精品解析：浙江金华市第四中学2026-2027学年八年级上学期10月学情自测数学试卷

金华四中2026学年第一学期八年级数学第一次作业检查试题卷 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. “说好中国话，写好中国字”，在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知三角形的三边长分别为3，5，，则不可能是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 8 3. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 5. 一个不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 在与中，，添加下列条件后，仍不能得到的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列条件中，可以判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 8. 等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数为（ ） A. B. 或 C. D. 或 9. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点G，连接AG．若△AFG的周长为9，则BC的长为（ ） A. 6 B. C. 5 D. 10. 如图，等边中，平分，点P、Q分别为、上的点，且，，在上有一动点E，则的最小值为（ ） A. 20 B. 18 C. 16 D. 14 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. “的倍与的和是负数”用不等式表示为__________． 12. 如图，在中，，，则等于______度． 13. 在中，平分交于点，若，则的面积等于__________． 14. 若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是___________． 15. 如图，中，为中点，在上，且．若，则的长度是__________． 16. 如图，在中，为直角顶点，，为斜边的中点，将绕点逆时针旋转至，当恰为以为腰的等腰三角形时，的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. （1）解不等式：； （2）解不等式组：． 18. 图①、图②都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点都在格点上．在给定的网格中，只用无刻度的直尺，在图①、图②中，按下列要求画图，所画的图形的顶点均在格点上． （1）在图①中画一个以为腰的等腰三角形； （2）在图②中画一个以为底边的等腰三角形． 19. 已知，如图，点、、、在同一直线上，，，，求证：； 20. 如图，在中，． （1）尺规作图：在上求作一点P，使得； （要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：是等腰三角形． 21. 已知，如图所示，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，如果，求 （1）的长； （2）的长． 22. 为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加10台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表格所示．经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少100元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多100元． 甲型 乙型 价格（单位：元/台） 有效监控半径（单位：米/台） （1）求，的值； （2）若购买该批设备的资金不超过3600元，则至少购买甲型设备多少台？ （3）在（2）购买设备资金不超过3600元的条件下，若要求所有设备有效监控半径之和不低于600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案． 23. 三角形的探究与实践 （1）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，．求证：； （2）如图2，和都是等腰三角形，即，，且，，，在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由． （3）问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，请直接写出四边形的面积． 24. 在中，，，点在的平分线所在的直线上． （1）如图，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且， 求的长； 连接，若，求的度数； （2）如图，当点在线段上时，若，，平分，交于点，交于点，且，过点作，交于点，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金华四中2026学年第一学期八年级数学第一次作业检查试题卷 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. “说好中国话，写好中国字”，在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 2. 已知三角形的三边长分别为3，5，，则不可能是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】已知两边时，第三边的范围是大于两边的差，小于两边的和．这样就可以确定x的范围，也就可以求出x的不可能取得的值． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟记三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 3. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据已知条件，逐一分析各选项是否成立． 【详解】选项A：当时，满足，但，故A不一定成立． 选项B：∵，∴，故B错误． 选项C：∵，∴，，故C错误． 选项D∵，∴，故D正确． 故选D． 4. 对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了举反例判断命题真假，举反例时，所举的例子要符合原命题的条件，但是不符合题意原命题的结论，据此求解即可． 【详解】解：当时，满足，但是不满足， 当时，不满足条件； 当或时，满足，也满足， 故选：B． 5. 一个不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，解答此题的关键是熟知实心圆点与空心圆圈的区别．根据在数轴上表示不等式组解集的方法求出不等式组的解集即可． 【详解】解：由数轴知，这个不等式组的解集为， 故选：D． 6. 在与中，，添加下列条件后，仍不能得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题已知条件一边和一角，可以添加一边，利用可证三角形全等，一角或，利用证明全等． 【详解】A．，，根据可判定，故A可以判定，不符合题意． B．已知，可证，再加上，根据可判定，故B可以判定，不符合题意． C．，，无法根据判定，故C不可以判定，符合题意． D．， ，根据可判定，故D可以判定，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法，主要有、、、、，要特别注意是不能作为判定全等三角形全等的定理． 7. 下列条件中，可以判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键． 使用勾股定理的逆定理（若两边平方和等于第三边平方，则为直角三角形）或检查是否有一个角为90度，据此逐一判断． 【详解】解：A：∵， ∴，故不是直角三角形，不符合题意； B：设， ∴， ∴， ∴，故不是直角三角形，不符合题意； C：设， ∵， ∴，故是直角三角形，符合题意； D：∵， ∴，故不满足勾股定理，不是直角三角形，不符合题意； 故选C． 8. 等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分外角为顶角的外角、底角的外角两种情况讨论，结合三角形内角和舍去不成立的情况，求解顶角度数． 【详解】解：若是等腰三角形顶角的外角，则顶角的度数为． 若是等腰三角形底角的外角，则底角的度数为，两底角和为，不符合三角形内角和，舍去． 综上，顶角的度数为． 9. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点G，连接AG．若△AFG的周长为9，则BC的长为（ ） A. 6 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由作图过程可得AF＝AG，ED是AB的垂直平分线，然后证明AF=BF=AG，FC=CG，进而可以解决问题． 【详解】由作图过程可知：AF＝AG，ED是AB的垂直平分线， ∴AF＝BF， ∴AF＝BF＝AG， ∵∠ACB＝90°， ∴FC＝GC＝FG， ∵△AFG的周长为9， ∴BC＝BF＋FC＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了作图−基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法． 10. 如图，等边中，平分，点P、Q分别为、上的点，且，，在上有一动点E，则的最小值为（ ） A. 20 B. 18 C. 16 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识． 作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小，最小值为，然后根据等边三角形的性质可得是等边三角形，即可求得． 【详解】解：是等边三角形，平分， ，，为中点， ，， ， 作点关于的对称点，则，连接交于，如图， 则， 此时的值最小，最小值为， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， 的最小值为． 故选：A． 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. “的倍与的和是负数”用不等式表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将文字描述逐步转化为代数式，负数是小于的数，据此列出对应不等式即可． 【详解】解：先表示的倍得：， 再表示的倍与的和得：， 负数是小于的数， 可得不等式． 12. 如图，在中，，，则等于______度． 【答案】70 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，直接利用三角形的外角性质进行求解即可． 【详解】解：∵是的外角， ∴， 故答案为：70． 13. 在中，平分交于点，若，则的面积等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，根据角平分线的性质定理可得，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ，，平分， ， ， ． 14. 若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集，根据题意找出整数解是解本题的关键． 分别求出不等式组中不等式的解集，利用取解集的方法表示出不等式组的解集，根据解集中整数解有3个，即可得到的范围． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， ∵不等式组的整数解有3个， ∴不等式组的整数解为4、5、6， 则， 故答案为：． 15. 如图，中，为中点，在上，且．若，则的长度是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出长，根据勾股定理求出，最后再求解即可； 【详解】解：， ， ，为中点， ， 在中， ， 由勾股定理得：； 在中， ，， 由勾股定理得． 16. 如图，在中，为直角顶点，，为斜边的中点，将绕点逆时针旋转至，当恰为以为腰的等腰三角形时，的值为______． 【答案】40°或100° 【解析】 【分析】由题意可以分为BC=BP或BC=PC两种情况说明讨论． 【详解】解：当时，如图1． ∵，为斜边的中点， ∴，∴， ∴，∴； 当时，如图2，同理可证， ∴， ∴，∴． 故答案为40°或100°． 【点睛】本题考查直角三角形和等腰三角形的综合运用，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质、三角形全等的判定和性质、等腰三角形等边对等角的性质是解题关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. （1）解不等式：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式和解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键 ． （1）先移项，再合并同类项，最后系数化为求解即可； （2）分别求解两个一元一次不等式的解集，即可得到一元一次不等式组的解集． 【详解】解：（1）， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得； （2）， 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为． 18. 图①、图②都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点都在格点上．在给定的网格中，只用无刻度的直尺，在图①、图②中，按下列要求画图，所画的图形的顶点均在格点上． （1）在图①中画一个以为腰的等腰三角形； （2）在图②中画一个以为底边的等腰三角形． 【答案】（1）见详解； （2）见详解； 【解析】 【分析】（1）A点在B点上方第三个格子，因此可以在B点右边第三个格子寻找一格点使BC=BA（答案不唯一； （2）可以在线段AB右侧寻找一格点，使它到A，B两点都占2个小方格答案不唯一； 【小问1详解】 解：如图，△ABC，BA=BC=；答案不唯一 【小问2详解】 解：如图△ABD，DA=DB=；答案不唯一 【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图，勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是数形结合正确判定线段的长度． 19. 已知，如图，点、、、在同一直线上，，，，求证：； 【答案】证明：， ， 在和中，， 【解析】 【分析】根据可证，利用可证结论成立． 【详解】略 20. 如图，在中，． （1）尺规作图：在上求作一点P，使得； （要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求证：是等腰三角形． 【答案】（1） 如图，点P即为所求． （2） 证明：设， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、等腰三角形的判定、三角形外角的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解答问题． （1）作线段的垂直平分线，交于点P，则点P即为所求． （2）由题意得可得，根据三角形外角的性质可得，即，则，可得是等腰三角形． 【小问1详解】 解：作线段的垂直平分线，交于点P，连接， 则， ∴， 则点P即为所求． 【小问2详解】 略 21. 已知，如图所示，折叠矩形的一边，使点D落在边的点F处，如果，求 （1）的长； （2）的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得，，由折叠得，而，所以，则； （2）由，，得，且，所以，求得． 此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，正确地求出的长是解题的关键． 【小问1详解】 解： 四边形是矩形，，， ，， 由折叠得， ， ， 的长为． 【小问2详解】 解：，， ， 由折叠可知：， ， ， 的长为． 22. 为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加10台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表格所示．经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少100元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多100元． 甲型 乙型 价格（单位：元/台） 有效监控半径（单位：米/台） （1）求，的值； （2）若购买该批设备的资金不超过3600元，则至少购买甲型设备多少台？ （3）在（2）购买设备资金不超过3600元的条件下，若要求所有设备有效监控半径之和不低于600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案． 【答案】（1） （2）4台 （3）甲型设备5台，乙型设备5台 【解析】 【分析】（1）根据“购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少100元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多100元”，列出二元一次方程组，即可求解． （2）设购买甲型设备台，则购买乙型设备台．根据题意列出一元一次不等式，求得最小整数解，即可求解． （3）根据题意，得出，结合（2）的结论得出，进而取整数解，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，得 解得 【小问2详解】 设购买甲型设备台，则购买乙型设备台．根据题意，得 解得． 答：至少购买甲型设备4台． 【小问3详解】 根据题意，得 解得， ∴． ∵取整数， ∴的取值为4或5． 共有两种购买方案： 方案一：购买甲型设备4台，乙型设备6台； 所需资金为 （元）； 方案二：购买甲型设备5台，乙型设备5台； 所需资金为 （元）． ∵ ，∴方案二省钱． 答：最省钱的购买方案为购买甲型设备5台，乙型设备5台． 23. 三角形的探究与实践 （1）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形，如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，．求证：； （2）如图2，和都是等腰三角形，即，，且，，，在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由． （3）问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点，，在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）证明：， 即， 在和中， ． （2），；理由如下： ， ，即， 在和中， ， ，， 是等腰三角形且， ， ， ， ． （3）6 【解析】 【分析】（1）根据三角形全等的判定和性质即可解答． （2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，利用全等的性质可得，，又因为是等腰直角三角形，可得，从而可知，即； （3）由是等腰直角三角形，为中边上的高，可证得，根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，从而得，即可求出的长，最后求出四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）的方法得，， ，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴四边形的面积为： ． 24. 在中，，，点在的平分线所在的直线上． （1）如图，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且， 求的长； 连接，若，求的度数； （2）如图，当点在线段上时，若，，平分，交于点，交于点，且，过点作，交于点，求的长度． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据角平分线的性质易证，从而证得，得到， 即，结合 ，求解即可；根据四边形的内角和为可求得的度数，连接，易证， 得到，，通过角的等量代换可求得的度数，进而利用三角形内角和定理即可求得的度数； （2）如图，延长交于， 根据角平分线的性质结合三角形内角和定理易求得，根据外角的性质可得，从而得到的度数，根据对顶角相等可得，，得到，从而证明， 可得到、的长， 易证， 得到， 在中，通过勾股定理可求得，从而得到的长． 【小问1详解】 解：点在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ， 即， ， ，即 ， ； ，， ， 如图，连接， 在和中， ， ， ，， ， 即， ， ； 【小问2详解】 解：如图，延长交于， 平分，平分，， ，，， ， ， ， ，即， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $