2026～2027学年北师大版数学九年级上学期9月学情自测试卷

北师大版2024_九上_9月 月考（2026~2027学年） 北师大版2024_九上_9月 月考 北师大版（2024）九年级上数学上册 参考答案与解析 1．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是（　　） A．3x2+-1＝0 B．5x2﹣6y﹣3＝0 C．ax2﹣x+2＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 【答案】D 【解答】解：A、是分式方程，故A错误；B、是二元二次方程，故B错误；C、a＝0时，是一元一次方程，故C错误；D、是一元二次方程，故D正确；故选：D． （来源：2023秋•辽中区期末） 2．（3分）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则方程的根是（　　） A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定 【答案】C 【解答】解：在这个式子中，如果把x＝1代入方程，左边就变成a+b+c，又由已知a+b+c＝0可知：当x＝1时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是1，同理可以判断方程必有一根是﹣1．则方程的根是1，﹣1．故选：C． （来源：2023秋•桂东县期末） 3．（3分）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长（　　） A．10% B．15% C．20% D．25% 【答案】C 【解答】解：设平均每月的增长率为x，根据题意得：200（1+x）2＝288，（1+x）2＝1.44，x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去），答：平均每月的增长率为20%．故选：C． （来源：2020•师宗县一模） 4．（3分）在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x（m），则可列方程（　　） A．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 B．（20﹣2x）（30﹣x）＝468 C．30×20﹣2×30x﹣20x＝468 D．（30﹣x）（20﹣x）＝468 【答案】A 【解答】解：设入口的宽度为x m，由题意得：（30﹣2x）（20﹣x）＝468．故选：A． （来源：2024•立山区模拟） 5．（3分）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242 C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝242 【答案】A 【解答】解：根据题意，可列方程：200（1+x）2＝242，故选：A． （来源：2025•开州区模拟） 6．（3分）在用求根公式x=求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到x=，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 【答案】A 【解答】解：由题意a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1．故选：A． （来源：2025•河南校级三模） 7．（3分）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（m，n），则称关于x的方程x2+mx+n＝0为点P的对应方程．已知点A（1，1），B（﹣2，4），则线段AB上任意点的对应方程的实数根有（　　）个． A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】A 【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∴，解得， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2，设直线AB上的任意一点为（a，﹣a+2）， ∴这个点的对应方程为x2+ax+（﹣a+2）＝0 ∵Δ＝a2﹣4×1×（﹣a+2）＝a2+4a﹣8， ∵﹣2≤a≤1，当a＝﹣2有最小值﹣12，当a＝1有最大值﹣3， ∴﹣12≤Δ≤﹣3，即Δ＜0， ∴线段AB上任意点的对应方程都没有实数根，故选：A． （来源：2025•宿城区校级一模） 8．（3分）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90°，AB＝m，BC=n，以点C为圆心，CB长为半径画圆弧，交AC于点D；以点A为圆心，AD长为半径画圆弧，交AB于点E，连接BD．则图中下列线段的长一定是关于x的一元二次方程x2+nx＝m2的一个根的是（　　） A．AE B．BE C．CD D．BD 【答案】A 【解答】解：在直角三角形ABC中，AB＝m，BC=n 则AC==，AE＝AD＝AC﹣CD＝AC﹣BC=-n，对方程x2+nx＝m2，有x2+nx﹣m2＝0，x==±-n=±-n 故选：A． （来源：2024•宁波模拟） 9．（3分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为 ． 【答案】x（x﹣1）＝1056 【解答】解： ∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出（x﹣1）张；又 ∵是互送照片， ∴总共送的张数应该是x（x﹣1）＝1056．故答案为：x（x﹣1）＝1056． （来源：2020秋•永城市期末） 10．（3分）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x，根据题意，可列方程为 ． 【答案】200（1+x）2＝401 【解答】解：根据题意得：200（1+x）2＝401．故答案为：200（1+x）2＝401． （来源：2024•重庆） 11．（3分）若一元二次方程x2+bx+1＝0可化为（x﹣2）2＝k，则k的值为 ． 【答案】3 【解答】解： ∵（x﹣2）2＝k， ∴x2﹣4x+4﹣k＝0， ∴b＝﹣4，4﹣k＝1，解得k＝3．故答案为：3． （来源：2024春•蚌埠期末） 12．（3分）设关于x的方程x2﹣2x﹣m+1＝0的两个实数根分别为α，β，若|α|+|β|＝6，那么实数m的取值是 ． 【答案】9 【解答】解： ∵关于x的方程x2﹣2x﹣m+1＝0的两个实数根分别为α，β， ∴α+β＝2，αβ＝﹣m+1， ∵|α|+|β|＝6， ∴α，β为异号，即αβ＜0，由α+β＝2得α2+β2＝4﹣2αβ，由|α|+|β|＝6得α2+β2＝36﹣2|αβ|， ∴4﹣2αβ＝36﹣2|αβ|＝36+2αβ， ∴αβ＝﹣8， ∴﹣m+1＝﹣8， ∴m＝9，故答案为：9． （来源：2021秋•临邑县期末） 13．（3分）用公式法解一元二次方程，得：x=，则该一元二次方程是 ． 【答案】3x2+5x+1＝0 【解答】解：根据题意得：a＝3，b＝5，c＝1，则该一元二次方程是3x2+5x+1＝0，故答案为：3x2+5x+1＝0 （来源：2025•盐城一模） 14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且CE＝2，DF＝1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为 ． 【答案】132 【解答】解：以O为原点，垂直AB的直线为x轴，建立直角坐标系，如图： ∵正方形ABCD的边长为4，CE＝2，DF＝1， ∴E（4，﹣2），F（2，3）， ∵G为EF的中点， ∴G（3，），设直线OE解析式为y＝kx，将E（4，﹣2）代入得：﹣2＝4k，解得k=-， ∴直线OE解析式为y=-x，令x＝2得y＝﹣1， ∴H（2，﹣1）， ∴GH==，方法二：如图，连接OF，过点O作OM⊥CD交CD于M， ∵O为正方形对角线AC和BD的交点， ∴OM＝CM＝DM＝CE＝2，易证△OHM≌△EHC， ∴点H、点G分别为OE、FE的中点， ∴GH为△OEF的中位线， ∴GH=OF，在Rt△OMF中，由勾股定理可得OF===， ∴GH=OF=，故答案为：． （来源：2021•天津） 15．（3分）对于四边形ABCD，给出下列4组条件：①∠A＝∠B＝∠C＝∠D；②∠B＝∠C＝∠D；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°．其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有 ． 【答案】①④ 【解答】解：∠A＝∠B＝∠C＝∠D能得到四个角都是直角，则四边形ABCD是矩形，故①正确；由∠B＝∠C＝∠D不可以得到矩形，故②错误；∠A＝∠B，∠C＝∠D，邻角相等并不能得到四个角是直角，故③错误；∠A＝∠B＝∠C＝90°，有三个角是直角的四边形为矩形，故④正确；故答案为：①④． （来源：2024秋•市南区校级月考） 16．（3分）如图，在矩形ABCD中，DC＝3，AD=DC，P是AD上一个动点，过点P作PG⊥AC，垂足为G，连接BP，取BP中点E，连接EG，则线段EG的最小值为 ． 【答案】 【解答】解：如图，取AP的中点F，连接EF，作GH⊥AD于H，作ET⊥GH于T，设AP＝m， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°，AB＝CD＝3， ∴tan∠DAC===， ∴∠DAC＝30°， ∵PG⊥AC， ∴PG=AP=m，∠APT＝90°﹣∠DAC＝60°， ∴PH＝PG•cos∠APG=m⋅cos60°=m，GH＝PG•sin∠APG=m⋅sin60°=m， ∵E是BP的中点， ∴EF=AB=，PF=m， ∴GT＝GH﹣HT＝GH﹣EF=m-，ET＝FH＝PF﹣PH=m-m=m，在Rt△EGT中，EG2＝GT2+ET2＝（m-）2+（m）2=（m-）2+， ∴当m=时，EG的最小值为，故答案为：．延长PG至Q，使GQ＝PG，连接AQ，BQ， ∵PG⊥AC， ∴AQ＝AP，∠QAP＝2∠CAD＝60°， ∴∠BAQ＝90°﹣∠QAP＝30°， ∵E是BP的中点， ∴EG=BQ，当BQ⊥AQ时，BQ最小，此时BQ=AB=， ∴EG的最小值为：，故答案为：． （来源：2023•桓台县二模） 17．（6分）解方程：x2﹣2x﹣1＝0． 【答案】见解析 【解答】解：解法一： ∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1 ∴b2﹣4ac＝4﹣4×1×（﹣1）＝8＞0 ∴x===1± ∴x1=1+，x2=1-；解法二： ∵x2﹣2x﹣1＝0，则x2﹣2x+1＝2 ∴（x﹣1）2＝2，开方得：x-1=±， ∴x1=1+，x2=1-． （来源：2010•綦江县） 18．（6分）如图1，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，且点E不与C、D重合，过点A作AE的垂线交CB延长线于点F，连接EF． （1）计算∠AEF的度数； （2）如图2，过点A作AG⊥EF，垂足为G，连接DG．用等式表示线段CF与DG之间的数量关系，并证明． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝∠DAB＝90°， ∴∠D＝∠ABF＝90°，∠DAE+∠BAE＝90°， ∵AE⊥AF， ∴∠EAF＝90°， ∴∠BAE+∠BAF＝90°， ∴∠DAE＝∠BAF， ∴△ADE≌△ABF（ASA）， ∴AF＝AE， ∴△AEF是等腰直角三角形 ∴∠AEF＝45°； （2）CF=DG．理由如下：如图2，取CE的中点M，连接GM，GC， ∵△AEF是等腰直角三角形，AG⊥EF， ∴G是EF的中点， ∴AG=EF，同理，在Rt△EFC中，CG=EF， ∴AG＝CG， ∵AD＝CD，DG＝DG， ∴△ADG≌△CDG（SSS）， ∴∠ADG＝∠CDG， ∵∠ADG+∠CDG＝90°， ∴∠ADG＝∠GDC＝45°； ∴GM为△GEC的中位线， ∴GM∥CF，GM=CF， ∴∠DMG＝∠DCB＝90°，在Rt△DGM中，∠GDM＝∠ADG＝45°， ∴△DMG为等腰三角形， ∴DM＝GM， ∴DM2+GM2＝DG2＝2GM2， ∴DG=GM， ∵GM=CF， ∴DG=CF， ∴2DG=CF，即CF=DG． （来源：2024秋•周村区期末） 19．（6分）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=2，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】见解析 【解答】①证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示： ∵正方形ABCD， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形， ∵四边形DEFG是矩形， ∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF， ∴矩形DEFG为正方形；②解：CE+CG的值为定值，理由如下： ∵矩形DEFG为正方形， ∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG， ∴AC＝AE+CE=AB=×2=4， ∴CE+CG＝4 是定值． （来源：2023•未央区校级三模） 20．（6分）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF． （1）求证：四边形EBFD是平行四边形； （2）若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形． 【答案】见解析 【解答】证明： （1）在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD， ∵AE＝CF． ∴OE＝OF， ∴四边形EBFD是平行四边形； （2） ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠BAC＝∠DCA， ∵∠BAC＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴DA＝DC， ∴平行四边形ABCD为菱形， ∴DB⊥EF， ∴平行四边形EBFD是菱形． （来源：2022•北京） 21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：△BDE≌△FAE； （2）求证：四边形ADCF为矩形． 【答案】见解析 【解答】证明： （1） ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， ∵E是线段AD的中点， ∴AE＝DE， ∵∠AEF＝∠DEB， ∴△BDE≌△FAE（AAS）； （2） ∵△BDE≌△FAE， ∴AF＝BD， ∵D是线段BC的中点， ∴BD＝CD， ∴AF＝CD， ∵AF∥CD， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AB＝AC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴四边形ADCF为矩形． （来源：2020•遂宁） 22．（6分）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠DAE＝∠AEB． ∵AE是角平分线， ∴∠DAE＝∠BAE． ∴∠BAE＝∠AEB． ∴AB＝BE．同理AB＝AF． ∴AF＝BE． ∴四边形ABEF是平行四边形． ∵AB＝BE， ∴四边形ABEF是菱形． （2）解：作PH⊥AD于H， ∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4， ∴AB＝AF＝4，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF， ∴AP=AB＝2， ∴PH=，AH＝1， ∴DH＝5， ∴tan∠ADP==． （来源：2014•北京） 23．（8分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°． （1）求证：CE＝CM． （2）若AB＝4，求线段FC的长． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵∠ACB＝90°，点M为边AB的中点， ∴MC＝MA＝MB， ∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B， ∵∠A＝50°， ∴∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°， ∴∠EMC＝∠MCB+∠B＝80°， ∵∠ACE＝30°， ∴∠MEC＝∠A+∠ACE＝80°， ∴∠MEC＝∠EMC， ∴CE＝CM； （2）解： ∵AB＝4， ∴CE＝CM=AB＝2， ∵EF⊥AC，∠ACE＝30°， ∴FC＝CE•cos30°=． （来源：2022•杭州） 24．（8分）【问题情境】某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的纸张制作装垃圾的无盖纸盒．【初步感知】 （1）如果准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？ （填序号）【操作探究】如图①，小明准备在边长为acm的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，制作一个无盖的长方体纸盒． （2）若a＝4cm，剪去的小正方形的边长为1cm，请你在图①中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕． （3）若制作的无盖长方体纸盒的底面边长为xcm，（Ⅰ）这个纸盒的底面积是 cm2，高是 cm（用含a、x的代数式表示）．（Ⅱ）已知当底面边长x＝6cm时，制作的无盖长方体纸盒的容积为108cm3，则当底面边长x＝2cm时，纸盒的容积为 cm3． （4）思考片刻后，小明将正方形硬纸板按图②方式裁剪，也制作了一个无盖的长方体纸盒．已知A，B，C，D四个面上分别标有代数式2t，5+t，1，-，若该纸盒的相对两个面上的代数式的和相等，且t为正整数，求正整数m的值． 【答案】①③④ 【解答】解： （1）图①③④都有5个小正方形，且通过折叠正好可以折叠成一个无盖的正方体盒子，图②中有6个小正方形，无盖的正方体盒子有5个面，所以图②不能折叠成一个无盖的正方体盒子；故答案为：①③④； （2）正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，制作一个无盖的长方体纸盒，如图所示： （3）若制作的无盖长方体纸盒的底面边长为xcm，（Ⅰ）这个纸盒的底面积是xcm2，高是cm；故答案为：x2；；（Ⅱ） ∵当底面边长x＝6cm时，制作的无盖长方体纸盒的容积为108cm3， ∴62×=108，解得：a＝12，当底面边长x＝2cm时，纸盒的容积为：22×=20(cm3)．故答案为：20． （4） ∵该纸盒的相对两个面上的代数式的和相等， ∴2t+1=5+t-， ∴t=4-， ∵t为正整数，m为正整数， ∴m＝3或6或9． （来源：2025秋•东台市期末） 25．（10分）如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线，取F为BC中点，连接点D，E，F得到△DEF，G是ED中点． （1）求证：FG⊥DE； （2）如果∠A＝60°，BC＝16，求FG的长度． 【答案】见解析 【解答】（1）证明：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线， ∴∠BDC＝∠CEB＝90°， ∵F是BC的中点， ∴EF＝DF=BC， ∴△DEF是等腰三角形， ∵G是ED的中点， ∴FG⊥DE； （2）解： ∵BD、CE分别是边AC、AB上的高线． ∴∠BDC＝∠CEB＝90°， ∵F是BC的中点，BC＝16， ∴EF＝DF=BC＝BF＝CF＝8， ∴∠BEF＝∠ABC，∠CDF＝∠ACB， ∵∠A＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝120°， ∴∠BFE+∠CFD＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝120°， ∴∠EFD＝60°， ∴△DEF是等边三角形， ∵G是ED的中点， ∴EG=DE=EF＝4， ∴FG===4． （来源：2023秋•昌黎县期末） 26．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝12cm，CD＝15cm，AD＝6cm．点P从点A出发，以1cm/秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以2cm/秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒． （1）直接写出边BC的长为 cm； （2）当四边形APQD是矩形时，求t的值； （3）在点Q运动过程中，当△BCQ是等腰三角形时，求t的值； （4）在点P，Q运动过程中，当PQ＝BC时，直接写出t的值． 【答案】35 【解答】解： （1）过点B作BH⊥CD于点H， ∵∠A＝90°，AB∥CD， ∴∠D＝180°﹣90°＝90°， ∴四边形ABHD是矩形， ∴BH＝AD＝6cm，DH＝AB＝12cm， ∴CH＝15﹣12＝3（cm），由勾股定理可得，BC===3cm．故答案为：3． （2）设点Q运动的时间为t秒，则AP＝tcm，CQ＝2tcm，DQ＝（15﹣2t）cm，当四边形APQD是矩形时，AP＝DQ， ∴t＝15﹣2t，解得t＝5； （3）当BQ＝BC时， ∵BH⊥CD， ∴QH＝CH＝3cm， ∴CQ＝6cm， ∴t==3；当CQ=BC=3cm时，t=；当BQ＝CQ时，BQ＝CQ＝2tcm，QH＝（2t﹣3）cm，由勾股定理可知，BH2+QH2＝BQ2，62+（2t﹣3）2＝（2t）2，解得t=；综上所述，当△BCQ是等腰三角形时，t的值为3或或； （4）当BP＝CQ时，如图， ∵AB∥CD， ∴四边形BCQP是平行四边形，此时，PQ＝BC，由BP＝CQ可列方程12﹣t＝2t，解得t＝4；当BP＜CQ时，如图，过点P作PG⊥CD于点G， ∵AB∥CD， ∴PG⊥AB， ∵BH⊥CD， ∴四边形PBHG是矩形， ∴PG＝BH，∠PGQ＝∠BHC＝90°，BP＝GH＝（12﹣t）cm，若PQ＝BC，在Rt△PGQ与Rt△BHC中，， ∴Rt△PGQ≌Rt△BHC（HL）， ∴QG＝CH＝3cm， ∵QG+GH+CH＝CQ， ∴3+（12﹣t）+3＝2t，解得t＝6；综上所述，当PQ＝BC时，t的值为4或6． （来源：2026春•宽城区校级期中） 27．（10分）【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G． （1）判断△AFG的形状并说明理由． （2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】 （3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当=时，求的值．【拓展延伸】 （4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连接EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值． 【答案】见解析 【解答】（1）解：如图1中，△AFG是等腰三角形．理由： ∵AE平分∠BAC， ∴∠1＝∠2， ∵DF⊥AE， ∴∠AHF＝∠AHG＝90°， ∵AH＝AH， ∴△AHF≌△AHG（ASA）， ∴AF＝AG， ∴△AFG是等腰三角形． （2）证明：如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG． ∵AF＝AG， ∴∠AFG＝∠AGF， ∵∠AGF＝∠OGL， ∴∠OGL＝∠OLG， ∴OG＝OL， ∵OL∥AB， ∴△DLO∽△DFB， ∴=， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BD＝2OD， ∴BF＝2OL， ∴BF＝2OG． （3）解：如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°， ∵∠DAK＝∠CAD， ∴△ADK∽△ACD， ∴=， ∵S1=•OG•DK，S2=•BF•AD，又 ∵BF＝2OG，=， ∴==，设CD＝2x，AC＝3x，则AD=x， ∴==． （4）解：设OG＝a，AG＝k．①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上． ∵AF＝AG，BF＝2OG， ∴AF＝AG＝k，BF＝2a， ∴AB＝k+2a，AC＝2（k+a）， ∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k+a）]2﹣（k+2a）2＝3k2+4ka， ∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF， ∴△ABE∽△DAF， ∴=，即=， ∴=， ∴BE=，由题意：10××2a×=AD•（k+2a）， ∴AD2＝10ka，即10ka＝3k2+4ka， ∴k＝2a， ∴AD＝2a， ∴BE==a，AB＝4a， ∴tan∠BAE==．②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF． ∵AF＝AG，BF＝2OG， ∴AF＝AG＝k，BF＝2a， ∴AB＝k﹣2a，AC＝2（k﹣a）， ∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2＝3k2﹣4ka， ∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF， ∴△ABE∽△DAF， ∴=，即=， ∴=， ∴BE=，由题意：10××2a×=AD•（k﹣2a）， ∴AD2＝10ka，即10ka＝3k2﹣4ka， ∴k=a， ∴AD=a， ∴BE==a，AB=a， ∴tan∠BAE==，综上所述，tan∠BAE的值为或． （来源：2026•深圳校级模拟） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版2024_九上_9月 月考（2026~2027学年） 北师大版2024_九上_9月 月考 北师大版（2024）九年级上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版2024_九上_9月 月考（2026~2027学年） 北师大版2024_九上_9月 月考 北师大版（2024）九年级上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是（　　） A．3x2+-1＝0 B．5x2﹣6y﹣3＝0 C．ax2﹣x+2＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 2．（3分）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则方程的根是（　　） A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定 3．（3分）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长（　　） A．10% B．15% C．20% D．25% 4．（3分）在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x（m），则可列方程（　　） A．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 B．（20﹣2x）（30﹣x）＝468 C．30×20﹣2×30x﹣20x＝468 D．（30﹣x）（20﹣x）＝468 5．（3分）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242 C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝242 6．（3分）在用求根公式x=求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到x=，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 7．（3分）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（m，n），则称关于x的方程x2+mx+n＝0为点P的对应方程．已知点A（1，1），B（﹣2，4），则线段AB上任意点的对应方程的实数根有（　　）个． A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 8．（3分）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90°，AB＝m，BC=n，以点C为圆心，CB长为半径画圆弧，交AC于点D；以点A为圆心，AD长为半径画圆弧，交AB于点E，连接BD．则图中下列线段的长一定是关于x的一元二次方程x2+nx＝m2的一个根的是（　　） A．AE B．BE C．CD D．BD 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为　　　　 ． 10．（3分）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x，根据题意，可列方程为 　　　　 ． 11．（3分）若一元二次方程x2+bx+1＝0可化为（x﹣2）2＝k，则k的值为 　　　　 ． 12．（3分）设关于x的方程x2﹣2x﹣m+1＝0的两个实数根分别为α，β，若|α|+|β|＝6，那么实数m的取值是 　　　　 ． 13．（3分）用公式法解一元二次方程，得：x=，则该一元二次方程是 　　　　 ． 14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且CE＝2，DF＝1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为 　　　　 ． 15．（3分）对于四边形ABCD，给出下列4组条件：①∠A＝∠B＝∠C＝∠D；②∠B＝∠C＝∠D；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°．其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有　　　　 ． 16．（3分）如图，在矩形ABCD中，DC＝3，AD=DC，P是AD上一个动点，过点P作PG⊥AC，垂足为G，连接BP，取BP中点E，连接EG，则线段EG的最小值为 　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）解方程：x2﹣2x﹣1＝0． 18．（6分）如图1，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，且点E不与C、D重合，过点A作AE的垂线交CB延长线于点F，连接EF． （1）计算∠AEF的度数； （2）如图2，过点A作AG⊥EF，垂足为G，连接DG．用等式表示线段CF与DG之间的数量关系，并证明． 19．（6分）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=2，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 20．（6分）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF． （1）求证：四边形EBFD是平行四边形； （2）若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形． 21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：△BDE≌△FAE； （2）求证：四边形ADCF为矩形． 22．（6分）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值． 23．（8分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°． （1）求证：CE＝CM． （2）若AB＝4，求线段FC的长． 24．（8分）【问题情境】某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的纸张制作装垃圾的无盖纸盒．【初步感知】 （1）如果准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？　　　　 （填序号）【操作探究】如图①，小明准备在边长为acm的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，制作一个无盖的长方体纸盒． （2）若a＝4cm，剪去的小正方形的边长为1cm，请你在图①中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕． （3）若制作的无盖长方体纸盒的底面边长为xcm，（Ⅰ）这个纸盒的底面积是 　　　　 cm2，高是 　　　　 cm（用含a、x的代数式表示）．（Ⅱ）已知当底面边长x＝6cm时，制作的无盖长方体纸盒的容积为108cm3，则当底面边长x＝2cm时，纸盒的容积为 　　　　 cm3． （4）思考片刻后，小明将正方形硬纸板按图②方式裁剪，也制作了一个无盖的长方体纸盒．已知A，B，C，D四个面上分别标有代数式2t，5+t，1，-，若该纸盒的相对两个面上的代数式的和相等，且t为正整数，求正整数m的值． 25．（10分）如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线，取F为BC中点，连接点D，E，F得到△DEF，G是ED中点． （1）求证：FG⊥DE； （2）如果∠A＝60°，BC＝16，求FG的长度． 26．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝12cm，CD＝15cm，AD＝6cm．点P从点A出发，以1cm/秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以2cm/秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒． （1）直接写出边BC的长为　　　　 cm； （2）当四边形APQD是矩形时，求t的值； （3）在点Q运动过程中，当△BCQ是等腰三角形时，求t的值； （4）在点P，Q运动过程中，当PQ＝BC时，直接写出t的值． 27．（10分）【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G． （1）判断△AFG的形状并说明理由． （2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】 （3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当=时，求的值．【拓展延伸】 （4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连接EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版2024_九上_9月 月考（2026~2027学年） 北师大版2024_九上_9月 月考 北师大版（2024）九年级上数学上册 参考答案与解析 1．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是（　　） A．3x2+-1＝0 B．5x2﹣6y﹣3＝0 C．ax2﹣x+2＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 【答案】D 【解答】解：A、是分式方程，故A错误；B、是二元二次方程，故B错误；C、a＝0时，是一元一次方程，故C错误；D、是一元二次方程，故D正确；故选：D． （来源：2023秋•辽中区期末） 2．（3分）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则方程的根是（　　） A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定 【答案】C 【解答】解：在这个式子中，如果把x＝1代入方程，左边就变成a+b+c，又由已知a+b+c＝0可知：当x＝1时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是1，同理可以判断方程必有一根是﹣1．则方程的根是1，﹣1．故选：C． （来源：2023秋•桂东县期末） 3．（3分）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长（　　） A．10% B．15% C．20% D．25% 【答案】C 【解答】解：设平均每月的增长率为x，根据题意得：200（1+x）2＝288，（1+x）2＝1.44，x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去），答：平均每月的增长率为20%．故选：C． （来源：2020•师宗县一模） 4．（3分）在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x（m），则可列方程（　　） A．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 B．（20﹣2x）（30﹣x）＝468 C．30×20﹣2×30x﹣20x＝468 D．（30﹣x）（20﹣x）＝468 【答案】A 【解答】解：设入口的宽度为x m，由题意得：（30﹣2x）（20﹣x）＝468．故选：A． （来源：2024•立山区模拟） 5．（3分）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242 C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝242 【答案】A 【解答】解：根据题意，可列方程：200（1+x）2＝242，故选：A． （来源：2025•开州区模拟） 6．（3分）在用求根公式x=求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到x=，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 【答案】A 【解答】解：由题意a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1．故选：A． （来源：2025•河南校级三模） 7．（3分）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（m，n），则称关于x的方程x2+mx+n＝0为点P的对应方程．已知点A（1，1），B（﹣2，4），则线段AB上任意点的对应方程的实数根有（　　）个． A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】A 【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∴，解得， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2，设直线AB上的任意一点为（a，﹣a+2）， ∴这个点的对应方程为x2+ax+（﹣a+2）＝0 ∵Δ＝a2﹣4×1×（﹣a+2）＝a2+4a﹣8， ∵﹣2≤a≤1，当a＝﹣2有最小值﹣12，当a＝1有最大值﹣3， ∴﹣12≤Δ≤﹣3，即Δ＜0， ∴线段AB上任意点的对应方程都没有实数根，故选：A． （来源：2025•宿城区校级一模） 8．（3分）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90°，AB＝m，BC=n，以点C为圆心，CB长为半径画圆弧，交AC于点D；以点A为圆心，AD长为半径画圆弧，交AB于点E，连接BD．则图中下列线段的长一定是关于x的一元二次方程x2+nx＝m2的一个根的是（　　） A．AE B．BE C．CD D．BD 【答案】A 【解答】解：在直角三角形ABC中，AB＝m，BC=n 则AC==，AE＝AD＝AC﹣CD＝AC﹣BC=-n，对方程x2+nx＝m2，有x2+nx﹣m2＝0，x==±-n=±-n 故选：A． （来源：2024•宁波模拟） 9．（3分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为 ． 【答案】x（x﹣1）＝1056 【解答】解： ∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出（x﹣1）张；又 ∵是互送照片， ∴总共送的张数应该是x（x﹣1）＝1056．故答案为：x（x﹣1）＝1056． （来源：2020秋•永城市期末） 10．（3分）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x，根据题意，可列方程为 ． 【答案】200（1+x）2＝401 【解答】解：根据题意得：200（1+x）2＝401．故答案为：200（1+x）2＝401． （来源：2024•重庆） 11．（3分）若一元二次方程x2+bx+1＝0可化为（x﹣2）2＝k，则k的值为 ． 【答案】3 【解答】解： ∵（x﹣2）2＝k， ∴x2﹣4x+4﹣k＝0， ∴b＝﹣4，4﹣k＝1，解得k＝3．故答案为：3． （来源：2024春•蚌埠期末） 12．（3分）设关于x的方程x2﹣2x﹣m+1＝0的两个实数根分别为α，β，若|α|+|β|＝6，那么实数m的取值是 ． 【答案】9 【解答】解： ∵关于x的方程x2﹣2x﹣m+1＝0的两个实数根分别为α，β， ∴α+β＝2，αβ＝﹣m+1， ∵|α|+|β|＝6， ∴α，β为异号，即αβ＜0，由α+β＝2得α2+β2＝4﹣2αβ，由|α|+|β|＝6得α2+β2＝36﹣2|αβ|， ∴4﹣2αβ＝36﹣2|αβ|＝36+2αβ， ∴αβ＝﹣8， ∴﹣m+1＝﹣8， ∴m＝9，故答案为：9． （来源：2021秋•临邑县期末） 13．（3分）用公式法解一元二次方程，得：x=，则该一元二次方程是 ． 【答案】3x2+5x+1＝0 【解答】解：根据题意得：a＝3，b＝5，c＝1，则该一元二次方程是3x2+5x+1＝0，故答案为：3x2+5x+1＝0 （来源：2025•盐城一模） 14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且CE＝2，DF＝1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为 ． 【答案】132 【解答】解：以O为原点，垂直AB的直线为x轴，建立直角坐标系，如图： ∵正方形ABCD的边长为4，CE＝2，DF＝1， ∴E（4，﹣2），F（2，3）， ∵G为EF的中点， ∴G（3，），设直线OE解析式为y＝kx，将E（4，﹣2）代入得：﹣2＝4k，解得k=-， ∴直线OE解析式为y=-x，令x＝2得y＝﹣1， ∴H（2，﹣1）， ∴GH==，方法二：如图，连接OF，过点O作OM⊥CD交CD于M， ∵O为正方形对角线AC和BD的交点， ∴OM＝CM＝DM＝CE＝2，易证△OHM≌△EHC， ∴点H、点G分别为OE、FE的中点， ∴GH为△OEF的中位线， ∴GH=OF，在Rt△OMF中，由勾股定理可得OF===， ∴GH=OF=，故答案为：． （来源：2021•天津） 15．（3分）对于四边形ABCD，给出下列4组条件：①∠A＝∠B＝∠C＝∠D；②∠B＝∠C＝∠D；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°．其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有 ． 【答案】①④ 【解答】解：∠A＝∠B＝∠C＝∠D能得到四个角都是直角，则四边形ABCD是矩形，故①正确；由∠B＝∠C＝∠D不可以得到矩形，故②错误；∠A＝∠B，∠C＝∠D，邻角相等并不能得到四个角是直角，故③错误；∠A＝∠B＝∠C＝90°，有三个角是直角的四边形为矩形，故④正确；故答案为：①④． （来源：2024秋•市南区校级月考） 16．（3分）如图，在矩形ABCD中，DC＝3，AD=DC，P是AD上一个动点，过点P作PG⊥AC，垂足为G，连接BP，取BP中点E，连接EG，则线段EG的最小值为 ． 【答案】 【解答】解：如图，取AP的中点F，连接EF，作GH⊥AD于H，作ET⊥GH于T，设AP＝m， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°，AB＝CD＝3， ∴tan∠DAC===， ∴∠DAC＝30°， ∵PG⊥AC， ∴PG=AP=m，∠APT＝90°﹣∠DAC＝60°， ∴PH＝PG•cos∠APG=m⋅cos60°=m，GH＝PG•sin∠APG=m⋅sin60°=m， ∵E是BP的中点， ∴EF=AB=，PF=m， ∴GT＝GH﹣HT＝GH﹣EF=m-，ET＝FH＝PF﹣PH=m-m=m，在Rt△EGT中，EG2＝GT2+ET2＝（m-）2+（m）2=（m-）2+， ∴当m=时，EG的最小值为，故答案为：．延长PG至Q，使GQ＝PG，连接AQ，BQ， ∵PG⊥AC， ∴AQ＝AP，∠QAP＝2∠CAD＝60°， ∴∠BAQ＝90°﹣∠QAP＝30°， ∵E是BP的中点， ∴EG=BQ，当BQ⊥AQ时，BQ最小，此时BQ=AB=， ∴EG的最小值为：，故答案为：． （来源：2023•桓台县二模） 17．（6分）解方程：x2﹣2x﹣1＝0． 【答案】见解析 【解答】解：解法一： ∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1 ∴b2﹣4ac＝4﹣4×1×（﹣1）＝8＞0 ∴x===1± ∴x1=1+，x2=1-；解法二： ∵x2﹣2x﹣1＝0，则x2﹣2x+1＝2 ∴（x﹣1）2＝2，开方得：x-1=±， ∴x1=1+，x2=1-． （来源：2010•綦江县） 18．（6分）如图1，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，且点E不与C、D重合，过点A作AE的垂线交CB延长线于点F，连接EF． （1）计算∠AEF的度数； （2）如图2，过点A作AG⊥EF，垂足为G，连接DG．用等式表示线段CF与DG之间的数量关系，并证明． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝∠DAB＝90°， ∴∠D＝∠ABF＝90°，∠DAE+∠BAE＝90°， ∵AE⊥AF， ∴∠EAF＝90°， ∴∠BAE+∠BAF＝90°， ∴∠DAE＝∠BAF， ∴△ADE≌△ABF（ASA）， ∴AF＝AE， ∴△AEF是等腰直角三角形 ∴∠AEF＝45°； （2）CF=DG．理由如下：如图2，取CE的中点M，连接GM，GC， ∵△AEF是等腰直角三角形，AG⊥EF， ∴G是EF的中点， ∴AG=EF，同理，在Rt△EFC中，CG=EF， ∴AG＝CG， ∵AD＝CD，DG＝DG， ∴△ADG≌△CDG（SSS）， ∴∠ADG＝∠CDG， ∵∠ADG+∠CDG＝90°， ∴∠ADG＝∠GDC＝45°； ∴GM为△GEC的中位线， ∴GM∥CF，GM=CF， ∴∠DMG＝∠DCB＝90°，在Rt△DGM中，∠GDM＝∠ADG＝45°， ∴△DMG为等腰三角形， ∴DM＝GM， ∴DM2+GM2＝DG2＝2GM2， ∴DG=GM， ∵GM=CF， ∴DG=CF， ∴2DG=CF，即CF=DG． （来源：2024秋•周村区期末） 19．（6分）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=2，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】见解析 【解答】①证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示： ∵正方形ABCD， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形， ∵四边形DEFG是矩形， ∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF， ∴矩形DEFG为正方形；②解：CE+CG的值为定值，理由如下： ∵矩形DEFG为正方形， ∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG， ∴AC＝AE+CE=AB=×2=4， ∴CE+CG＝4 是定值． （来源：2023•未央区校级三模） 20．（6分）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF． （1）求证：四边形EBFD是平行四边形； （2）若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形． 【答案】见解析 【解答】证明： （1）在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD， ∵AE＝CF． ∴OE＝OF， ∴四边形EBFD是平行四边形； （2） ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠BAC＝∠DCA， ∵∠BAC＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴DA＝DC， ∴平行四边形ABCD为菱形， ∴DB⊥EF， ∴平行四边形EBFD是菱形． （来源：2022•北京） 21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：△BDE≌△FAE； （2）求证：四边形ADCF为矩形． 【答案】见解析 【解答】证明： （1） ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， ∵E是线段AD的中点， ∴AE＝DE， ∵∠AEF＝∠DEB， ∴△BDE≌△FAE（AAS）； （2） ∵△BDE≌△FAE， ∴AF＝BD， ∵D是线段BC的中点， ∴BD＝CD， ∴AF＝CD， ∵AF∥CD， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AB＝AC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴四边形ADCF为矩形． （来源：2020•遂宁） 22．（6分）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠DAE＝∠AEB． ∵AE是角平分线， ∴∠DAE＝∠BAE． ∴∠BAE＝∠AEB． ∴AB＝BE．同理AB＝AF． ∴AF＝BE． ∴四边形ABEF是平行四边形． ∵AB＝BE， ∴四边形ABEF是菱形． （2）解：作PH⊥AD于H， ∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4， ∴AB＝AF＝4，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF， ∴AP=AB＝2， ∴PH=，AH＝1， ∴DH＝5， ∴tan∠ADP==． （来源：2014•北京） 23．（8分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°． （1）求证：CE＝CM． （2）若AB＝4，求线段FC的长． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵∠ACB＝90°，点M为边AB的中点， ∴MC＝MA＝MB， ∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B， ∵∠A＝50°， ∴∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°， ∴∠EMC＝∠MCB+∠B＝80°， ∵∠ACE＝30°， ∴∠MEC＝∠A+∠ACE＝80°， ∴∠MEC＝∠EMC， ∴CE＝CM； （2）解： ∵AB＝4， ∴CE＝CM=AB＝2， ∵EF⊥AC，∠ACE＝30°， ∴FC＝CE•cos30°=． （来源：2022•杭州） 24．（8分）【问题情境】某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的纸张制作装垃圾的无盖纸盒．【初步感知】 （1）如果准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？ （填序号）【操作探究】如图①，小明准备在边长为acm的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，制作一个无盖的长方体纸盒． （2）若a＝4cm，剪去的小正方形的边长为1cm，请你在图①中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕． （3）若制作的无盖长方体纸盒的底面边长为xcm，（Ⅰ）这个纸盒的底面积是 cm2，高是 cm（用含a、x的代数式表示）．（Ⅱ）已知当底面边长x＝6cm时，制作的无盖长方体纸盒的容积为108cm3，则当底面边长x＝2cm时，纸盒的容积为 cm3． （4）思考片刻后，小明将正方形硬纸板按图②方式裁剪，也制作了一个无盖的长方体纸盒．已知A，B，C，D四个面上分别标有代数式2t，5+t，1，-，若该纸盒的相对两个面上的代数式的和相等，且t为正整数，求正整数m的值． 【答案】①③④ 【解答】解： （1）图①③④都有5个小正方形，且通过折叠正好可以折叠成一个无盖的正方体盒子，图②中有6个小正方形，无盖的正方体盒子有5个面，所以图②不能折叠成一个无盖的正方体盒子；故答案为：①③④； （2）正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，制作一个无盖的长方体纸盒，如图所示： （3）若制作的无盖长方体纸盒的底面边长为xcm，（Ⅰ）这个纸盒的底面积是xcm2，高是cm；故答案为：x2；；（Ⅱ） ∵当底面边长x＝6cm时，制作的无盖长方体纸盒的容积为108cm3， ∴62×=108，解得：a＝12，当底面边长x＝2cm时，纸盒的容积为：22×=20(cm3)．故答案为：20． （4） ∵该纸盒的相对两个面上的代数式的和相等， ∴2t+1=5+t-， ∴t=4-， ∵t为正整数，m为正整数， ∴m＝3或6或9． （来源：2025秋•东台市期末） 25．（10分）如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线，取F为BC中点，连接点D，E，F得到△DEF，G是ED中点． （1）求证：FG⊥DE； （2）如果∠A＝60°，BC＝16，求FG的长度． 【答案】见解析 【解答】（1）证明：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线， ∴∠BDC＝∠CEB＝90°， ∵F是BC的中点， ∴EF＝DF=BC， ∴△DEF是等腰三角形， ∵G是ED的中点， ∴FG⊥DE； （2）解： ∵BD、CE分别是边AC、AB上的高线． ∴∠BDC＝∠CEB＝90°， ∵F是BC的中点，BC＝16， ∴EF＝DF=BC＝BF＝CF＝8， ∴∠BEF＝∠ABC，∠CDF＝∠ACB， ∵∠A＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝120°， ∴∠BFE+∠CFD＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝120°， ∴∠EFD＝60°， ∴△DEF是等边三角形， ∵G是ED的中点， ∴EG=DE=EF＝4， ∴FG===4． （来源：2023秋•昌黎县期末） 26．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝12cm，CD＝15cm，AD＝6cm．点P从点A出发，以1cm/秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以2cm/秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒． （1）直接写出边BC的长为 cm； （2）当四边形APQD是矩形时，求t的值； （3）在点Q运动过程中，当△BCQ是等腰三角形时，求t的值； （4）在点P，Q运动过程中，当PQ＝BC时，直接写出t的值． 【答案】35 【解答】解： （1）过点B作BH⊥CD于点H， ∵∠A＝90°，AB∥CD， ∴∠D＝180°﹣90°＝90°， ∴四边形ABHD是矩形， ∴BH＝AD＝6cm，DH＝AB＝12cm， ∴CH＝15﹣12＝3（cm），由勾股定理可得，BC===3cm．故答案为：3． （2）设点Q运动的时间为t秒，则AP＝tcm，CQ＝2tcm，DQ＝（15﹣2t）cm，当四边形APQD是矩形时，AP＝DQ， ∴t＝15﹣2t，解得t＝5； （3）当BQ＝BC时， ∵BH⊥CD， ∴QH＝CH＝3cm， ∴CQ＝6cm， ∴t==3；当CQ=BC=3cm时，t=；当BQ＝CQ时，BQ＝CQ＝2tcm，QH＝（2t﹣3）cm，由勾股定理可知，BH2+QH2＝BQ2，62+（2t﹣3）2＝（2t）2，解得t=；综上所述，当△BCQ是等腰三角形时，t的值为3或或； （4）当BP＝CQ时，如图， ∵AB∥CD， ∴四边形BCQP是平行四边形，此时，PQ＝BC，由BP＝CQ可列方程12﹣t＝2t，解得t＝4；当BP＜CQ时，如图，过点P作PG⊥CD于点G， ∵AB∥CD， ∴PG⊥AB， ∵BH⊥CD， ∴四边形PBHG是矩形， ∴PG＝BH，∠PGQ＝∠BHC＝90°，BP＝GH＝（12﹣t）cm，若PQ＝BC，在Rt△PGQ与Rt△BHC中，， ∴Rt△PGQ≌Rt△BHC（HL）， ∴QG＝CH＝3cm， ∵QG+GH+CH＝CQ， ∴3+（12﹣t）+3＝2t，解得t＝6；综上所述，当PQ＝BC时，t的值为4或6． （来源：2026春•宽城区校级期中） 27．（10分）【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G． （1）判断△AFG的形状并说明理由． （2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】 （3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当=时，求的值．【拓展延伸】 （4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连接EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值． 【答案】见解析 【解答】（1）解：如图1中，△AFG是等腰三角形．理由： ∵AE平分∠BAC， ∴∠1＝∠2， ∵DF⊥AE， ∴∠AHF＝∠AHG＝90°， ∵AH＝AH， ∴△AHF≌△AHG（ASA）， ∴AF＝AG， ∴△AFG是等腰三角形． （2）证明：如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG． ∵AF＝AG， ∴∠AFG＝∠AGF， ∵∠AGF＝∠OGL， ∴∠OGL＝∠OLG， ∴OG＝OL， ∵OL∥AB， ∴△DLO∽△DFB， ∴=， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BD＝2OD， ∴BF＝2OL， ∴BF＝2OG． （3）解：如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°， ∵∠DAK＝∠CAD， ∴△ADK∽△ACD， ∴=， ∵S1=•OG•DK，S2=•BF•AD，又 ∵BF＝2OG，=， ∴==，设CD＝2x，AC＝3x，则AD=x， ∴==． （4）解：设OG＝a，AG＝k．①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上． ∵AF＝AG，BF＝2OG， ∴AF＝AG＝k，BF＝2a， ∴AB＝k+2a，AC＝2（k+a）， ∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k+a）]2﹣（k+2a）2＝3k2+4ka， ∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF， ∴△ABE∽△DAF， ∴=，即=， ∴=， ∴BE=，由题意：10××2a×=AD•（k+2a）， ∴AD2＝10ka，即10ka＝3k2+4ka， ∴k＝2a， ∴AD＝2a， ∴BE==a，AB＝4a， ∴tan∠BAE==．②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF． ∵AF＝AG，BF＝2OG， ∴AF＝AG＝k，BF＝2a， ∴AB＝k﹣2a，AC＝2（k﹣a）， ∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2＝3k2﹣4ka， ∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF， ∴△ABE∽△DAF， ∴=，即=， ∴=， ∴BE=，由题意：10××2a×=AD•（k﹣2a）， ∴AD2＝10ka，即10ka＝3k2﹣4ka， ∴k=a， ∴AD=a， ∴BE==a，AB=a， ∴tan∠BAE==，综上所述，tan∠BAE的值为或． （来源：2026•深圳校级模拟） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版2024_九上_9月 月考（2026~2027学年） 北师大版2024_九上_9月 月考 北师大版（2024）九年级上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版2024_九上_9月 月考（2026~2027学年） 北师大版2024_九上_9月 月考 北师大版（2024）九年级上数学上册 （2026~2027学年）　考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是（　　） A．3x2+-1＝0 B．5x2﹣6y﹣3＝0 C．ax2﹣x+2＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 2．（3分）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则方程的根是（　　） A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定 3．（3分）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长（　　） A．10% B．15% C．20% D．25% 4．（3分）在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x（m），则可列方程（　　） A．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 B．（20﹣2x）（30﹣x）＝468 C．30×20﹣2×30x﹣20x＝468 D．（30﹣x）（20﹣x）＝468 5．（3分）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242 C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝242 6．（3分）在用求根公式x=求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到x=，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 7．（3分）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（m，n），则称关于x的方程x2+mx+n＝0为点P的对应方程．已知点A（1，1），B（﹣2，4），则线段AB上任意点的对应方程的实数根有（　　）个． A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 8．（3分）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90°，AB＝m，BC=n，以点C为圆心，CB长为半径画圆弧，交AC于点D；以点A为圆心，AD长为半径画圆弧，交AB于点E，连接BD．则图中下列线段的长一定是关于x的一元二次方程x2+nx＝m2的一个根的是（　　） A．AE B．BE C．CD D．BD 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为　　　　 ． 10．（3分）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x，根据题意，可列方程为 　　　　 ． 11．（3分）若一元二次方程x2+bx+1＝0可化为（x﹣2）2＝k，则k的值为 　　　　 ． 12．（3分）设关于x的方程x2﹣2x﹣m+1＝0的两个实数根分别为α，β，若|α|+|β|＝6，那么实数m的取值是 　　　　 ． 13．（3分）用公式法解一元二次方程，得：x=，则该一元二次方程是 　　　　 ． 14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且CE＝2，DF＝1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为 　　　　 ． 15．（3分）对于四边形ABCD，给出下列4组条件：①∠A＝∠B＝∠C＝∠D；②∠B＝∠C＝∠D；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°．其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有　　　　 ． 16．（3分）如图，在矩形ABCD中，DC＝3，AD=DC，P是AD上一个动点，过点P作PG⊥AC，垂足为G，连接BP，取BP中点E，连接EG，则线段EG的最小值为 　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）解方程：x2﹣2x﹣1＝0． 18．（6分）如图1，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，且点E不与C、D重合，过点A作AE的垂线交CB延长线于点F，连接EF． （1）计算∠AEF的度数； （2）如图2，过点A作AG⊥EF，垂足为G，连接DG．用等式表示线段CF与DG之间的数量关系，并证明． 19．（6分）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=2，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 20．（6分）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF． （1）求证：四边形EBFD是平行四边形； （2）若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形． 21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：△BDE≌△FAE； （2）求证：四边形ADCF为矩形． 22．（6分）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值． 23．（8分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°． （1）求证：CE＝CM． （2）若AB＝4，求线段FC的长． 24．（8分）【问题情境】某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的纸张制作装垃圾的无盖纸盒．【初步感知】 （1）如果准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？　　　　 （填序号）【操作探究】如图①，小明准备在边长为acm的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，制作一个无盖的长方体纸盒． （2）若a＝4cm，剪去的小正方形的边长为1cm，请你在图①中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕． （3）若制作的无盖长方体纸盒的底面边长为xcm，（Ⅰ）这个纸盒的底面积是 　　　　 cm2，高是 　　　　 cm（用含a、x的代数式表示）．（Ⅱ）已知当底面边长x＝6cm时，制作的无盖长方体纸盒的容积为108cm3，则当底面边长x＝2cm时，纸盒的容积为 　　　　 cm3． （4）思考片刻后，小明将正方形硬纸板按图②方式裁剪，也制作了一个无盖的长方体纸盒．已知A，B，C，D四个面上分别标有代数式2t，5+t，1，-，若该纸盒的相对两个面上的代数式的和相等，且t为正整数，求正整数m的值． 25．（10分）如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线，取F为BC中点，连接点D，E，F得到△DEF，G是ED中点． （1）求证：FG⊥DE； （2）如果∠A＝60°，BC＝16，求FG的长度． 26．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝12cm，CD＝15cm，AD＝6cm．点P从点A出发，以1cm/秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以2cm/秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒． （1）直接写出边BC的长为　　　　 cm； （2）当四边形APQD是矩形时，求t的值； （3）在点Q运动过程中，当△BCQ是等腰三角形时，求t的值； （4）在点P，Q运动过程中，当PQ＝BC时，直接写出t的值． 27．（10分）【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G． （1）判断△AFG的形状并说明理由． （2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】 （3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当=时，求的值．【拓展延伸】 （4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连接EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $