精品解析：海南澄迈县某校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

高二年级10月月考数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，，则（ ） A. B. 6 C. D. 8 2. 复数，在复平面内对应的点位于（ ） A. 实轴 B. 虚轴 C. 第一象限 D. 第二象限 3. 数据，，，，，，，，的第三四分位数为（） A. B. C. D. 4. 若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直三棱柱的各顶点都在以为球心的球面上，且，，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 以斜边为4的等腰直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角的对边分别为，已知，，则的角平分线的最大长度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则事件与B相互独立 C. 若A发生时B一定发生，则 D. 10. 在正方体中，，点M在正方体内部及表面上运动，下列说法正确的是（ ） A. 若M为棱的中点，则直线平面 B. 若M在线段上运动，则的最小值为 C. 当M与重合时，以M为球心，为半径的球与侧面的交线长为 D. 若M在线段上运动，则M到直线的最短距离为 11. 下列说法正确的是（　　） A. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 B. 抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上点数1或4”，事件“向上点数是奇数”则 C. 某类种子发芽的概率为0.85，若我们抽取2000粒种子试种，一定会有1700粒种子发芽 D. 数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为27 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成，从中选取6个个体．利用科学计算器依次生成一组随机数如下：65 06 58 61 54 35 02 42 35 48 96 32 15 52 39 52 40，则选出来的第6个个体的编号为______． 13. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为______． 14. 在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字 这些球除了数字以外完全相同.现随机摸出一个小球，记下数字m，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，． （1）若，求； （2）若，且，求． 16. 如图，在三棱锥中，平面，，，分别是，的中点，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 在中，内角，，所对的边分别为，，． （1）求证：“”是“”的充分不必要条件； （2）若． ①求角的大小； ②设为的中点，，的面积为，求． 18. 随着自动驾驶技术的发展，无人物流逐渐普及，某科技企业对旗下的无人快递车准点率进行研究，统计了200辆无人快递车最近一年任务的准点送达次数，并依据每一百次任务的准点次数为得分，绘制频率分布直方图（分组区间为，，，）．已知样本中评分在内的快递车比评分在内的快递车多40辆． （1）求a，b的值； （2）现根据本次结果对所有无人快递车划定等级，规定分数处在前30%的车为A等车，其余为B等车，估计A等车的分数线； （3）为了进一步研究影响准点率的因素，技术人员对评分超过80分的车辆进行比例分配的分层抽样，抽取了5辆车，再从5辆车里抽取2辆车的详细数据进行比对研究，求2辆车评分均不超过90分的概率． 19. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面为中点. （1）如果与平面所成的线面角为，求证：平面. （2）当与平面所成角的正弦值最大时，求三棱锥的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级10月月考数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，，则（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】因为，， 所以， 所以. 2. 复数，在复平面内对应的点位于（ ） A. 实轴 B. 虚轴 C. 第一象限 D. 第二象限 【答案】B 【解析】 【分析】先通过分母实数化将复数化简为代数形式，再根据对应点的坐标判断其在复平面内的位置. 【详解】， 故复数在复平面内对应的点为，即位于虚轴. 3. 数据，，，，，，，，的第三四分位数为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】计算第三四分位数（即75%分位数）的位置：， 由于i不是整数，所以取大于i的最小整数对应的位置的数作为所求百分位数， 这里大于6.75的最小整数是7， 故数据，，，，，，，，的第三四分位数为第7个数据8. 4. 若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由基底的定义逐一判断即可. 【详解】，故A不是； 不存在，使得，故B是； ，故C不是； ，故D不是. 5. 已知直三棱柱的各顶点都在以为球心的球面上，且，，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理可得所在的截面圆的半径，再结合勾股定理求出球的半径，结合球的体积公式计算即可. 【详解】在中，由正弦定理得所在的截面圆的半径为， 则直三棱柱的外接球的半径为， 则直三棱柱的外接球的体积为. 6. 以斜边为4的等腰直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知，该几何体是底面半径为，高为的圆锥， 故该几何体的体积. 7. 在中，角的对边分别为，已知，，则的角平分线的最大长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式和二倍角的正弦公式得到，利用基本不等式和三角形边的关系求出的最大长度. 【详解】因为， 所以， 解得， 即， 即， 因为，所以，所以， 所以，又， 则 因为 ， 所以， 因为，，， 所以的最大值在取最小值的时候取到，且， 由，， 当且仅当时，等号成立， 此时 ，，， 故，故选项B正确. 8. 如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设，以为基底，分别表示，再利用向量法即可求出异面直线与所成角. 【详解】设，则，． 以为基底，由题意得，． 因为，， 所以， ， ， 设异面直线与所成角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则事件与B相互独立 C. 若A发生时B一定发生，则 D. 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，若A与B互斥，则，故A错误； 对于B，因为，，则， 因为， 所以事件与B相互独立，故B正确； 对于C，若A发生时B一定发生，则，则，故C错误； 对于D，， 因为，，所以，故D正确． 10. 在正方体中，，点M在正方体内部及表面上运动，下列说法正确的是（ ） A. 若M为棱的中点，则直线平面 B. 若M在线段上运动，则的最小值为 C. 当M与重合时，以M为球心，为半径的球与侧面的交线长为 D. 若M在线段上运动，则M到直线的最短距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】作交点，连接，可证，进而得到平面；展开与到同一平面上，由两点间直线段最短，结合余弦定理可求； 在侧面上的射影为，确定交线为以为圆心的圆弧，结合弧长公式即可求解；平面与的距离最短恰为，能找出此点恰在上. 【详解】对选项A，作交点，连接，因为为中点，M为棱的中点，所以，又因为平面，所以平面，故A正确； 对选项B，展开与到同一平面上如图： 知，故B错误； 对选项C：M与重合时，在侧面上的射影为，故交线是以为圆心的一段圆弧（个圆），且圆半径，故圆弧长，所以C正确； 对选项D，直线与平面距离显然为，当为中点时，设中点为，易得，所以为M到直线最短距离，选项D正确. 故选：ACD 11. 下列说法正确的是（　　） A. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 B. 抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上点数1或4”，事件“向上点数是奇数”则 C. 某类种子发芽的概率为0.85，若我们抽取2000粒种子试种，一定会有1700粒种子发芽 D. 数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为27 【答案】ABD 【解析】 【详解】任选2名同学包含“两名男生”，“两名女生”以及“一男一女”， 则“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件，故A正确； 对于B，由题意得，得到，，故B正确； 某类种子发芽的概率为0.85，若我们抽取2000粒种子试种，不一定会有1700粒种子发芽，故C错误； 数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为，方差为，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 总体由编号为01，02，…，39，40的40个个体组成，从中选取6个个体．利用科学计算器依次生成一组随机数如下：65 06 58 61 54 35 02 42 35 48 96 32 15 52 39 52 40，则选出来的第6个个体的编号为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据随机数抽样规则可得结果. 【详解】生成的随机数中落在编号01，02，…，39，40内的依次有06，35，02，35（重复），32，15，39，40. 所以选出来的第6个个体的编号为39. 13. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的坐标，再根据投影向量的定义即可求解． 【详解】由，，则， 则向量在向量上的投影向量为． 14. 在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字 这些球除了数字以外完全相同.现随机摸出一个小球，记下数字m，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先列出m、n的所有可能的值，进而得到不经过第四象限的概率． 【详解】二次函数的图象不经过第四象限， 则对称轴且或顶点纵坐标， 即或， 由题意，两次摸球的数字组合可能有： ，共9种， 其中符合条件的组合有，共5种， 所以二次函数的图象不经过第四象限的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，． （1）若，求； （2）若，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示求出，再由二倍角公式计算可得； （2）由数量积的坐标表示、两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可求出，最后根据两角和的余弦公式计算可得. 【小问1详解】 因为，且， 所以，则， 所以. 【小问2详解】 因为，且， 所以，则， 所以，则，所以， 又，所以，所以， 所以 . 16. 如图，在三棱锥中，平面，，，分别是，的中点，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为，分别是，的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由题意，分别以，，为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则得 取，则，则， 因为平面， 所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 在中，内角，，所对的边分别为，，． （1）求证：“”是“”的充分不必要条件； （2）若． ①求角的大小； ②设为的中点，，的面积为，求． 【答案】（1）设为外接圆半径， 若，则，故，故， 所以，结合正弦定理可得， 故，故充分性成立. 若，由正弦定理可得， 故，而， 故或，故或， 故或，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. （2）①;② 【解析】 【分析】（1）若，则可根据诱导公式和正弦定理证明充分性，若，则可由正弦定理结合三角函数性质得或，从而必要性不成立； （2）①根据正弦定理结合三角变换公式可求；②根据中线向量可得，再结合面积公式可得，最后由余弦定理可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①因为，由正弦定理可得， 而， 故，而为三角形内角，故， 故即，故（舍）或， 而为三角形内角，故. ②因为为的中点，故， 所以，故， 而的面积为，故，故， 故，故， 由余弦定理可得， 故. 18. 随着自动驾驶技术的发展，无人物流逐渐普及，某科技企业对旗下的无人快递车准点率进行研究，统计了200辆无人快递车最近一年任务的准点送达次数，并依据每一百次任务的准点次数为得分，绘制频率分布直方图（分组区间为，，，）．已知样本中评分在内的快递车比评分在内的快递车多40辆． （1）求a，b的值； （2）现根据本次结果对所有无人快递车划定等级，规定分数处在前30%的车为A等车，其余为B等车，估计A等车的分数线； （3）为了进一步研究影响准点率的因素，技术人员对评分超过80分的车辆进行比例分配的分层抽样，抽取了5辆车，再从5辆车里抽取2辆车的详细数据进行比对研究，求2辆车评分均不超过90分的概率． 【答案】（1），． （2）85分． （3）． 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图所有矩形面积之和为 1，结合两组车辆数量差建立方程组，联立求出； （2）A等车是前 30%，对应求第 70 百分位数，先分段累加频率定位区间，再用百分位数公式算出分数线； （3）先分层抽样确定两组抽取数量，列举全部基本事件，统计符合条件事件数，用古典概型计算概率. 【小问1详解】 由直方图的数据得①， 由评分在的快递车比内的多40辆，得 ，解得②， 联立①②，解得，． 【小问2详解】 达到前30%时的分数线，等价于求第70百分位数．从低分段累计频率： ， 第70百分位数落在区间， 设分数线为x，则， 解得，估计A等车的分数线为85分． 【小问3详解】 分层抽样：评分超过80分的车辆组80辆，组20辆=100辆． 按比例抽取5辆：组：辆，组：辆． 编号：将组4辆车记为，，，；组1辆车记为． 列举所有等可能基本事件（5选2，无序）： 用列表法穷举： — √ √ √ √ — — √ √ √ — — — √ √ — — — — √ 共10种等可能基本事件， 找出“两车评分均不超过90分”的事件（即两车都来自组，不含）： ，，，，，共6种， 两车评分均不超过90分的概率：． 19. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面为中点. （1）如果与平面所成的线面角为，求证：平面. （2）当与平面所成角的正弦值最大时，求三棱锥的体积. 【答案】（1） 证明：平面，平面， 为与平面平面所成的线面角，， ∵与平面所成的线面角为， ， ∵为的中点，， ∵底面是边长为的正方形，即， ∵平面， 平面， 又∵平面，∴， ∵平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由题知，进而证明，即可证明结论； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，设，进而利用坐标法求解线面角得，在计算体积即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面的法向量为， 则，即， ，取，得， 与平面所成角的正弦值为 ， 当且仅当，即时等号成立. ， 三棱锥的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $