精品解析：江西省于都中学2026-2027学年高一上学期第一次作业检测数学试卷

于都中学2026-2027学年上学期高一年级第一次作业检测 数学学科试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列四个关系式：①；②；③；④.其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】，故①正确；，故②错误；，故③正确；，故④正确； 故正确的个数是3. 2. 已知命题：，，则为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】因为，的否定为，， 所以为，. 3. 设集合，，若含有4个元素，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合元素的互异性及并集的概念求解即可. 【详解】根据集合元素的互异性可知，，. 因为含有4个元素，所以仅含有1个元素， 若，则或，所以或. 若，则. 结合集合元素的互异性可知或. 当时，，，，符合题意. 当时，，，，不符合题意. 综上，. 4. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据Venn图确定阴影部分为，然后再由集合的运算求解. 【详解】由已知得， 所以阴影部分为. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由于，取特殊值验证，令， 计算可得此时，不满足； 对于B，由，不等式两边同时乘，不等式方向改变， 得与对应相乘，得，则， 对于C.取上述A中特殊值验证选项C，， 此时不满足题意大小关系，排除C； 对于D，由，不等式两边同时加,不等式方向不变，得， 由，不等式两边同时加，不等式方向不变，可得， 联立两个不等式得，因此 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由，解得， 因是的真子集， 故“”是“”的必要不充分条件． 7. 关于的一元二次不等式的解集不可能为（   ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对进行分类讨论即可求解 【详解】当时，不等式即为，此时不等式的解集为，故D正确； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为，故B正确 当时，不等式即为，此时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为，故C正确. 综上所述，不等式的解集可能为BCD，不可能为A. 故选：A 8. 已知，均为大于0的实数，下列不等式中不恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式求解选项A；利用作差法比较大小求解选项B,C,D. 【详解】因为， 对于A，， 当且仅当，即时取得等号，即恒成立，故A不符合题意； 对于B，， 因为， 所以， 所以，即恒不成立，故B符合题意； 对于C，， 所以，即恒成立，故C不符合题意； 对于D，， 设，当且仅当，即时取得等号， 所以， 所以当时，有最小值为0， 所以，即恒成立，故D不符合题意； 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知非空集合，满足，且，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据真子集的概念结合条件即得. 【详解】 ，，又，集合是集合的真子集， 故若元素在集合里就一定在集合里，A正确； 若元素在集合里不一定在集合里，B错误； 所以，，CD正确. 故选：ACD. 10. 已知集合有且仅有2个子集，则实数可以取的值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据子集个数可知集合只有一个元素，分和讨论即可. 【详解】因为集合只有两个子集，所以该集合恰有1个元素， 即：方程有且仅有1个解或有两个相等的实数解， 则当时，方程有一个解； 当时，，即：时，方程有1个解， 故或时，方程有1个解. 故选：ABC. 11. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，因为不等式的解集为， 所以方程的两根为和2，且，故A正确； 对于B，由韦达定理得，解得， 所以，故B正确； 对于C，由，得，因为，所以，故C错误； 对于D，由，得，因为，所以， 即，解得或， 所以不等式的解集为或.故D错误. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 设，集合，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合相等可得，进而可得结果. 【详解】因为，则，所以. 故答案为：. 13. 已知实数，满足，，则的范围是____________ 【答案】 【解析】 【分析】由待定系数可得，利用不等式的可加性结合题设条件即可求的范围. 【详解】由题意，实数a，b满足，， 令，即 可得，解得， 所以， 则 ，， 所以. 故答案为：. 14. 若关于 的方程 有两个不相等的正实根 ，则 的最小值是_____. 【答案】8 【解析】 【分析】先由题设中方程有两个不等正根结合韦达定理和判别式列出不等式组求出参数a取值范围，再结合韦达定理、基本不等式和配凑法计算即可. 【详解】由题意可得， 所以， 所以  ， 当且仅当即时取等号， 所以  的最小值是8. 故答案为：8 四．解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知全集，集合，或． （1）求； （2）求． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据交集运算直接求解即可； （2）先求出集合的补集，再利用并集运算求解即可. 【小问1详解】 由题得，. 【小问2详解】 由题得，或， 则或. 16. （1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 【答案】（1）14；（2）（i）（ii）4 【解析】 【详解】（1）由，所以，所以 当且仅当 即时，函数取到最小值14. （2）（i）因为正数x，y，由基本不等式得， 解得（当且仅当时取等号）， 所以的最大值； （ii） 当且仅当时，即取等号， 故的最小值为4. 17. 已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式可得集合B，由可得，讨论A为空集和非空集两种情况，求得答案； （2）由题意可得集合B为集合A的真子集，列出不等式组，求得答案. 【小问1详解】 解得，知， 由，得 ①当时，，解得； ②当时，，解得， 综上，，即实数的取值范围为. 【小问2详解】 由题意是的充分不必要条件，可知， 则 ，解得，经检验，符合题意， 故，即实数的取值范围是. 18. 已知命题，不等式恒成立；命题，使成立. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由在上恒成立可得即可. （2）由在上有解可得，即可得为真时的范围，再结合一真一假求解即可. 【小问1详解】 根据题意，命题，不等式恒成立， 若命题为真命题，则，解得， 故实数的取值范围为. 【小问2详解】 根据题意，命题，使成立， 则，即， 或， 又命题中恰有一个为真命题，则命题一真一假， ①当真假时，，解得； ②当假真时，，解得. 综上，实数的取值范围为. 19. 我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）若点为“靓点”，则点是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明； （2）已知关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，，且满足，求的值． 【答案】（1）点为“靓点”. 若点为“靓点”，则， 因为， 又， 所以的坐标满足， 即点为“靓点”. （2） 【解析】 【分析】（1）根据点为“靓点”，求得，再根据“靓点”的定义判断点是否为“靓点”即可； （2）根据“靓点”定义得出，联立方程化简得，结合韦达定理进行化简，整理得到，，进而得到同时是和的根，即可得到的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由点是“靓点”可知，， 则， 若，则，所以， 则， 由， 联立得， 整理得，， 因为方程有三个不同实根， 所以令，则方程的两根为， 则， 因为，所以， 所以， 由可得， 又， 所以， 由，即，代入得， 所以，可得， 同理，代入可得， 所以同时是和的根， 所以，， 检验，当时，的根为， 则互不相等，都不等于，满足三个不同“靓点”. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 于都中学2026-2027学年上学期高一年级第一次作业检测 数学学科试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列四个关系式：①；②；③；④.其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知命题：，，则为（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设集合，，若含有4个元素，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 关于的一元二次不等式的解集不可能为（   ） A. 或 B. C. D. 8. 已知，均为大于0的实数，下列不等式中不恒成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知非空集合，满足，且，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 已知集合有且仅有2个子集，则实数可以取的值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 11. 已知关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 设，集合，若，则__________. 13. 已知实数，满足，，则的范围是____________ 14. 若关于 的方程 有两个不相等的正实根 ，则 的最小值是_____. 四．解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知全集，集合，或． （1）求； （2）求． 16. （1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 17. 已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18. 已知命题，不等式恒成立；命题，使成立. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围. 19. 我们约定：在平面直角坐标系中，当点的坐标满足时，称点为“靓点”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）若点为“靓点”，则点是否为“靓点”？请作出你的判断并给出证明； （2）已知关于的二次函数（为常数）的图象上存在三个不同的“靓点”：，，，且满足，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $