中，A,则用斜二测画法画出这个菱形的直观图 的面积为( A.3 2 B.3 4 C. 6 D.6 8 答案D 解析在菱形ABCD中，AB=1，A=，则菱形的面积为S美香 Ac0=2S02*21x1×sim写-9 2 所以用斜二测画法画出这个菱形的直观图面积 8 4.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是 A.a B. C.4V3π D.32V3π 答案c 解析设正方体的棱长为a,由题意可知，6a=24,∴.a=2.设正方体外接球的半 径为R,则V3a=2R,R=V3,V4R3=4V3m 5.甲组数据为5,12,16,21,25,37，乙组数据为1,6,14,18,38,39， 则甲、乙的平均数、极差及中位数相同的是() A.极差 B.平均数 C.中位数D.都不相同 答案B 解析由题中数据的分布，可知极差不同， 甲的中位数为16+21=18.5，乙的中位数为1418=16， 2 2 元甲=5+16+12+25+21437_58， 6 3 元z=146+14+18+38+39=58 6 所以甲、乙的平均数相同.故选B 6.从某项综合能力测试中抽取了100人的成绩，统计如下表所示，则这100人 成绩的标准差为 () A.3 B.20 5 D号 分数 5 4 C.3 3 2 答案B 人数 2010303010 解析：元=5×20+4x10+3×30+2x30+1x10 3, 100 ∴d0(20x2+10x1+30x1+10x29=号 小2v10 5 7.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5,CD=2V√2， AD=2,则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为() A.(60+4V2元 B.(60+8V2元 ED-- C.(56+8V2元 D.(56+4V2元 答案A A片 解析四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成的几何体，如图.S表西=S国台下底西 +S回台侧西+S回维侧面=πr2+π(n+)+πn☑=元×52+π×(2+5)×5十元×2×2V2=(60十4V2)元 故选A -2---- 8.在等腰直角三角形ABC中，AB=BC=I,M为AC的中点，沿BM把它折成二 面角，折后A与C的距离为1，则二面角C-BMA的大小为() A.30° B.60° C.90° D.120° 答案c B 解析如图，由A'B=BC=1,∠A'BC=90°知A'C=V瓦.：M 为AC的中，点，∴MC=AM且CMLBM,AML BM, ∴.∠CMA为二面角C-BMA的平面角..'AC=1, MC=MM=∠CMA=90,故选C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分。 9.下列四个说法中，正确的有() A.若直线，b互相平行，则直线，b确定一个平面 B.平行于同一条直线的两条直线互相平行 C.若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线 D.两条异面直线不可能垂直于同一个平面 答案ABD 解析C项中，若两直线无公共点，则这两直线平行或异面.其他选项正确 10.如图，在棱长均相等的四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的中心，M,N 分别为侧棱A,PB的中点，下列结论正确的是() A.PD∥平面OW B.平面PCD∥平面OW C.直线PD与直线N所成角的大小为90° D.ON⊥PB B 答案ABD 解析连接BD,图略，显然O为BD的中点，又N为PB的中点，所以PD∥ON, 又PDd平面ON,由线面平行的判定定理可得，PD∥平面ON,A正确，由M, N分别为侧棱PA,PB的中，点，所以MN∥AB,又底面为正方形，所以AB∥CD, 所以N∥CD,又CD丈平面ON,由线面平行的判定定理可得，CD∥平面ON, 又由选项A得PD∥平面OMW,又PD∩CD=D,由面面平行的判定定理可得， 平面PCD∥平面OMN,B正确；因为N∥CD,所以∠PDC为直线PD与直线 W所成的角，又因为所有棱长都相等，所以∠PDC=60°，故直线PD与直线 N所成角的大小为60°，C错误；因为底面为正方形，所以AB2+AD=BD,又 所有棱长都相等，所以PB2+PD=BD,故PB⊥PD,又PD∥ON,所以ON⊥PB, D正确.故选ABD 11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E,F,G分别为BC,CC1,BB1 的中点，则() D A.直线DD与直线AF垂直 B.直线A1G与平面AEF平行 C.平面ABF裁正方体所得的截面面积为号 】 D.点C与点G到平面AEF的距离相等 答案BC 解析：AD1∥EF,平面AEF即平面AEFD1,故A错误.：A1G∥D1F,A1Gt 平面AEFD1,A1G∥平面AEFD1,即A1G∥平面AEF,故B正确.平面AEF 我正方体所得我而为等腰梯形AEFD,其面积为（三+V2x2+(吗）2=： 2 故C正确.假设点C与点G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分， 则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于H(图略)，易知H不是CG的中 点，假设不成立，显然D错误.故选BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.如图是样本容量为200的频率直方图.根据样本的频率直方图估计，样本数 据落在[2,14内的频率约为 频率 组距 888 883 2610141822样本数据 答案0.76 解析数据落在[2,14)内的频率=(0.02+0.08+0.09)×4=0.76 13.如图，已知平面a∩平面B=l,EA⊥a,垂足为A,EB⊥B, 垂足为B,直线aCB,aLAB,则直线a与直线I的位置 关系是 (填平行”、“垂直”、“异面) 答案平行 解析：EALa,平面a∩平面B=l,即1Ca,.1LEA.同理1LEB.又EAOEB=E, ∴1⊥平面EAB.,EB⊥B,aC平面B,∴.EB⊥a 又a⊥AB,EB∩AB=B,∴.a⊥平面EAB,.a∥1. 14.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体 ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体 其中O为长方体的中心，E,F,G,H分别为所在棱 的中点，AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料 密度为0.9g/c3.不考虑打印损耗，制作该模型所需 原料的质量为 答案118.8 解析由题意得，四棱锥O-EFGH的底面积为4×6-4××2x3=12(cm),点0到平 面BB1C1C的距离为3cm,则此四棱锥的体积为1=子12×3=12(cm) 又长方体ABCD-41B1C1D1的体积为V3=4×6×6=144(cm),则该模型的体积 为V=V3-V1=144-12=132(cm).故其质量为0.9×132=118.8(g), 四、解答题：本题共5小题，其中15题13分，16、17题每题15分，18、19 题每题17分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知数据x1,x2,.,x10的平均数x=20,方差2=0.015.求： (1)3x1,32,.,3x1o的平均数和方差， (2)4x1-2,42-2,.,4x10-2的平均数和方差 解1)设3x1,3x2,,3x10的平均数为，方差为s, 元3n+3e++3x0品6+e++ =3元=3×20=60；… …3分 s0[3x1-32+(3-32++3x0-3网] [6-网2+(-刀2+.+6x10习] =92=9×0.015=0.135.…6分 (2)设4x1-2,4x2-2,.,4x10-2的平均数是x”,方差为5"2， :元=x+x+.+x0）=20, ∴元"品41-2+4-2+.+41o-2) 二4+4e++4o-20)-6+x++x0）-2 =4元-2=4×20-2=78… …9分 s2=116c1-刃2+6x-刃2+.+6c10-刀]=0.015， "0=0[(4-2-47+2)2+(4x-2-4元+22+.+(410-2-47+2)9]=18[6x1-2+6c-刀2+ +(x10-x] =16×0.015=0.24.…12分 故4x1-2,4x2-2,.,4x10-2的平均数和方差分别是78和0.24.…13分 16.(15分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asin B+1=bsin 4+2cos C. (1)求角C的大小 (2)若a=2,2+b=2c2,求△ABC的面积 解)由正弦定理，得品= …2分 .∴.asin B=bsin A. asin B+1=bsin A+2cos C, .'.2cos C=1,cos C=1 …4分 又0<C<,C号 …7分 (2)由余弦定理，得c2=a2+b2-b,…9分 .a=2,a2+b2=2c2, ∴.4+b2=2(4+b2-2b),解得b=2.…12分 ∴S%4Asc2 bsinC-分2×2×in号=V3…15分 17.(15分)如图，矩形AND所在平面与直角梯形MBCN所在的平面垂直， MB∥NC. (I)求证：平面AMB∥平面DNC, (2)若MC⊥CB,求证：BC⊥AC 证明(I):MB∥NC,MBt平面DNC, NCC平面DNC,∴.MB∥平面DNC.…2分 .四边形AND是矩形，MA∥DN 又MAd平面DNC,DNWC平面DNC, ∴.MA∥平面DNC.…4分 又MA∩MB=M,且MA,MBC平面AMB, .平面AMB∥平面DNC.…7分 (2).'四边形AMND是矩形，∴.AMLMN. ,'平面AND⊥平面MBCN,且平面AMND∩平面MBCN=MNW,∴.AML平 面MBCN .BCC平面MBCW,.AM⊥BC. .'MC⊥BC,MCOAM=M,且MA,MCC平面AMC, ∴.BC⊥平面AMC, .ACC平面AMC,∴.BC⊥AC 18(17分)已知函数)=in.co-V3sinx+9 ()若x∈[-，求函数)的值域， (2)设a∈，若号-司青求cosa的值 解a次)--sin.eo-V5sin+9 n2x-91-608209 0s 2xim() …4分 国为x∈[-5，子2x号≤ 则-5in(2r+91, 所以函数在[号上的值城为[-…8分 2M-分-siml2-合+守=sim(a+冷号 …11分 国为a∈吃，则a*<g所以cos(a门-1 sm2(a+=号 …14分 所以o[la+自月osa+月号m(a+的48g .…17分 10 19.(17分)如图，三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC是等腰直角三 A 角形，AB=AC=1,侧棱AA1⊥底面ABC,且AA1=2,E是BC的中B 点 (I)证明：A1C∥平面BAE, (②)求异面直线AE与A1C所成角的余弦值； (3)求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值. 解 (1)连接A1B交BA于点O. 在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BAA1B1为平行四边形，OA1=OB 在△A1BC中，.BE=EC,∴.A1C∥OE…2分 又OEC平面BAE,A1C￠平面BAE A1C∥平面B1AE…4分 (2)在三棱柱ABC-A1B1C1中，取C1B1的中，点H,连A1H与HC ,E是BC的中，点，∴AH∥AE,∠CAH是异面直线AE与A1C所成角.…5 分 ,底面ABC是等腰直角三角形，E是BC的中点， .AE⊥BC,.AH⊥BC ,侧棱AA'⊥底面ABC,.侧棱B1B⊥AH, 又BB1∩BC=B, ∴AH⊥平面BCC1B1,… 7分 AH⊥HC.… …8分 V2 在Rt△A1HC中，cos∠CA1H-A 2 0 √5 …10分 A1C 10 A (3)由(2)知AH⊥平面BCC1B1,A1C在平面BCC1B1上的射影是HC, ∴.∠A1CH是直线A1C与平面BCC1B1所成角，…13分 √2 在Rt△AiHC中，tan∠A1CH=A- …17分