29.1.1 圆的有关概念 知识清单2026-2027 学年人教版九年级数学上册

29.1.1 圆的有关概念　知识清单 人教版（2024）　九年级上册　第二十九章《圆》 教材 P114—P116　29.1 圆的有关概念（第 1 课时） 图 1　本节知识地图：圆是什么、点和圆的位置、弦与直径、弧的家族 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习 目标 ① 经历从旋转的角度认识圆的过程，理解圆的定义，知道圆心确定圆的位置、半径确定圆的大小； ② 记住点与圆的位置关系与点到圆心距离 d、半径 r 之间的对应关系，会判断点与圆的位置； ③ 认识弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧，能结合图形准确指认它们 重点 圆的定义与它的两种表述；点与圆的位置关系；弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧的概念 难点 理解「圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合」；分清弦与直径、半圆与弧、等弧与长度相等的弧这三组容易混淆的概念 二、圆的定义：从旋转到集合 圆是生活中最常见的曲线图形：车轮、井盖、碗口都是圆的。这些物体为什么做成圆形？答案就藏在圆的定义里。 定义①（从旋转看圆） 在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆。固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径。 以点 O 为圆心的圆，记作 ，读作「圆 O」。这里的「圆」指的是圆周这条封闭的曲线，不包括它围成的圆面。 图 2　左：线段 OA 绕固定的端点 O 旋转一周，端点 A 描出的图形就是圆；右：圆上每一个点到圆心 O 的距离都等于半径 r 定义②（从集合看圆） 从旋转的过程可以看出：圆上每一个点到圆心 O 的距离都等于半径 r；反过来，平面内到圆心 O 的距离等于 r 的点，也都落在这个圆上（图 2 右）。于是圆还可以这样刻画—— 圆心为 O、半径为 r 的圆，可以看成平面内所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合。 两种定义从不同角度描述同一个图形：定义①说清了圆是怎样画出来的，定义②说清了圆上、圆外的点满足什么条件。后面研究点与圆的位置关系，用的就是定义②。 三、确定一个圆的条件：圆心与半径 用圆规画圆时，铁尖扎在纸上不动，铅笔芯绕铁尖转一周，就画出一个圆。铁尖的位置和两脚张开的距离，决定了画出的圆。 给出的条件 确定的是什么 圆心 O 圆的位置（圆心在哪里，圆就在哪里） 半径 r 圆的大小（半径越大，圆越大） 圆心 O 与半径 r 一个唯一确定的圆，记作 ⊙O ① 只给出半径，可以画无数个圆——圆的大小定了，位置不定。 ② 只给出圆心，也可以画无数个圆——圆的位置定了，大小不定。 ③ 只有同时给出圆心和半径，圆才被唯一确定。所以确定一个圆需要两个条件：圆心和半径。 四、点与圆的位置关系 一个圆把它所在的平面分成三部分：圆内、圆上、圆外。所以平面内的一个点与一个圆，只有三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外。怎样判断点在哪里？只要比一比这个点到圆心的距离与半径的大小（图 3）。 图 3　点与圆的位置关系：设点 P 到圆心 O 的距离为 d、圆的半径为 r，比较 d 与 r 的大小，就能确定点 P 在圆外、圆上还是圆内 设 ⊙O 的半径为 r，平面内一点 P 到圆心 O 的距离为 d，那么： 点 P 与 ⊙O 的位置关系 d 与 r 的大小关系 到圆心的距离与半径 点 P 在圆外 圆外各点到圆心的距离都大于半径 点 P 在圆上 圆上各点到圆心的距离都等于半径 点 P 在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径 例　已知 ⊙O 的半径为 cm，点 P 到圆心 O 的距离为 cm。判断点 P 与 ⊙O 的位置关系。 解　这里 ，，所以 ，点 P 在 ⊙O 外。 ① 上表的三行都是「双向」的：由点的位置可以写出 d 与 r 的大小关系，反过来由 d 与 r 的大小关系也可以判断点的位置，两个方向都成立。 ② 「点在圆上」指的是点在圆周上，而不是点在圆面上——圆面是圆内部的区域，圆是它的边界。 ③ 判断位置关系时，先把 d 与 r 算出来（或比出来），再对照上表下结论，不要凭图形「看起来谁更远」。 五、弦与直径 圆上有很多点，把圆上的点和圆上的点连起来，就得到与圆有关的线段（图 4 左）。 图 4　左：AB 过圆心，是直径；CD 不过圆心，只是弦。右：直径 AB 是最长的弦 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。 弦与直径的关系，记住下面四点（对照图 4 左）： ① 弦和直径都是线段，它们的两端都在圆上。 ② 直径是弦，而且是一条特殊的弦——它经过圆心。 ③ 直径是圆中最长的弦（图 4 右）。 ④ 弦不一定是直径：不过圆心的弦（如图 4 左中的 CD）就比直径短。 设 ⊙O 的半径为 r，AB 是它的直径，则 ；如果 A、B 在圆上，圆心为 O，那么 ，这正是「直径长是半径长的 2 倍」的含义。 注意「经过圆心的弦」与「经过圆心的线段」不是一回事：只有两端都在圆上、又经过圆心的线段才是直径。 六、弧、半圆、优弧与劣弧 圆上任意两点把圆分成两段曲线，每一段都是圆的一部分（图 5）。 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以 A、B 为端点的弧记作 ⌒AB，读作「圆弧 AB」或「弧 AB」。 图 5　左：一条直径 AB 把圆分成两个半圆；右：以 A、C 为端点有两段弧，短的这段是劣弧，长的那段是优弧 一条弧是「大」还是「小」，要拿半圆作标准来比。 名称 意义 记法与说明 半圆 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆 半圆是弧，它的两个端点是一条直径的两个端点 优弧 大于半圆的弧叫做优弧 用三个字母表示，如图 5 右中的 ⌒ADC 劣弧 小于半圆的弧叫做劣弧 用两个字母表示，如图 5 右中的 ⌒AC；无特别说明时，「弧」一般指劣弧 ① 半圆是弧，但弧不一定是半圆：弧还包括优弧和劣弧。 ② 半圆既不是优弧，也不是劣弧——它正好是「等于半圆」的那一类。 ③ 圆上两点之间的两段弧，一段大、一段小：以 A、C 为端点时，⌒AC 与 ⌒ADC 合起来正好是整个圆。 七、等圆与等弧 圆与圆之间、弧与弧之间，也各有一种「完全一样」的关系（图 6）。 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 图 6　左：半径相等的两个圆能互相重合，它们是等圆；右：在两个等圆中各取形状、大小相同的一段弧，这两条弧能互相重合，是等弧 关于等圆，要弄清两点： ① 半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等。 ② 等圆只看半径，与圆心的位置无关——把两个半径相等的圆平移到一起，它们正好重合。 关于等弧，最容易出错的是「前提」和「长度」。 ① 等弧成立的前提是在同圆或等圆中，这个条件不能丢掉。 ② 等弧的长度一定相等，但长度相等的弧不一定是等弧。两条弧只是长度相同，而弯曲程度不同（各自所在圆的半径不同），平移、旋转后仍然无法重合，它们就不是等弧。 八、易错清单 本节的概念多、名称像，下面六个地方最容易出错（图 7 先给出两组说法的辨析），下表逐条说明。 图 7　说法辨析：左边三条是正确的，右边三条是常见的错误说法 易错点 错在哪里 正确做法 ① 把弦与直径混为一谈 认为「弦就是直径」，看到弦就当成直径 直径是经过圆心的弦，是特殊的弦；弦不一定是直径，如图 4 左中的弦 CD 就不过圆心 ② 把半圆与弧混为一谈 认为「弧就是半圆」，或者认为半圆不是弧 弧分为半圆、优弧、劣弧三类：半圆是弧，但弧不一定是半圆 ③ 把长度相等的弧当作等弧 看到两条弧一样长，就说它们是等弧 等弧要求两条弧能在同圆或等圆中互相重合；长度相等但弯曲程度不同，就不是等弧 ④ 丢掉「在同圆或等圆中」 这个前提 不提前提，直接说两条弧是等弧 谈等弧时必须先说明这两条弧在同圆或等圆中，前提不能省 ⑤ 判断点与圆的位置关系时 凭眼睛看 用图形上「谁离得远」来判断点在圆内还是圆外 先算出（或比出）点到圆心的距离 d 与半径 r，再把 d 与 r 比一比，看它属于哪一种情形 ⑥ 把「点到圆心的距离」 与「点到圆的距离」混淆 把点到圆周的距离当成判断位置关系的 d d 是点到圆心的距离，不是点到圆周的距离；圆内点到圆心的距离小于半径 r 九、方法总结与常见题型 把本节的内容理一遍：先认清圆的定义，再数清与圆有关的概念，最后会用距离与半径的关系判断位置（图 8）。 图 8　本节方法总结：认清定义 → 数清元素 → 会用关系 ★ 记忆要点 ① 圆的定义：线段 OA 绕它固定的端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆；圆也可以看成到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合。 ② 两个要素：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，二者缺一不可。 ③ 位置关系：设点 P 到圆心 O 的距离为 d，则 时在圆外， 时在圆上， 时在圆内。 ④ 四个名字：弦（直径是经过圆心的弦）、弧（半圆、优弧、劣弧）、等圆、等弧。 ⑤ 常用结论：直径是圆中最长的弦，；等弧的长度一定相等，但长度相等的弧不一定是等弧。 常见题型 入手点 用到的结论 判断说法的正误 逐字对照定义，特别注意「直径是弦」「弦不一定是直径」 弦、直径、弧、半圆、等弧的定义 由 d 与 r 判断点与圆的位置关系 先把 d 与 r 算出来，再对照三种情形 点与圆的位置关系 求半径或距离的范围 把位置关系换成 d 与 r 的大小关系，再确定范围 点与圆的位置关系 求圆中最长弦的长 最长弦就是直径，直径长等于半径长的 2 倍 直径是圆中最长的弦 判断两条弧是不是等弧 先看是否在同圆或等圆中，再看能否互相重合 等弧的定义 证明几个点共圆 证这些点到同一个定点的距离都相等 圆的集合定义 十、课后巩固 1. 下列说法中，正确的是（　　） A. 弦是直径　　B. 直径是弦　　C. 长度相等的两条弧是等弧　　D. 半圆不是弧 2. 已知 ⊙O 的半径为 6 cm，点 P 到圆心 O 的距离 cm，则点 P 与 ⊙O 的位置关系是（　　） A. 点 P 在圆内　　B. 点 P 在圆上　　C. 点 P 在圆外　　D. 无法确定 3. 已知 ⊙O 的半径为 5，点 A 在 ⊙O 内，则线段 OA 的长 x 的取值范围是＿＿＿＿。 4. 在 ⊙O 中，AB 是直径，C 是圆上一点（不与 A、B 重合）。图中共有＿＿条弦，其中直径是＿＿。 5. 已知 ⊙O 的半径为 r。 （1）若 cm，则 ⊙O 中最长的弦长是多少？ （2）若 ⊙O 中最长的弦长是 10 cm，则 ⊙O 的半径是多少？ 6. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O。求证：A、B、C、D 四个点在以点 O 为圆心的同一个圆上。 参考答案与解析 1. B。直径是经过圆心的弦，所以直径一定是弦（B 正确）；弦不一定是直径（A 错误）；长度相等的两条弧不一定能互相重合，不一定是等弧（C 错误）；半圆是弧的一种（D 错误）。 2. C。半径 ，点 P 到圆心的距离 ，因为 ，即 ，所以点 P 在圆外。 3. 。点 A 在圆内，说明它到圆心 O 的距离小于半径 5；点 A 可以与圆心 O 重合，这时 ，点仍在圆内，所以范围是 。 4. 3；AB。圆上共有 A、B、C 三个点，连接圆上任意两点得到弦 AB、AC、BC，共 3 条；其中经过圆心 O 的只有 AB，所以 AB 是直径。 5. （1）圆中最长的弦是直径，直径长等于半径长的 2 倍。当 cm 时，最长弦长为 cm。（2）设半径为 r，则 ，解得 ，即半径是 5 cm。 6. 因为四边形 ABCD 是矩形，所以它的对角线互相平分且相等，即 ，，且 。由 、、 得 ，所以 A、B、C、D 四个点到点 O 的距离都相等，它们都在以点 O 为圆心、OA 为半径的圆上。 十一、技能自查 序号 自查内容 能否做到 1 能说出圆的定义，知道什么是圆心、半径，会写出圆 O 的记法 □ 能　□ 还需复习 2 知道圆心确定圆的位置、半径确定圆的大小，能说明确定一个圆需要哪些条件 □ 能　□ 还需复习 3 会用点到圆心的距离 d 与半径 r 的大小关系判断点与圆的位置关系 □ 能　□ 还需复习 4 能说出弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧的意义，并能在图中指认出来 □ 能　□ 还需复习 5 能说出等圆、等弧的意义，会辨析「长度相等的弧」与「等弧」 □ 能　□ 还需复习 6 会用「直径是圆中最长的弦」求直径或半径 □ 能　□ 还需复习 十二、知识追问 追问 1　为什么说圆是「到定点的距离等于定长的点的集合」？ 由定义①可以直接看出：线段 OA 绕端点 O 旋转一周，端点 A 到 O 的距离始终等于半径 r，所以圆上每一个点到圆心 O 的距离都等于 r。反过来，平面内到点 O 的距离等于 r 的点，旋转后一定落在这个圆上，一定在圆上。两个方向都成立，所以可以说圆是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合。 追问 2　「直径是圆中最长的弦」对吗？为什么？ 对。设 ⊙O 的半径为 r，AB 是它的直径，则 。设 CD 是 ⊙O 中任意一条不是直径的弦，连接 OC、OD，则 ，所以 。而由「三角形两边之和大于第三边」得 ，所以 。也就是说，直径比任何一条不是直径的弦都长，它是圆中最长的弦。 追问 3　长度相等的两条弧一定是等弧吗？ 不一定。等弧要求两条弧能在同圆或等圆中互相重合。如果两条弧只是长度相等，但它们所在圆的半径不相等（弯曲程度不同），那么无论怎样平移、旋转，它们都不能完全重合，就不是等弧。所以「长度相等的弧」与「等弧」不是一回事。 十三、章内位置与中考对接 29.1.1 是第二十九章《圆》的第 1 课时。它解决的是「圆是什么」以及「圆上有哪些基本的名称」这两个问题，是整章的地基：后面研究圆的其它性质时，都要用到本节的定义与名称。 教材位置 内容 P114 圆的定义①（线段 OA 绕固定的端点 O 旋转一周）与圆心、半径的意义，以及圆的位置、大小各由什么决定 P115 点与圆的位置关系（图 29.1-4）：比较点到圆心的距离 与半径 的大小 P116 弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧；练习 中考怎么考 ① 选择、填空题：判断说法的正误（弦与直径、半圆与弧、等弧与长度相等的弧）；由 d 与 r 的大小关系判断点与圆的位置关系，或反过来求半径、距离的取值范围；求圆中最长弦的长。 ② 简单证明题：在矩形等图形中证明几个点在同一个圆上（用圆的集合定义）。 ③ 与后续内容衔接：弦、弧、直径这些名称是后面学习圆的其它性质的基础，概念必须准确，不能含糊。 十四、本节边界 ★ 本节边界：本清单只研究圆的定义、圆心与半径，点与圆的位置关系，以及弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧这些概念。至于圆的其它性质、与圆有关的其它量，以及直线与圆、三角形与圆、多边形与圆的内容，都不属于本课时，本清单不展开。 学科网（北京）股份有限公司 $