河北涿州中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.样本数据3,2,4,1,3,6的众数为 A.1 B.3 C.5 D.6 2.若a是第二象限角，则 A.sin acos a0 B.sin a++cos a0 C.sin a-cos a0 D.sin(cos a)0 3.曲线f(x)=x3+1在点(1，f(1)处的切线方程为 A.y=x+1 B.y=-x十3 C.y=3x-1 D.y=-3x+5 4尼知ama=号，则02g cos2a+1 A-司 B.-9 c号 D.-3 5.甲、乙、丙、丁4人各自写了1张贺卡，将这4张贺卡分给这4人，每人分得1张，则恰有1人 得到自己写的贺卡的分法数为 A.16 B.12 C.10 D.8 6.已知a=log32Xlog86,b=0.10.6,则“x>a”是“x>b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.如图，已知海岛A到海岸公路BC的距离AB=12km,B,C间的距B D C 离BC=26km,甲先乘快艇从A到海岸公路BC上的某一点D登 陆，快艇速度恒为40k/h,再乘汽车沿海岸公路到C,汽车速度恒 为50km/h.若忽略换乘的时间，则甲从A到C所需的时间最少为A A.0.5h B.0.6h C.0.7h D.0.8h 5 8.已知函数f(x)=sinx十2cosx- 的相邻两个零点为x1x2,则tan(x,十z2)= A音 B- c 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知角α的终边经过点(4,5)，则 Acos(-a)=-4V4红 41 Bsin(a+）-4④ 41 C.sin(x+a)-5v41 41 D.an(经-a)-号 【高三数学第1页（共4页）】 ·C1 10.设(2x-1)5=a0十a1x十a2x2十a3x3+a4x4十a5x5,则 Aa=-1 B.a1十a2十ag十a4十as=0 C.a1十a3十a5=-121 D.a1+2a2+3a3+4a4+5a5=10 11.已知函数f(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an),其中n∈N',n≥2，且a1<a2<<am f'(x)是f(x)的导函数，f(x)的所有零点分别为b1,b2,…,bk,其中∈N”,且b1<b2 <<bk,则下列结论正确的是 A.若n=2,则a1十a2=2b1 B.a:-nb C.n=k+1 nVem∈Nrl1<m<,2,a,=0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若随机变量X~N(4,o2),且P(X≤3)=0.2，则P(3<X<5)=▲ 1,x>0, 13.定义符号函数：sgn(x)=0,x=0,已知函数f(x)=1一sgn(x)·x,则f(x)的值域 -1,x<0 为▲一若函数g(x)=(ax2+bx十c)f(x)的值域为(-∞，0]，则不等式a二C>b 的解集为▲ ·（本题第一空2分，第二空3分) 14.若Vx∈(0，十oo),ez-ln(2x十a)>a,则a的取值范围为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 已知函数f(x)=Acos(uz十p)(A>0,w>0,lp<)的部分图象如图所示. (1)求f(x)的解析式； (2)将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2，纵坐标不变，再将所得的图象向左平移 牙个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间。 16.(15分) 已知函数f(x)=2lnx十ax2-x. (1)当a=一3时，求f(x)的极值； (2)若f(x)在(0，十∞)上单调递增，求a的取值范围. 17.(15分) 已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)十g(x)=22x+1 (1)求f(x),g(x)的解析式， (2)令函数h(x)=g(x)十2x十3. (1)已知m∈Z,且3x∈(m,m十1)，h(x)=0,求m的值； (iⅱ)求不等式h(2x2-3x)+h(2x-3)>6的解集. 18.(17分) 某粽子店每天都会制作一批粽子售卖，其中碱水粽占20%，红枣甜粽占30%，蛋黄肉粽占 50%,且每个碱水粽的售价为2元，每个红枣甜粽的售价为3元，每个蛋黄肉粽的售价为 6元. (1)设某顾客在店里随机购买m个粽子. (1)若m=2,求该顾客没有买到碱水粽的概率； (iⅱ)若m=10,记X为该顾客购买碱水棕的费用，求E(X)和D(2X十1). (2)某顾客第一天在该店随机选2个粽子，若携带的钱足以购买这2个粽子，则该顾客第二 天携带6元钱随机购买2个粽子，若携带的钱不足以购买这2个粽子，则该顾客第二天 携带12元钱随机购买2个粽子，重复上述操作.设该顾客第一天携带6元钱，pm为第 n(n∈N)天该顾客携带12元钱购买粽子的概率，求pm: 19.(17分) 已知函数f(x)=√x(1一x)·e1-x)】 (1)证明曲线y=f(x)是轴对称图形，并求其对称轴的方程 (2)求f(x)的最值； (3)若曲线y=f(x)上所有的点均在圆M的圆上或圆内，求圆M半径的最小值 高三数学参考答案 1.B样本数据3,2,4,1,3,6的众数为3. 2.C因为a是第二象限角，所以0<sina<1,一1<cosa<0,则sin acos a<0,sina+cosa的 符号不确定，sina一cosa>0,sin(cosa)<0. 3.C由f(x)=x3+1,得f'(x)=3x2,则f(1)=2,f'(1)=3,则曲线f(x)=x3+1在点 (1,f(1))处的切线方程为y=3x一1. 4.A sin 2a-1_2sin acos asin'a-cos'a2tan a-tan'a-11 cos2a+1 sin2a+2cos a tana+2 9 5.D恰有1人得到自己写的贺卡的分法数为CC2=8. 6.Aa=b%2X1e6=古6g6.因为1e6>1,所以6>又6=01<01：=<专， 所以“x>a”是“x>b”的充分不必要条件. 7.C设BD=xkm,0≤x≤26，则AD=√144十x2km,CD=(26一x)km,所需的时间（单 位：hDT()=144牛x土260，则T'(x) 40 40V144+元50令T'(x)=0,得x=16, x 1 且当x∈[0,16)时，T'(x)<0,当x∈(16,26]时，T'(x)>0,则T(x)m=144+16 40 26-16=0.7. 50 8C由题意得z)-5(信nr+后ms)一-号-5n+y-5其中a9=2.由 fx)=0,得sin(x+p)=号，所以x十g+x,+p=2(受+x),k∈Z,得x1+,=x-2p+ 2kπ，k∈Z.故tan(.x1十x2)=tan(x-2p)=-tan2p=- 2tan g4 1-tan2 3' 9.BD因为角a的终边经过点4,5)，所以sina一 55√41 44/41 41,cos a= 42+52411 则cas一a)=ose=sn(e+》-casa-1Tsa(x十a)=-na-50 41 tan(-a) sin(-a) 一c0s&=4 eos(呀-a） -sin a 5 10.AD令x=0,得ao=一1，A正确.令x=1,得ao+a1十a2+a3十a1十a5=1,则a1十a2十 a3十a4十a5=1一a0=2,B不正确.令x=一1，得ao一a1十a2一a3十a1一a5=一243，则a1 +a,十a,-1-（二243》-122，C不正确.对等式两边求导，可得10(2x一1)=a1十2a2x+ 2 【高三数学·参考答案第1页（共5页）】 ·C1· 3a3x2十4a4x3+5a5x4,令x=1,得a1+2a2十3a3十4a4+5a5=10,D正确， 11.ACD若n=2,则f(x)=(x一a1)(x一a2)=x2一(a1十a2)x十a1a2,f'(x)=2x-(a1十 a2.令f'(x)=0,得x-1a,故a1十a2=2b1,A正确，若n=3,则f(x)=(x一1)(z 2 -a2)(x-a3)=x3-(a1十a2十a3)x2+(a1a2十a2a3十a1a3)x-a1a2a3,得f'(x)=3.x2 -2a:+a:+a,)z+(a,e:+aa+aa,则6+b:=号a1+a:十a.从而含a, 号，B不正确因为方程fx)=0有n个不相等的实数解，所以(x)有-1D个极值 点，则f'(x)有(n一1)个零点，则n=k十1，C正确.由f(x)=(x一a1)(x一a2)…(x一an), 得f'(x)=(x-a2)(x-a3)…(x-am)+(x一a1)[(x-a2)(x一a3)…(x一an)]',则 f'(a1)=(a1一a2)(a1-a3)…(a1一an)≠0，同理可得f'(a;)≠0，i=2,3,…,n.因为 了)-(。+t十。)，所以由f)-0,可得a+a 十十=0，则Vj∈meN1m<,a0,D正兔 x-a 12.0.6因为X~N(4,o2),且P(X≤3)=0.2，所以P(3<X<5)=1一2P(X≤3)=0.6. 13.(-o∞，1]；(-o∞，-1)U(0,+o∞)f(x)=1-sgn(x)·x= 1-x,x>0, 1,x=0,作出f(x)的图象，如图所示，可得∫(.x)的值域为 1+x,x<0. (-∞，1].由g(x)的值域为(-o∞，0]，可得函数y=ax2+bx十c 图象的开口向上，且与x轴交于（一1,0），(1,0)两点，则a>0,b= 0,c=-a,则由不等式a(z+1D>0,解得x<-1或x>0. 14.[0,l]由e2r-ln(2x十a)>a,得e2r+2x>ln(2x+a)+2x+a.令f(x)=lnx+x,易知 f(x)在(0，十∞)上单调递增，不等式等价于f(e2r)>f(2x十a),则e2r>2x十a,则a<e2 -2x在(0，十∞)上恒成立.令g(x)=e2-2x(x>0),则g'(x)=2e2r-2>0在(0，十o∞) 上恒成立，则g(x)>g(0)=1,则a≤1.由2x十a>0在(0，十∞)上恒成立，得a≥0.故a 的取值范围为[0,1]. 15.解：(1)由图可知A=2,…1分 了(x)的最小正周期T=号X(胥+）=2红，…2分 则w-2年=l,…3分 则f(）=2cos(号十p）=2,得号+9=2kπ，k∈Z,则9=-3+2kπ，k∈Z. …4分 又p<登，所以9=-行， …5分 【高三数学·参考答案第2页（共5页）】 ·C1· 则fx)=2cos(x-): …6分 (2)将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2，纵坐标不变，得到函数y=2c0s(2x一 牙)的图象，… …7分 再将所得的图象向左平移买个单位长度，则g(x)=2cos(2x+） …8分 令-x十2k<2x+晋<2km,k∈Z,… …10分 得-径+km≤x≤一十krk∈Z …12分 故gx)的单调递增区间为[一登+k,一意十](k∈2》。 …13分 16.解：(1)当a=-3时，f(x)=2lnx-3x2-x(x>0),…1分 则fx)=2-6x-1=-x+2-3z+22x-D …3分 当x∈(0，)时，f'(x)>0,f)单调递增，当x∈（分，+o∞）时，(x)<0,f(x)单调递 减，… 5分 则fx)的极大值为f(号)=一2n2-5,无极小值. …7分 （2)油fx)=2nx+ar-x>0),得f'(x)=2+2ax-1=2ax二+2 …9分 x 因为f(x)在(0，+o∞)上单调递增，所以f'(x)≥0，即2a.x2一x十2≥0在(0，+o∞)上恒成 立.… …11分 又≥0，所以≥2=-（公）》+6 …13分 因为-（侵-是）'+高品所以e≥品故a的取值范围为[品十)： …15分 17.解：(1)由f(.x)十g(.x)=22r+1,得f(-x)十g(-x)=2-2+l.…1分 因为f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以f(一x)=f(x),g(一x)= -g(x）,… …2分 则f(x)一g(x)=22红+1，…3分 獬得f(x)=22r十22r,g(.x)=22r一22x.…4分 (2)(1)由(1)可得h(x)=g(x)+2x+3=22-2-2r+2x+3, 易得h(x)在R上单调递增.…5分 因为h(-1)=-<0,h(0)=3>0, …7分 所以习x∈（一1,0)，h(x)=0.… …8分 又m∈Z,所以m=一1… …9分 【高三数学·参考答案第3页（共5页）】 ·C1· (i)令o(x)=h(x)一3=g(x)十2x.因为g(x)是奇函数，所以p(x)是奇函数.…10分 又g(x)=22一2-2在R上单调递增，所以o(x)在R上单调递增， …11分 由h(2.x2-3.x)+h(2x-3)>6,得h(2.x2-3.x)-3>-[h(2x-3)-3],…12分 则9(2.x2-3x)>一9(2x-3)=p(-2x十3)，…13分 223x>-2江十3，解得x>号或x<1…14 故不等式的解集为（一o0,一1U(受，十c∞）.… …15分 18.解：(1)(i)由题可知，顾客随机购买1个粽子，不是碱水粽的概率为1一20%=0.8，… …1分 则该顾客随机购买2个粽子，没有买到碱水粽的概率为0.82=0.64.…3分 (ⅱ)记Y为顾客买到的碱水粽的个数，则X=2Y.…4分 由题可知，Y~B(10,0.2),… 6分 则E(Y)=10X0.2=2,D(Y)=10X0.2X0.8=1.6,…7分 则E(X)=E(2Y)=2E(Y)=4,D(2X+1)=D(4Y+1)=16D(Y)=25.6.…9分 (2)要使得携带6元钱足以购买2个粽子，则不能购买蛋黄肉粽，…10分 故携带6元钱足以购买2个棕子的概率为(0.2+0.3)=0.25=}，不足以购买2个棕子的 概率为1一0.25=0.75= 4 …11分 3 由题可知，p1=0,且pw+1= (1-pn), 13分 …14分 所以{口.一}是以P,一号=一号为首项，一子为公比的等比数列， …15分 则号(-， 16分 则p.-多-多(-) …17分 19.（1)证明：由x(1一x)≥0，得0≤x≤1.… 1分 要证曲线y=f(x)是轴对称图形，则只需证f(x)=f(1一x).…2分 因为0≤x≤1，所以0≤1-x≤1.由f(x)=√x(1-x)·e-,得f(1-x)= √1-x)儿1-(1-xJ·e1-x1-1=x]=√x(1-x)·er1-)=f(.x）.…3分 故曲线y=f(.x)是轴对称图形，且其对称轴的方程为x=2…4分 (2)解：令4=1-0≤x<1D.则0<1≤2 …5分 设g(u)=1·e(0≤1≤2)，则g'()=(1+8)·e“>0恒成立， …6分 【高三数学·参考答案第4页（共5页）】 则g)在[0，]上单调递增。 7分 则g)m=g0)=0,g(e)m=g(2)=号 故f(x)的最小值为0，最大值为号 8分 (3)解：由t=0,得x=0或x=1,由t=2,得x=2, 则曲线y=fx)经过点A(0,0),B(1,0),C(2,号)： …9分 设△ABC外接圆的圆心为合m),则（分》+m=(m-》,得m-启 则△ABC外接圆的半径为号一-m=结 e2+1 ……10分 要使得曲线y=f(x)上所有的点均在圆M的圆上或圆内，则圆M的半径大于或等于 e2+1 …11分 4e 下面证明△ABC的外接圆即为所球的圆M,即证(x-2)'+[f(x)-m]≤m2+在[0， 1]上恒成立，整理得x2-x十[f(x)]-2mf(x)≤0.…12分 由(2)知1=√x(1-z(0≤1≤2)，可得2mt·e≥-2+2·e. …13分 当t=0时，不等式显然成立. 000084。。004000004004000000 当0<1≤2时，则2m≥-1+2·e =t(e2-e2). t·e 易知函数y=1y=e一e在(0，]上均单调递增，且函数值均大于0，…15分 所以h)=1(e“-e“)在(0,2]上单调递增，从而h(u)<h(） e2-1 2e =2m.… …16分 故圆M半径的最小值为出 ……17分 【高三数学·参考答案第5页（共5页）】