2026-2027学年浙教版数学九年级上册 第一次月考模拟试题（1-2单元）

2026-2027学年浙教版数学九年级上册第一次月考试题（1-2单元） 时间:120分 满分:120分 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列事件中属于必然事件的是（     ） A．抛掷一枚均匀硬币，正面朝上 B．打开电视机，正在播放新闻 C．在标准大气压下，水加热到会沸腾 D．掷一枚质地均匀的骰子，点数为6 2．（本题3分）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（     ）． A．对称轴是直线 B．顶点坐标为 C．图象与轴交点的坐标是 D．当时，随的增大而增大 3．（本题3分）一个不透明袋子里装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是（     ） A． B． C． D． 4．（本题3分）二次函数图象上部分的对应值如下表，则时，x的取值范围是（     ） x 0 1 2 3 y 0 2 2 0 A． B．或 C． D．或 5．（本题3分）将抛物线：向左平移个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图所示的桥拱是抛物线形，其函数表达式为．当水位线在位置时，水面宽，此时水面离桥拱顶的高度为（     ） A． B． C． D． 7．（本题3分）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B．， C．， D．， 8．（本题3分）已知三个点，，都在二次函数（，为常数）的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，下列说法正确的是（     ） A． B．石板路的宽度为 C．石板路的面积为 D．水池的横向长度为 10．（本题3分）如图所示，已知二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线．直线与抛物线交于，两点，点在轴下方且横坐标小于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）如果函数是关于x的二次函数，则_________． 12．（本题3分）中国象棋是起源于中国的传统棋类益智游戏，共有32枚棋子，其中马有4枚，将所有棋子背面朝上打乱，从中随机抽取一枚棋子，抽到马的概率为________． 13．（本题3分）将抛物线向左平移2个单位长度，则平移后的抛物线函数解析式为_________ 14．（本题3分）一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于这个数．设这个两位数的个位数字为，根据题意可列方程为_________． 15．（本题3分）一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”，则的取值范围是_________ ． 16．（本题3分）（本题3分）如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在y轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为_______． 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）已知抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)直接写出当x为何值时，y随x的增大而减小？ 18．（本题8分）已知二次函数，m为常数． (1)当时，求该二次函数的对称轴； (2)若在该二次函数的图象上有一点A，且点A到x轴的距离为21，求点A到对称轴的距离． 19．（本题8分）在平面直角坐标系中，抛物线（c为常数）， (1)当时，求抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)若抛物线与x轴有两个交点，自左向右分别为点A，B，且，求抛物线的解析式； 20．（本题8分）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，其中，． (1)对称轴为__________； (2)求抛物线的解析式； (3)当时，请直接写出y的取值范围． 21．（本题9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线上的一点，当点在直线上方的抛物线上运动时，求面积的最大值，并求出此时点的坐标． (3)①根据图像，当时，的取值范围是______ ②当时，二次函数的最大值为，则的值是______． 22．（本题9分）《测圆海镜》《四元玉鉴》《几何原本》均为世界数学宝库中不可多得的瑰宝．将上述三本数学典籍依次记为、、，将2个写有字母，6个写有字母，4个写有字母的形状大小完全相同的小球放入一个不透明的布袋中，将袋中的小球摇匀后，从中随机摸出一个小球，记下小球上的字母后放回，记为随机摸球1次． (1)随机摸球20次，其中摸出写有字母的小球4次，则这20次摸球中，摸出写有字母的小球的频率是________； (2)已知《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国著作，《几何原本》是外国著作，小美和小乐玩摸球游戏，随机摸球1次，若摸出的小球上字母所对应的典籍是我国著作，则小美赢；若摸出的小球上字母所对应的典籍是外国著作，则小乐赢．请分别计算出小美赢的概率和小乐赢的概率，并说明谁赢的概率大． 23．（本题10分）为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系． (1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？ (3)在（2）的限定条件下，直接写出该公司的最大年利润． 24．（本题12分）已知，如图一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点；二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点，与轴交于、两点，且顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)若点是轴上的一动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出所有的点，若不存在，请说明理由． 第6页（共7页） 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年浙教版数学九年级上册第一次月考试题（1-2单元）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B A A C C C D B 1．C 【详解】解：A、抛掷一枚均匀硬币，正面朝上，属于随机事件，故本选项不符合题意； B、打开电视机，正在播放新闻，属于随机事件，故本选项不符合题意； C、在标准大气压下，水加热到会沸腾，属于必然事件，故本选项符合题意； D、掷一枚质地均匀的骰子，点数为6，属于随机事件，故本选项不符合题意 2．D 【分析】根据二次函数的顶点式，确定对称轴、顶点坐标、开口方向及增减性，并计算与y轴的交点坐标即可解答． 【详解】解：二次函数为， 对称轴为直线，顶点坐标为， 选项A：对称轴应为直线，不是，故A说法错误，不符合题意； 选项B：顶点坐标应为，不是，故B说法错误，不符合题意； 选项C：当时，， ∴与y轴交点坐标为，不是，故C说法错误，不符合题意； 选项D：， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而增大，故D说法正确，符合题意． 3．B 【分析】概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：∵一个不透明袋子里装有3个红球，2个白球， ∴总球数为， ∴从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是． 4．A 【分析】先根据表格数据判断出该函数图象的开口方向和对称轴，结合时的x值求解即可． 【详解】解：根据表格数据，该函数图象的对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴该函数图象的开口向下， 又当和时，， ∴当时，x的取值范围是． 5．A 【详解】解：将抛物线向左平移个单位长度，得到抛物线， ∵抛物线与抛物线关于轴对称， ∴抛物线的解析式为． 6．C 【分析】利用抛物线的函数表达式和水面宽度求出水面的纵坐标，进而得到水面离桥拱顶的高度． 【详解】解：桥拱对应的函数表达式为且水位线与轴平行， ，关于轴对称， ， ，， 将代入函数表达式得，即水面离桥拱顶的高度为， 故选：C． 7．C 【分析】二次函数的图象与轴的交点的横坐标，是一元二次方程的解． 【详解】解：由图可得，二次函数的图象与轴的交点的横坐标为，，即为一元二次方程的解． 故选：C． 8．C 【分析】由二次函数解析式可得对称轴为直线，且故抛物线开口向下，点离对称轴越近函数值越大，计算各点横坐标与对称轴的距离，比较即可． 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离越大函数值越小， ∵点，，与对称轴的距离分别为：，，， ∴． 9．D 【分析】根据水池的占地面积为，即可列出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，再逐项分析即可． 【详解】解：设石板路的宽度为米，则两水池可合成长为米、宽为米的长方形， 根据题意得：，故A选项说法错误； 整理方程得，， 解得（舍），， 即石板路的宽度为，故B选项说法错误； 石板路的面积为，故C选项说法错误； 水池的横向长度为，故D选项说法正确； 10．B 【分析】结合抛物线的开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、c的符号，根据对称轴即可判断a、b的关系，此时即可判断①；②先说明当时，函数值小于0，即，再结合①的相关结论即可判断②；根据当时，二次函数值取最大值，即可判断③；联立一次函数和二次函数，即可求出交点D的横坐标，根据该横坐标小于3即可判断④． 【详解】解： ∵抛物线开口向下，与y轴正半轴交于点， ∴，， ∵对称轴直线， ∴，即， ∴，即①错误； 由函数图像可知：对称轴直线，当时，函数值小于0， ∵与关于对称轴直线对称， ∴当时，函数值小于0，即， ∵， ∴， ∴，即②错误； ∵抛物线开口向下，对称轴直线， ∴当时，二次函数值取最大值， ∴，即， ∴，即③正确； 对于直线，当时，，即直线与x轴交于点， 联立：，即， 解得：，即， ∵点在轴下方且横坐标小于， ∴，解得： ，④正确. 综上，正确的有③④，共2个． 11． 【详解】解：函数是关于x的二次函数， 且， ． 12． 【详解】解：抽到马的概率为． 13． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度， 平移后的抛物线函数解析式为． 14． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则这个两位数的十位数字为， 根据“个位数字的平方恰好等于这个数”得到． 15．/ 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关性质是解题的关键．由题意得二倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据关于二次函数对称轴点的位置为2，结合二次函数的开口方向和至少存在一个“二倍点”，将时代入解得，综合即可求出值的范围． 【详解】解：由题意可知，“二倍点”所在直线的解析式为， ∵在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”， ∴在的范围内，若二次函数和至少存在一个交点， 令，整理得， ∴，解得， ∵二次函数的对称轴为， ∴关于对称轴的点为， ∵二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”， ∴把代入二次函数得，代入得， 则，解得， 综上，的取值范围是． 16． 【分析】先由对称轴和点N坐标求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M的坐标；欲使的周长最小，结合的长度一定，所以只需取最小值即可．过点M作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P，进而即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为，点是抛物线上的一点， ， 解得， 该抛物线的解析式为， ， 的周长，且是定值， 当的值最小时，的周长最小， 如图1，过点M作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P， 则， 设直线的解析式为， 则有， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，， ∴． 17．(1) 顶点坐标为. (2) 当时，随的增大而减小. 【分析】（1）将抛物线的解析式化成顶点式，即可得到顶点坐标； （2）根据二次函数的性质可知抛物线开口向上，对称轴为直线，再结合二次函数的增减性即可解答． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：由（1）得，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小． 18．(1)直线 (2) 【分析】（1）把 代入 ，进一步求解即可； （2）解方程 或，结合抛物线的性质可得答案． 【详解】（1）解：当 时， 二次函数为： ， ∴二次函数的对称轴为直线． （2）解：∵该二次函数的图象上有一点 ，且点 到轴的距离为21， ∴， 当 时， ∴ ，即 ， ∴ ， 解得：，， ∴或， ∵的对称轴为直线， ∴点 到对称轴的距离为：或． 当时， ，即， 设， 则， ∴， ∴方程无解，即不存在，与题干冲突， 综上：点到对称轴的距离为：． 19．(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)或 【分析】（1）将代入表达式，然后配方成顶点式即可求解； （2）首先求出对称轴为直线，然后根据题意分两种情况讨论，分别设出点A，B的坐标，然后利用对称轴求出点A的坐标，然后代入表达式求解即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线 ∴对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：∵抛物线 ∴对称轴为直线 如图，当点A、B都在原点的右侧时， ∵ 设，则 ∴ ∴ ∴ 将代入得， ∴ ∴； 如图，当点A在原点的左侧，点B在原点的右侧时， ∵ 设，则 ∴ ∴ ∴ 将代入得， ∴ ∴ 综上所述，抛物线的解析式为或． 20．(1)直线 (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的对称性计算即可得出结果； （2）利用待定系数法计算即可得出结果； （3）将抛物线的解析式化为顶点式，从而可得抛物线的顶点坐标为，再分别求出和时的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，其中，， ∴对称轴为直线； （2）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，其中，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：由（2）可得， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，， 当时，， ∴当时， y的取值范围为． 21．(1) (2)； (3)①；②或 【分析】（1）先求出点A，C的坐标，代入二次函数里，求出未知数，就可以求出二次函数解析式． （2）先求出直线的解析式，再表示出点的坐标，用二次函数解析式减去直线的解析式得到一个新的二次函数，求这个新的二次函数最大值即可求出三角形面积，将最大值对应的值代入二次函数里，即可求出点的坐标． （3）第一问看图计算即可得出范围，第二问，分类讨论与对称轴的位置关系，即可求出的值． 【详解】（1）解：， ∴， ， 将两个坐标代入二次函数中，得到方程组： ， 解得， ∴二次函数解析式为： ． （2）解：如图所示，设直线的解析式为（、为常数， ）， 代入点A，C的坐标，得到方程组： ， 解得， ∴直线的解析式为． 设点的坐标为， 过点P作轴垂线交直线于点Q，得到点Q坐标， 则， ， 当时，三角形面积取得最大值，最大值为， 此时， ∴． （3）解：①二次函数对称轴： ，此时， 端点处： ， ； ， ， ∴的取值范围是， ②当时，二次函数的最大值为，二次函数对称轴： ， 分三类讨论， 情况一：区间在对称轴右边，，即， 函数递减，最大值为，得到方程， 解得（有效）， 情况二：区间在对称轴左边，，即， 函数递增，最大值为，得到方程， 解得（有效）， 情况三：对称轴在区间内， ，即， 最大值处，解得（舍去）， ∴的值是或． 22．(1)； (2)解：， 因为小球上字母为、所对应的典籍是我国著作，小球上字母为所对应的典籍是外国著作，写有字母、、的小球个数分别为2、6、4， 所以小美赢的概率为， 小乐赢的概率为， 因为， 所以小美赢的概率大． 【分析】（1）直接根据频率的公式计算即可； （2）由概率公式分别求出小美赢的概率和小乐赢的概率，再比较即可． 【详解】（1）解：随机摸球20次，其中摸出写有字母的小球4次，则这20次摸球中，摸出写有字母的小球的频率是； （2）略. 23．(1) (2)该设备的销售单价应是50万元 (3)最大年利润为12250万元 【分析】（1）根据变量的值，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式； （2）设此设备的销售单价为x万元，则每台设备的利润为万元，销售数量为台，根据总利润等于单台利润乘销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解方程并取其小于等于70的解即可得出结论． （3）设该公司的年利润为万元，易得关于x的二次函数，求出最大值即可． 【详解】（1）解：设年销售量与销售单价的函数关系式为， 由题意得， 解得， ∴年销售量与销售单价的函数关系式为； （2）解：此设备的销售单价为x万元，则每台设备的利润为万元，销售数量为台， 由题意得：， 整理，得：， 解得：（舍去）， 答：该设备的销售单价应是50万元； （3）解：设该公司的年利润为万元， 则， 配方，得， 当时，W取得最大值； 答：该公司的最大年利润为12250万元． 24．(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据直线的解析式，可求得点B的坐标，再结合顶点坐标利用待定系数法求解即可． （2）求出点C的坐标，作点B关于x轴的对称点R，连接，则，可证明当C、P、R三点共线时，有最小值，据此求解即可； （3）分三种情况：当点P为直角顶点时，则，当点B为直角顶点时，则，当点C为直角顶点时，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∵顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：联立，解得或， ∴； 如图所示，作点B关于x轴的对称点R，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当C、P、R三点共线时，有最小值； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：设： ∵， ∴，， ； 当点P为直角顶点时，则， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或； 当点B为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当点C为直角顶点时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 答案第6页（共16页） 答案第7页（共16页） 学科网（北京）股份有限公司 $