28.1 图形的旋转 知识清单 2026-2027 学年人教版数学九年级上册

28.1 图形的旋转　知识清单 人教版（2024）　九年级上册　第二十八章《旋转》 教材 P92—P97　（其中 P97 为「阅读与思考　全等变换」） 知识地图：从「转动的现象」到「旋转的数学」 钟表的指针一格一格地走，风力发电机的叶片一圈一圈地转，摩天轮的座舱缓缓升起又落下……这些现象有一个共同点：一个物体绕着一个定点，转过了一个角度。 本章就把这种现象抽象成数学对象——图形的旋转。本节先认识旋转（什么是旋转、旋转由哪些要素决定），再研究旋转的性质，最后学会画旋转后的图形，并用旋转设计图案（图 1）。 图 1　本节知识地图：旋转的概念 → 旋转的三要素 → 旋转的性质 → 旋转作图与图案设计 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习目标 ① 通过生活实例认识旋转，能准确指出旋转中心、旋转方向和旋转角，会在图形中找出任意一点的对应点； ② 掌握旋转的三条性质，能用它们求线段长和角的度数； ③ 会按「定三要素 → 找关键点 → 作对应点 → 顺次连接」作出简单图形旋转后的图形； ④ 能用旋转设计简单图案，会计算每次旋转的角度和旋转的次数。 学习重点 旋转的三要素与三条性质；作旋转后的图形（关键是准确地作出对应点）。 学习难点 ① 准确判断旋转中心与旋转角——旋转角是「对应点与旋转中心所连线段的夹角」，不是图形内部的某个角； ② 作对应点时，必须同时满足「落在正确的射线上（角度对）」和「到旋转中心的距离相等（长度对）」两个条件。 前后联系 本节承接八年级学过的平移与轴对称，以及全等三角形；它又是本章的起点，后面还要研究一种更特殊的旋转（旋转角为 180°），并用旋转解决几何问题。 二、旋转的概念 1. 旋转的定义 把一个平面图形绕着平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转。 点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。如果图形上的点 P 经过旋转变为点，那么这两个点叫做对应点。 理解定义时要抓住三件事：绕哪个点转（旋转中心）、往哪个方向转（旋转方向）、转过多少度（旋转角度）。这三件事就是旋转的三要素，第三节会专门研究。 2. 三个关键词 · 旋转中心：那个「绕着转」的定点，如上面的点 O。旋转中心可以在图形上（例如绕三角形的一个顶点旋转），也可以在图形外（例如绕图形外的一点旋转）；但无论在哪里，它在旋转的过程中始终保持不动。 · 旋转角：图形转过的角，它的顶点一定在旋转中心上。如图 2 中，点 A 转到点 ， 所经过的角 就是旋转角。 · 对应点：旋转前、后互相重合的两个点。如 与 ， 与 ， 与 都是对应点，共三组。 ★ 要特别注意：旋转时图形上的每一个点都绕同一个旋转中心、按同一个方向、转过同一个角度。所以图 2 中不只有 与 是一组对应点， 与 、 与 也各是一组对应点，而且它们转过的角度都等于同一个旋转角。 图 2　△ABC 绕点 O 按逆时针方向旋转 55° 得到 ；点 O 是旋转中心， 是旋转角，A 与 A′ 是一组对应点 3. 生活中常见的旋转 生活实例 旋转中心 旋转方向 旋转角 钟表的时针 表盘的中心（固定不动） 顺时针 它转过的那段角度 四叶风车的叶片 叶片的转动轴 逆时针或顺时针 每相邻两叶之间为 90° 绕顶点翻开的书页 书脊上的那个顶点 由题意确定 翻开的那个角度 从表中可以看出：旋转中心就是那个「不动的点」，旋转方向是「顺时针还是逆时针」，旋转角是「转过的角的度数」。 三、旋转的三要素 确定一次旋转，需要且只需要三个条件：旋转中心、旋转方向、旋转角度。这三个条件叫做旋转的三要素。 图 3　同一个 △ABC 绕同一个点 O、转同样的 58°，方向不同得到的图形也不同：逆时针得到 ，顺时针得到 要素 含义 要注意什么 旋转中心 图形绕着转的那个定点（如点 O） 在旋转过程中固定不动；可以在图形上，也可以在图形外 旋转方向 顺时针 或 逆时针 方向不同，得到的图形就完全不同（如图 3） 旋转角度 图形转过的角的度数 一般地，旋转角大于 0° 且小于 360° ★ 三要素确定后，旋转才唯一确定。 换句话说：只知道旋转中心、不知道方向，或者只知道方向和角度、不知道绕哪个点转，都画不出唯一的旋转图形。 ★ 为什么旋转角要小于 360°？转满一整圈时图形又回到原来的位置，与原来的图形完全重合，看不出旋转的效果。 四、旋转的性质 1. 三条性质 旋转有下面三条基本性质（图 4）： ① 对应点到旋转中心的距离相等。　即 ，，。 ② 对应点与旋转中心所连线段的夹角相等，都等于旋转角。　即 。 ③ 旋转前、后的图形全等。　即 。 图 4　旋转的三条性质：（等长标记）， 都等于旋转角 55°，且 2. 性质是怎么来的 · 性质①：旋转时每个点绕定点「转」，转来转去离旋转中心的距离没有变，所以对应点到旋转中心的距离相等； · 性质②：图形上每一个点都转过同一个角度，所以每对对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角； · 性质③：旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，所以旋转前、后的两个图形全等。 由性质③还可以得到：对应线段相等、对应角相等，也就是说旋转前后「形状一样、大小一样」。 3. 性质怎么用 要求什么 用哪条性质 怎么用 求线段长 性质①③ 对应点到旋转中心的距离相等（OA = OA′）；对应线段相等（A′B′ = AB） 求角的度数 性质②③ 旋转角 = 对应点与旋转中心连线的夹角；对应角相等 判断两个图形的关系 性质③ 旋转前后的两个图形全等 ★ 最容易错的一点：旋转角不是图形内部的任意一个角，而是对应点与旋转中心所连线段的夹角，它的顶点一定在旋转中心上。 例如图 4 中，旋转角是 ，而不是 或 。 五、教材例 1（教材 P93） 【例 1】如图 5，将 绕点 顺时针旋转 35° 得到 ，若 ，求 的度数。 图 5　例 1：△ABC 绕点 C 顺时针旋转 35° 得到 ，已知 ，求 思路分析 点 C 在旋转中心上，所以点 C 的对应点是它本身。由旋转的性质可知： · （都等于旋转角）； · （对应角相等）。 要求 ，只要先求出 。而 可以看成旋转角 与 的和，于是把 100° 减去 35° 就得到 。 规范解答 由旋转可知　，。 因为　， 所以　。 所以　。 答： 的度数是 30°。 ★ 本题的两个关键：① 认清 C 是旋转中心，它的对应点是它本身；② 把所求的角「拆」成两个已知角的和或差。 即时小练 如图 5，若把条件改为「」其余不变，则 =　　　度。 提示：先求 ，再求 。 六、旋转作图 1. 作图的四个步骤 作一个图形绕某点旋转后的图形，可以固定成四步（图 6）： ① 定三要素——看清楚旋转中心是哪个点、往哪个方向转、转过多少度； ② 找关键点——找出决定图形形状的关键点（三角形取三个顶点，四边形取四个顶点）； ③ 作对应点——依次作出每一个关键点的对应点； ④ 顺次连接——按原图形的连接方式，把各对应点顺次连接起来。 2. 怎样作一个点的对应点 以点 A 为例，要作出它绕点 O 旋转后的对应点 ，只要三步： ① 连接 ； ② 以 为一边，按旋转方向作 ，使 等于旋转角； ③ 在所作角的另一边上截取 ，点 就是点 A 的对应点。 如果把到点 O 距离等于 的所有点画出来，它们正好组成一条以 O 为圆心的圆弧，点 A 与点 都在这条圆弧上——这也是「」的直观解释（图 6 下方的虚线圆弧）。 图 6　旋转作图的四个步骤，以及作对应点 A′ 的方法：连 OA → 作 ∠AOA′ = 旋转角 → 截取 OA′ = OA 3. 网格中的旋转作图 在方格纸中作图时，可以借助方格数出线段的长短：先按旋转方向确定对应点在哪一格上，再数出它到旋转中心的格数是否与原图相等，最后顺次连接。方格纸的好处是把「角度」和「长度」都变得可以数出来。 ★ 作图时最容易错的地方：只保证了角度对，忘了保证长度也对。 正确的对应点必须同时满足两个条件：① 落在正确的射线上（旋转角对）；② 到旋转中心的距离与原图相等（长度对）。 七、教材例 2（教材 P94） 【例 2】如图 7，点 E 是正方形 ABCD 的边 CD 上任意一点。以点 A 为旋转中心，把 顺时针旋转 90°，画出旋转后的图形。 思路分析 以点 A 为旋转中心，就要抓住三个关键点 A、D、E 的对应点： · 点 A 在旋转中心上，所以它的对应点是它本身； · 因为正方形 ABCD 中 且 ，把 顺时针旋转 90° 正好落到 的位置，所以点 D 的对应点是点 B； · 点 E 在 CD 上，把 顺时针旋转 90° 后落在 的另一侧。在 CB 的延长线上取点 ，使 ，则点 就是点 E 的对应点。 图 7　例 2：把 绕正方形 ABCD 的顶点 A 顺时针旋转 90°，得到 （点 D → 点 B，点 E → 点 E′） 作答与说明 ① 确定旋转中心 A、旋转方向（顺时针）、旋转角度（90°）； ② 点 A 的对应点是 A；点 D 的对应点是 B； ③ 在 CB 的延长线上取点 ，使 ； ④ 顺次连接 A、B、，得到的 就是 绕点 A 顺时针旋转 90° 后的图形。 ★ 检验：旋转前后两个图形全等，所以 ，于是 、，与作图结果一致。 八、用旋转设计图案 1. 设计思路 把一个基本图形绕着某个定点按同一方向连续旋转若干次，每次转过的角度都相等，就能拼出美丽的图案（图 8）。设计图案时，先选好基本图形，再确定旋转中心、旋转方向和每次旋转的角度，最后确定旋转的次数。 2. 五角星是怎样"转"出来的 取一个等腰三角形作基本图形，把它的顶点放在点 O 的正下方，以点 O 为旋转中心，按逆时针方向每次旋转 72°，连续旋转 4 次（连同原来的图形共 5 个三角形），这 5 个全等的等腰三角形就拼成一个五角星。 为什么每次是 72°？因为要让 5 个图形恰好围满一圈，就要把一圈 360° 平均分成 5 份： 。 图 8　用旋转设计图案：等腰三角形绕点 O 每次旋转 72°，连续旋转 4 次即得五角星 3. 设计要点 · 每次旋转的角度 = 360° ÷ 图形的个数； · 5 个（或若干个）图形要全等——因为旋转不改变图形的形状和大小； · 旋转中心、旋转方向、旋转角度三者要保持一致，改变的只是「一共转了几次」。 ★ 想一想：如果改成每次旋转 60°，一共旋转 5 次，会拼出怎样的图案？ 九、易错清单 下面四个错误在初学旋转时最常见（图 9）。 图 9　旋转的四个易错点：图中 M 点方向对、长度错，N 点长度对、方向错，只有 A′ 是正确的对应点 易错点 错在哪里 正确做法 ① 只量角度，不量长度 作对应点时只顾着把角画对，忘了到旋转中心的距离也要相等 对应点必须同时满足两条：在正确的射线上、到旋转中心的距离与原图相等 ② 认错旋转角 把图形内部的某个角（如 ∠ABC）当成旋转角 旋转角的顶点一定在旋转中心上，是「对应点与旋转中心所连线段的夹角」 ③ 方向画反 把「顺时针」当成「逆时针」，图形画到了另一侧 先圈出题目里的「顺时针」或「逆时针」，再动手；画完回头对照检查 ④ 以为旋转会改变大小或形状 把旋转后的图形画得比原图大一点或小一点 旋转前后的两个图形全等——对应线段相等、对应角相等 十、方法总结 解决与旋转有关的问题，可以按下面四步走（图 10）。 图 10　解决旋转问题的四步法：定要素 → 找对应 → 用性质 → 得结论 ★ 记忆要点 ① 旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小； ② 对应点到旋转中心的距离相等； ③ 对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角； ④ 旋转前、后的两个图形全等，因此对应线段相等、对应角相等。 常见题型 入手点 用到的性质 已知旋转，求角的度数 先找旋转角，再把所求角写成已知角的和或差 性质②（旋转角相等）、性质③（对应角相等） 已知旋转，求线段长 把所求线段与它的「对应线段」挂上钩 性质①（到旋转中心等距）、性质③（对应线段相等） 作旋转后的图形 定三要素 → 找关键点 → 作对应点（角度 + 长度）→ 顺次连接 性质①（长度相等）与旋转角的定义 用旋转设计图案 先定基本图形，再算每次旋转的角度 = 360° ÷ 图形个数 性质③（各个图形全等） 十一、课后巩固 1．下列说法中，正确的是（　　） A．旋转改变图形的形状和大小　　B．旋转中心一定在图形上 C．旋转中心在旋转过程中保持不动　　D．旋转的方向只能是逆时针 2．如图，把 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 40° 得到 △AB′C′。若 ∠BAC = 30°，求 ∠B′AC 与 ∠BAC′ 的度数。 3．如图，把 △ABC 绕点 B 顺时针旋转 40° 得到 △A′BC′。已知 AB = 4 cm，BC = 6 cm，∠ABC = 50°。求：(1) A′B 的长；(2) BC′ 的长；(3) ∠A′BC′ 与 ∠ABA′ 的度数。 4．已知线段 AB 和它外面的一点 O。请作出线段 AB 绕点 O 逆时针旋转 90° 后的线段 A′B′，并写出作法。 5．用旋转设计图案：取一个等腰三角形，以点 O 为旋转中心，每次旋转 72°，连续旋转 4 次（连同原来的图形共 5 个），拼成一个五角星。 (1) 每次旋转的角度是多少度？ (2) 这 5 个三角形有什么关系？为什么？ (3) 如果想让 6 个同样的三角形围成一圈，每次应旋转多少度？ 6．如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 CD 上一点，把 △ADE 绕点 A 顺时针旋转 90° 得到 △ABE′。已知 AD = 5，DE = 2。 (1) 求 BE′ 的长； (2) 求 CE′ 的长； (3) 判断 △ADE 与 △ABE′ 的关系。 参考答案与解析 1．C。旋转只改变图形的位置，不改变形状和大小，A 错；旋转中心可以在图形上，也可以在图形外，B 错；方向既可以是顺时针，也可以是逆时针，D 错；旋转中心是「不动的点」，C 正确。 2．由旋转知 ，所以 ；。 3．(1) （对应点到旋转中心的距离相等）；(2) （对应点到旋转中心的距离相等）；(3) （对应角相等），（旋转角）。 4．作法：① 连接 OA；② 以 OA 为一边，按逆时针方向作 ；③ 在所作角的另一边上截取 ，得到点 ；④ 同法作出点 B 的对应点 ；⑤ 连接 。线段 就是所求作的线段。 5．(1) 72°；(2) 这 5 个三角形全等。因为旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，所以旋转后的每一个三角形都与原来的等腰三角形全等；(3) 360° ÷ 6 = 60°，每次应旋转 60°。 6．(1) 由旋转知 ；(2) 因为 ABCD 是正方形，所以 BC = AB = AD = 5；又点 在 CB 的延长线上，所以 ；(3) （旋转前、后的两个图形全等）。 十二、技能自查 序号 自查内容 能否做到 1 能说出旋转的定义，能准确指出旋转中心、旋转方向和旋转角 □ 能　□ 还需复习 2 能在图形中找出任意一点的对应点，并说出共有几组对应点 □ 能　□ 还需复习 3 能说出旋转的三条性质，并能用符号表示出来 □ 能　□ 还需复习 4 会由旋转求线段长和角的度数（会用「旋转角」和「对应线段相等」） □ 能　□ 还需复习 5 会按四步作出简单图形旋转后的图形，作图规范、保留痕迹 □ 能　□ 还需复习 6 能用旋转设计简单图案，会算每次旋转的角度和旋转的次数 □ 能　□ 还需复习 十三、知识追问 追问 1　旋转角一定要大于 0°、小于 360° 吗？ 要。旋转角等于 0° 时图形根本没有动；等于 360° 时图形转回了原来的位置，与原来的图形完全重合，也看不出旋转的效果。所以通常所说的旋转角都在 0° 与 360° 之间。 追问 2　只要是对应点，它与某点连成的两条线段就一定相等吗？ 不一定。只有这个点是旋转中心时，才有 。如果取的是图形外一个普通的点，它与两个对应点连成的线段一般并不相等。所以用性质①时，一定要先确认「这个点就是旋转中心」。 追问 3　旋转和我们已经学过的变换有什么共同之处？ 旋转与平移、轴对称有一个共同点：它们都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。正因如此，经过这三种变换得到的图形，都和原来的图形全等。教材第 97 页的「阅读与思考　全等变换」讲的就是这件事——平移、轴对称、旋转都是全等变换。 十四、章内位置与中考对接 28.1 是第二十八章《旋转》的第一节，也是本章的「概念与性质」课。本节把旋转这件事说清楚：它由旋转中心、旋转方向、旋转角度三个要素确定，它的三条性质是后面一切旋转问题的工具。 本节之后，本章还要研究一种旋转角为 180° 的特殊旋转，并进一步用旋转解决几何问题。学好本节，后面的内容才有依托。 教材位置 内容 P92 图形的旋转的概念（旋转中心、旋转角、对应点） P93 旋转的三条性质；例 1（绕点 C 顺时针旋转 35° 求角的度数） P94 例 2（正方形 ABCD 上的旋转作图） P95 练习（绕三角形顶点旋转作图、五边形绕点 O 旋转 90° 作图） P97 阅读与思考　全等变换（平移、轴对称、旋转都不改变形状和大小） 中考怎么考 ① 选择、填空题：识别旋转中心、旋转方向、旋转角；由旋转求角的度数或线段长；判断旋转前后的相等关系。 ② 作图题：在方格纸中（或尺规）作出一个图形绕某点旋转后的图形，并写出作法、说明理由。 ③ 综合应用：把旋转与全等三角形、等腰三角形、等边三角形、正方形等结合起来，求角度或线段长。这是本节性质最重要的「用武之地」。 ④ 图案设计：计算每次旋转的角度（360° ÷ 图形个数）、旋转的次数。 ★ 本节边界：本清单只研究「旋转本身」——它的概念、三要素、三条性质、简单作图与图案设计。以旋转角为 180° 的特殊旋转、以及在坐标平面内旋转后点的坐标变化，都属于后续内容，本清单不涉及。 学科网（北京）股份有限公司 $