精品解析：吉林四平市实验中学2026-2027学年度第一学期第一次学情诊断高一数学试题

2026～2027学年度第一学期第一次学情诊断 高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第二章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，，，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 如图，已知表示全集，A，B是的两个非空子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 小张、小胡两人解关于x的不等式，小张写错了常数b，得到的解集为；小胡写错了常数c，得到的解集为，则原不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立，若p，q中至少有一个是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，则下列式子表示正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 用表示有限集合中元素的个数，若集合，，则（　　） A. B. ， C. 若集合，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合有___________个子集． 13. 已知，，，则的取值范围是_____． 14. 已知二次函数，其图象如图所示，对称轴方程为，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）求； （2）求. 16. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17. 设为正实数，且. （1）求的最小值； （2）若，求的取值范围. 18. 某小区为了改善居民生活环境，准备把一个矩形花坛扩建成更大的矩形花坛（如图所示），其中点，分别在，的延长线上，对角线过点.已知m，m，设m. （1）试用表示矩形花坛的面积； （2）若因场地限制，矩形花坛的面积不能超过250m2，则最长为多少米？最短为多少米？ （3）若花坛新扩建部分（不含原矩形花坛）的修建费用为80元/m2，另外为了美观，还需对矩形花坛的边缘进行装饰，装饰费用为100元/m，试问当的长为多少米时，扩建花坛的总费用最少？最少为多少元？（结果可保留根号） 19. 已知关于的不等式的解集构成集合A，其中. （1）若，求A； （2）若A中有4个整数，求a的取值范围； （3）若，解关于x的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度第一学期第一次学情诊断 高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第二章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因，，则. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“，”的否定是“，”. 3. 若，，，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知条件结合不等式的性质，判断各选项结论是否正确. 【详解】若，，，， 由，则，得，A选项错误； 由，有，则，B选项错误； 由，，有，C选项正确； 由，有，D选项错误. 故选：C. 4. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】化简条件与结论，结合充分条件和必要条件的定义判断结论. 【详解】等价于，即或， 等价于，即，等价于， 因为可推出或， 因此可以推出， 所以“”是“”的必要条件， 当时，此时， 但，，， 所以“”不是“”的充分条件， 因此“”是“”的必要不充分条件. 5. 如图，已知表示全集，A，B是的两个非空子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析元素与各集合的关系即可. 【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则，且， 所以阴影部分可表示为. 故选：D． 6. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用“1”妙用，变形为，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为， 所以， 当，即时，等号成立， 联立，得， 所以当时，的最小值为. 7. 小张、小胡两人解关于x的不等式，小张写错了常数b，得到的解集为；小胡写错了常数c，得到的解集为，则原不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次不等式解集与二次方程根的关系，结合韦达定理即可得解. 【详解】因为小张写错了常数，得到的解集为，所以， 小胡写错了常数，得到的解集为，所以，解得， 所以原不等式为，解得， 即原不等式的解集为. 故选：B. 8. 设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立，若p，q中至少有一个是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由二次函数的性质求出为真时，解二次不等式可得命题等价于，可求p，q都是真命题的范围，进而可得答案. 【详解】若p为真命题，即对任意，不等式恒成立， 等价于当时，， 当时，， 即，所以； 若q为真命题，即存在，不等式成立， 等价于当时，. 由于，，所以，解得. 若p，q都是真命题，则； 所以，若命题p，q中至少有一个是假命题，则或. 即, 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，则下列式子表示正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】由可得,即. 故有. 10. 已知正实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据基本不等式求解判断各选项即可. 【详解】因为为正实数，所以，当且仅当时等号成立， 则，所以，当且仅当时等号成立，故A正确，B错误； 由，则，所以， 当且仅当时等号成立，故C错误，D正确. 故选：AD. 11. 用表示有限集合中元素的个数，若集合，，则（　　） A. B. ， C. 若集合，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】分别分析集合和集合中方程根的个数，再根据不同条件进行判断. 【详解】对于选项： 集合，判别式恒成立，集合有两个元素，，故正确. 对于选项： 集合. 第一部分：，解得或. 当时，有2个不同的根；当时，有1个根. 第二部分：，判别式. 当，即或，此时方程有2个不同的根； 当，即或，此时方程有1个相同的根； 当，即，此时方程无实数根. 由于对于的任意值，方程的根与的根不会相等， 所以当或时，两个方程共有4个实数根，； 当或时，两个方程共有3个实数根，； 且时，两个方程共有2个实数根，； 当时，两个方程共有1个实数根， 所以的值可能为1，2，3，4，故错误. 对于选项 当时，，此时； 当时，； 当时，，此时或； 当时，. ，，故正确. 对于选项： 若，当且仅当，此时或，故错误. 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合有___________个子集． 【答案】8 【解析】 【分析】先确定集合中元素的个数，再确定集合的子集个数. 【详解】因为，有3个元素， 所以集合有个子集. 故答案为：8 13. 已知，，，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法结合不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】设， 所以，解得，故， 因为，，所以， 由不等式的基本性质可得，即， 故的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知二次函数，其图象如图所示，对称轴方程为，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由二次函数的对称轴方程得出，分析可得出，，，再利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为二次函数的对称轴方程，即， 由图知，则，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）求； （2）求. 【答案】（1）或 （2）或. 【解析】 【分析】（1）首先解不等式得到，再求其补集即可. （2）首先解不等式得到或，再求即可. 根据集合， 【小问1详解】 因为， 所以 【小问2详解】 因为或， 所以或， 所以. 16. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，可按照与分别讨论参数范围即可；（2）根据“”是“”的必要不充分条件得到是的真子集，进而建立不等关系得到的取值范围即可. 【小问1详解】 由题意知， 若，当时，则，解得； 当时，则或解得或． 综上，实数的取值范围是． 【小问2详解】 因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集， 所以且等号不能同时成立， 解得，即实数的取值范围是． 17. 设为正实数，且. （1）求的最小值； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案. （2）基本不等式得，，根据条件得，整理计算，即可得答案. 【小问1详解】 由，得， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 【小问2详解】 由基本不等式得，，当且仅当时等号成立， 因为， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 解得， 又为正实数，所以， 即的取值范围是. 18. 某小区为了改善居民生活环境，准备把一个矩形花坛扩建成更大的矩形花坛（如图所示），其中点，分别在，的延长线上，对角线过点.已知m，m，设m. （1）试用表示矩形花坛的面积； （2）若因场地限制，矩形花坛的面积不能超过250m2，则最长为多少米？最短为多少米？ （3）若花坛新扩建部分（不含原矩形花坛）的修建费用为80元/m2，另外为了美观，还需对矩形花坛的边缘进行装饰，装饰费用为100元/m，试问当的长为多少米时，扩建花坛的总费用最少？最少为多少元？（结果可保留根号） 【答案】（1） （2）最长为25米，最短为米 （3）的长为米时，总费用最少，最少为元 【解析】 【分析】（1）根据给定图形，借助相似求出，进而求出矩形面积. （2）由（1）列出不等式，求解不等式即可得解. （3）求出总费用的函数关系，再利用基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 由的长为m，得m， 而与相似，则，于是， 所以矩形花坛的面积. 【小问2详解】 依题意，，则，而，整理得，解得， 函数在上随增大而减小，于是， 所以最长为25米，最短为米. 【小问3详解】 矩形花坛的装饰费用， 新扩建部分的修建费用， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的长为米时，总费用最少，最少为元. 19. 已知关于的不等式的解集构成集合A，其中. （1）若，求A； （2）若A中有4个整数，求a的取值范围； （3）若，解关于x的不等式. 【答案】（1）或 （2） （3） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）根据含参一元二次不等式的解法分情况讨论求出集合A，再结合A中有4个整数求解即可； （3）由可得或，进而分情况讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，不等式为， 即，所以， 所以或. 【小问2详解】 当时，该不等式可化为，即，不满足题意； 当时，该不等式可化为， 所以，则或， 因为，所以，，， 若A中有4个整数，则这4个整数分别为1，2，，， 则； 同理可得时，或， 因为，所以，，， 若A中有4个整数，则这4个整数分别为1，2，，， 则，即. 综上所述，的取值范围是. 【小问3详解】 因为，，所以，解得或. 不等式，可化为， 该不等式等价于， 当时，，该不等式等价于， 因为，则， 所以原不等式的解集为； 当时，，，解不等式得或， 所以原不等式的解集为. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $