29.1.2　过三点的圆 导学案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“过三点的圆”，核心知识点为三角形的外接圆与外心、反证法。课堂导入通过回顾确定圆的条件，从过一点、两点的圆自然过渡到过三点的圆，以旧知搭建学习支架，引导学生理解外心是三边垂直平分线交点及性质。 资料特色鲜明，基础部分新知要点与对点小练结合夯实根基，重点典例研析通过坐标系中求外接圆圆心等问题培养推理能力和几何直观，素养提升引入阿基米德折弦定理阅读理解，融入数学史与探究任务，助力学生发展创新意识，整体设计兼顾基础与拓展，符合新课标核心素养要求。

29.1.2　过三点的圆 【课时目标】 1.了解三角形的外心,能运用有关性质进行求解或证明.(抽象能力、推理能力、几何直观) 2.了解反证法的意义,会用反证法进行简单的证明.(推理能力、创新意识) 基础　主干落实　筑牢根基 　 新知要点 对点小练 1.三角形的外接圆与外心 (1) 的三个点确定一个圆; (2)三角形的外接圆:经过三角形的三个顶点的圆; (3)三角形的外心:三角形 的圆心.它是三角形三条边的 的交点,到三角形三个顶点的距离 . 1.判断(对的打“√”,错的打“×”) (1)任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆.( ) (2)三角形的外心到三角形三条边的距离相等.( ) 2.反证法的一般步骤 假设命题的结论 → 从这个假设出发,经过推理,得出 → 由矛盾判定假设 ,从而得出原命题 . 2.用反证法证明“若☉O的半径为r,点P到圆心的距离d大于r,则点P在☉O外”,首先应假设 . 重点　典例研析　启思凝智　 重点1　三角形的外接圆(运算能力、推理能力) 【典例1】如图,在平面直角坐标系xOy中,A(3,6),B(1,4),C(1,0),则△ABC外接圆的圆心坐标是( ) A.(4,2) B.(4,3) C.(5,3) D.(5,2) 举一反三 　如图,平面直角坐标系中,☉P经过三点A(8,0),O(0,0),B(0,6),点D是☉P上的一动点.当点D到弦OB的距离最大时,点D的坐标是( ) A.(9,3) B.(9,6) C.(10,3) D.(10,6) 重点2　反证法(抽象能力、推理能力) 【典例2】如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠APB≠∠APC,求证:PB≠PC. 举一反三 　用反证法证明:在△ABC中,如果M,N分别是边AB,AC上的点,那么BN,CM不能互相平分. 素养　思维提升　入境深探　 阅读理解 阿基米德折弦定理 阿基米德(公元前287年-公元前212年,古希腊)是一位伟大的数学家,他与牛顿、高斯并称为世界三大数学家. 阿基米德折弦定理:如图1,AB和BC是☉O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),AB>BC,D是的中点,则从D向AB所作垂线的垂足E是折弦ABC的中点,即AE=EB+BC. 下面是运用“补短法”证明AE=EB+BC的部分证明过程. 证明:如图2,延长CB到点F,使得CF=AE,连接DA,DB,DC,DF. ∵D是的中点,∴DA=DC. 依据上述材料,完成下列任务: (1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分; (2)如图3,已知等边△ABC内接于☉O,AB=6,D为☉O上一点,∠ABD=45°,AE⊥BD于点E,则△BDC的周长是_________ .  学科网（北京）股份有限公司 $ 29.1.2　过三点的圆 【课时目标】 1.了解三角形的外心,能运用有关性质进行求解或证明.(抽象能力、推理能力、几何直观) 2.了解反证法的意义,会用反证法进行简单的证明.(推理能力、创新意识) 基础　主干落实　筑牢根基 　 新知要点 对点小练 1.三角形的外接圆与外心 (1)不在同一条直线上的三个点确定一个圆; (2)三角形的外接圆:经过三角形的三个顶点的圆; (3)三角形的外心:三角形外接圆的圆心.它是三角形三条边的垂直平分线的交点,到三角形三个顶点的距离相等. 1.判断(对的打“√”,错的打“×”) (1)任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆.(√) (2)三角形的外心到三角形三条边的距离相等.(×) 2.反证法的一般步骤 假设命题的结论不成立 → 从这个假设出发,经过推理,得出矛盾 → 由矛盾判定假设不正确,从而得出原命题成立. 2.用反证法证明“若☉O的半径为r,点P到圆心的距离d大于r,则点P在☉O外”,首先应假设点P在☉O上或点P在☉O内. 重点　典例研析　启思凝智　 重点1　三角形的外接圆(运算能力、推理能力) 【典例1】如图,在平面直角坐标系xOy中,A(3,6),B(1,4),C(1,0),则△ABC外接圆的圆心坐标是(D) A.(4,2) B.(4,3) C.(5,3) D.(5,2) 举一反三 　如图,平面直角坐标系中,☉P经过三点A(8,0),O(0,0),B(0,6),点D是☉P上的一动点.当点D到弦OB的距离最大时,点D的坐标是(A) A.(9,3) B.(9,6) C.(10,3) D.(10,6) 重点2　反证法(抽象能力、推理能力) 【典例2】如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠APB≠∠APC,求证:PB≠PC. 【自主解答】假设PB=PC, ∵在△ABP和△ACP中,, ∴△ABP≌△ACP(SSS), ∴∠APB=∠APC, 与∠APB≠∠APC相矛盾. 因而PB=PC不成立, 则PB≠PC. 举一反三 　用反证法证明:在△ABC中,如果M,N分别是边AB,AC上的点,那么BN,CM不能互相平分. 【证明】假设BN,CM能互相平分,则四边形BCNM为平行四边形,则BM∥CN,即AB∥AC,这与在△ABC中,AB,AC交于A点相矛盾,所以BN,CM能互相平分结论不成立,故BN,CM不能互相平分. 素养　思维提升　入境深探　 阅读理解 阿基米德折弦定理 阿基米德(公元前287年-公元前212年,古希腊)是一位伟大的数学家,他与牛顿、高斯并称为世界三大数学家. 阿基米德折弦定理:如图1,AB和BC是☉O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),AB>BC,D是的中点,则从D向AB所作垂线的垂足E是折弦ABC的中点,即AE=EB+BC. 下面是运用“补短法”证明AE=EB+BC的部分证明过程. 证明:如图2,延长CB到点F,使得CF=AE,连接DA,DB,DC,DF. ∵D是的中点,∴DA=DC. 依据上述材料,完成下列任务: (1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分; (2)如图3,已知等边△ABC内接于☉O,AB=6,D为☉O上一点,∠ABD=45°,AE⊥BD于点E,则△BDC的周长是_________　.  【解析】(1)如题图2,延长CB到点F,使得CF=AE,连接DA,DB,DC,DF. ∵D是的中点,∴DA=DC, ∵=, ∴∠A=∠C, ∴△ADE≌△CDF(SAS), ∴DE=DF,∠F=∠DEA, ∵DE⊥AB,∴∠F=∠DEB=90°. ∵DB=DB, ∴Rt△DBF≌Rt△DBE(HL), ∴BF=BE, ∴CF=BC+BF=BC+BE, ∴AE=BC+BE; (2)∵等边△ABC内接于☉O, ∴AB=AC=BC=6, ∴=, ∵AE⊥BD,∴AE=DE+CD, ∵∠ABE=45°, ∴△ABE是等腰直角三角形, ∴2BE2=AB2, ∴BE=3, ∴△BDC的周长为BD+CD+BC=2BE+BC=6+6. 答案:6+6 学科网（北京）股份有限公司 $