精品解析：山东青岛市城阳第二高级中学2026-2027学年高一上学期10月月检数学试题

2026-2027学年第一学期月检2026.10 高一数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定形式，前面改变量词，后面否定结论即可. 【详解】根据全称命题的否定形式，前面改变量词，后面否定结论， 所以“”变为“”，否定结论为“”， 即为：，. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 即： 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若 ，则 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例排除A、B、C三个错误选项，再结合不等式的基本性质判断D选项正确. 【详解】对于A：若取，，满足，但，，，故A错误； 对于B：若取，，满足，但，故B错误； 对于C：若取，，满足，但，故C错误； 对于D：由可知，即，由不等式的性质可得，故D正确. 4. 设集合，集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】若，则，解得， 因此当时，的取值范围为 5. 若，，，则的最小值为（ ） A. 26 B. 25 C. 19 D. 13 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，，所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为25. 6. 已知集合，，且，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合B中元素都属于A求解，注意进行检验特别是元素的互异性. 【详解】若，则，此时，不合题意， 若，则或，时，不合题意，时，满足题意. 所以，从而的取值集合为. 7. 已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据充分不必要条件的定义，可知区间是区间的真子集， 则有且等号不能同时成立，解得. 故实数的取值范围是. 8. 已知x，y，z都是正数，则，，这三个数（ ） A. 都大于2 B. 都小于2 C. 至多有一个大于2 D. 至少有一个不小于2 【答案】D 【解析】 【分析】将三个代数式求和，结合基本不等式得到总和的最小值，再通过特例排除和反证法判断各选项正误. 【详解】首先计算三个代数式的和： 已知x，y，z均为正数，由基本不等式：对任意正数a，有，当且仅当时等号成立， 因此，当且仅当时等号成立，对选项逐一判断： 对于A项：当时，三个代数式的值均为2，不满足都大于2，故A错误； 对于B项：若三个数都小于2，则三者之和小于6，与三者之和矛盾，故B错误； 对于C项：取，此时，存在两个数大于2，故C错误； 对于D项：假设三个数都小于2，则三者之和小于6，与三者之和矛盾，因此三个数至少有一个不小于2，故D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设集合，，则（ ） A. B. C. 若集合，则 D. 若集合，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】集合是模3余1的整数， 是模3余2的整数，则，故A正确； 3的倍数既不属于集合，又不属于集合，故，故B错误； 对任意，，满足集合的元素特征， 则，故C正确； 对任意，，满足集合的元素特征， 则，故D正确． 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则式子有最小值 D. 若，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用不等式性质以及基本不等式运算，逐个选项判断即可. 【详解】对于A，由，，则， 则，即， 则，故A错误； 对于B，由， 因为，所以，， 所以，即，故B正确； 对于C，当时，， 根据基本不等式，和，有， 所以，当且仅当即时取等号， 所以有最大值，故C错误； 对于D，因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，即，故D正确. 11. 设集合，若，使得（两两不等），则称为集，下列结论正确的是（ ） A. 若是集，则或 B. 若集合是集，集合是非空数集，则是集 C. 若集合是集，集合，则为集 D. ，且，使得是集 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据集的定义求出，即可判断A，举反例判断B，根据集的定义判断C、D. 【详解】对于A：由集的定义及已知得，，或，或， 解得或（舍去），故A正确； 对于B：若取，则，，显然不符合集的定义，故B错误； 对于C：由是集，所以存在（两两不等），使得， 因为中的元素个数不小于，所以且，使得， 且两两不等，由，得，所以为集，故C正确； 对于D：设， 取， 满足（两两不等），存在, 是集，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“”是命题“”的_______条件． 【答案】充分不必要 【解析】 【详解】若，则； 反之，当时，满足，但. 故命题“”是命题“”的充分不必要条件 13. 若，且，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】换元可得，，利用基本不等式“1”的妙用进行求解 【详解】令，则，， 则， 其中， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 所以的最小值为. 14. 对任意，，记，并称为集合，的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的有_____ ①．若，且，则 ②．若，且，则 ③．若，且，则 ④．对任意，，都有⊕⊕ 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据集合新定义，结合集合的交集、并集、补集之间的元素关系逐项判断即可． 【详解】对于①，因为⊕，所以，，故，故①错误； 对于②，，且⊕，则，， 即与是相同的，所以，故②正确； 对于③，，且⊕，则，， 故，且中元素不能出现在中，故，故③正确； 对于④，⊕ ， 其中， ， 故⊕ ，，， 而⊕，，故⊕⊕，故④正确． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，． （1）若集合表示图中阴影部分，求集合； （2）若集合，，，⊆，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】(1)解一元二次不等式求出集合，由Venn图可知，结合集合求解即可； (2)求出进而确定集合，由⊆分类讨论和两种情况，结合韦达定理求解实数的取值范围． 【小问1详解】 由题意，集合，因为全集.所以或. 由图可知，阴影部分表示的集合. 又因为，所以或， 所以或或或. 【小问2详解】 因为或，，所以或. 则. 因为，且，所以集合的元素必须是集合中的元素，或者为空集. 方程的判别式. ①当时，，即，解得，此时满足； ②当时，即或. （ⅰ）若，即. 当时，方程为，解得，此时. 因为，所以，符合题意； 当时，方程为，解得，此时. 因为，所以，舍去； (ⅱ)若，即或，方程有两个不相等的实数根，由韦达定理可知. 若，则有，，此时，故不存在满足条件的. 综上所述，实数的取值范围是. 16. 已知集合，. （1）若，求； （2）若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用并集定义计算求解； （2）应用必要条件转化为，进而列式计算求解； （3）应用交集结果列式求解. 【小问1详解】 因为时，， 所以； 【小问2详解】 因为集合，. 若成立的一个必要条件是，所以， 则，所以， 故实数的取值范围. 【小问3详解】 若，则或， 所以或， 故实数的取值范围. 17. 利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示.由于空间限制，仓库的宽度固定为3m.已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/.整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完.设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）. （1）求a与b满足的关系式； （2）求仓库的储物量（即容积V）的最大值. 【答案】（1），其中， （2） 【解析】 【分析】（1）借助侧面与底面的建造成本及成本预算计算即可得； （2）法一：借助基本不等式可将转化为，在解不等式即可得；法二：利用表示出，再利用基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 由题设， 化简得，且； 【小问2详解】 法一：由，得， 因为（当且仅当时取等号）， 所以，故，解得， 故（当且仅当时取等号）， 所以仓库容积的最大值为，此时. 法二：由，则， 故， 因为（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 故仓库容积的最大值为，此时． 18. 设． （1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围； （2）若，解关于的不等式． 【答案】（1） （2）时解集为；时解集为． 【解析】 【分析】（1）二次函数恒大于等于0，需同时满足开口向上且判别式，注意排除的一次函数情况； （2）含参数的一元二次不等式，先因式分解，再根据参数的前提，比较两根大小分类讨论. 【小问1详解】 当时不满足题意， 当时，需使， 解得． 【小问2详解】 由题设，则， 因为，不等式可化为， 当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 综上，时解集为；时解集为． 19. 问题：已知均为正实数，且，求证：． 证明：（当且仅当时，等号成立．） 学习上述解法并解决下列问题： （1）已知均为正实数，且，求的最小值； （2）已知均为正实数，且，求证：； （3）求的最小值，并求出使得取得最小值时的值． 【答案】（1）6 （2） 当且仅当时，等号成立. （3） 【解析】 【分析】（1）考查1的代换，将转换，再与相乘，用基本不等式. （2）考查1的代换，与相乘，用基本不等式. （3）考查第二问的应用，将转化为，再用第二问的结论. 【小问1详解】 转换，， 当且仅当时，等号成立． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 转化为，由（2）知，，当且仅当，即. 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期月检2026.10 高一数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若 ，则 4. 设集合，集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 若，，，则的最小值为（ ） A. 26 B. 25 C. 19 D. 13 6. 已知集合，，且，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 7. 已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 8. 已知x，y，z都是正数，则，，这三个数（ ） A. 都大于2 B. 都小于2 C. 至多有一个大于2 D. 至少有一个不小于2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设集合，，则（ ） A. B. C. 若集合，则 D. 若集合，则 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则式子有最小值 D. 若，，，则 11. 设集合，若，使得（两两不等），则称为集，下列结论正确的是（ ） A. 若是集，则或 B. 若集合是集，集合是非空数集，则是集 C. 若集合是集，集合，则为集 D. ，且，使得是集 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“”是命题“”的_______条件． 13. 若，且，则的最小值为___________． 14. 对任意，，记，并称为集合，的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的有_____ ①．若，且，则 ②．若，且，则 ③．若，且，则 ④．对任意，，都有⊕⊕ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，． （1）若集合表示图中阴影部分，求集合； （2）若集合，，，⊆，求实数的取值范围. 16. 已知集合，. （1）若，求； （2）若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围. 17. 利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示.由于空间限制，仓库的宽度固定为3m.已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/.整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完.设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）. （1）求a与b满足的关系式； （2）求仓库的储物量（即容积V）的最大值. 18. 设． （1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围； （2）若，解关于的不等式． 19. 问题：已知均为正实数，且，求证：． 证明：（当且仅当时，等号成立．） 学习上述解法并解决下列问题： （1）已知均为正实数，且，求的最小值； （2）已知均为正实数，且，求证：； （3）求的最小值，并求出使得取得最小值时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $