精品解析：山东省青岛第三十九中学2026-2027学年八年级上学期10月学情自测数学试题

2026-2027学年八年级数学阶段性诊断试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列条件中，不能判定是直角三角形的是 A. B. C. D. 3. 下列各数（式）：，，，，，，中，有平方根的数（式）有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 4. 下列各组数中，互为相反数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图，在直角三角形中，，，，折叠的一角，使点B与点A重合，展开后得折痕，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，线段的长度为3，且轴．若点A的坐标为，则点B的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点B在顶点A正上方处．用红色彩带从顶点A开始，绕礼盒侧面一圈到点B，再用黄色彩带从点B开始绕侧面到顶点C装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为（ ） A. 38 B. 28 C. D. 9. 如图，是个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是，小正方形的面积是，若用表示直角三角形的两条直角边（），请观察图案，下列式子不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，…按照此规律，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 填空：的平方根是___________． 12. 若点在x轴上，则点P的坐标是________． 13. 若，，则______． 14. 若点和关于x轴对称，则点到坐标原点的距离为___________． 15. 如图中，每个小正方体的体积都是．当正方体甲、乙如图摆放时，它们的位置可以分别表示为和．那么正方体丙的位置可以表示为（ ）． 16. 已知实数、、在数轴上的位置如图所示，则___________． 17. 如图，在中，的平分线交于点为线段上一动点，为边上一动点，若，，，则的最小值为______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点分别作轴于点，轴于点，点在射线上．将沿直线翻折，使点恰好落在坐标轴上，则点的坐标为________． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 的立方根是，36的平方根是6与，是的整数部分． （1）求的值； （2）求的算术平方根． 21. 如图，猴山的坐标为，孔雀园的坐标为． （1）车站的坐标为 ； （2）现要建一个小凉亭，到猴山、大门、车站的距离都相等，则小凉亭的坐标为 ； （3）在（2）的条件下，若一位游客游玩路线为：大门→小凉亭→虎山→孔雀园→车站，则这一总路线的长度为 单位长度． 22. 如图，五一假期，数学兴趣小组的同学来到城阳区澜湾艺术公园露营、放风筝，他们想知道风筝离地面的垂直高度，于是利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 探究风筝离地面的垂直高度 活动工具 直角三角板、皮尺等 活动过程 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米．（即米） 问题解决 （1）求风筝离地面的垂直高度． （2）如果小明想要把风筝沿射线方向再上升12米，且长度不变，那么他应该再放出多少米线？ 请你帮助兴趣小组解决以上问题． 23. 如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，点，平行于轴． （1）求出点的坐标； （2）作出关于轴对称的； （3）在轴上找一点，使得，请直接写出点的坐标_____． 24. 【阅读材料】 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）①（______）=（______）2； ②（_____+______）2； （2）若，当均为正整数时，用含的式子分别表示，得__________，__________； 【拓展提升】 （3）如图，正方形的面积为，正方形的面积为，求正方形的面积． 25. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C、A、D的坐标分别为，，，动点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时动点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为（）． （1）则点B的坐标为______； （2）当时，t的值为______，此时点N的坐标为______； （3）若以点A、D、M、N为顶点的四边形面积为12，求点M的坐标． （4）在x轴上是否存在点N，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学阶段性诊断试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，熟记初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 【详解】解：A、是整数，不是无理数，不符合题意，选项错误； B、是无理数，符合题意，选项正确； C、是整数，不是无理数，不符合题意，选项错误； D、是分数，不是无理数，不符合题意，选项错误， 故选：B． 2. 下列条件中，不能判定是直角三角形的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．根据三角形内角和定理可分析出A、D的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B、C的正误． 【详解】解：A、，， ， 为直角三角形，故此选项不合题意； B、∵ ∴设 ， 为直角三角形，故此选项不合题意； C、，即， ， 为直角三角形，故此选项不合题意； D、∵， ∴设，，， ∵ ∴， 解得：， 则， ∴不是直角三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 3. 下列各数（式）：，，，，，，中，有平方根的数（式）有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】利用非负数才有平方根的性质，将问题转化为判断各数（式）的非负性． 【详解】解：，，， ∵， ∴， ∴非负的有，，，，，共5个， ∴有平方根的数有5个． 4. 下列各组数中，互为相反数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A中，选项B中，选项C中，三组数均相等，不互为相反数． 选项D中，与互为相反数． 5. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】解：因为，， 所以点所在的象限是第二象限. 6. 如图，在直角三角形中，，，，折叠的一角，使点B与点A重合，展开后得折痕，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据折叠的性质，设，则，再根据勾股定理，列出方程求解即可． 【详解】解：连接， 设，则， 由折叠知，， 在中，，， ，则， ， 则的长是． 7. 在平面直角坐标系中，线段的长度为3，且轴．若点A的坐标为，则点B的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点的坐标．根据点A坐标为，轴，，由坐标的特征分两种情况即可得到点的坐标． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点A坐标为，轴，， 点的坐标是或，即或， 故选：B． 8. 如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点B在顶点A正上方处．用红色彩带从顶点A开始，绕礼盒侧面一圈到点B，再用黄色彩带从点B开始绕侧面到顶点C装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为（ ） A. 38 B. 28 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将正六棱柱侧面展开为长方形，根据绕侧面的圈数确定水平直角边长，结合两点间竖直高度差确定垂直直角边，再用勾股定理分别计算两段彩带的最短长度并求和． 【详解】解：正六棱柱的侧面展开图如下， 由题可知，红色彩带绕一圈从到，则红色彩带为， 黄色彩带绕半圈从到，则黄色彩带为， 底面边长为，高为，点在顶点正上方处， ，，， ， ， 故红色与黄色彩带的总长度至少为． 9. 如图，是个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是，小正方形的面积是，若用表示直角三角形的两条直角边（），请观察图案，下列式子不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式，由图可得，，即可判断；进而由完全平方公式可得，即可判断；正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图形可得，，，故正确； ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴，故错误； 故选：． 10. 如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，…按照此规律，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，可得，再根据规律可得点与的横坐标相同，纵坐标小2，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，，，，……， ∴， ∴， ∵点，，，，……， ∴点与的横坐标相同，纵坐标小2， ∴， ∴点的坐标为． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 填空：的平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简得到计算结果，再根据平方根的定义求解最终结果． 【详解】解： ， 3的平方根为， 故的平方根是． 12. 若点在x轴上，则点P的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，根据在x轴上的点的纵坐标为0，进行列式计算得出的值，再代入点P的横坐标，即可作答． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴ 解得 把代入，得 ∴ 故答案为： 13. 若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】算术平方根规律：被开方数小数点移动2位，平方根小数点移动1位，据此解答即可． 【详解】解：的小数点向左移动两位得，， ． 14. 若点和关于x轴对称，则点到坐标原点的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征求出和的值，再利用勾股定理计算点到坐标原点的距离． 【详解】解：由关于轴对称的点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，得 ， 解得 ，， 即点的坐标为， 点到坐标原点的距离，由勾股定理得 ． 15. 如图中，每个小正方体的体积都是．当正方体甲、乙如图摆放时，它们的位置可以分别表示为和．那么正方体丙的位置可以表示为（ ）． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知点甲、乙的坐标确定有序数对中三个数分别代表的几何意义，即列数、行数和层数，进而确定丙的坐标． 【详解】解：由正方体甲的位置可知，有序数对的第一个数表示列数，第二个数表示行数，第三个数表示层数， 由正方体乙的位置可知，乙位于第列，第行，第层，符合图形特征， 观察图形可知，正方体丙位于第列，第行，第层， 所以正方体丙的位置可以表示为． 16. 已知实数、、在数轴上的位置如图所示，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】由数轴可得，，从而可得，，，再结合二次根式的性质、绝对值的性质化简即可得出结果． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，， ∴ ． 17. 如图，在中，的平分线交于点为线段上一动点，为边上一动点，若，，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H，先证明，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，证明直线是线段的垂直平分线，利用勾股定理的逆定理，线段的垂直平分线性质，三角形面积性质，解答即可． 【详解】：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵，，， 且， ∴， 直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点分别作轴于点，轴于点，点在射线上．将沿直线翻折，使点恰好落在坐标轴上，则点的坐标为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了作图以及利用折叠的性质和勾股定理解直角三角形，掌握相关性质是解答此题的关键．分别当翻折之后的A落在x的正半轴上和落在y轴上以及落在x轴负半轴时，三种情况讨论，利用勾股定理列出方程，然后解方程求出m即可得到点D的坐标． 【详解】解：①如图，设翻折之后的A落点为E，作． 设，由题意可得，，， 与关于直线对称， ，， 在中，， ． 在中，， ， 即， 解得， 点D的坐标是． ②如图2：翻折之后A点落在y轴上时，即图中点E，则， 这时，， ； ③如图3，当翻折之后A点落在x轴负半轴时，， 在中，，则， 中，设， 利用勾股定理得到， 解得， D点坐标为， 故D的坐标为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. 的立方根是，36的平方根是6与，是的整数部分． （1）求的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1），，， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据立方根、平方根的定义求出、的值，再估算出的取值范围，求出的值即可； （2）把、、的值代入进行计算即可． 本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根的概念，无理数的估算，开方与乘方的关系，需要注意的是第二问要先求出这个代数式的值，再去求它的算术平方根． 【小问1详解】 解： 的立方根是， ， 解得； 的平方根是6与， ， 解得； ， ， 是的整数部分， ； 【小问2详解】 解：，，， ， 的算术平方根是． 21. 如图，猴山的坐标为，孔雀园的坐标为． （1）车站的坐标为 ； （2）现要建一个小凉亭，到猴山、大门、车站的距离都相等，则小凉亭的坐标为 ； （3）在（2）的条件下，若一位游客游玩路线为：大门→小凉亭→虎山→孔雀园→车站，则这一总路线的长度为 单位长度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，两点间距离公式，线段垂直平分线的判定，解题关键是根据已知条件，画出平面直角坐标系． （1）根据猴山的坐标确定坐标原点，然后根据坐标原点画出平面直角坐标系，观察就能得出答案； （2）可知小凉亭在猴山、大门确定的线段垂直平分线和大门、车站确定的线段的垂直平分线的交点，即可求解； （3）根据两点间距离公式求出各路线长，再相加即可． 【小问1详解】 解：由题意得，建立平面直角坐标系，如图： ∴车站的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵小凉亭到猴山、大门、车站的距离都相等， ∴小凉亭在猴山、大门确定的线段垂直平分线和大门、车站确定的线段的垂直平分线的交点， ∴小凉亭的坐标为， 故答案为： 【小问3详解】 解：由坐标系得大门坐标为，虎山坐标为，而孔雀园坐标，车站的坐标，小凉亭的坐标 ∴大门到小游亭的距离为：，小游亭到虎山的距离为：，虎山到孔雀园的距离为：，孔雀园到车站的距离为：， ∴总路线的长度为：， 故答案为：． 22. 如图，五一假期，数学兴趣小组的同学来到城阳区澜湾艺术公园露营、放风筝，他们想知道风筝离地面的垂直高度，于是利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 探究风筝离地面的垂直高度 活动工具 直角三角板、皮尺等 活动过程 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米．（即米） 问题解决 （1）求风筝离地面的垂直高度． （2）如果小明想要把风筝沿射线方向再上升12米，且长度不变，那么他应该再放出多少米线？ 请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】（1）9.5米；（2）8米 【解析】 【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求解； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【详解】解：（1）由题意得，，米，米， 在中，由勾股定理得，， ∴米， 则米， ∴风筝离地面的垂直高度为9.5米． （2）如图，当风筝沿方向再上升12米时， ∴米， 在中，由勾股定理得，， ∴米， ∴米， ∴他应该再放出8米线． 23. 如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，点，平行于轴． （1）求出点的坐标； （2）作出关于轴对称的； （3）在轴上找一点，使得，请直接写出点的坐标_____． 【答案】（1） （2） 如图，即为所求； （3）或 【解析】 【分析】此题考查坐标系中点坐标特点，画轴对称图形，利用三角形面积求点坐标， （1）根据平行于轴，得到，求出，即可得到点的坐标； （2）根据轴对称的性质得到点，顺次连线即可得到； （3）根据得到，求出点的坐标为或． 【小问1详解】 解：∵，，平行于轴， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，点的坐标为，平行于轴，， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或． 24. 【阅读材料】 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）①（______）=（______）2； ②（_____+______）2； （2）若，当均为正整数时，用含的式子分别表示，得__________，__________； 【拓展提升】 （3）如图，正方形的面积为，正方形的面积为，求正方形的面积． 【答案】（1）①， ；② ， （2），． （3）45 【解析】 【分析】（1）对照完全平方公式，拆分根号外的整数为两个正整数的和，根号内的数为这两个正整数的乘积，匹配公式结构补全内容； （2）将等式右侧利用完全平方公式展开，对应等式左侧的有理部分和带根号部分，分别得到、的表达式； （3）因为正方形面积是边长的平方，所以先将两个已知正方形的面积化为完全平方形式，求出两个正方形的边长；再观察图形得出正方形的边长为两个小正方形边长之和，最后利用完全平方公式计算正方形的面积。 【小问1详解】 ① ； ② ． 【小问2详解】 解： 通过比较等式两边的有理部分和无理部分，可得： ，． 【小问3详解】 解：根据题意，正方形的面积为 。 ， 边长 (cm)。 正方形的面积为 ， 边长 (cm)。 由图可知，正方形 ABCD 的边长 ， 正方形 的面积为 25. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C、A、D的坐标分别为，，，动点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时动点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为（）． （1）则点B的坐标为______； （2）当时，t的值为______，此时点N的坐标为______； （3）若以点A、D、M、N为顶点的四边形面积为12，求点M的坐标． （4）在x轴上是否存在点N，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）或 （4），，， 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，坐标与图形，四边形的面积，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想解决问题． （1）直接根据点和的坐标可得结论； （2）先得，证明四边形是平行四边形，则，列方程可解答； （3）分两种情况：①当时，②当时，根据梯形的面积公式列方程可解答． （4）分三种情况：当时，当时，当时，分别画图求解． 【小问1详解】 解：∵， ， ∵四边形是矩形， ， ． 【小问2详解】 解：∵ 四边形是矩形， ， 当时，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：分两种情况： ①当时，点在边上，四边形是梯形， ， ∴以点为顶点的四边形的面积， ， ， ； ②当时，点在的延长线上， ∴以 点为顶点的四边形的面积， ， ， 综上，点的坐标为或． 【小问4详解】 解：∵， ∴， 当时，如图，点， 则， ∴， ∴． 当时，如图，点， 则， ∴， ∴， ∴． 当时，如图，点， 则点在线段的垂直平分线上， 则， ∴． 综上，点N的坐标为，，，． 【点睛】该题考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是利用数形结合思想解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $