精品解析：山东省泰安第一中学2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

泰安一中青年路校区2026级10月份阶段检测数学卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若是实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 集合，，之间的关系是（ ） A. B. C. D. 6. 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 下图中的三个圆形区域分别表示全集的三个子集，则阴影部分能表示集合的是（ ） A. B. C. D. 8. 用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合.则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关系中，正确的有（　　） A.  B. C. D. 10. 下列四个结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为 C. 若“是的充分条件”，则 D. “”的一个必要不充分条件是“” 11. 已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设集合，，若，则________． 13. 已知，，，则的最小值是________． 14. 若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知集合，集合，命题，命题，． （1）若命题为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 17. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 18. 已知关于x不等式． （1）若时，求不等式的解集； （2）若，解这个关于的不等式； （3），恒成立，求实数a的取值范围. 19. 设是由若干个正整数组成的集合，且存在个不同的元素、、，使得，则称为“等差集”. （1）若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的； （2）若集合是“等差集”，求的值； （3）已知正整数，证明：不是“等差集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰安一中青年路校区2026级10月份阶段检测数学卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得. 【详解】命题“，”的否定是“”. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 3. 已知，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，当，，时，，故A错误； 对于B，当，，时，，故B错误. 对于C，当，，时，，故C错误； 对于D，因为，，所以，故D正确. 4. 若是实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】等价于或. ，必要性成立； 推不出，例如，满足，不满足，故充分性不成立. 故“”是“”的必要不充分条件 5. 集合，，之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出集合、、的元素，再根据集合包含关系和相等关系的定义即可求解. 【详解】 因为，所以，所以集合中的元素是的整数倍加这样的数， ，所以集合中的元素是的整数倍加这样的数， 因为，所以是偶数，所以集合中的元素是的偶数倍加这样的数， 所以， 故选：D. 6. 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立问题求解. 【详解】当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 7. 下图中的三个圆形区域分别表示全集的三个子集，则阴影部分能表示集合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦恩图表示集合运算的意义，结合排除法判断各选项，即可得答案. 【详解】在韦恩图中，表示长方形内圆A外的所有阴影， 表示圆B内除去外的阴影部分，韦恩图如下图所示， 观察各选项，排除C、D； 表示圆A和圆C相交的阴影部分，韦恩图表示如下： 则表示上述两部分阴影的并集，韦恩图表示为： A选项不符合，选项B中的阴影部分符合． 故选：B． 8. 用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合.则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先求得的可能取值，然后对进行分类讨论来求得，进而求得. 【详解】，要使， 则或. 当时，，满足. 当时，首先有两个不同的解或， 其次，对于，， 当时，或， 当时，，， 此时，满足. 当时，，， 此时，满足. 当，即时，无解，不符合题意. 当，即或时， 的解为或， 不是的解， 由，解得， 当时，，满足， 当时，，满足， 当时，，不符合题意. 综上所述，. 故选：B 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关系中，正确的有（　　） A.  B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据与集合的关系判断A，D；根据常用数集的取值范围判断B，C 【详解】对于A，是任何非空集合的真子集，故A正确； 对于B，为有理数集，而是有理数，故B正确； 对于C，为整数集，为自然数集，故，故C错误； 对于D，是任何集合的子集，故D错误. 故选：AB 10. 下列四个结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为 C. 若“是的充分条件”，则 D. “”的一个必要不充分条件是“” 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：将拆成与的线性组合，结合已知两个代数式的取值范围，计算出的取值区间；B:根据一元二次不等式解集，判断二次项系数，、3是对应方程两根，借助韦达定理用表示、，代入新不等式化简求解，对比解集判断正误；C、D选项根据充分性和必要性进行判断. 【详解】令，设， 所以，解得，即， 又；.相加得，A正确； 解集为或，，，，. ，，两边除以变号：， 解得：，B正确； 因为是的充分条件，所以，则，C错误； 推不出，可以推出，故是的必要不充分条件，D 正确. 11. 已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式，乘1法结合条件求最值逐项分析判断即得. 【详解】由，，可得，当且仅当时取等号，故A正确； 由，，可得，当且仅当时取等号，故B错误； 由， 当且仅当时取等号，故C错误； 因为，所以 当且仅当时取等号，故D正确； 故选：AD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设集合，，若，则________． 【答案】1 【解析】 【详解】因为，，且，所以或， 当时，，则，，此时不满足，所以舍去， 当时，，则，，符合题意，综上得. 13. 已知，，，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题条件是带交叉项的等式，目标求的最小值，已知，，适合用基本不等式（均值不等式）求解，首先观察式子，不能直接套不等式，需要先对等式配凑因式，把原式变形为两个正数相乘等于定值的形式，再把也用这两个因式表达，就可以利用“一正二定三相等”求最小值；方法二选择消元思路用表示，代入整理成对勾函数形式，再用基本不等式求解． 【详解】解法一：由得， ∵，，∴，， ∴， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由得， 得， ，， 当且仅当，即时等号成立，此时， 所以的最小值为． 14. 若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】不等式化为，讨论与1的大小解出不等式，依题意判断的取值范围即可得出． 【详解】关于的不等式可化为， 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数解，则，得； 当时，不等式化为，此时无解； 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数，则， 此时解集中无正整数解； 综上，实数的取值范围为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集，集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合交集、并集、补集的概念，以及运算法则，求出结果即可. （2）根据题干，判断两个集合的包含关系，再分类讨论，列出不等式组，求出结果即可. 【小问1详解】 由，得， 又， 所以，. 或，则. 【小问2详解】 因为，所以， 当时，，解得，此时满足题意； 当时，可得，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 16. 已知集合，集合，命题，命题，． （1）若命题为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先根据为真命题分析出，由此求解出的范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果； （2）考虑命题均为假命题时的取值范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果. 【小问1详解】 若为真命题，则， 所以，所以， 所以命题为假命题时，的取值范围为. 【小问2详解】 当为假命题时，即“”为真命题， 所以，所以的取值范围为， 所以当均为假命题时的取值范围为， 所以当命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围为或. 17. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 【答案】（1） （2）设备占地面积为时，y的值最小 【解析】 【分析】（1）由题意得，解不等式即可得解. （2）将变形为，再利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 令即，整理得即， 所以解得， 所以设备占地面积的取值范围为. 【小问2详解】 ， 当且仅当即时等号成立， 所以设备占地面积为时，的值最小. 18. 已知关于x不等式． （1）若时，求不等式的解集； （2）若，解这个关于的不等式； （3），恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，解出即可. （2）当时，不等式变为一次不等式，当时，对分解因式，讨论根的大小即可得答案. （3）由题意可得，，利用换元法结合函数单调性可得答案. 【小问1详解】 当时，则， 即，因式分解可得：， 所以，则不等式的解集为. 【小问2详解】 当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为， 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为空集， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 【小问3详解】 因为， 所以， 因为， 则，则题目等价于，， 令，因为，所以， 则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数a的取值范围为. 19. 设是由若干个正整数组成的集合，且存在个不同的元素、、，使得，则称为“等差集”. （1）若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的； （2）若集合是“等差集”，求的值； （3）已知正整数，证明：不是“等差集”. 【答案】（1）或或 （2） （3） 证明：假设是“等差集”，显然， 则存在、、，使得成立，整理得， 易知，所以，则，此时， 与集合元素的互异性矛盾，所以假设不成立，证毕. 【解析】 【分析】（1）利用“等差集”的定义列举即可； （2）利用“等差集”的定义分类讨论解方程求参数即可； （3）利用反证法结合新定义证明即可. 【小问1详解】 因为，，且是“等差集”，所以至少含有三个元素， 因为，， 根据“等差集”的定义可知或或. 【小问2详解】 若，则， 又因为各元素为正整数，显然此时，不符题意，舍去； 若，则或， 显然时，，舍去，而时，，符合题意； 若，则， 同上，显然此时，不符题意，舍去； 综上所述：. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $